专题02 常用逻辑用语（9大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

专题02 常用逻辑用语 【人教A版】 【知识清单1 命题】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【知识清单2 充分、必要与充要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 4．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 5．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【知识清单3 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【知识清单4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【知识清单5 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例1】（25-26高一上·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1.1】（25-26高一上·重庆江北·月考）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．既非充分又非必要条件 D．充要条件 【变式1.2】（25-26高一上·河南·期中）不等式的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（25-26高一上·广东江门·月考）“，”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2 充要条件的证明】 【例2】（24-25高一上·重庆南岸·月考）下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2.1】（24-25高一上·河南郑州·期中）在下列哪些命题中p是q的充要条件（    ） A．四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 B．两个三角形相似，两个三角形三边成比例 C．为空集，与B之一为空集 D．三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形 【变式2.2】（24-25高一上·安徽淮南·月考）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【变式2.3】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【题型3 充分条件与必要条件中的求参问题】 【例3】（25-26高一上·贵州·期中）已知，，且的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高一上·浙江·月考）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高一上·广东深圳·月考）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高一上·四川成都·月考）已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 充分、必要条件与集合交汇】 【例4】（25-26高一上·云南大理·月考）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【变式4-1】（25-26高一上·江西南昌·月考）已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·福建厦门·月考）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若且“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【变式4-3】（25-26高一上·山西晋中·期中）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【题型5 全称、存在量词命题的真假判断】 【例5】（25-26高一上·吉林长春·期中）下列命题中是真命题的为（   ） A．，使 B．，使 C．， D．， 【变式5-1】（25-26高一上·广西·期中）下列是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B． C．自然数都大于零 D．分数是有理数 【变式5-2】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知命题，，命题，，则（   ） A．p是假命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是假命题 【变式5-3】（25-26高三上·重庆·月考）给出下列命题，其中为真命题的是（    ） A．对任意 ，都有 B．对任意 ，都有 C．存在，使得 D．存在，使 【题型6 全称、存在量词命题的否定】 【例6】（25-26高一上·河南·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·江苏连云港·期中）命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·广东惠州·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·福建厦门·期中）命题“，都有”的否定是（   ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【题型7 全称、存在量词命题中的求参问题】 【例7】（25-26高一上·天津和平·期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·内蒙古赤峰·月考）已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【变式7-3】（25-26高一上·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【题型8 全称、存在量词命题与集合交汇】 【例8】（24-25高一上·广东广州·月考）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·湖北·月考）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高一上·四川·期中）已知集合，集合，集合． (1)计算； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围． 【变式8.3】（25-26高一上·上海·月考）已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【题型9 常用逻辑用语的综合问题】 【例9】（25-26高一上·北京大兴·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·上海·月考）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·山东·期中）已知，，或 (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式9-3】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西汉中·月考）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（25-26高一上·江西抚州·月考）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏南京·期中）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖南长沙·期中）2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾是中国不可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳．那么“小明是台湾人”是“小明是中国人”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知命题，命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 9．（25-26高一上·福建龙岩·月考）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数k的值可以是（ ） A． B． C． D．1 10．（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面命题正确的是（    ） A．，则是的充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设，则“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 11．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）以下四个命题中，是真命题的是（ ） A． B．若，则 C．“”是“”的必要不充分条件 D．若命题：，，则的否定为：， 三、填空题 12．（25-26高一上·天津和平·月考）已知命题：，，则是 . 13．（25-26高一上·上海浦东新·期中）设、是两个非空集合，则“”是“”的 条件（“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”）. 14．（25-26高一上·江西·月考）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2025高一上·江苏南通·专题练习）判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 16．（25-26高一上·河南·月考）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知命题，命题． (1)已知，命题都是真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 18．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 【人教A版】 【知识清单1 命题】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【知识清单2 充分、必要与充要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 4．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 5．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【知识清单3 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【知识清单4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【知识清单5 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例1】（25-26高一上·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】解一元二次方程，根据充分性、必要性的定义判断. 【解答过程】得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1.1】（25-26高一上·重庆江北·月考）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．既非充分又非必要条件 D．充要条件 【答案】D 【解题思路】由不等式的性质结合充要条件证明可得. 【解答过程】充分性：由不等式的性质可知时可得，故充分性成立； 必要性：，则，即，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：D. 【变式1.2】（25-26高一上·河南·期中）不等式的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 【解答过程】对于B：由得，解得，显然为充要条件，错误； 对于A：因为能推出，不能推出， 所以是不等式的充分不必要条件，正确； 对于C：因为不能推出，能推出， 所以是不等式的必要不充分条件，错误； 对于D：因为不能推出，不能推出， 所以是不等式的即不充分也不必要条件，错误. 故选：A. 【变式1.3】（25-26高一上·广东江门·月考）“，”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据不等式的性质和充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【解答过程】若，，则根据不等式的性质有． 当时，，不一定同时成立，如，，，． 故“，”是“”的充分不必要条件． 故选：B. 【题型2 充要条件的证明】 【例2】（24-25高一上·重庆南岸·月考）下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据充分、必要条件的判定逐项分析判断. 【解答过程】对于选项A：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故A错误； 对于选项B：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故B错误； 对于选项C：因为不能推出，例如，即必要性不成立，故C错误； 对于选项D：因为等价于，所以是的充要条件，故D正确； 故选：D. 【变式2.1】（24-25高一上·河南郑州·期中）在下列哪些命题中p是q的充要条件（    ） A．四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 B．两个三角形相似，两个三角形三边成比例 C．为空集，与B之一为空集 D．三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形 【答案】B 【解题思路】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质定理，结合集合交集的性质、等腰三角形的性质、充要条件的定义逐一判断即可. 【解答过程】A：菱形的对角线互相平分，但是当菱形的邻角不相等时，此时四边形不是正方形，所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意； B：当两个三角形相似，这两个三角形三边成比例， 当两个三角形三边成比例，这两个三角形相似，所以此命题：p是q的充要条件，因此本选项符合题意； C：当时，显然为空集，但是与B都不为空集， 所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意； D：因为等边三角形是特殊的等腰三角形， 所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意， 故选：B. 【变式2.2】（24-25高一上·安徽淮南·月考）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【解题思路】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【变式2.3】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【解题思路】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【解答过程】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【题型3 充分条件与必要条件中的求参问题】 【例3】（25-26高一上·贵州·期中）已知，，且的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知集合A是集合B的真子集，结合包含关系分析求解. 【解答过程】若的一个充分不必要条件是，可知集合A是集合B的真子集， 且，，可得， 所以m的取值范围是. 故选：A. 【变式3.1】（25-26高一上·浙江·月考）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义进行求解即可. 【解答过程】设集合，， 由题意因为是的充分不必要条件， 则是的真子集，∴∴. 故选：D. 【变式3.2】（25-26高一上·广东深圳·月考）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据题意，转化为集合是的真子集，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由命题， 设， 因为，可得集合不是空集， 又因为是的必要不充分条件，所以集合是的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式3.3】（25-26高一上·四川成都·月考）已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据必要不充分条件定义可确定集合的包含关系，分别讨论和的情况即可求得结果. 【解答过程】是成立的一个必要不充分条件，是的真子集； 当，即时，，满足题意； 当时，需满足，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 【题型4 充分、必要条件与集合交汇】 【例4】（25-26高一上·云南大理·月考）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据集合的包含关系进行判断. 【解答过程】因为，，所以⫋. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·江西南昌·月考）已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据充分必要条件的定义，结合集合的包含关系可得． 【解答过程】是的必要不充分条件，则是的真子集， 当，即时，符合题意； 当，即时，，则且两个等号不能同时取得，解得，所以， 综上，， 故选：C． 【变式4-2】（25-26高一上·福建厦门·月考）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若且“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，求得，由集合并集的运算，得到，再由补集的运算，即可求解； （2）由是的充分条件，得到，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，可得， 因为集合，可得， 所以或. （2）解：由是的充分条件，可得， 因为，则满足 ，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式4-3】（25-26高一上·山西晋中·期中）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； 或 (2) 【解题思路】（1）根据集合的交集，补集运算即可求解； （2）将充分不必要条件转化为真子集关系，即可列不等式组求解. 【解答过程】（1）当时，， 或， 所以， 或， （2）由“”是“”的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 因为，即不是空集， 所以，且等号不同时成立， 解得， 所以实数的取值范围. 【题型5 全称、存在量词命题的真假判断】 【例5】（25-26高一上·吉林长春·期中）下列命题中是真命题的为（   ） A．，使 B．，使 C．， D．， 【答案】D 【解题思路】判断每个选项的命题的真假即可. 【解答过程】对于A：最小的自然数为0，不可能使，故A错误； 对于B：，解得，故B错误； 对于C：判别式，方程无实数解，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·广西·期中）下列是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B． C．自然数都大于零 D．分数是有理数 【答案】D 【解题思路】根据全称量词命题的特征，以及真命题判断方法结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，该命题是全称量词命题，当时，，即该命题是假命题，故A不合题意； 对于B，，其中“”是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故B不符合题意； 对于C，该命题是全称量词命题，因0是自然数，但并不大于，即该命题是假命题，故C不符合题意； 对于D，“分数是有理数”可理解为“任意一个分数都是有理数”，是全称量词命题； 因有理数是整数和分数的统称，所以分数一定是有理数，该命题为真命题，即D符合题意. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知命题，，命题，，则（   ） A．p是假命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是假命题 【答案】B 【解题思路】利用全称量词命题与特称量词命题的含义，结合反例判定命题的真假即可. 【解答过程】对于命题，存在，，所以命题p是真命题； 对于命题q，当时，，所以命题q是假命题. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高三上·重庆·月考）给出下列命题，其中为真命题的是（    ） A．对任意 ，都有 B．对任意 ，都有 C．存在，使得 D．存在，使 【答案】D 【解题思路】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐项判断即可. 【解答过程】对于A，，，则，命题“对任意，都有”是假命题，A不是； 对于B，，当时，，命题“对任意，都有”是假命题，B不是； 对于C，使成立的实数只有，而，命题“存在，使得”是假命题，C不是； 对于D，，且，命题“存在，使”是真命题，D是. 故选：D. 【题型6 全称、存在量词命题的否定】 【例6】（25-26高一上·河南·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解. 【解答过程】“”的否定是， 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·江苏连云港·期中）命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解. 【解答过程】命题“”， 则其否定为：. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高一上·广东惠州·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用存在量词的否定的意义可求解. 【解答过程】命题“”的否定是：. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高一上·福建厦门·期中）命题“，都有”的否定是（   ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】A 【解题思路】根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得结果. 【解答过程】因为全称量词命题的否定是特称量词命题， 所以“，都有”的否定“，使得”. 故选：A. 【题型7 全称、存在量词命题中的求参问题】 【例7】（25-26高一上·天津和平·期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】依题意可知方程无实数根，讨论与0的关系即可列出不等式求解. 【解答过程】命题“，”为假命题， 则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高一上·内蒙古赤峰·月考）已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再由它们必有一真一假，即可根据真命题，结合判别式大于或等于零求解参数范围. 【解答过程】由是假命题， 则是真命题， 即， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【解答过程】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 【变式7-3】（25-26高一上·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）命题为真命题时，分和两种情况讨论，得到的取值范围，最后取并集即可. （2）先求出命题是真命题时，的取值范围，再取其补集得到为假命题时的取值范围，同时由（1）求得为假命题时的取值范围，最后取交集即可. 【解答过程】（1）由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需，解得， 综上，，即实数的取值范围为. （2）若是真命题，则，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 【题型8 全称、存在量词命题与集合交汇】 【例8】（24-25高一上·广东广州·月考）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题中两个命题的真假求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系可得结论. 【解答过程】当时，；当时，. 若“，”为真命题，则； 若“，”为假命题，即命题“，”为真命题，所以，， 所以，，由题意可知，且， 故符合条件集合可为. 故选：B. 【变式8.1】（24-25高一上·湖北·月考）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【解答过程】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 【变式8.2】（25-26高一上·四川·期中）已知集合，集合，集合． (1)计算； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据补集及交集的定义直接计算可得； （2）根据题意转化为，再根据包含关系可求得范围. 【解答过程】（1）由3可得，即，或. 所以. （2）因为命题“，都有”是真命题，所以； 当时，，即，符合题意； 当时，，无解； 综上可得，实数m的取值范围是. 【变式8.3】（25-26高一上·上海·月考）已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）若命题为真命题，则进行求解； （2）求命题为真命题时，实数的取值范围为，再由命题的否定进行求解． 【解答过程】（1） 若命题：“”为真命题，则， 得， 故实数的取值范围为：； （2）， 由，得， ，解得且， 得， 因为， 当时，，不满足， 当时，，不满足， 当时，，要使，则， 则若命题：“”为真命题时，实数的取值范围为：， 当命题与命题都是真命题时，则，得， 则命题和命题至少有一个为假命题时，得或， 故实数的取值范围为：. 【题型9 常用逻辑用语的综合问题】 【例9】（25-26高一上·北京大兴·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用参变分离求最值，再结合必要、充分的定义判断即可. 【解答过程】由题意可得，，对恒成立， 因，则， 故是原命题成立的一个必要不充分条件. 故选：B. 【变式9-1】（25-26高一上·上海·月考）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，转化为，利用二次函数的性质，求得，结合充分不必要条件和选项，即可得到答案. 【解答过程】由存在，使得，即， 当，即时，的最小值为，所以， 所以命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件为：集合的真子集， 结合选项可得，选项C符合题意. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高一上·山东·期中）已知，，或 (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据题意在上无解，结合对应二次函数的性质的列不等式求参数范围； （2）由充分不必要关系得是的真子集，列不等式求参数范围. 【解答过程】（1）由命题是真命题，则为假命题， 所以在上无解， 当时，则无解，满足题意， 当时，只需， 综上，； （2）由是的必要不充分条件，且为真命题时或， 所以是的真子集， 所以，得. 【变式9-3】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将先求出集合，将题设问题转化为集合A是集合B的真子集，进而根据包含关系求解即可； （2）将题设问题转化为，先求出时的取值范围，进而得到时的取值范围. 【解答过程】（1）由，. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以，解得， 当时，，符合题意， 故的取值范围是. （2）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，解得或. 所以当时，的取值范围是. 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西汉中·月考）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解题思路】解不等式，再根据结果判断命题条件. 【解答过程】由题可知，，解得或， 所以“”是“”的必要非充分条件， 故选：B. 2．（25-26高一上·江西抚州·月考）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可直接得到答案. 【解答过程】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“”的否定是“”. 故选：B. 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据充分必要条件的定义判断. 【解答过程】若，则一定有，因此“”是“”的充分条件， 若，又有，则有，因此若集合，则“”是“”的必要条件， 所以若集合，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据全称量词命题和存在量词命题进行区分，再判断命题的真假即可． 【解答过程】由题知，AC是全称量词命题，不符合题意；BD为存在量词命题； 对于B，恒成立，故不存在，使得，故B为假命题，故B不符合题意； 对于D，时，，则是真命题，符合题意． 故选：D． 5．（25-26高一上·江苏南京·期中）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由是的真子集，即可求解. 【解答过程】由题意可知是的真子集， 所以， 即实数的取值范围为， 故选：A. 6．（25-26高一上·湖南长沙·期中）2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾是中国不可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳．那么“小明是台湾人”是“小明是中国人”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据充分不必要条件的概念进行判断. 【解答过程】因为“小明是台湾人”可以推出“小明是中国人”，“小明是中国人”不能推出“小明是台湾人”， 所以“小明是台湾人”是“小明是中国人”的充分不必要条件． 故选：A. 7．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知命题，命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【解题思路】首先通过取特值判断命题与命题的真假，进而判断选项的正误即可. 【解答过程】对于命题：当时，，因此命题为真命题，从而为假命题； 对于命题：当，时，，，可得：，故命题为假命题，从而为真命题； 综上可得：命题与命题均为真命题. 故选：C. 8．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】假设命题为真命题，可得实数m的取值范围是，再取补集即可得结果. 【解答过程】假设命题“存在，使得等式成立”为真命题， 可得，且，则实数m的取值范围是， 若命题“存在，使得等式成立”是假命题， 则实数m的取值范围即为集合在上的补集， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·福建龙岩·月考）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数k的值可以是（ ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【解题思路】根据题意可得是或的真子集，进而求解即可. 【解答过程】由题意得，是或的真子集， 则或，解得或， 所以A，D选项符合，B，C选项不符合. 故选：AD. 10．（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面命题正确的是（    ） A．，则是的充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设，则“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解题思路】根据条件间的推出关系逐一判断即可. 【解答过程】A：因，故A正确； B：由，得，所以成立； 由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确： C：由且，得，则，故成立； 但时，如，此时“且”不成立，故C错误： D：当，时，不成立；但，一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD. 11．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）以下四个命题中，是真命题的是（ ） A． B．若，则 C．“”是“”的必要不充分条件 D．若命题：，，则的否定为：， 【答案】ACD 【解题思路】对A，配方即可判断；对B，举反例即可；对C，根据必要不充分条件的判断即可得到答案；对D，根据特称命题的否定即可得到答案. 【解答过程】对A，因为，故A正确； 对B，举例，则，则，故B错误； 对C，因为“”无法推出“”，而“”可以推出“”，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对D，根据特称命题的否定为全称命题知的否定为：，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一上·天津和平·月考）已知命题：，，则是 . 【答案】， 【解题思路】利用“”的否定为“”， “”的否定为“”求解. 【解答过程】 “”的否定为“”， “”的否定为“”， ：，的否定为：，. 故答案为：，. 13．（25-26高一上·上海浦东新·期中）设、是两个非空集合，则“”是“”的 条件（“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”）. 【答案】必要非充分 【解题思路】由可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】由可得， 故由推不出，即充分性不成立； 由推得，即必要性成立； 所以“”是“”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分. 14．（25-26高一上·江西·月考）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】由题意可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高一上·江苏南通·专题练习）判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】根据含有存在量词的命题的定义进行真假判断，然后利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【解答过程】（1）因为，所以该命题为真命题，命题的否定为：，. （2）因为方程无解，所以该命题为真命题，命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解. （3）省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，由绝对值的定义可得，正数的绝对值都等于其本身，所以该命题为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身． 16．（25-26高一上·河南·月考）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先由集合的运算，得到两个集合的关系，再分和两种情况讨论，最后取两种情况的并集； （2）先由是的充分不必要条件，得到是的真子集，再根据集合的关系列不等式求解． 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，此时满足，则，解得； 当且，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，其中不同时取等号，解得， 所以实数的取值范围是． 17．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知命题，命题． (1)已知，命题都是真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）代入，根据命题为真命题分别表示出对应的取值范围，再由集合交集运算可知结果； （2）根据和进行分类讨论，然后可求结果. 【解答过程】（1）当时，， 当为真命题时，的取值范围是，当为真命题时，的取值范围是， 当都是真命题时，因为，所以的取值范围是. （2）若为真命题，则， 根据区间的定义可知, 为真命题时，， 要使是的充分不必要条件，则以，解得(经检验，取等号时满足条件)， 综上所述，的取值范围是. 18．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分和两种情况进行讨论即可； （2）分真假和假真两种情况进行讨论求解，再取并集即可． 【解答过程】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 19．（25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用集合包含关系得到两个不等式：左端点满足，右端点满足，再结合集合非空条件，联立解得的范围. （2）由得两个不等式：且，结合解得，然后检查在此范围内是否成立. 【解答过程】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且， 解得且，取交集得， 故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $