精品解析：广西壮族自治区桂林市十二县中学2025-2026学年高三上学期12月教学质量联合测试数学试题

2026届高三毕业班12月教学质量联合测试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数､在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出，再利用代数形式的复数乘法计算得解. 【详解】复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则， 所以. 故选：C 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. 0 B. 7 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用和向量的坐标运算求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算可求得. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，解得. 故选：C. 3. 2025年“九三”阅兵活动中，官兵步调一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为，将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图像，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数平移的性质结合诱导公式计算可得. 【详解】由题意得. 故选：A. 4. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（ ） A. 16 B. C. 32 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项式的系数和求出，再赋值计算即可. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32，即，解得， 令可得的展开式中各项系数和为. 故选：D. 5. 数列满足，设命题，命题：数列为递增数列，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由数列为递增数列求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为， 若数列为递增数列， 则对任意的恒成立， 对任意的恒成立，又，； 所以推得出，故充分性成立；推不出，故必要性不成立， 所以是的充分非必要条件. 故选：A 6. 袋中装有除颜色外均相同的4个红球､3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止.则第3次恰好取到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】把所有球都看作不相同的，则任取3个球排成一排有种，第3次恰好取到红球有种， 故所求概率为. 故选：B. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，是的渐近线上的一点，点在轴上且为线段的中点.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线，记为第一象限的点，双曲线的焦距为，即可得到为等腰直角三角形，从而得到的坐标，即可得到，再由离心率公式计算可得. 【详解】双曲线的渐近线为，记为第一象限的点，如下图所示： 记双曲线的焦距为，依题意可得，，又， ，， 为等腰直角三角形， ，则点的坐标为，所以， ，. 故选：C 8. 设且，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合的解的情况，可将原方程转化为，则此方程有两个解，，且，，结合二次函数性质可得不等式，解不等式组即可. 【详解】设，故，可转化为， 由得， 当时，方程有两解，当时，方程有一解， 令，故要满足题意， 只需在内有一个实数根，且另一个根为，或在内有一个实数根，且在内也有一个实数根， 即若，， 则，即，不等式组无解； 若，，则，即不等式组无解； 若，，则，即，解得， 综上所述， 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为正实数，，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为5 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可判断AB；利用常数“1”的妙用计算可判断C；利用二次函数求得的范围可判断D. 【详解】对于A选项，因为为正实数，，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B选项，， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为2，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D选项，， 因为，所以， 当时，的最小值为4，故D错误. 故选：AC. 10. 已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为､两点，直线与椭圆相交于､两点，则（ ） A. 椭圆的焦距为4 B. 为定值 C. 直线和的斜率的乘积为 D. 当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由方程可得，，即可判断A；对于B：根据对称性以及椭圆定义分析判断；对于C：根据椭圆方程结合斜率公式分析证明；对于D：分析可得，点的坐标为，结合椭圆方程运算求解. 【详解】由椭圆方程可知：，. 对于选项A：椭圆的焦距为，故A正确； 对于选项B：如图，设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于选项C：因为，设点的坐标分别为， 代入椭圆方程可得，即， 所以，故C正确； 对于选项D：由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，则， 由关于轴对称可得点的坐标为， 代入椭圆方程得到，解得， 所以平行四边形的面积为，故D错误. 故选：ABC. 11. 在中，角、、的对边分别为、、，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，，则边上的中线长为 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换可判断A选项；利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理可判断B选项；依据正弦定理、三角恒等变换可求出三个内角，结合勾股定理可判断C选项；根据为锐角三角形求出角的取值范围，根据题干条件得出，结合余弦型函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理得 ， 因为、，则， 因为，所以， 若，即，舍去，所以，故，故A正确； 对于B选项，设的中点，由，， 由得，得. 由余弦定理，，即，所以. 由得， 解得，故边上的中线长为，故B错误； 对于C选项，因为， 而，由正弦定理得，得， 又，所以，则，故， 所以，故C正确； 对于D选项，因为为锐角三角形，则，解得， 由得， 因为，则，所以，故， 从而的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值. 【详解】因为，，则， 故. 故答案为：. 13. 已知是偶函数，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用偶函数的性质，令计算可得. 【详解】因为为偶函数， 则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故答案为：4. 14. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的内切球与圆锥侧面相切的圆的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出圆锥与球的轴截面，利用相似可求得内切球与圆锥侧面相切的圆的直径，进而可求周长. 【详解】如图，与是圆锥与其内切球的轴截面，与分别相切于， 则是圆锥的内切球与圆锥相切的切点构成的圆的直径， ，， 所以圆锥的内切球与圆锥相切的圆的周长为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，证明. 【答案】（1） （2） 由（1）得， 所以， ， 因为，所以，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）得，进而利用裂项相消法可求，可证结论. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得：， 所以. 【小问2详解】 略 16. 在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题. （1）如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； （2）如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； （3）如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）的分布列为: 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）（2）根据古典概率计算公式结合组合数计算即可求解； （3）先确定的所有取值，求出各自的概率，写出分布列，利用期望的公式可得期望. 【小问1详解】 如果抽出的题不再放回， 设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”， 则； 【小问2详解】 如果抽出的题再放回， 设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”， 则； 【小问3详解】 根据题意，可能的取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 故随机变量的数学期望 . 17. 如图，三棱柱的所有棱长均为1，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接，因为三棱柱的所有棱长均为1， 所以，， 所以为等边三角形，故， 又，故为等边三角形，故， 由勾股定理得， 在中，，故，即， 又平面， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，根据条件，可证，，根据勾股定理，可证，根据线面垂直的判定定理，即可得证. （2）建系，求得各点坐标及所需向量的坐标，求出面的法向量，根据线面角的向量求法，代入数据，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，以为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 故，， 设平面的法向量为，则， 令得，所以， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知，动点到点的距离比到直线的距离小，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设，过点作的切线，与直线交于点，直线与交于点，与抛物线交于另一点； （i）设点、到直线的距离分别为、，证明：为定值； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明: 若直线与轴重合，此时直线与抛物线有且只有一个交点，不符合题意， 设直线的方程为，代入得， 则， 设、，则，， 因为，， 所以（定值）； （ii） 【解析】 【分析】（1）分析可知点的轨迹是抛物线，且其焦点为，准线为直线，即可得出抛物线的方程； （2）（i）设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、的表达式，结合韦达定理可计算得出的值； （ii）求出点的坐标，利用导数的几何意义求出直线的方程，可求出点的坐标，然后利用三角形的面积公式、基本不等式可求得面积的最小值. 【小问1详解】 因为动点到点的距离比到直线的距离小， 则到点的距离与到直线的距离相等， 根据抛物线的定义，点的轨迹是抛物线，且其焦点为，准线为直线， 设该抛物线的标准方程为， 所以，可得，所以的方程为. 【小问2详解】 （i）略； （ii）在直线的方程中，令得，此时， 对求导得，所以， 直线的方程为，令得， 又，所以，此时， 所以的面积， 当且仅当时，即当时取等号，所以面积的最小值为. 19. 双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为，双曲余弦函数定义为. （1）求双曲余弦函数在处的切线方程； （2）令，请讨论在的单调性； （3）证明：. 【答案】（1） （2）在上单调递增； （3） 先证：当时，； 令，，则， 令，，则， 令，， 则， 所以在单调递增，∴，即在单调递增， ，即，即在单调递增， ，即当时，. 由（2）知当时，即， 因为，则，即， 所以，即（）； 令， 则， 当时，则有：， ，，； 相加可得： ， 其中 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）求出函数的导函数，令，，再利用导数说明的单调性，即可得解； （3）首先构造函数，利用导数证明当时，，即可得到，令，即可得到，再累加及利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又，所以在处的切线方程为. 【小问2详解】 因为，， 则， 令，，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三毕业班12月教学质量联合测试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数､在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. 0 B. 7 C. D. 1 3. 2025年“九三”阅兵活动中，官兵步调一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为，将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图像，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（ ） A. 16 B. C. 32 D. 5. 数列满足，设命题，命题：数列为递增数列，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 袋中装有除颜色外均相同的4个红球､3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止.则第3次恰好取到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，是的渐近线上的一点，点在轴上且为线段的中点.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设且，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为正实数，，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为5 10. 已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为､两点，直线与椭圆相交于､两点，则（ ） A. 椭圆的焦距为4 B. 为定值 C. 直线和的斜率的乘积为 D. 当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 11. 在中，角、、的对边分别为、、，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，，则边上的中线长为 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则__________. 13. 已知是偶函数，则__________. 14. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的内切球与圆锥侧面相切的圆的周长为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，证明. 16. 在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题. （1）如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； （2）如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； （3）如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望. 17. 如图，三棱柱的所有棱长均为1，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知，动点到点的距离比到直线的距离小，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设，过点作的切线，与直线交于点，直线与交于点，与抛物线交于另一点； （i）设点、到直线的距离分别为、，证明：为定值； （ii）求面积的最小值. 19. 双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为，双曲余弦函数定义为. （1）求双曲余弦函数在处的切线方程； （2）令，请讨论在的单调性； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $