第3章 一次方程（组）（高效培优单元测试·提升卷）数学湘教版2024七年级上册

第3章 一次方程（组） 单元测试卷·提升卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，需满足：①含有两个未知数；②含未知数的项的次数均为1；③为整式方程. 【详解】解：选项A：，仅含一个未知数x，属于一元一次方程，不符合条件①； 选项B：，含两个未知数x和y，且次数均为1，方程两边均为整式，符合所有条件，是二元一次方程； 选项C：，含两个未知数，但的分母含未知数y，不是整式方程，不符合条件③； 选项D：，含两个未知数，但项的次数为，属于二次方程，不符合条件②； 综上，正确答案为B. 故选：B. 2．若关于的方程的解为，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程解的性质，将已知解代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：已知方程的解为， 将代入方程：， 解得：． 故选：A． 3．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法是解答本题的关键． 由图1可知：前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1，横的表示5，据此类比图1所示的算筹的表示方法解答即可． 【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组：， 故选C． 4．在解方程时，去分母后正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据等式的基本性质，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，即可去分母． 【详解】解：原方程为 确定最小公倍数：分母3和2的最小公倍数为6， 方程两边乘以6得：， 故选：A． 5．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法解二元一次方程组是解题的关键 将方程①中的y代入方程②，替换掉方程②中的y，注意符号的变化． 【详解】将①代入②可得，． 故选：B． 6．如果是方程组的解，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求代数式的值等知识，将解代入方程组，解出a和b的值，再代入代数式计算． 【详解】解∶将解，代入方程组， 得：， 解得， ∴， 故选∶B． 7．小红在解方程时，把“”处的系数看错了，解得，她把“”处的系数看成了（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，设小红将原方程中的系数“”看成了，则错误的方程为，把代入，然后解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设小红将原方程中的系数“”看成了，则错误的方程为， 把代入该方程： ， 故选：． 8．若，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题烤考查非负性，解二元一次方程组，根据非负性，得到关于的方程组，将两个方程相加后，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴， ∴； 故选B． 9．用“”定义新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了新定义运算，解一元一次方程，由题意得，然后解一元一次方程即可，熟练掌握一元一次方程解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， 故选：． 10．如图，将这9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的积相等．则其中的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘、除法运算，解一元一次方程，难度较大，熟练掌握解题技巧和有理数乘、除法运算法则是解题关键． 先确定同一行、列、对角线的乘积相等，且为，可得，则；，则；，；然后确定幻方的九个空格中处在中央的数是，即可求解． 【详解】解：， ∴同一行、列、对角线的乘积相等，且为，如图： ∴，则； ，则； ，； 正中间的数为，则幻方的九个空格中处在中央的数是． ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 可求，经检验，均符合题意， 故选：A． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，理解一元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，且未知数最高次为1的整式方程，是一元一次方程．根据一元一次方程的定义，一次项系数不等于0，此即可解答． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ， ， k的值不可能是6． 故答案为：6． 12．已知方程组，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先把两个方程相加，再利用等式的基本性质求出即可． 【详解】解：， ①②得：， ∴， 故答案为：4． 13．某方程组的解为，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．把代入程组，求出，，再代入求出，再把x的值代入其中一个方程求出y即可． 【详解】解：把代入程组得： 把代入得： ①-②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解是， 故答案为： 14．若是二元一次方程，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，且未知项的系数不等于0，据此可列出方程，，，且，求解得出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，，且， 解得：，， ∴． 故答案为：4． 15．某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需 元． 【答案】32 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，根据题意，列出三元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，由题意，得： ， ，得：， ∴； ∴购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需32元； 故答案为：32． 16．已知关于、的方程组有以下结论：①当时，方程组的解是；②方程组的解可表示为；③无论取任何实数，的值始终不变，其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的定义是解题的关键．解方程组得到，当时，得出，可判断结论①②；继而得到，可判断结论③，即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， 当时, 方程组的解是，故①②正确 ， 不论取什么实数，的值始终不变；故结论③正确； 故答案为：①②③． 17．按图示的程序计算，若开始输入的为负数，最后输出的结果为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据运算程序列出方程求出x，然后把求出的x的值当做计算结果继续求解，直至x不是负数为止． 【详解】解：∵最后输出的结果是， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴， 解得，不符合题意； ∴满足条件的x的值有． 故答案为． 18．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，正确计算是解题的关键： （1）根据解一元一次方程的步骤，求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 20．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键： （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得，解得 将代入，得，解得 故原方程组的解为 （2）解： 可得， 将整体代入， 可得， 解得， 将代入可得， 解得， 所以原方程组的解为 21．在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的，得到方程组的解为小红看错了方程组中的，得到方程组的解为，求该方程组正确的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 将第一组解代入方程组的第一个方程求出m的值，将第二组解代入方程组的第二个方程求出n的值即可，确定出正确的方程组，求出解即可． 【详解】解：小军看错了方程组中的， 把代入，得， 解得； 小红看错了方程组中的， 把代入，得， 解得； 原方程组为， ②-①，得， 把代入①，得， 解得， 原方程组的解为． 22．已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】解第一个方程，得，把代入第二个方程，得，解得． 本题考查了一元一次方程的解法，同解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 由方程与关于的方程的解相同， 得， 解得． 23．在解关于x，y的方程组时，可以用①②消去未知数x，也可以用①②消去未知数 (1)求m和n的值． (2)在（1）的条件下，解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于m，n的方程组，解方程组求出m，n即可； （2）把（1）中所求m，n代入方程组，解方程组求出x，y即可． 本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 【详解】（1）解：， ①得：， ②得：， ①②消去未知数x， ， ①得：， ②得：， 用①②消去未知数y， ， ， 整理得：， 解得：； （2）解：由（1）可知： 方程组为 ①得：③， ②得：④， ③+④得：, 即， 把代入①得： 即， 方程组的解为： 24．小仓鼠的学校距家有800米，平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米．有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？ 【答案】小仓鼠的学校离瓜子铺有440米 【分析】本题考查了路程问题（一元一次方程）的解答方法．关键是理解小仓鼠的学校离瓜子铺的时间和瓜子铺离家的时间和比原来的时间少3分钟．先用800除以速度40，求出平时用的时间，再减去3分钟，求出这次用的时间．再设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离家的路程是米．根据路程时间速度，分别用小仓鼠的学校离瓜子铺的路程和瓜子铺离家的路程除以各自的速度，表示出各自路程的时间，然后相加就等于这次用的时间． 【详解】解：（分钟），（分钟）， 设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米． 根据题意，得， 解得： 答：小仓鼠的学校离瓜子铺有440米． 25．【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 【答案】或，见解析 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键． 方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解； 方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化1为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解． 【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得， 当时，原方程化为，解得， 所以，原方程的解为或； 解法二：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得        根据绝对值的意义可得 所以，原方程的解为或． 26．某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶原售价为40元/箱，B品牌牛奶原售价为60元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整：A品牌牛奶每箱售价比原售价降低了，B品牌牛奶每箱按原售价的8折出售． (1)设学校购进A品牌牛奶x箱，请直接在表格中填写结果： 品牌 购买单价/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 A x ______ B ______ ______ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为4200元，那么该校此次购买了多少箱A品牌和B品牌牛奶？ 【答案】(1)见解析 (2)该校此次购买了50箱A品牌和50箱B品牌牛奶 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据购买A，B两种品牌牛奶的总费用为4200元列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：A品牌的牛奶购买总价元； B品牌的牛奶单价为元/箱，购买总价元； 填表如下： 品牌 购买单价/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 A x B （2）解：由题意得， 解得：， （箱）． 答：该校此次购买了50箱A品牌和50箱B品牌牛奶． 27．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 28．某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 型货车辆数 型货车辆数 累计运货量 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨． (2)有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆． (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【分析】（1）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意列出二元一次方程组即可得解； （2）结合两型号车的运量列出，再由，都是正整数进行方案设计即可； （3）根据（2）中的三个方案，分别计算，比较后即可得解． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，，解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨． （2）解：由（1）得，， ， ，都是正整数， 或或， 有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆． （3）解：型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， 方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ， 最省钱的租车方案是方案三，租车费用是元． 答：租型车辆，型车辆最省钱，最少租车费为元． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 一次方程（组） 单元测试卷·提升卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的方程的解为，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（    ） A． B． C． D． 4．在解方程时，去分母后正确的是（　　） A． B． C． D． 5．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（   ） A． B． C． D． 6．如果是方程组的解，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 7．小红在解方程时，把“”处的系数看错了，解得，她把“”处的系数看成了（    ） A． B． C． D． 8．若，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 9．用“”定义新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，将这9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的积相等．则其中的值为（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 12．已知方程组，则的值为 ． 13．某方程组的解为，则方程组的解是 ． 14．若是二元一次方程，则 ． 15．某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需 元． 16．已知关于、的方程组有以下结论：①当时，方程组的解是；②方程组的解可表示为；③无论取任何实数，的值始终不变，其中正确的有 （填序号）． 17．按图示的程序计算，若开始输入的为负数，最后输出的结果为，则的值是 ． 18．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 三、解答题：（本大题共10题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解方程： (1) (2) 20．解方程组： (1)； (2)． 21．在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的，得到方程组的解为小红看错了方程组中的，得到方程组的解为，求该方程组正确的解． 22．已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 23．在解关于x，y的方程组时，可以用①②消去未知数x，也可以用①②消去未知数 (1)求m和n的值． (2)在（1）的条件下，解方程组 24．小仓鼠的学校距家有800米，平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米．有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？ 25．【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 26．某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶原售价为40元/箱，B品牌牛奶原售价为60元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整：A品牌牛奶每箱售价比原售价降低了，B品牌牛奶每箱按原售价的8折出售． (1)设学校购进A品牌牛奶x箱，请直接在表格中填写结果： 品牌 购买单价/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 A x ______ B ______ ______ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为4200元，那么该校此次购买了多少箱A品牌和B品牌牛奶？ 27．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 28．某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 型货车辆数 型货车辆数 累计运货量 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$