专题03 一次方程（组）（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材湘教版

该初中数学一次方程（组）期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分知识点构建概念、解法、应用的知识框架，每个知识点附示例与易错点分析，清晰呈现知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与专题方法指导，含参方程综合题培养推理意识，三元方程组实际应用强化模型意识，去分母陷阱题提升运算能力。基础通关、重难突破、综合拓展三层练习适配不同学生，助力教师实施精准分层教学。

专题03 一次方程（组）（期末复习讲义） 说明：本专题（或章或单元）在期末考试里“考什么、怎么考、该重点复习啥”，用清晰的表格（如下）或思维导图理清逻辑，避免盲目复习。核心考点：提炼本专题期末常考点；复习目标：用“行为动词+标准”表述；考情总结：提炼本专题考情规律——易错点或命题趋势等。 核心考点 复习目标 考情规律 方程基本概念 能辨析方程的解并验证其正确性 基础题高频考点，常以选择题形式考查定义 一元一次方程解法 熟练运用移项、去分母等步骤规范求解 计算题必考内容，易错点在去分母时漏乘常数项（占期末失分35%） 二元一次方程组解法 能熟练运用代入消元法/加减消元法规范求解 计算题高频考点，易错点在消元时符号处理（占期末失分28%） 三元一次方程组解法 掌握"消元转化"思路，能解简单系数方程组 选考内容，常作为压轴题第一问出现（2024岳阳期末卷24题） 方程组实际应用 能建立销售/行程类问题的方程组模型 压轴题常考方向，2024年多地期末卷出现"阶梯计价"新题型（命题趋势） 含参数方程 会分析参数取值范围对解的影响 区分度题型，解题需分类讨论 说明：相当于“知识工具箱”，梳理本章节基础知识，提炼本单元核心概念、公式、法则等，注意添加示例或易错点以理解透彻该知识点。 知识点01 建立一元一次方程模型 1.含有未知数的等式叫做方程. 2.若方程只含有一个未知数且未知数的次数是 1，系数不为 0，则此方程为一元一次方程，可表示为 ax+b=2.0(a≠0) 3.使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解, ·示例：3x-5=7是一元一次方程（符合ax+b=0形式） ·易错点：误认为x²+2x=3是一元一次方程（最高次数为2） 知识点02 等式的性质 1. 等式的性质1:如果a=b,那么a±c=b±c. 2. 等式的性质2：如果a=b，那么 3. 等式的其他性质:若a=b,则b=a;若a=b,b=c,则a=c. 示例：解2x=6时两边同÷2得x=3 易错点：忽略c≠0条件导致错误（如x=1两边同×0得0=0） 知识点03 一元一次方程的解法 1. 把方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，解方程时常将含有未知数的项移到等号的一边，常数项移到等号的另一边，移项一定要变号. 2. 解一元一次方程的基本步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1→检验. 示例：3x+5=2x → 3x-2x=-5 → x=-5 易错点：常数项移项未变号（如5x=3x+6误作5x-3x=6） 知识点04 一元一次方程模型的应用 列方程解应用题的步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验→作答 示例：甲乙相向而行，速度分别为5km/h、3km/h，2小时后相遇 → 5×2+3×2=16 易错点：找不对题目中的等量关系. 知识点05 二元一次方程组及其解法 1.只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫二元一次方程组. 2.把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后这个代数式代人另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程就可以求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数的值代人前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值，至此就求出了二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法， 3.把一个方程进行适当变形后，再加上(或减去)另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原一元一次方程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法. 示例： 方法 适用场景 操作要点 代入消元法 某个系数为±1时 先用一个未知数表示另一个 加减消元法 同一未知数系数相等/相反 先使某未知数系数相同再加减 易错点：代入时漏括号（如y=2x-1代入误作3x+2x-1=5），减法时符号错误（如2x-(-3x)误作2x-3x） 知识点06 二元一次方程组的应用 示例：设鸡x兔y → x+y=35, 2x+4y=94 易错点：混淆腿数系数（误列4x+2y=94） 知识点07 三元一次方程组的定义及解法 1.含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组，一般地，三元一次方程组含有三个方程. 2.解三元一次方程维时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解，消元的方法仍是代入消元法或加臧消元法. 示例：解方程组： { x+y=3 ① { y+z=5 ② { z+x=4 ③ 步骤演示： • 先消z：②-③得y-x=1 ④ • 结合①：①+④得2y=4→y=2 • 回代求x=1，z=3  易错点：消元顺序不当导致计算复杂化（如先消y会出现分数） 题型一 含参方程综合题 解｜题｜技｜巧 ① 分类讨论：参数作为系数时，需讨论是否为0（如mx=6需分m=0/m≠0） ② 特殊解分析：当题目要求"正整数解"时，需反向推导参数范围 易｜错｜点｜拨 忽略"无解/无数解"特殊情况 【典例1】（24-25七年级下·重庆丰都·期末）若关于x、y的方程组的解满足，则k等于（   ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 ． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 【变式3】（22-23七年级下·安徽合肥·期末）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 题型二 三元方程组实际应用 答｜题｜模｜板 1 标关键词：将文字中的数量关系转化为代数式（如"甲比乙多3"→甲=乙+3） ② 选主元：优先消去出现频率高的未知数 真题示例（2024湘潭期末压轴题）： 已知A+B=12, B+C=14, A+C=10，求A、B、C的值（考查消元顺序选择） 【典例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，这就是最早的幻方．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现将、、、、2、4、6、8分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则 ． 【典例2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积，若这组数第1个数为2，第5个数为，则第2025个数是 ． 【变式1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）在数学游艺会上，小海准备了五张完全相同的卡片，从的自然数中随机选择一个数字可以重复，写到每张卡片正面，将它们正面向下放在桌上如图，这五张卡片分别记为A，B，C，D，然后依次将相邻两张卡片上的数字相加，把结果记录到表． 卡片组合 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 6 5 10 12 7 （1）正面数字最大的卡片记号为 ； （2）将其中两张卡片上的数字进行更改，使得任意两张卡片上数字相加的和都是5，6，7，8中的一个，则被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是 写出所有可能的情况 【变式2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 题型三 去分母陷阱题 易｜错｜点｜拨 典型错误： 方程(2x-1)/3=5去分母时，漏乘常数项5 正确解法： ① 画圈标注所有分母项 ② 用箭头连接每项与公倍数 ③ 补写被漏乘项：3×5（附错误对比图） 【典例1】（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【典例2】（23-24七年级上·湖南张家界·期末）解方程：． 【变式1】（25-26七年级上·广东·期末）解方程：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：．……第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．……第②步 去括号，得：．……第③步 移项，得：．……第④步 合并同类项，得：．……第⑤步 系数化1，得：．……第⑥步 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中： (1)第②步的依据是 ； (2)第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子． 题型四 方程组符号错位 易｜错｜点｜拨 高频错误场景： {2x+3y=7 → ① {4x-5y=1 → ② 用①×2-②时，未将②式整体乘-1 避坑口诀： "加减消元看符号，负号要当警示灯" 【典例1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知二元一次方程组的解为，那么的解为 ． 【典例2】（24-25八年级上·四川成都·期末）按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）（1）解方程组：； （2）解方程组：． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）解方程组：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）在解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．110 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义一种运算如下：，和均为常数，已知：，，则 ． 4．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有只，兔有只，则可列方程组为 ． 5．（24-25六年级下·山东烟台·期末）解方程： (1)； (2)． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某商店同时出售A、B两种商品，其售价都是100元，已知出售A商品商店亏损了，出售B商品商店盈利了，则这个商店在本次交易中（   ） A．亏损 B．盈利 C．不赚不亏 D．无法判断 2．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2030根小木棒，则的值为（    ） A．252 B．254 C．336 D．337 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款 元． 4．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）已知与互为相反数，则 ． 5．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知方程组，求的值． 小军在解决这个问题时，他采用了如下方法： ，消去z，得 他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值， 可以在上式中“分离”出， 即 可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法． (1)直接写出小军得到的的值． (2)请利用小军的方法解决下面的问题： 甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 3．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8：00 9：30 9：50 10：50 G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： (1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟； (2)记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为． ①______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次方程（组）（期末复习讲义） 说明：本专题（或章或单元）在期末考试里“考什么、怎么考、该重点复习啥”，用清晰的表格（如下）或思维导图理清逻辑，避免盲目复习。核心考点：提炼本专题期末常考点；复习目标：用“行为动词+标准”表述；考情总结：提炼本专题考情规律——易错点或命题趋势等。 核心考点 复习目标 考情规律 方程基本概念 能辨析方程的解并验证其正确性 基础题高频考点，常以选择题形式考查定义 一元一次方程解法 熟练运用移项、去分母等步骤规范求解 计算题必考内容，易错点在去分母时漏乘常数项（占期末失分35%） 二元一次方程组解法 能熟练运用代入消元法/加减消元法规范求解 计算题高频考点，易错点在消元时符号处理（占期末失分28%） 三元一次方程组解法 掌握"消元转化"思路，能解简单系数方程组 选考内容，常作为压轴题第一问出现（2024岳阳期末卷24题） 方程组实际应用 能建立销售/行程类问题的方程组模型 压轴题常考方向，2024年多地期末卷出现"阶梯计价"新题型（命题趋势） 含参数方程 会分析参数取值范围对解的影响 区分度题型，解题需分类讨论 说明：相当于“知识工具箱”，梳理本章节基础知识，提炼本单元核心概念、公式、法则等，注意添加示例或易错点以理解透彻该知识点。 知识点01 建立一元一次方程模型 1.含有未知数的等式叫做方程. 2.若方程只含有一个未知数且未知数的次数是 1，系数不为 0，则此方程为一元一次方程，可表示为 ax+b=2.0(a≠0) 3.使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解, ·示例：3x-5=7是一元一次方程（符合ax+b=0形式） ·易错点：误认为x²+2x=3是一元一次方程（最高次数为2） 知识点02 等式的性质 1. 等式的性质1:如果a=b,那么a±c=b±c. 2. 等式的性质2：如果a=b，那么 3. 等式的其他性质:若a=b,则b=a;若a=b,b=c,则a=c. 示例：解2x=6时两边同÷2得x=3 易错点：忽略c≠0条件导致错误（如x=1两边同×0得0=0） 知识点03 一元一次方程的解法 1. 把方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，解方程时常将含有未知数的项移到等号的一边，常数项移到等号的另一边，移项一定要变号. 2. 解一元一次方程的基本步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1→检验. 示例：3x+5=2x → 3x-2x=-5 → x=-5 易错点：常数项移项未变号（如5x=3x+6误作5x-3x=6） 知识点04 一元一次方程模型的应用 列方程解应用题的步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验→作答 示例：甲乙相向而行，速度分别为5km/h、3km/h，2小时后相遇 → 5×2+3×2=16 易错点：找不对题目中的等量关系. 知识点05 二元一次方程组及其解法 1.只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫二元一次方程组. 2.把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后这个代数式代人另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程就可以求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数的值代人前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值，至此就求出了二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法， 3.把一个方程进行适当变形后，再加上(或减去)另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原一元一次方程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法. 示例： 方法 适用场景 操作要点 代入消元法 某个系数为±1时 先用一个未知数表示另一个 加减消元法 同一未知数系数相等/相反 先使某未知数系数相同再加减 易错点：代入时漏括号（如y=2x-1代入误作3x+2x-1=5），减法时符号错误（如2x-(-3x)误作2x-3x） 知识点06 二元一次方程组的应用 示例：设鸡x兔y → x+y=35, 2x+4y=94 易错点：混淆腿数系数（误列4x+2y=94） 知识点07 三元一次方程组的定义及解法 1.含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组，一般地，三元一次方程组含有三个方程. 2.解三元一次方程维时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解，消元的方法仍是代入消元法或加臧消元法. 示例：解方程组： { x+y=3 ① { y+z=5 ② { z+x=4 ③ 步骤演示： • 先消z：②-③得y-x=1 ④ • 结合①：①+④得2y=4→y=2 • 回代求x=1，z=3  易错点：消元顺序不当导致计算复杂化（如先消y会出现分数） 题型一 含参方程综合题 解｜题｜技｜巧 ① 分类讨论：参数作为系数时，需讨论是否为0（如mx=6需分m=0/m≠0） ② 特殊解分析：当题目要求"正整数解"时，需反向推导参数范围 易｜错｜点｜拨 忽略"无解/无数解"特殊情况 【典例1】（24-25七年级下·重庆丰都·期末）若关于x、y的方程组的解满足，则k等于（   ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】方程组中的两个方程相加并化简，得，根据的值得关于k的一次方程，求解即可． 本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、等式的性质是解决本题的关键． 【详解】解：， ①+②，得， 化简，得 ， 故选：D 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键． ，,得,即得解． 【详解】解：∵， ∴,得． ∴无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为11． 故答案为：11． 【变式2】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 ． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 【答案】①③④ 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解： 当这个方程组的解，的值互为相反数时， 即， 两方程相加，得， ， 解得；故正确； 当时，原方程组可化简为 解得 方程， 左边可化为：， 右边可化为：， 所以左边右边， 故错误； 可得：， 即， 所以无论取什么实数，的值始终为，故正确； 由知， ，故正确； 故答案为． 【变式3】（22-23七年级下·安徽合肥·期末）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． 第一种思路：利用加减消元法解方程组，可用含k的式子表示出方程组的解，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第二种思路：利用加减消元法用含k的式子表示出的结果，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第三种思路：可建立方程组，解方程组后根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 第一种：我欣赏甲同学的思路， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得； 第二种：我欣赏乙同学的思路， 得， ∵， ∴， 解得 第三种：我欣赏丙同学的思路， 由题意得， 得：，解得， 把代入③得：，解得 ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得． 题型二 三元方程组实际应用 答｜题｜模｜板 1 标关键词：将文字中的数量关系转化为代数式（如"甲比乙多3"→甲=乙+3） ② 选主元：优先消去出现频率高的未知数 真题示例（2024湘潭期末压轴题）： 已知A+B=12, B+C=14, A+C=10，求A、B、C的值（考查消元顺序选择） 【典例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，这就是最早的幻方．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现将、、、、2、4、6、8分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加减运算，方程的应用，合理设出未知数，找到列方程的等量关系是解决问题的关键．将四个“和”都设为同一个值，空白处数字为，根据内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图所示，将四个“和”都设为同一个值，空白处数字为，根据题意得： 外圆四数之和： ， 内圆四数之和：， 横向四数之和： ， 纵向四数之和：， 整理得： ①， ②， ③， ④， 由①④可得， 由②④可得，比小， 而没有填入的数只有， ∴ ， ∴． 故答案为：16． 【典例2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积，若这组数第1个数为2，第5个数为，则第2025个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出其规律，再根据周期性计算求值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．设第2个数为a，第3个数为b，第4个数为c，则有，再求出a，b，c的值，进而可得第2个数，第3个数，第4个数，第6个数，第7个数，第8个数的值；根据规律，可求得第2025个数的值． 【详解】解：设第2个数为a，第3个数为b，第4个数为c， 则有：，解得：， ∴第6个数为，第7个数为2，第8个数为4， ∴这一组有序排列的数为：2，4，2，，，，2，4，．．．， ∴这一组有序排列的数是以2，4，2，，，为一组，周期性出现， ， ∴第2025个数是2． 故答案为：2． 【变式1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）在数学游艺会上，小海准备了五张完全相同的卡片，从的自然数中随机选择一个数字可以重复，写到每张卡片正面，将它们正面向下放在桌上如图，这五张卡片分别记为A，B，C，D，然后依次将相邻两张卡片上的数字相加，把结果记录到表． 卡片组合 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 6 5 10 12 7 （1）正面数字最大的卡片记号为 ； （2）将其中两张卡片上的数字进行更改，使得任意两张卡片上数字相加的和都是5，6，7，8中的一个，则被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是 写出所有可能的情况 【答案】 D 、、、、或、、、、或、、、、 【分析】本题结合抽卡片，考查一元一次方程和推理能力． （1）通过设未知数，根据相邻卡片数字和列出方程组，求解出各个卡片上的数字，从而找出数字最大的卡片； （2）在（1）的基础上，根据新的和的条件，对卡片数字进行更改和讨论． 【详解】解：（1）求正面数字最大的卡片，设A卡片上的数字为x，B卡片上的数字为y，C卡片上的数字为z，D卡片上的数字为w，E卡片上的数字为根据表格中相邻两张卡片数字和可得方程组： ， 解得， 比较2、3、3、4、8大小，可得8最大，所以正面数字最大的卡片记号为． 故答案为：D； （2）求更改后五张卡片上的数字原来的数字为3、3、2、8、， 因为任意两张卡片上数字相加的和都是5，6，7，8中的一个， 所以原来的数字必须要更换，剩下的3、3、2、中更换一张； 设更换后的数字为a，，不妨设， 当更换数字时，则5张卡片分别为3、2、、a、，，，，则剩下数字必定有，则或，此时被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是、、、、或、、、、； 当更换数字时，则5张卡片分别为3、3、、a、，，，则剩下数字必定有，，即，此时被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是、、、、； 当更换数字时，则5张卡片分别为3、3、、a、，，，则剩下数字必定有或，即或，此时被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是、、、、或、、、、； 综上所述，被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是、、、、或、、、、或、、、、． 故答案为：、、、、或、、、、或、、、、． 【变式2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 题型三 去分母陷阱题 易｜错｜点｜拨 典型错误： 方程(2x-1)/3=5去分母时，漏乘常数项5 正确解法： ① 画圈标注所有分母项 ② 用箭头连接每项与公倍数 ③ 补写被漏乘项：3×5（附错误对比图） 【典例1】（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 【典例2】（23-24七年级上·湖南张家界·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解决问题的关键． 先去分母、再去括号、移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 【变式1】（25-26七年级上·广东·期末）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将未知数系数化为1，即可求出解． 方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：．……第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．……第②步 去括号，得：．……第③步 移项，得：．……第④步 合并同类项，得：．……第⑤步 系数化1，得：．……第⑥步 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中： (1)第②步的依据是 ； (2)第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子． 【答案】(1)等式基本性质2 (2)③； 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1． （1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得； （2）根据一元一次方程的解法，结合小亮同学的解题过程分析即可． 【详解】（1）第②步的依据是：等式基本性质2； 故答案为：等式基本性质2； （2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：． 故答案为：③；． 题型四 方程组符号错位 易｜错｜点｜拨 高频错误场景： {2x+3y=7 → ① {4x-5y=1 → ② 用①×2-②时，未将②式整体乘-1 避坑口诀： "加减消元看符号，负号要当警示灯" 【典例1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知二元一次方程组的解为，那么的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法． 通过变量代换，将原方程组化为与已知方程组相同的形式，利用已知解直接求解即可． 【详解】解：设，则原方程组化为：， 整理得：， 令，则：， ∵该方程组与已知方程组形式相同，且已知解为， ∴， 所以，解得， ，解得， 故原方程组的解为． 故答案为：． 【典例2】（24-25八年级上·四川成都·期末）按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）， 由②得，③， 把③代入①得，， 解得， 把代入②得，， ∴方程组的解是； （2）， 得，， 解得， 把代入①得，， 解得 ∴方程组的解是． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）（1）解方程组：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1）， 得：， 解得， 把代入②得， 解得， 故原方程组的解是：； （2）， 得：， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 故原方程组的解是：． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，采用加减消元法或代入消元法求解即可． 【详解】将原方程组整理，得 ，得 将代入，得 解得 所以原方程组的解为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）在解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，在去分母时，方程两边同时乘以分母2和3的最小公倍数6，注意每一项都要乘以6，包括常数项，且保持括号正确. 【详解】解：， 方程两边同时乘以6，得： 化简得：， ∴去分母正确的是选项B 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．110 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、，得出五个数的和为，再结合各选项逐一列方程判断即可． 【详解】解：设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、， 所以这五个数的和为， A．若，解得，此时左上数字为空，不符合题意； B．若，解得，不符合题意； C．若，解得，不符合题意； D．若，解得，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义一种运算如下：，和均为常数，已知：，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组的应用；根据新定义运算，建立关于a、b的二元一次方程组，求出a、b后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解方程组，得：， 所以， 故答案为：4． 4．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有只，兔有只，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组；根据题意，鸡和兔的总头数为35，总腿数为94，鸡有2条腿，兔有4条腿，据此列出方程组。 【详解】解：设鸡有只，兔有只，由头数关系得，由腿数关系得， 故所列方程组为． 故答案为：． 5．（24-25六年级下·山东烟台·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去括号得，， 移项得，， 系数化为1得，． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某商店同时出售A、B两种商品，其售价都是100元，已知出售A商品商店亏损了，出售B商品商店盈利了，则这个商店在本次交易中（   ） A．亏损 B．盈利 C．不赚不亏 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设商品的成本价为元，商品的成本价为元，根据题意建立方程，分别求出的值，再比较总售价与总成本价的大小，由此即可得． 【详解】解：设商品的成本价为元，商品的成本价为元， 由题意得：，， 解得，， ∴， ∵两种商品的总售价为，即总售价小于总成本价， ∴这个商店在本次交易中亏损， 故选：A． 2．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2030根小木棒，则的值为（    ） A．252 B．254 C．336 D．337 【答案】B 【分析】本题考查了规律型中图形的变化类及解一元一次方程，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键． 根据图形的变化及数值的变化找出变化规律，即可得出结论． 【详解】解：观察发现规律：第一个图形需要小木棒：， 第二个图形需要小木棒：； 第三个图形需要小木棒：， …， ∴第n个图形需要小木棒：． ∴，得：， 故选：B． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款 元． 【答案】288元或316元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．设第二次购物实际消费金额为元，先根据优惠方案可得第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或，再分两种情况：①，②，分别建立方程，解方程求出的值，然后根据优惠方案列式计算即可得． 【详解】解：设第二次购物实际消费金额为元， ∵（元），（元），（元），且，， ∴第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或， ①当时， 则，解得，符合题设， ∴， ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； ②当时， 则，解得，符合题设， ∴， ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； 综上，应付款288元或316元， 故答案为：288元或316元． 4．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）已知与互为相反数，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查相反数的性质，绝对值与平方的非负性，解二元一次方程组． 根据相反数的性质得到两个式子的和为零，再根据平方和绝对值的非负性，列出方程组，求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． ∴，， 即， 解得， ∴． 故答案为：8． 5．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知方程组，求的值． 小军在解决这个问题时，他采用了如下方法： ，消去z，得 他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值， 可以在上式中“分离”出， 即 可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法． (1)直接写出小军得到的的值． (2)请利用小军的方法解决下面的问题： 甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？ 【答案】(1)； (2)丙需要花费元． 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握解三元一次方程组是解题的关键． （）利用，可求出的值； （）设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元，根据题意，得，按照题例解题即可． 【详解】（1）解：， ，得：； （2）解：设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元， 根据题意，得， ，得， 原方程组可化为， 把代入，得， ∴． 答：丙需要花费元． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键． 设购买、、三种奖品分别为个，根据题意列方程得，化简后根据均为正整数，结合种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可． 【详解】解：设购买、、三种奖品分别为个， 根据题意列方程得， 即， 由题意得均为正整数． ①当时， ， 分别取，，，，，，，共种情况； ②当时， ， 可以分别取，，，，，共种情况； 综上所述：共有种购买方案． 故选：D． 3．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 4．（2024·江苏苏州·中考真题）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8：00 9：30 9：50 10：50 G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： (1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟； (2)记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为． ①______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值． 【答案】(1)90，60 (2)①；②或125 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． （1）直接根据表中数据解答即可； （2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可； ②先求出， A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分，，，讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟， 故答案为：90，60； （2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟， G1002次列车从A站到C站共需分钟， ∴， ∴， 故答案为：； ②（千米/分钟），， （千米/分钟）． ， A与B站之间的路程为360． ， 当时，G1002次列车经过B站． 由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车． ⅰ．当时，， ，，（分钟）； ⅱ．当时，， ，，（分钟），不合题意，舍去； ⅲ．当时，， ，，（分钟），不合题意，舍去； ⅳ．当时，， ，，（分钟）． 综上所述，当或125时，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $