复习篇 第1讲 集合与常用逻辑用语 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第1讲 集合与常用逻辑用语 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 一 集合 集合间的基本关系 （1）子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  记作：(或)，读作：包含于，或包含.  （2）真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  2 集合的运算 （1） 并集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 （2）交集 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 （3）补集 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 二 常用逻辑用语 1充分条件与必要条件 1 概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. ③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 2 全称量词与存在量词 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的. 【题型1】 集合的基本运算 【典题1】 已知集合则实数的取值集合为(　　) 解析 集合． ，． 若，即时，满足条件． 若，即时，集合， 要使．则 解得或． 故或或． 故选：． 【典题2】 已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 解析 (1) ， 当时，， 故； (2) ， 由，所以，， 当时显然不符合题意． 当时，，由，，得； 当时，，由，，得； 综上所述：或． 【巩固练习】 1. (★★)设全集为实数集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（　　） A． B． C． D． 答案 D 解析 根据图像可知阴影部分为， 由可得； 由可得； 所以，故选. 2. (★★)已知集合且，则(　　) 答案 C 解析 ，， 或， 或， ①时，，，集合错误，不满足集合元素的互异性， ； ②时，，，满足，即成立； ③时，，，，不成立， 综上得，，． 故选：． 3. (★★)已知集合中有个元素，中有个元素，全集有个元素，．设集合有个元素，则x的取值范围是(　　) A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 答案 A 解析 因为，当集合中仅有一个元素时， 集合中有个元素， 当中有个元素时， 集合中有个元素， 所以得到且为正整数． 故选：． 4. (★★)已知，若，则实数的取值范围是(　　) 答案 D 解析 ， ，．故选：． 5. (★★★)设都是的子集，如果叫做集合的长度，则集合的长度的最小值是(　　) A． B． C． D． 答案 D 解析 由，且，求出]， 由，且，求出， 分别把的两端值代入求出：， 或，， 所以，或． 所以或 综上所述，集合的长度的最小值是． 故选：． 6. (★★★)设集合，集合中所有元素之和为，则实数的取值集合为：　 　． 答案 解析 求解一元二次方程可得，，且， 当，或时，结合集合的互异性，可知中所有元素之和为， 否则，解得：， 综上可得，实数的取值范围是． 7. (★★★)设其中，如果，则实数的取值范围　 　． 答案 解析 由中方程变形得：， 解得：或，即， 由，其中，且， 分两种情况考虑： 若时，，即，满足题意； 若时，，即， 此时把代入得：，即或(舍去)； 把代入得：或， 综上，的范围为． 8. (★★★)设集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的值． 答案 （1）；（2）（3） 解析（1）由题意知：，，． ①当时，得，解得． ②当时，得，解得． 综上，． （2）①当时，得，解得； ②当时，得，解得． 综上，． 由，则． （3）∵， ∴， ∴. 【题型2】 集合的综合应用 【典题1】 设集合，，若，求的取值范围． 解析 ， 令， 由得，与轴无交点或两交点在之间． 或； 即，； 故当时，． 【巩固练习】 1. (★★★)已知集合，或，是否存在实数， 使？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案