精品解析：浙江省宁波市鄞州第二实验中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省宁波市鄞州第二实验中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，与交于点，连结，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，AD是角平分线，且，，点E为中点，则的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 4. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形和长方形的面积相等，点E，F分别在边，上，过点D，连接，的面积为1．若记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为的中点，连接，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，是的角平分线，，点E为上一点，将绕点B逆时针旋转得当F，E，C三点恰好在同一直线时，连接与，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 10. 如图，已知，，，，则________°． 11. 若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是______． 12. 如图，在中，，，延长至点，连接．若，则的度数为___________． 13. 若定义是a与b中的较大者，例如：，，若有，那么y的最小值是____________． 14. 如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则______． 三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）解方程：； （2）解不等式组： 16. 若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． （1）已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． （2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． （3）关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 17. 如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连接交于点，设． （1）用含的代数式表示； （2）若，求的度数； （3）在（）的条件下，若为中点，，求的面积． 18. 如图，已知中，，D为边上一点，，E为三角形外一点，交于点． （1）若，求的度数． （2）求证：． （3）当为直角三角形时，求的值． （4）若，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网命组卷网 2025-2026学年浙江省宁波市鄞州第二实验中学八年级（上)期中数 学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.若a>b,则下列式子一定正确的是() A.a2>b2 C.-a+1<-b+1 -4<1b-4 B.2a<2b D.? 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式 子)，不等号的方向不变：不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变： 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题关键.根据不等式的基 本性质逐项判断即可. 【详解】解：A.取a=2.b=-3m2< ,则 ，故该选项错误，不符合题意； B.若a>b,则2a>2b,故该选项错误，不符合题意： C.若a>b,则等式两边同时乘-1，再加1，即为-a+1<-b+1,故该选项正确，符合题意： 1 2a-4>1b-4 1 D.若a>b,则等式两边同时乘3，再减4，即为3” 3 ,故该选项错误，不符合题意. 故选C. 2图：在A1BC中，B=CA=40.以点为圆心.BC为学径画：与AB交于点D,造结 CD,∠ACD ,则 的度数为() 第1页/共32页 6学科网组卷网 A.120 B.150 c180 D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键.根据三角 形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解， 【详解】解：·AB=AC,∠A=40° ∴.∠B=∠ACD=70° 又：以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D,连结CD .'BD=BC .∠BCD=∠ABD=55o .∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-55°=15° 故选：B 3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是角平分线，且AD=8,BC=12,点E为AC中点，则DE的 值为() 第2页/共32页 6学科网组卷网 A.5 B58 C.6 D6.5 【答案】A 【解析】 【分折】根据等腿三角形“三线合“的性质可得CD-号BC=6,AD1BC,根据勾股定理求出4C的 长度，最后根据直角三角形斜边上是中线等于斜边的一半，即可求解. 【详解】解：：AB=AC,AD是角平分线， :CD=2BC=6,AD⊥BC 根据勾股定理可得：AC=√AD2+CD2=10 ,点E为AC中点， .DE=4C=5 2 故选：A, 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解 题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质， 2x-1<5 4.若关于x的不等式组 x<m+1的解集为x<3,则m的取值范围是() m>2 B.m≥2 c m<2 D.m2 【答案】B 【解析】 第3页/共32页 学科网命组卷网 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于 参数的不等式，进行求解即可. 2x-1<5 「x<3 【详解】解：解x<m+1,得： x<m+1, ,不等式组的解集为：x<3, .m+1≥3. m≥2： 故选B. 5如图，在△MBC ∠ABC=60°，∠C=45° 中， 以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、BC 于点M和N,再分别以M、N为圆心，大于2 MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连结BP交AC于 点D.若AB=2,则CD的长为() D B N V2 3 A.2 B.2 C.2 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】作DE⊥BC于点E,由作法知BP平分∠ABC,从而可得∠ABD=∠CBD=30°，然后根据等 角对等边证明AB=BD=2 再证明 △CDE CD 是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出的长. 第4页/共32页 命学科网命组卷网 【详解】如图，作DE⊥BC于点E, A M B iNE 由作法知BP平分∠ABC, ∠ABD=∠CBD=∠ABC=30° :∠C=45°， .∠ADB=∠CBD+∠C=75°， .∠A=180°-∠ABC-∠C=75°， .∠A=∠ADB, .AB=BD=2. DE-IBD-1 2 .∠C=45°， .ACDE 是等腰直角三角形， .CE=DE=1, :CD=V+=2 故选B, 【点睛】本题考查了尺规作图一作角的平分线，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三 角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键 第5页/共32页 6学科网 命组卷网 6.如图，正方形ABCD和长方形EFGH的面积相等，点E,F分别在边AB,BC上，FG过点D,连 接DH,△DGH的面积为1.若记AE长为x,CF长为y,当x,y的值发生变化时，下列代数式的值不 变的是() H G B A.x+y B.xy C.x2+y2 D.y 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，单项式与多项式的乘法，等式的性质. 连接DE,EC,设S,ar=S,BE=m,根据思意可知Sc=Sm,根据图形得到 S,e+Sc-Sc=S.m,分别求出每个三角形的面积，列等式计算即可· 【详解】解：如图，连接DE,EC, 设，r=S,BE=m 第6页/共32页 命学科网组卷网 ,S.DEC=)SE方形ABCD 2 &EOm,正方形ABCD和长方形EFGH的面积相等 S.=S. S.DEE+S.DFC-SEC=S.DRC S.DEF+S.DFC-S.NC=S.DME 1 长方形0m S.=S.o+8.ocu=+1 0.D=0+m则），SmCr-服=m S.o= 2 :+2x+m）2mw=S+1, y=2 即代数式的值不变的是少， 故选：B。 7.如图，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC=4,动点D在线段AB上，以CD为边在右侧作等腰 △CDE.使∠DCE=12°，DC=BC,点F为BC的中点，连接EF,则△CEF 周长的最小值为( D A.6-V5 B.4 c4+V5 D.2+2V5 第7页/共32页 6学科网命组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】连接BE,证明△1CD≌△BCE(SMS),则∠EBC=∠CAB=30°，即点E在射线BH上运动. 作点C关于BE的对称点M,连接CM交BN于点H,当MF⊥CB时，即M、E、F共线时，△CEF 周长有最小值MF+CF,根据直角三角形的性质得 QH=MM=BC=2.Cr=CM=2 CE 2 ，然后由勾股定理和线段和差即可求解. 【详解】解：如图，连接BE, .∠ACB=120°，∠DCE=120°，AC=BC=4,DC=EC, .∠CAB=∠CBA=30°，∠ACD=∠BCE,∠CDE=∠CED=30°」 .AC=BC=4,DC=EC. :.△ACD≌aBCE(SMS) .∠EBC=∠CAB=30°， ∴点E在射线BH上运动， 如图，作点C关于BE的对称点M,连接CM交BW于点H, 第8页/共32页 6学科网组卷网 D .∠ABN=∠CBN+∠ABC=60°， .∠AHB=180°-∠A-∠ABH=180°-30°-60°=90°. .∠BCH=60°， 点ACM三点共线， ∴当MF⊥CB时，即M、E、F共线时，△CEF周长有最小值MF+CF, :∠CBH=30°， .CH-MH-1BC-2 ∠CBH=∠M=30, :.CF-38C-2-CM 2 2 C与点M关于BE对称， :CE=ME, .∠M=∠ECM=30°， .∠ECF=30°， EF=1CE 2 第9页/共32页 6学科网命组卷网 CF2+EF2=CE2 由勾股定理得： :22+EF2=(2EF)2 :EF=25 CE-ME=43 3, 3, ·aCEF周长最小值为MF+CF=ME+EF+CF=4V5,2V +2=2+23 33 8.如图，在等边△ABC中，BD是△ABC的角平分线，BD=3,点E为BD上一点，将BE绕点B逆时 针旋转60得BF当RB,C三点恰好在同一直线时，连接CF与DF,则DF的长为() A.3 B. C.3 D.V12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直 角三角形的性质和等边三角形的性质是解题的关键， 根据等边三角形的性质得到AB=CB,∠ABC=60° BC=2CD 根据直角三角形的性质得到 ,根据勾 股定理得到CD=V5.BC=2V ,根据旋转的性质得到EF=0,BE=BF,求得CF=2BF,根 据勾股定理得到BF=2,过D作DH⊥BF于H,根据直角三角形的性质即可得到结论 【详解】解：·△ABC是等边三角形， ∴.AB=CB∠ABC=60° 第10页/供32页 6学科网组卷网 .BD△ABC 是 的角平分线， ·∠CBD=1∠ABC=30,∠BDC=90 2 .BC=2CD. BC2 -CD2 =4CD2-CD2=BD2 .BD=3 :.CD=3 BC=2V3 得Bp “将BE绕点B时针旋转60 .∠EBF=60°BE=BF ∴.∠CBF=90°∠BFC=60° .∠BCF=30° ..CF =2BF ..CF2-BF2=4BF2-BF2=BC2 BF=2, 过D作DH⊥BF于H, H山 B ∴.∠DHB=∠DHF=90° ∴.∠BDH=30° 第11页/共32页 6学科网 组卷网 :BH=BD=3 3 2 2, FH-BF-BH=1 DH=BD-BH 3 2, 2, :.DF=VDH2+FH2=√7 故选：B 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 9.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为 【答案】40°或100° 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理；分情况讨论这个40°的角是顶角还是底角. 【详解】解：若40°的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为40°： 若40°的角是底角，则顶角是180°，2×40°=100°， 综上所述，这个等腰三角形的顶角为40°或100° 故答案是：40°或100° 10如图，已知∠BAC=90,BC=V5,AB=1,AD=CD=L,则∠BAD= 。 【答案】45 第12页/供32页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】根据勾股定理求得AC,根据勾股定理的逆定理得出∠ADC=9O°，进而可得△ADC是等腰直 角三角形，进而即可求解. 【详解1解：∠BAC=90°，BC=V5,AB=1, AC=BC2-4B2=3-1=2 又：AD=CD=1 AD+CD=2=4C2 .∠ADC=90°. ..AADC 是等腰直角三角形， ∠DAC=45° ∠BAC=90°， :∠BAD=450 故答案为：45. 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键 2x+a≥0 11.若关于x的不等式组x-2a<0的整数解有且只有一个，则a的取值范围是 2a>0 【答案】 0<as1 2#2 【解析】 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵 循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.首先解每个不等式，然后根 据不等式组的整数解的个数，确定整数解，从而确定α的范围. 第13页/供32页 学科网 6组卷网 2x+a≥0① 【详解】解 x-2a<0②， a x≥- 解①得 2, 解②得x<2a, 则不等式组的解集是2 ≤x<2a .2a>-a 2, .a>0 ,不等式组有1个整数解，则整数解是0 -1<-0s0 2 0<2a≤1， 解得：0≤as 2 综上： 0<as 故答案是： 0<as1 12.如图，在△ABP中，∠B=45°，∠APB=120°，延长BP至点C,连接AC.若PC=2PB,则∠C 的度数为. 第14页/供32页 学科网 命组卷网 【答案】75°拼75度 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AP于点E,连接BE,求出∠PCE=30°得到PC=2PE,可以推出PB=PE, 则∠PBE=∠PEB=30°，证明∠EBC=∠ECB,得到CE=BE,证明∠ABE=∠BAE=15°，得到 BE=AE AE=CE,∠ACE=∠CAE=45° ,即可推出 ,则 ,从而得到 ∠ACB=∠ACE+∠BCE=75° 【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AP于点E,连接BE, B .∠APB=120°， .∠APC=180°-∠APB=60°， .∠PCE=180°-∠PEC-∠EPC=30°， .PC=2PE, .PC=2PB. .PB=PE. .∠PBE=∠PEB=180°-∠BPE=30 2 .∠ABE=∠ABC-∠EBP=I5°，∠EBC=∠ECB, 第15页/供32页 6学科网 命组卷网 .CE=BE,∠BAE=∠BEP-∠ABE=I5°， .∠ABE=∠BAE=15°， .BE=AE. .AE=CE. .∠ACE=∠CAE=45°， .∠ACB=∠ACE+∠BCE=75°， 故答案为：75° 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，含30度角的 直角三角形的性质等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 13若定义maxa,;是a与b中的较大者，例如.max化3}=3.max5,5到=5.若有 y=max{x+3,-x+8} 那么y的最小值是 11 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一次函数的性质，不等式的性质等知识点，运用分类讨论思 想是解题的关键。 分两种情况讨论：①当x+3≥-x+8时；②当x+3<-x+8时：分别求解即可. 【详解】解：分两种情况讨论： ①当x+3≥-x+8时， 解得：x≥ 29 此时少=x+3 第16页/共32页 命学科网命组卷网 x+3≥10 2, :y2: 11 ②当x+3<-x+8时， 5 x< 解得： 2 此时少s一x+8 5 .x< 2, 5 -2 ∴.-x> 11 .-x+8> 2, 11 .y> 2: 11 综上，y的最小值为2， 11 故答案为：2. 14如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE平分∠ADC,交AC与点E,EF⊥AB于 点F,且交AD于点G,若AG=2,BC=12,则AF= 第17页/共32页 6学科网命组卷网 G B D 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，连接BG,证明 △DEG≌△DEC DG=CD=6 AD=8 AB=10 ,可得 从而得到 ，再由勾股定理求出 ，然后根据 8m方ABFG方4GD,可对G-,男出每R定年，可求出A. 6 【详解】解：如图，连接BG, A G B D :AB=AC,AD⊥BC, ∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,BD=CD=1BC=6 .∠B+∠BAD=90°. .EF⊥AB, .∠AFG=90°， 第18页/供32页 6学科网6组卷网 .∠AGF+∠BAD=90°. .∠AGF=∠B=∠C, .∠AGF=∠EGD, .∠C=∠EGD :DE平分∠ADC, .∠ADE=∠CDE. 在△DEG和△DEC中， .'∠C=∠EGD,∠ADE=∠CDE,DE=DE, :△DEG≌aDEC(AAS) ..DG=CD=6. AG=2. .AD=AG+DG=8. :AB=VAD2+BD2=V82+62=10, wABFG4GBD 2 2 x10FG-1x ×2×6 即2 2 解得： FG=6 5, G-G- 第19页/供32页 6学科网 命组卷网 8 故答案为：5 三、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(1)解方程： x2-4x+2=0 4x+1>2(x-1)① (2)解不等式组： x-3 -x≥-2② 、2 3 【答案】(1)x=2+V2,5=2-V2,(2)2 <x≤1 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键， (1)利用配方法解方程即可： (2)先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到， 确定不等式组的解集即可， 【详解】(1)解：r-4x+2=0 x2-4x=-2 x2-4x+4=-2+4 (x-2)}2=2 x-2=±√2 解得：=2+V2,为=2-V2 4x+1>2(x-1)① (2)解： x-3 2-x2-2② 第20页/供32页 学科网 命组卷网 3 解不等式①得：x>2, 解不等式②得：x≤1， 3 <x≤1 .不等式组的解集为2 a+b 16.若一个不等式组A有解且解集为a<x<b(a<b),则称2为A的解集中点值，若A的解集中 点值是不等式组B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组B对于不等式组A中点包含， 2x-3>5 (1)已知关于x的不等式组A: 6-x>0,以及不等式组B:-1<x≤5： ①A的解集中点值为 ②不等式组B对于不等式组A (填“是”或“不是”)中点包含 2x+7>2m+1 x-1>-5 (2)已知关于x的不等式组C:3x-2m<m+15和不等式组D:3x-13<5,若不等式组D对于不 等式组C中点包含，求m的取值范围. x>2n x-n<6 (3)关于x的不等式组E: x<2m（n<m)和不等式组F:2x-m>3n,若不等式组F对于不等 式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之积为l20,求n的取值范围. 【答案】(1)①5；②是 (2)-5<m<5 (3)0≤n<2 【解析】 【分析】(I)①求出不等式组A的解集，再根据解集中点值的定义求出A的解集中点值即可；②根据不 等式组B的解集判断即可求解： 第21页/共32页 学科网组卷网 (2)求出不等式组C和D的解集，进而得到-4<m+1<6,据此即可求解： (3)求出不等式组E和F的解集，进而可得n<m<6,再根据所有符合要求的整数m之积为120，可 得，即得到，据此即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键. 【小问1详解】 解：①解不等式组A得，4<x<6, 4+6=5 ∴.不等式组A的解集中点值为2 故答案为：5： ②，不等式组B:-1<x≤5，不等式组A的解集中点值为5， ∴.不等式组B对于不等式组A是中点包含， 故答案为：是： 【小问2详解】 解：解不等式组C得，m-3<x<m+5, m-3+m+5 =m+1 .不等式组C的解集中点值为2 解不等式组D得，-4<x<6」 ,不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴.-4<m+1<6 解得-5<m<5: 【小问3详解】 解：解不等式组E得，2n<x<2m, 第22页/供32页 6学科网6组卷网 2n+2m=n+m ∴.不等式组E的解集中点值为2 3n+m <x<6+n 解不等式组F得，2 ,不等式组F对于不等式组E中点包含， 3n+m<n+m<6+n .2 解得n<m<6, :所有符合要求的整数m之积为120， ∴.m可取5、432或m可取5、432、1， .1≤n<2或0≤n<1, 即0≤n<2」 I7.如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC,CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连接BE交 CDFm∠BCD=a 于点 ，设1 A D F B C (1)用含0的代数式表示∠A: (2)若CE=CF,求∠EBC的度数： 第23页/供32页 6学科网 命组卷网 ()在(2)的条件下，若E为4C中点，AB=AC=2V ,求△ABC的面积 【答案】(1)∠A=2a (2)∠EBC=45° (3)6 【解析】 【分析】(1)先证明CD⊥AB,可得∠BDC=∠ADC=90°，求解∠ACB=∠ABC=90°-a,再进一步利 用三角形的内角和定理可得结论： (2)求解∠ACD=90°-2a,证明∠CEF=∠CFE=45°+a,结合∠EBC+∠BCD=∠CFE,再进 一步可得结论： (3)过点C作CM⊥BE,M为垂足，连接AM,证明△EAM2aBCF,设ME=MF=BF=x, MC=2x 可得 结合+4x2=5 ，可得七=1 ，再进一步求解即可 【小问1详解】 解：，CD为AB边上的高线， .CD⊥AB ∴.∠BDC=∠ADC=90°， ∠BCD=a, .∠ABC=90°-a, 又：AB=AC, .∠ACB=∠ABC=90°-a, :∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2(90°-a)=2a 【小问2详解】 解：.∠A=2a, 第24页/供32页 6学科网 命组卷网 .∠ACD=90°-2a. .CE=CF, :∠CEF=∠CFB=180°-（90°-2)=45°+0 2 ·∠EBC+LBCD=∠CFE :∠EBC=∠CFE-∠BCD=45°+a-a=450 【小问3详解】 解：过点C作CM⊥BE,M为垂足，连接AM, E B .CE=CF .∠CEF=∠CFE,∠AEM=∠BFC. :E为AC中点， :AE=EC=FC=5 ME=MF 又∠EBC=45°，CM⊥BE, :.∠CBM=∠BCM=45°， .MB=MC, 第25页/供32页 6学科网 组卷网 AB=AC,AM=AM, .△AMB≌△AMC, :.∠BAM=∠CAM=C, .∠EAM=∠BCF .△EAM≌△BCF, .ME=MF=BF,AM=BC. 设ME=MF=BF=x, .∠EBC=45°， .MC=2x, 在R△ME 中用勾股定理得+4xr2=5 解得x=1,(负根舍去) .MC=MB=2,BE=3. 1 2×-BE.CM=3×2=6 .△ABC的面积为 2 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股 定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 18.如图，已知 IAABC.∠B4C=心.D为BC边E-点.∠DC-∠DAC=90,H为角形外 中， -点，AE交BC于点F,BE=BF,∠ABC=∠EBC 于点 第26页/供32页 6学科网组卷网 (1)若∠BAD=70°，求∠ADB的度数. (2)求证：△ABF≌△DBE. SADE (3)当AADE为直角三角形时，求S。Ac的值. (4)若BE=1,DE=2V ,直接写出△ADE的面积. 【答案】(1)70° (2) 证明：由(1)得，BA=BD, ·∠ABC=∠EBC,BE=BF :.△ABF≌aDBE(SAS) (3)2-V2 4185 【解析】 【分析】(1)设∠DAC=a,则∠ADC=90°+，则∠ADB=180°-∠ADC=90°-x,再由互余 得到∠BAD=∠ADB,即可求解： (2)由∠BAD=∠ADB得到BA=BD,再由SAS即可证明： (3)导角证明DA=DE,则当△ADE为直角三角形，只能是∠ADE=90°，故△ADE为等腰直角三角 第27页/供32页 6学科网命组卷网 形，则△ABC也为等腰直角三角形，过点A作AH⊥BC于点H,不妨设AB=AC=2,则由勾股定理 得.BC=25,△1H,△MCH均为等要直角三角形，则B阴=CH=AH=万.血山有 BM=BD=2:那么DH=2-V2,则AD=AH+DH2=2+(2-V2=8-4N2,再由三角形面 积公式求解： (4)过点E作EGLBC于点G,导角得AF=AD,则HF=HD,设HF=HD=x,则 BA=BD=2x+1,BH=x+1,DA=DE=25,由勾殷定理得，(2x+1}-(1+x刘}=(23-x2, 利用平方根定义解得术=2，那么MAH=VAD2-Dm=39 3 2,设BG=y,则DG=4-y,由勾股定 斜l--矿-4-列：y到c=cG- 8,再由 5DFxAHDx EG 求解即可. 【小问1详解】 解：：'∠ADC-∠DAC=90° ∴设∠DAC=a,则∠ADC=90°+a, :∠ADB=180°-∠ADC=90°-a ,∠BAC=90° :∠BAD=90°-∠DAC=90°-& .∠BAD=∠ADB, 第28页/供32页 可学科网丽组卷网 .BA=BD ∴.∠BAD=∠ADB, ∠BAD=70°， ,∠ADB=70° 【小问2详解】 略。 【小问3详解】 解：由(1)得∠BAD=∠ADB=90°-， :∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=2a ∠EBD=2a BE=BF :∠BEF=∠BFE=∠AFD=90°-& :.∠FAD=180°-∠AFD-∠ADF=180°-2(90°-a)=2a .△ABF≌△DBE, ∴.∠BAF=∠BDE, ,∠AFB=∠DFE, :∠ABF=∠DEF=2a :∠EAD=∠AED=2a ∴.DA=DE ∴当△ADE为直角三角形，只能是∠ADE=90°， ∴，△ADE为等腰直角三角形，则△ABC也为等腰直角三角形， 第29页/供32页 学科网命组卷网 过点A作AH⊥BC于点H, B D 不妨设AB=AC=2 则由勾股定理得： BC=22 .AH L BC :△ABH,△ACH 均为等腰直角三角形， :BH=CH=AH 由(1)得BA=BD=2, :DH=2-2 .AD2=AH+DH2=2+2-V2=8-4V2, 1 ADXDE AD_8-42=2-2: SAABC BxAC 1 4 【小问4详解】 解：过点E作EGLBC于点G,如图： GF 由(2)得∠AFD=90°-a,而∠ADF=90°-a, ∴.∠AFD=∠ADF, 第30页/共32页 6学科网6组卷网 .AF=AD, .AH⊥DF, .HF =HD, 设HF=HD=x,则BA=BD=2x+1,BH=x+1 由(2)得DA=DE, DA=DE=2V3 ÷由勾股定理得，AB-BH2=AD-DH? .(2x+12-(1+x)2=(25-x2 2x2+x-6=0 整理得： 8 解.3 2或x=-2（舍)， .AH=VAD2-DH239 :BD=BF+FH+DH=4. BG=y,则DG=4-y. 设 BE2-BG2=DE2-DG2 ∴由勾股定理得， .1-y2=(23-(4-y)月 解得：y=8, 第31页/供32页 6学科网命组卷网 EG=BE2-BG39 8, :.S.-DFxAH+DFxEG-x3 ×3× V39,V39 2中 8 539 1 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和、 外角定理等知识点，难度较大，对角度推导能力要求很高. 第32页/共32页