精品解析：广东省佛山市南海区石实实验学校2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题

2025-2026学年九年级第一学期第三次教学质量检测 数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡相应位置上； 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答在试卷上的答案无效； 3．非选择题必须用黑色的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用铅笔或涂改液，否则答案无效． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 2. 一元二次方程化为一般形式后，、、的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，移项后比较系数是解题关键．将方程化为一般形式后，比较系数即可得出答案． 【详解】解： ， 移项得， ，， ． 故选：C． 3. 如图，直线，直线a，b与，，分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 利用平行线分线段成比例定理，得，再代入数值求出的长，即可作答． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 4. 绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，正确理解题意是关键．根据频率估计概率，发芽率约为，因此发芽质量等于总质量乘以发芽率计算即可． 【详解】解：发芽率在附近波动，总质量为， 发芽质量约为． 故选:C． 5. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ） A. B. C. 2cm D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：B． 6. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 根据增长率定义，分别计算每天票房，再求和得累计票房方程． 【详解】解：设增长率为x， 第一天票房为亿元， 第二天票房为亿元， 第三天票房为亿元． ∵三天累计票房为2亿元， ∴． 故选：D． 7. 以下命题正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个内角是直角的菱形是正方形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形、菱形、平行四边形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项错误； B、有一个内角是直角的菱形是正方形，故B选项正确； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊四边形的判定定理，解题的关键是了解矩形、菱形、平行四边形及正方形的判定定理，属于基础定理，难度不大． 8. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出的长． 已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质则的长即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵是矩形的对角线的中点，是边的中点， ∴是的中位线，， ， ， ， ， ， 故选：A． 9. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故选：A． 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接并延长交于点，若平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．过点作于点，设，先证得，可得，再证，可得，即，解出，再证，列比例式求解即可． 【详解】解：过点作于点，设，， 平分， ， 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， 得到正方形与正方形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ，即， 整理得， 解得（负值已舍去）， ，， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果，且，那么______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了比的应用、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键． 先将c和d分别用a和b表示，然后再将化成含有的形式，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：8． 12. 若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可以得到有关k的不等式，解得即可，但要注意二次项系数不为零． 【详解】∵方程x2−6x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=62−4k>0. 解得：k<9， 故答案为k<9. 【点睛】考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 13. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，且可以发出“”的音符，则水面高度为______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的实际应用，熟练掌握根据已知比例关系进行计算是解题的关键．根据题目中给出的黄金比关系（水面高度与瓶高的比约为），结合已知的长度，通过乘法计算得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，与位似，其位似中心为点，且，若的面积为，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．先求出，再结合面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与位似，其位似中心为点，且， ， ， 的面积为， 的面积是． 故答案为：． 15. 如图，中，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点对应点恰好落在边上，当与相似时，则的长为_____________．     【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意与相似要分情况讨论．根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：①，②，分别列方程求解即可． 【详解】解：中，，，， ， 当与相似时， 点始终在边上， 根据折叠， 设，则， 分两种情况： ①， 此时， ，即， 解得， ， ②， 此时， ，即， 解得， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， ， 则或， 所以． 17. THE MONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO．现有一套四个精灵分别放在盲盒中，分别记这四个精灵为A、B、C、D． （1）小明从中随机抽盲盒，抽中“A．LABUBU”这个精灵的概率是______； （2）若小明先拿一个盲盒，不打开，小亮再取一个盲盒．求他们两人中，有一个人抽中“A．LABUBU”这个精灵的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，利用列表法或画树状图法求概率，不重复不遗漏画出树状图得到所有可能的结果数和满足题意的结果数是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先根据题意列表或画出树状图得到所有可能的结果数和满足题意的结果数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明从中随机抽盲盒，共有种等可能的结果，其中抽中“A．LABUBU”这个精灵的结果只有种， 小明从中随机抽盲盒，抽中“A．LABUBU”这个精灵的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： ，，，，，，，，，，，， 共有种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一个人抽中“A．LABUBU”这个精灵的结果有种， 分别是，，，，，， 两人中有一个人抽中“A．LABUBU”的概率为． 18. 【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 【答案】（1）平行投影； （2）如图所示，就是的投影． （3）的长为； （4）这棵树高 【解析】 【分析】本题重点考查平行投影和相似三角形的实际应用，平行投影下，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，抽取题目关键信息，作出图形，并利用相似三角形的性质是解决本题的关键． （1）【数学思考】太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影， （2）【数学思考】过点作的平行线，并交直线于，即得到投影， （3）【数学思考】根据平行投影的特征，得到两个相似三角形和，并利用相似三角形对应边成比例，求得立柱的值， （4）【解决问题】此题需要先抽取题目信息，画图构造，作出的平行线，并利用其与相似，计算得到的值，进而求得古树的高度． 【详解】解：（1）太阳光线属于平行光线，形成平行投影． （2）作直线，过点作，交直线于； （3）太阳光线是平行的， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故立柱的长为． 答：立柱的长为． （4）如图，过点作交于点， 则，， ， 即， ， ． 答：这棵树高． 19. 如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，是中线， ∴，，， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三线合一，矩形的判定和性质，勾股定理. （1）根据等腰三角形三线合一得到，，，根据角平分线的定义得到，可知，根据垂线的定义得到，可证四边形是矩形； （2）根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，为中线． ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 20. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 【答案】（1）20，40 （2）不能 【解析】 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设收纳盒高为，，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，． 故答案为：20；40； 【小问2详解】 解：设收纳盒高为， 根据题意得， ，（舍去）， 收纳盒长、宽、高分别为、、， ， 玩具机械狗不能放入该收纳盒． 21. 综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点” （1）理解应用 如图，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点．若，，，则_____，_____． （2）拓展延伸 如图，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 【答案】（1）； （2）的长为或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，进而得到，根据相似三角形的性质即可求出，在中，根据勾股定理求出，进而在中求出； （2）分两种情况讨论：若，②若，则由，得到，设的长，则表示出，，再证明，得到，即可求得的长，在中，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ． ， 在中，， 在中，． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：分两种情况讨论： 如图，若，则， 四边形是矩形， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ，即， ， 解得或（舍去）， ， 在中，． 如图，若，则， 四边形是矩形， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ，即， ， 解得或（舍去）， ， 在中，． 综上所述，的长为或． 22. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，D是边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边交于点E，连接． （1）如图1，若点D是的中点，则E点的坐标为______； （2）如图2，若直线与x轴、y轴分别交于点M，N，连接；求证：； （3）如图3，将沿折叠，点B关于的对称点为点； ①当点落在矩形内部时，求k的取值范围； ②连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2， ∵点D、点E都在双曲线上，则，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）①；②的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，反比例函数的性质，垂线段最短，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正弦函数，熟练掌握三角函数，平行四边形的判定和性质，垂线段最短是解题的关键. （1）由是的中点，得,则，所以，即可求得点的坐标为; （2）由，得，则，所以，得，则; （3）①连接交于点交于点，由可知当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大，可求得，由勾股定理得得，则，所以；若点与点重合，则，即可求得的取值范围是；②由，可知点在经过点且与垂直的直线上运动，则当点落在上时，的值最小，此时，即可求得的最小值为. 【小问1详解】 解：如图1，四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵，D是的中点， ∴， ∵双曲线经过点， ∴， ∴， 当时，， ∴点E的坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图3，连接、交于点I，交于点F， ∵， ∴k随x的增大而增大， ∴当点在y轴时，k的值最小；若点D与点B重合，则k的值最大， ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 若点D与点B重合，则， ∴的取值范围是． ②如图4，连接、，交于点F， ∵， ∴的度数为定值， ∴点在经过点B且与垂直的直线上运动， ∴当点落在上时，即时，的值最小， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 23. 在矩形中，，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． （1）求证：； （2）当时，求出的长； （3）在点的运动过程中，是否存在是以为腰的等腰三角形，若不存在请说明理由，若存在，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴， ∴； （2）或； （3）存在以为腰的等腰三角形，的长为或或或． 【解析】 【分析】（1）利用矩形对边平行得角相等，结合翻折的角相等，推导等腰三角形得线段相等； （2）分在上方、下方两种情况，结合（）的结论，用勾股定理构造方程求解； （3）分、两种等腰情况，每种情况再分在上方、下方，共种情况，结合翻折性质与勾股定理列方程分析是否存在解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：情况：在下方时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则，， 由（1）得． 在中，由勾股定理得即， 解得； 情况：在上方时，如图， 设，则，， 由（1）得， 在中，由勾股定理得，即 解得； 综上，或； 【小问3详解】 解：①当时， 由翻折得：，． 子情况：在下方，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 子情况：在上方，如图， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时， 由翻折得：，． 子情况：在下方，如图， 设，则，． 由（）得， 在中，即， 解得， ∴， 又∵， ∴； 子情况：在上方时，如图， 设，则，． 由（）得， ， ∴； 综上，存在以为腰的等腰三角形，的长为或或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形与翻折的性质，结合分类讨论思想利用勾股定理构造方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第一学期第三次教学质量检测 数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡相应位置上； 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答在试卷上的答案无效； 3．非选择题必须用黑色的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用铅笔或涂改液，否则答案无效． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程化为一般形式后，、、的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，直线，直线a，b与，，分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 4. 绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（   ） A. B. C. D. 5. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ） A. B. C. 2cm D. 6. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 7. 以下命题正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个内角是直角的菱形是正方形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接并延长交于点，若平分，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果，且，那么______． 12. 若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，且可以发出“”的音符，则水面高度为______．（精确到） 14. 如图，与位似，其位似中心为点，且，若的面积为，则的面积为______． 15. 如图，中，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点对应点恰好落在边上，当与相似时，则的长为_____________．     三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 17. THE MONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO．现有一套四个精灵分别放在盲盒中，分别记这四个精灵为A、B、C、D． （1）小明从中随机抽盲盒，抽中“A．LABUBU”这个精灵的概率是______； （2）若小明先拿一个盲盒，不打开，小亮再取一个盲盒．求他们两人中，有一个人抽中“A．LABUBU”这个精灵的概率． 18. 【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 19. 如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 20. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 21. 综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点” （1）理解应用 如图，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点．若，，，则_____，_____． （2）拓展延伸 如图，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 22. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，D是边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边交于点E，连接． （1）如图1，若点D是的中点，则E点的坐标为______； （2）如图2，若直线与x轴、y轴分别交于点M，N，连接；求证：； （3）如图3，将沿折叠，点B关于的对称点为点； ①当点落在矩形内部时，求k的取值范围； ②连接，直接写出的最小值． 23. 在矩形中，，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． （1）求证：； （2）当时，求出的长； （3）在点的运动过程中，是否存在是以为腰的等腰三角形，若不存在请说明理由，若存在，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $