精品解析：河南省周口市项 几校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次月考试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是的外接圆，，则的度数是（） A. B. C. D. 或 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 若点、、在抛物线上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、是的切线，、为切点，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 8. 某商品原价为元，连续两次降价后售价为元，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论错误的是（） A. B. C. D. 10. 已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的根是_______． 12. 抛物线的最大值为________． 13. 如图，的直径，弦于点，若，则___． 14. 若二次函数的图象经过点和，则___，___． 15. 若扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的弧长为______． 16. 已知关于的一元二次方程的一个根是，且、满足，则这个一元二次方程的另一个根是______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）（用公式法）． 18. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）将该二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新的二次函数图象，求新图象的解析式． 19. 如图，在中，弦相交于点E，且．求证：． 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求的面积． 22. 如图，是的直径，是上一点，是弧的中点，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 23. 如图，抛物线经过、、三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一点，且在x轴上方，连接、，若的面积为6，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，连接，求的最小值． 24. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点． （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 25. 已知二次函数． （1）求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； （3）若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次月考试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，检查各选项是否符合该形式，即可作答． 【详解】解： A、，最高次数为1，不是二次函数，不符合； B、，不是二次函数，不符合； C、，满足，符合二次函数定义； D、，含有分式项，不是二次函数，不符合； 故选：C 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点坐标的求解，熟练掌握抛物线顶点式的性质是解题关键．利用抛物线的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 4. 已知是的外接圆，，则的度数是（） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，内接四边形的性质．分点C在优弧和劣弧两种情况，根据圆周角定理和内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，当点C在优弧上时， ∵，， ∴． 当点C在劣弧上时，如图中的点， 则四边形是的内接四边形， ∴． 综上所述，的度数是或． 故选：D． 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3）， 所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选：A． 6. 若点、、在抛物线上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的函数值比较大小．根据二次函数的解析式与自变量的值，通过直接计算各点对应的纵坐标值，比较大小关系． 【详解】解：∵抛物线方程为 ， ∴对于点 ， ； 对于点 ， ； 对于点 ， ； ∴ , , , 故 ． 选项 B 正确． 故选：． 7. 如图，、是的切线，、为切点，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质．熟悉切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；四边形的内角和为，是解题的关键．利用切线的性质定理得到四边形其中两个内角的度数为，继而根据四边形的内角和为计算出的度数． 【详解】解：∵、是的切线， ∴，， ∴． 故选：． 8. 某商品原价为元，连续两次降价后售价为元，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每次降价后价格变为原价的，连续两次降价后价格是原价乘． 【详解】解：原价为元，连续两次降价， 第一次降价后的价格：， 第二次降价后的价格：， 连续两次降价后的售价为元， ， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论错误的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．根据抛物线的开口方向，与x轴的交点情况，对称轴进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知抛物线开口向下，则，故本选项正确； B、由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故本选项正确； C、∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴，故本选项正确； D、由图象可得当时，， ∴，故本选项错误． 故选：D． 10. 已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是求出点到的距离，并结合线段长度确定半径范围．先通过勾股定理求的长，再用面积法求点到的距离，结合直线与圆的位置关系及的长度，确定的取值范围． 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的根是_______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 12. 抛物线的最大值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的最值，将抛物线配方成顶点式，然后根据二次函数开口向下时，顶点处取得最大值求解即可． 【详解】解：∵ ∵ ∴抛物线开口向下， ∴最大值为3． 故答案为：3． 13. 如图，的直径，弦于点，若，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，弦于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：8． 14. 若二次函数的图象经过点和，则___，___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，利用待定系数法，将点的坐标代入二次函数解析式，建立方程组求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴把点和代入得， ∴， 故答案为：；3． 15. 若扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，利用弧长公式：求解即可． 【详解】扇形弧长 故答案为：． 16. 已知关于的一元二次方程的一个根是，且、满足，则这个一元二次方程的另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一元二次方程根与系数的关系，根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得到的值，再根据根与系数的关系求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 且 ， 解得， ∴， ∴ 一元二次方程为， 设方程的另一个根为， ∵方程的一个根是， ∴根据根与系数的关系得，， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）（用公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则， 解得，． 18. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）将该二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新的二次函数图象，求新图象的解析式． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质以及函数平移的性质，掌握好一般式化顶点式的步骤和顶点式的平移规律是解题关键． （1）将一般式化成顶点式，根据顶点式得出顶点坐标和对称轴； （2）根据函数平移的规律，得出新函数的解析式． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知，新函数的解析式为． 19. 如图，在中，弦相交于点E，且．求证：． 【答案】 证明：由圆周角定理得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，证明即可得到结论． 【详解】略 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元 【解析】 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)， 的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设每件衬衫应降价元，用表示出每天多销售的件数，再根据题中的等量关系列出一元二次方程求解； （2）设商场每天的盈利为元，列出二次函数，转化为顶点式，求出最值． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意，得 ， 解得：，． 要扩大销售，减少库存， 每件衬衫应降价元． 【小问2详解】 设商场每天的盈利为元，由题意，得 ， 时，最大元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数图象与坐标轴的交点． （1）把、两点坐标代入二次函数，求出b，c的值，即可解答； （2）令，则，得到，从而，，根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于、两点， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：对于函数，令，则， ∴， ∴， ∵、， ∴， ∴． 22. 如图，是的直径，是上一点，是弧的中点，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵D是弧的中点， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）连接，根据切线的性质得出，根据圆周角定理可得出，则可证明，然后根据平行线的性质证明即可； （2）过点O作于F，根据垂径定理求出，则，证明四边形是矩形，根据矩形的性质求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，则， ∵，， ∴， 过点O作于F， 则， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，即的半径为． 23. 如图，抛物线经过、、三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一点，且在x轴上方，连接、，若的面积为6，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，求抛物线上点的坐标，二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）把点、、代入抛物线，求出a，b，c的值，即可解答； （2）设点（），根据求出y的值，再代入抛物线解析式，即可得到点P的坐标； （3）根据垂线段最短可得当垂直对称轴时，取得最小值，其值是点P到对称轴的距离，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过、、三点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设点（），则， 即，解得， 将代入抛物线解析式，得， 解得， ∴点P的坐标为或． 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵点Q在对称轴上， ∴当垂直对称轴时，取得最小值，其值是点P到对称轴的距离，为． 24. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点． （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）的长为； （2）阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及扇形和三角形的面积公式．利用“垂径定理”作辅助线构造含角的直角三角形及熟练掌握扇形和三角形的面积公式是解题的关键． （1）先通过三角形内角和求出，再作垂线，利用含角的直角三角形的性质求出的长,进而得到的长； （2）连接，先求出扇形的圆心角，再通过扇形面积公式和三角形面积公式求出对应扇形和三角形的面积，最后相减即可． 【小问1详解】 解：如图，过点 作于点． ，， ． 在 中，，，， ． ． ， ． ； 【小问2详解】 如图，连接． ， ． ． ． 25. 已知二次函数． （1）求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； （3）若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 【答案】（1） 证明：令，则， ， ， ． ∴无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数与三角形面积的结合，掌握计算方法是解题的关键． （1）令，利用根的判别式进行判断即可； （2）令，利用根与系数的关系得出，，，根据，代入得到关于的方程，解方程即可求解； （3）根据两点间的距离公式求出，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，则， 由根与系数的关系得，，， ， 整理得：，解得． 【小问3详解】 当时，， 点． 由（2）得， ， ， 即． 令，则， 整理得：，解得． 当时，解得． 当时，此时方程无实数根． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $