精品解析：福建省三明第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

三明一中2025-2026学年上学期高二12月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知空间向量，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 2. 准线为的抛物线标准方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】准线为的抛物线标准方程是，选A. 3. 已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列求出与，进而求出其等比中项. 【详解】等差数列中，由，公差，得， 所以与的等比中项为. 故选：D 4. 数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的周期性计算得出即可求解. 【详解】数列中，因为，所以， 数列周期为3， 则. 故选：A. 5. 若直线经过两点，直线的倾斜角为，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】计算直线的斜率，再根据两直线平行，则斜率相等，可得方程，求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，得. 故选：B 6. 点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求出的最小值，结合圆的性质，利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径， 则 由圆的几何性质可得， 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C 7. 数列满足，则数列的前9项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，求得，再由时，得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】由数列满足， 当时，， 两式相减，可得，所以， 当时，可得， 所以数列的通项公式为， 当时，， 所以数列的前9项和为. 故选：A. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出的关系式，从而求得离心率． 【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图， 设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线， 切点也在的角平分线上，所以， 由椭圆的定义知，则，所以， 所以，所以， .又圆与圆的面积之比为4， 所以圆与圆的半径之比为2，因为，所以， 即，整理得，故椭圆的离心率. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设等差数列的前项和，则（ ） A. 该数列的公差为 B. C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】利用、关系先求出通项公式，由此判断A、B，再利用数列函数的性质判断C、D. 【详解】设等差数列的公差为，因为， ， 当时，有， 得， 检验符合上式，所以， 对于A，，A正确， 定义B，，B错误， 对于C，根据， 可知时，有最小值， 所以C正确，D错误. 故选：AC 10. 已知各项均为正数的等比数列的公比为q，，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前n项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式，对数的运算性质、等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】A：由，， 因为各项均为正数的等比数列的公比为q，所以， 于是由，，或， 当时，， 当时，不符合题意，因此本选项正确； B：因为，所以本选项正确； C：，， 所以，因此本选项不正确； D：，显然数列是等差数列， 因此数列的前n项和为，所以本选项正确， 故选：ABD 11. 已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，在点处的切线为，过作与平行的直线，交于另一点.记与轴的交点为，则（ ） A. B. ，，成等差数列 C. D. 面积的最小值为16 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出；B选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到；C选项，求出，，结合焦半径公式求出，C正确；D选项，弦长公式和点到直线的距离公式，表示出的面积，从而得到面积最小值. 【详解】如图： 由题知，直线，的斜率存在. 对于A，如图，设直线：，联立，消去，整理得， 所以，， 所以，故A错误. 对于B，因为，所以，所以抛物线在点处的切线的斜率为， 所以直线：，即. 联立，消去，整理得， 所以，故B正确. 对于C，由：，令，得，所以. 又，，故C正确. 对于D，. 结合图象可知，，， 又由，得，， 所以点到直线的距离， 所以，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，且过，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率， 因为直线过点，所以直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为锐角时，点横坐标的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用为锐角时，向量数量积大于零求解即可. 【详解】当为锐角时，则向量数量积大于零， 由椭圆方程可得，， 设， 则①， 又②， ①②联立化简得， 解得或，所以， 故答案为： 14. 已知数列满足，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由，移项，左右两边平方，可得，整理即可得，数列是周期为2的数列，代入，得出的等量关系式，令，得到二次不等式，根据二次函数的性质即可求得最大值 【详解】解：由题意得，由，得， 所以， 所以， 两式相减得， 因为，所以当时，，，此时， 当时，，，所以，所以， 所以数列是以2为周期的周期数列，所以， 所以由，得， ， 令，则，即， 解得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，即的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查数列的周期性，二次函数的性质的应用，考查计算能力，解题的关键是由，移项，左右两边平方，可得，从而可得，得数列是以2为周期的周期数列，从而有，只要求出的最大值即可，属于中档题 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，首项为， 因为，可得，即， 解得，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知：，可得， 则 . 16. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线经过点，与圆相交于，两点，，求的一般式方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）线段的中点为，，可得线段的垂直平分线方程，与圆心所在直线联立，即可求得圆心，再结合两点间距离可求得半径，即可得到圆的方程； （2）根据直线与圆相交的弦长公式，先求得圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线距离公式，即可求解. 【小问1详解】 由题可知，的中点坐标为， 所以线段的中垂线方程为，即， 所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以由，解得，即． 又点在圆上，所以， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 由，得圆心到直线的距离． 当的斜率不存在时，点到直线的距离为1，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为，即， 则，解得，所以的方程为． 故直线的一般式方程为或． 17. 已知数列中，.设. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和，并证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意化简，由等比数列的定义得出结论； （2）由（1）得到，然后得到并整理，通过裂项相消求得其前项和.由表达式可直接得到其最大值，然后通过得到数列单调性得到其最小值，即可得证. 【小问1详解】 ∵， ∴， 又， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，∴，∴， ∵， ∴是递增数列. 综上得证. 18. 如图，在四棱台中，平面平面. （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点关于平面的对称点到平面的距离. 【答案】（1） 连接，因为，， 所以，所以四点在同一平面上， 又因为平面，平面平面， 所以，可得四边形为平行四边形， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据线面平行的性质定理得四边形为平行四边形可得答案； （2）做交与点，以点为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案； （3）求出平面的一个法向量、点到平面的距离，设，根据与共线得，再由点到平面的距离求出，最后再求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，， 所以四边形是等腰梯形，做交与点，可得， 所以，且， 以点为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， ，，，， 设向量为平面的一个法向量， 则，即，令，得， 所以， 设向量为平面的一个法向量， 则，即，令，得， 所以， ， 设平面与平面所成角的为， 所以； 【小问3详解】 由（2）建立的空间直角坐标系，得 ，， ，， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，得， 所以， 则点到平面的距离 为， 设，则， 因为与共线，，可得， ， 所以点到平面的距离 为， 解得，或（舍去）， 此时，， 所以点到平面的距离. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是利用向量共线求出点的坐标. 19. 已知椭圆的离心率为，左焦点为，左､右顶点分别为，上顶点为，且的面积为6. （1）求椭圆的标准方程； （2）设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线的斜率分别为，若. （i）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）是定点，定点坐标为；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求解； （2）（i）设直线，与椭圆方程联立，求出，结合得出，再利用坐标表示，结合韦达定理即可求出； （ii）由（i）可得，令，结合韦达定理可得，根据即可计算. 【小问1详解】 由题意得， ，，， 解得， 则椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）由题知直线的斜率存在，且不为0，设直线， 联立， 可得， 依题意，，即， 设，则， 设直线的斜率为，因为，且， 则，即， 又因为，故，即有， 即 因 ， ， 代入，可得， 化简得，解得或， 因同号，所以，解得，所以， 故直线的方程，故必过定点. （ii）由（i）已得直线过定点， 则，于是， 令，则， 由（i）可得， 由，解得， 再代入，可得， 化简得， 因为，所以， 即：， 解得，即， 则，故， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2025-2026学年上学期高二12月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知空间向量，则（　　） A. B. C. D. 2. 准线为的抛物线标准方程是 A. B. C. D. 3. 已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（ ） A. B. C. D. 4. 数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 5. 若直线经过两点，直线的倾斜角为，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 6. 点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 数列满足，则数列的前9项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设等差数列的前项和，则（ ） A. 该数列的公差为 B. C. 有最小值 D. 有最小值 10. 已知各项均为正数的等比数列的公比为q，，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前n项和为 11. 已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，在点处的切线为，过作与平行的直线，交于另一点.记与轴的交点为，则（ ） A. B. ，，成等差数列 C. D. 面积的最小值为16 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，且过，则直线的方程为______． 13. 椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为锐角时，点横坐标的取值范围为_______. 14. 已知数列满足，则的最大值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线经过点，与圆相交于，两点，，求的一般式方程． 17. 已知数列中，.设. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和，并证明：. 18. 如图，在四棱台中，平面平面. （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点关于平面的对称点到平面的距离. 19. 已知椭圆的离心率为，左焦点为，左､右顶点分别为，上顶点为，且的面积为6. （1）求椭圆的标准方程； （2）设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线的斜率分别为，若. （i）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $