第17章 因式分解 自主提升训练 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十七章 因式分解 自主提升训练 一、选择题 1．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　） A．a（m+n）＝am+an B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x 3．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7 4．有两个多项式M＝2x2+3x+1，N＝4x2﹣4x﹣3，则下列哪一个为M与N的公因式（　　） A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．2x﹣1 5．若2a﹣3b＝﹣3，则代数式4a2﹣6ab+9b2的值为（　　） A．﹣1 B．9 C．7 D．5 6．已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 7．若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 8．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（　　） A．2 B．5 C．20 D．9 9．下列因式分解正确的是（　　） A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2 10．小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：、、、、、依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（ ）． A．勤学 B．爱科学 C．我爱理科 D．我爱科学 二、填空题 11．多项式ax2﹣a与多项式x2﹣2x+1的公因式是　 　． 12．因式分解：m2﹣3m＝　 　． 13．下列多项式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是 ． 14．若n（）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为　 　． 15．已知x，y满足则x2－y2＝　 　． 三、简答题 16．用简便方法进行计算． （1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5． （2）． （3）（）×…×（）． （4）1952+195×10+52． 17．已知（10x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（3x﹣23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值． 18．分解因式： (1)m2－6m＋9 (2) (x＋y)2＋2(x＋y)＋1. (3)3x－12x3； (4)9a2(x－y)＋4b2(y－x)； 19．观察下列等式： 2+22=23﹣2； 2+22+23=24﹣2； 2+22+23+24=25﹣2； 2+22+23+24+25=26﹣2； … 已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m的代数式表示)． 20．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为． 利用上述阅读材料求解： （1）若和是多项式的两个因式，试求，的值； （2）在（1）的条件下，把多项式因式分解． 21．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1. 解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则 原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2. 再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2. 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；(2分) (2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4； (3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方． 22．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解 自主提升训练答案解析 一、选择题 1．解：（A）：﹣4a+a2=﹣a（4－a），错误； （C）为完全平方公式，不是因式分解，错误； （D）a2﹣2a+1＝（a－1）2，错误； 故选：B． 2．解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解； （B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解； （D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解； 故选：C． 3．解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3， ∴k＝﹣4，b＝3， 则k+b＝﹣4+3＝﹣1． 故选：A． 4．解：2x2+3x+1＝（2x+1）（x+1）， 4x2﹣4x﹣3＝（2x+1）（2x﹣3）， 所以公因式是2x+1． 故选：C． 5．因式分解多项式4a2﹣6ab+9b2=（2a－3b）2，又∵2a﹣3b＝﹣3，∴原式=（﹣3）2=9. 故选：B． 6．解：a2﹣4a＝a（a﹣4）， 故选：A． 7．解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 8．解：， ∵ ∴ 故选：A． 9．解：A、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误； B、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误； C、a2+2ab﹣4b2，无法分解因式，故此选项错误； D、﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2，正确． 故选：D． 10．解：因式分解=（a2－b2）（c2－d2）=（a+b）（a－b）（c－d）（c+d），根据密码信息：、、、、、，故（a+b）（a－b）（c－d）（c+d）可能对应为：我爱理科。 故选：C. 二、填空题 11．答案：x﹣1 解：多项式ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1），多项式x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，则两多项式的公因式为x﹣1．故答案为：x﹣1． 12．答案：m（m-3） 解：m2﹣3m＝m（m-3） 13．答案：①④ 解: ①16x5-x =x（16x4-1） =x（4x2+1）（4x2-1） =x（4x2+1）（2x-1）（2x+1）； ②（x-1）2-4（x-1）+4 =（x-1-2）2 =（x-3）2； ③（x+1）4-4x（x+1）2+4x2 =[（x+1）2-2x]2 =（x2+1）2； ④-4x2-1+4x=-（4x2+1-4x）=-（2x-1）2． ∴结果含有相同因式的是①④． 14．答案：-2 解：∵n（）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，∴x2+mx+2n=0，即n(n+m+2)=0， ∵，∴n+m+2=0，即m+n=-2． 15．答案：15. 解：由已知可得3x＋3y＝15，则x＋y＝5，x－y＝3，故x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝15. 三、简答题 16．（1）214；（2）2；（3）；（4）40000 解：（1）原式＝21.4×2.3+21.4×2.7+21.4×5， ＝21.4×（2.3+2.7+5）， ＝21.4×10， ＝214； （2）原式＝， ＝， ＝2； （3）原式＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×...×（1+）×（1﹣）， ＝， ＝， ＝； （4）原式＝1952+2×195×5+52， ＝（195+5）2， ＝2002， ＝40000． 17．解：试题解析：原式=（13x﹣17）（10x﹣31﹣3x+23）=（13x﹣17）（7x﹣8）=（ax+b）（7x+c）， 所以a=13，b=﹣17，c=﹣8， 所以a+b+c=13﹣17﹣8=﹣12． 18．解：(1) m2－6m＋9 =(m－3)2. (2)(x＋y)2＋2(x＋y)＋1＝(x＋y＋1)2. (3)3x－12x3＝3x(1－4x2)＝3x(1＋2x)(1－2x)； (4)9a2(x－y)＋4b2(y－x)＝9a2(x－y)－4b2(x－y)＝(x－y)(9a2－4b2) ＝(x－y)(3a＋2b)·(3a－2b)； 19．解：∵220=m， ∴220+221+222+223+224+…+238+239+240 =220(1+2+22+…+219+220) =220(1+221﹣2) =m(2m﹣1)． 故答案为：m(2m﹣1)． 20．答案：（1）和； （2） 解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， 解得， 、的值分别为和． （2）∵，， 可化为：， ． 21．(1)(x－y＋1)2； (2)解：令A＝a＋b，则原式变为A(A－4)＋4＝A2－4A＋4＝(A－2)2，故(a＋b)(a＋b－4)＋4＝(a＋b－2)2. (3)证明：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n)[(n＋1)(n＋2)]＋1＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2.∵n为正整数，∴n2＋3n＋1也为正整数，∴式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方． 22．（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∴根据题意得，， ∴原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $