专题04 图形的认识（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材湘教版

该初中数学图形的认识期末复习讲义以核心考点表格为框架，系统整合几何图形分类、直线射线线段等五大模块，通过框架图式知识点解析、对比表格呈现区别联系，结合易错点标注和实例，构建“概念-性质-应用”的知识脉络，突出空间观念与几何直观的培养。 讲义特色在于分层练习与方法创新，如动态几何问题用“画轨迹图设变量”培养推理意识，钟表角度速算公式法提升运算能力，三角板问题“叠加三步法”强化应用意识。基础通关到综合拓展题满足分层需求，助力教师精准教学与学生自主复习效率提升。

专题04 图形的认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 几何图形分类 能准确区分立体图形与平面图形 基础题高频考点，常以选择题形式考查（占期末分值10%） 直线、射线、线段性质 会用符号规范表示并比较线段长度 易错点在端点表示（如混淆AB与BA），2024年新增尺规作图题（命题趋势） 角的度量与计算 熟练进行度分秒换算及角平分线计算 必考计算题，易错点在进位制（60进制）和角平分线漏乘2（占期末失分25%） 相交线与平行线判定 能根据角度关系证明平行关系 压轴题常考方向，常结合折叠问题考查（如2024株洲期末卷23题） 几何语言转换 能将文字描述转化为几何符号表达式 新题型频出，重点训练"∵...∴..."的逻辑链书写规范 知识点01 立体图形和平面图形的概念 几何图形:从各式各样的物体外形中抽象出的图形统称为几何图形. 立体图形:有些几何图形的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形,例如,长方体圆柱、圆锥、球等. 平面图形:有些几何图形的各部分都在同一平面内,它们是平面图形,例如,点、线段、直线、三角形、长方形、圆等. 立体图形与平面图形的区别与联系 区别:立体图形的各部分不都在同一平面内,平面图形的各部分都在同一平面内. 联系:①立体图形的某些部分是平面图形; ②从不同的方向看立体图形,一般会得到不同形状的平面图形; ③有些立体图形是由一些平面图形围成的,将立体图形适当剪开,可以展开成平面图形. 示例：立体图形：篮球（球体）、金字塔（四棱锥）、易拉罐（圆柱） 平面图形：黑板面（长方形）、三角板的表面（三角形）、圆规画的圆 ·易错点：误认为"纸片"是立体图形（实际是平面图形，厚度可忽略） 知识点02 线段、射线、直线及其画法 示例：线段AB：•——•（两端点固定，标注字母） 射线OC：•——→（端点O固定，无限延伸方向） 直线l：←——→（无端点，双向延伸） 易错点：直线AB（错误）→ 应标注为直线l或直线AB（需双向箭头） 知识点03 直线的性质 点与直线的位置关系:(1)点在直线上(直线经过这个点);(2)点在直线外(直线不经过这个点). 相交直线:当两条不同的直线只有一个公共点时,称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点. 直线的性质:过两点有且只有一条直线，它可以简单说成两点确定一条直线 易错点：认为"墙上两条线不相交即平行"（未考虑立体空间中的异面直线） 知识点04 线段的相关概念 线段长短的比较方法:测量法和叠合法. 线段的性质:两点之间的所有连线中,线段最短,简单说成“两点之间,线段最短” 两点之间的距离:连接两点的线段的长度,叫做这两点间的距离. 线段的中点:若点B在线段AC上,且把线段AC分成相等的两条线段AB和BC,这时点 B叫做线段AC的中点. 示例：已知M是AB中点，AM=3cm → AB=6cm（易漏乘2） 易错点：看到"中点"直接写AM=AB（正确应为AM=½AB） 知识点05 角的概念及表示法 (1)角的概念 定义:一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置时所成的图形叫做角. (2) 角的表示方法 (3)平角与周角 平角:当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时,所成的角叫做平角. 周角:当射线绕着端点旋转一周,又重新回到原来的位置时,所成的角叫做周角。 示例：∠AOB（顶点O在中间） ∠1（数字标注，需配合图形说明） 易错点：错误表示：∠OAB（实际表示的是点O处的角） 知识点06 角的大小及角的平分线 角的大小比较:度量法和叠合法， 角的平分线:以一个角的顶点为端点的一条射线,如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.如图,OC是/AOB 的平分线. 示例：OC平分∠AOB，若∠AOC=25°30′ → ∠AOB=51°（需×2） 易错点：未换算单位：直接25.5°×2=51°（应先将30′转为0.5°） 知识点07 度、分、秒的换算及运算 (1)角的分类 分类:按角的大小可以分为周角、平角、钝角、直角、锐角. (2)角的度量 1°的角:把一个周角分为60等份,每等份叫做1度,记做. 单位换算:① ②1'=60”, 根据角的进度制利用代数方法计算 示例：加减：15°30′ + 20°45′ = 36°15′（满60进位） 乘除：2×15°30′ = 31°（30′×2=60′=1°） 易错点：十进制混淆：误认为30′=0.3°（实际=0.5°） 知识点08 余角、补角的定义及性质 (1)余角的定义 定义:如果两个角的和等于一个直角,那么就说这两个角互为余角(简称互余),也说其中一个角是另一个角的余角. 注意:两角是否互余,只要求满足两角的和的关系是否为 90°,与位置无关. 表示:若与互余,则或或 (2)补角的定义 定义:如果两个角的和等于一个平角,那么就说这两个角互为补角(简称互补),也说其中一个角是另一个角的补角.注意:两角是否互补,只要求满足两角的和的关系是否为补角,与位置无关. 表示:若与互补,则或或 (1)同角(或等角)的余角相等; (2)同角（或等角)的补角相等. 易错点：混淆概念：认为"大于90°的角没有余角"（正确表述应为"钝角无余角"） 题型一 动态几何问题 解｜题｜技｜巧 1 画轨迹图：标注初始位置和运动方向（建议用不同颜色笔区分） ② 设时间变量t：统一单位（建议全部转化为分钟或秒） 【典例1】（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【变式3】（25-26七年级上·江苏·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边、上的点，线段、分别以、的速度同时绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在内部旋转时，总有，求的值； (3)如图③，C是线段上的一点，点M 从点A 出发沿线段向点C 运动，同时点N 从点C 出发沿线段向点 B 运动，M，N两点的速度比是．若在运动过程中始终有，求的值． 题型二 三角板中的角度计算问题 解｜题｜技｜巧 一、基础三角板特性速记卡 • 30°-60°-90°三角板特性： 角度关系：30°+60°=90° 边长关系：斜边=短直角边×2 • 45°-45°-90°三角板特性： 两锐角均为45° 斜边=直角边×√2 二、叠加计算三步法 标注定位： 用不同颜色标出各三角板已知角 虚线画出重叠边界线 角度运算： • 相加型：∠AOB=∠AOC+∠COB（需验证和≤180°） • 相减型：∠X=180°-（∠A+∠B+∠C） 验证检查： 用三角板内角和180°反向验证 易｜错｜点｜拨 方向混淆陷阱： 典型错误：反向放置时误认60°角为30°角 避坑方法：用箭头标注直角边朝向 外角漏算： 案例：两三角板拼成105°角（60°+45°） 关键技巧：延长边构造外角辅助线 【典例1】（25-26七年级上·西藏日喀则·期末）把一副三角板按如图所示那样拼在一起，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 【变式3】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 题型三 钟表角度速算 解｜题｜技｜巧 公式法：|30H-5.5M|（结果取0°~180°） 时针速度：0.5°/分钟 分针速度：6°/分钟 实战案例：3:40夹角计算 ① 套公式：|30×3-5.5×40|=130° ② 取锐角：180°-130°=50° 记忆口诀："时慢分快差5.5，超过180要换算" 【典例1】（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）钟表在9时20分时，时针与分针所成的夹角为 度． 【典例2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，这四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数分别是 ， ， ， ．（均小于） 【变式1】（25-26七年级上·湖南·期末）如图，从8点钟开始，过了20分钟后，分针与时针所夹的度数是 【变式2】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）2时20分时，钟面上时针与分针所成的角是 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点C是线段的中点，，点D在线段上，且，则线段的长为(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 3．（25-26七年级上·全国·期末）下列四种说法中，两点确定一条直线；等角的补角相等； ；A在B的东南方向，则B在A的西北方向．正确的说法共有 个． 4．（25-26七年级上·西藏日喀则·期末）若与互为补角，且是的3倍，则为 ． 5．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，为线段的中点，点在线段上．若，，求的长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个面A，B，C上分别填上适当的数，使得A，B，C的数字与其对面数字互为相反数，则B上数字为（   ） A． B．0 C． D．3 2．（23-24七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ． 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 5．（24-25七年级上·吉林·期末）数学课上，张老师出示了如下题目： 将一副三角板按如图所示方式摆放，分别作出，的平分线，；求的度数． 李明与同桌王丽讨论后进行了如下探究： 探究一：特例分析 （1）按如图2摆放，当，，在同一条直线上时，和仍然是和的平分线，则______； （2）按如图摆放，当时，和仍然是和的平分线，则______； 探究二：类比解答 （3）请你完成张老师出示的题目的解答过程； 探究三：拓展应用 （4）若将张老师出示题目中的条件“分别作出，的平分线，；”改为“分别作出射线，，使，；”求的度数． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）直线平行于直线．直线上有10个点．分别是，直线上有11个点．分别是将上的每个点与上的每个点相连．可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点．这些线段一共有（    ）个交点 ．不包括 A．110 B．2475 C．9900 D．2024 2．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 3．（2025·福建泉州·二模）日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； (2)若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； (3)若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 4．（25-26七年级上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段上． ①填空： __________． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 几何图形分类 能准确区分立体图形与平面图形 基础题高频考点，常以选择题形式考查（占期末分值10%） 直线、射线、线段性质 会用符号规范表示并比较线段长度 易错点在端点表示（如混淆AB与BA），2024年新增尺规作图题（命题趋势） 角的度量与计算 熟练进行度分秒换算及角平分线计算 必考计算题，易错点在进位制（60进制）和角平分线漏乘2（占期末失分25%） 相交线与平行线判定 能根据角度关系证明平行关系 压轴题常考方向，常结合折叠问题考查（如2024株洲期末卷23题） 几何语言转换 能将文字描述转化为几何符号表达式 新题型频出，重点训练"∵...∴..."的逻辑链书写规范 知识点01 立体图形和平面图形的概念 几何图形:从各式各样的物体外形中抽象出的图形统称为几何图形. 立体图形:有些几何图形的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形,例如,长方体圆柱、圆锥、球等. 平面图形:有些几何图形的各部分都在同一平面内,它们是平面图形,例如,点、线段、直线、三角形、长方形、圆等. 立体图形与平面图形的区别与联系 区别:立体图形的各部分不都在同一平面内,平面图形的各部分都在同一平面内. 联系:①立体图形的某些部分是平面图形; ②从不同的方向看立体图形,一般会得到不同形状的平面图形; ③有些立体图形是由一些平面图形围成的,将立体图形适当剪开,可以展开成平面图形. 示例：立体图形：篮球（球体）、金字塔（四棱锥）、易拉罐（圆柱） 平面图形：黑板面（长方形）、三角板的表面（三角形）、圆规画的圆 ·易错点：误认为"纸片"是立体图形（实际是平面图形，厚度可忽略） 知识点02 线段、射线、直线及其画法 示例：线段AB：•——•（两端点固定，标注字母） 射线OC：•——→（端点O固定，无限延伸方向） 直线l：←——→（无端点，双向延伸） 易错点：直线AB（错误）→ 应标注为直线l或直线AB（需双向箭头） 知识点03 直线的性质 点与直线的位置关系:(1)点在直线上(直线经过这个点);(2)点在直线外(直线不经过这个点). 相交直线:当两条不同的直线只有一个公共点时,称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点. 直线的性质:过两点有且只有一条直线，它可以简单说成两点确定一条直线 易错点：认为"墙上两条线不相交即平行"（未考虑立体空间中的异面直线） 知识点04 线段的相关概念 线段长短的比较方法:测量法和叠合法. 线段的性质:两点之间的所有连线中,线段最短,简单说成“两点之间,线段最短” 两点之间的距离:连接两点的线段的长度,叫做这两点间的距离. 线段的中点:若点B在线段AC上,且把线段AC分成相等的两条线段AB和BC,这时点 B叫做线段AC的中点. 示例：已知M是AB中点，AM=3cm → AB=6cm（易漏乘2） 易错点：看到"中点"直接写AM=AB（正确应为AM=½AB） 知识点05 角的概念及表示法 (1)角的概念 定义:一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置时所成的图形叫做角. (2) 角的表示方法 (3)平角与周角 平角:当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时,所成的角叫做平角. 周角:当射线绕着端点旋转一周,又重新回到原来的位置时,所成的角叫做周角。 示例：∠AOB（顶点O在中间） ∠1（数字标注，需配合图形说明） 易错点：错误表示：∠OAB（实际表示的是点O处的角） 知识点06 角的大小及角的平分线 角的大小比较:度量法和叠合法， 角的平分线:以一个角的顶点为端点的一条射线,如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.如图,OC是/AOB 的平分线. 示例：OC平分∠AOB，若∠AOC=25°30′ → ∠AOB=51°（需×2） 易错点：未换算单位：直接25.5°×2=51°（应先将30′转为0.5°） 知识点07 度、分、秒的换算及运算 (1)角的分类 分类:按角的大小可以分为周角、平角、钝角、直角、锐角. (2)角的度量 1°的角:把一个周角分为60等份,每等份叫做1度,记做. 单位换算:① ②1'=60”, 根据角的进度制利用代数方法计算 示例：加减：15°30′ + 20°45′ = 36°15′（满60进位） 乘除：2×15°30′ = 31°（30′×2=60′=1°） 易错点：十进制混淆：误认为30′=0.3°（实际=0.5°） 知识点08 余角、补角的定义及性质 (1)余角的定义 定义:如果两个角的和等于一个直角,那么就说这两个角互为余角(简称互余),也说其中一个角是另一个角的余角. 注意:两角是否互余,只要求满足两角的和的关系是否为 90°,与位置无关. 表示:若与互余,则或或 (2)补角的定义 定义:如果两个角的和等于一个平角,那么就说这两个角互为补角(简称互补),也说其中一个角是另一个角的补角.注意:两角是否互补,只要求满足两角的和的关系是否为补角,与位置无关. 表示:若与互补,则或或 (1)同角(或等角)的余角相等; (2)同角（或等角)的补角相等. 易错点：混淆概念：认为"大于90°的角没有余角"（正确表述应为"钝角无余角"） 题型一 动态几何问题 解｜题｜技｜巧 1 画轨迹图：标注初始位置和运动方向（建议用不同颜色笔区分） ② 设时间变量t：统一单位（建议全部转化为分钟或秒） 【典例1】（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【答案】（1）12；（2）不变化，；（3）①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，角的和差，角平分线的定义， 对于（1），先求出，再根据中点的定义得 ，，然后根据 得出答案； 对于 ，先求出，再根据中点的定义得，即可得出，然后根据得出答案； 对于（3）①，先求出 ，再根据角平分线的定义得 ，，即可得，然后根据得出答案； ②根据角平分线的定义得 ，即可得，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：，，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 故答案为：； 解：不变化， ，， ． ，分别是，的中点， ， ， ； ，， ． ，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：； ，理由如下： ，分别平分和， ，， ． ， ． ， ， ， ， 即． 【变式1】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或，见解析 【分析】本题考查角平分线定义，角的计算，关键是由平分线的定义，角的和差表示出有关的角． （1）先求出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （2）先表示出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （3）由角平分线定义，得到，由，分三种情况计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：，理由如下： 当在直线的下方，在直线上方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ． 当在直线的下方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即； 当在直线的上方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即. 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 【变式3】（25-26七年级上·江苏·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边、上的点，线段、分别以、的速度同时绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在内部旋转时，总有，求的值； (3)如图③，C是线段上的一点，点M 从点A 出发沿线段向点C 运动，同时点N 从点C 出发沿线段向点 B 运动，M，N两点的速度比是．若在运动过程中始终有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的计算，两点间的距离，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键． （1）先求出、，再表示出、，然后相加并根据计算即可得解； （2）设旋转时间为，表示出、，然后列方程求解得到、的关系，再整理即可得解； （3）设运动时间为，点、的速度分别为、，然后表示出、，再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转， ，， ，， ， ， ； （2）解：设旋转时间为，则， ， ， ， ， ； （3）解：解：因为两点的速度比是， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 题型二 三角板中的角度计算问题 解｜题｜技｜巧 一、基础三角板特性速记卡 • 30°-60°-90°三角板特性： 角度关系：30°+60°=90° 边长关系：斜边=短直角边×2 • 45°-45°-90°三角板特性： 两锐角均为45° 斜边=直角边×√2 二、叠加计算三步法 标注定位： 用不同颜色标出各三角板已知角 虚线画出重叠边界线 角度运算： • 相加型：∠AOB=∠AOC+∠COB（需验证和≤180°） • 相减型：∠X=180°-（∠A+∠B+∠C） 验证检查： 用三角板内角和180°反向验证 易｜错｜点｜拨 方向混淆陷阱： 典型错误：反向放置时误认60°角为30°角 避坑方法：用箭头标注直角边朝向 外角漏算： 案例：两三角板拼成105°角（60°+45°） 关键技巧：延长边构造外角辅助线 【典例1】（25-26七年级上·西藏日喀则·期末）把一副三角板按如图所示那样拼在一起，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，关键是掌握角的和差的运算．由，即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意，得，， ∴， 故选：A． 【变式1】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角的定义，三角板中角度的计算，度数之和为90度的两个角互余，据此结合三角板中角度的特点求解即可． 【详解】解：A、由余角性质可得，该选项不合题意； B、由图可得，与互补，该选项不合题意； C、由图可得，该选项不合题意； D、由图可得，与互余，该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 【答案】75° 【分析】本题考查三角尺角度与平行线性质的结合，掌握利用三角尺的已知角度和平行线的相关性质计算角的度数是解题的关键； 利用三角尺的角度以及平行线的性质，求出的度数． 【详解】解：由三角尺的角度可知，一个三角尺的角为，另一个三角尺的角为和． 根据平行线的性质，可得． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①20秒或200秒，② 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）由，结合，从而可得答案． （2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ， ， ， ， 平分． （2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时， ， ， 若，则， ， ， 每秒旋转， ∴秒时； 当、在直线的两侧时，如图， ， 若， 则， ， 旋转角， 每秒旋转， ∴秒时， 综上，20秒或200秒时． ②， ， 即， ， ． 题型三 钟表角度速算 解｜题｜技｜巧 公式法：|30H-5.5M|（结果取0°~180°） 时针速度：0.5°/分钟 分针速度：6°/分钟 实战案例：3:40夹角计算 ① 套公式：|30×3-5.5×40|=130° ② 取锐角：180°-130°=50° 记忆口诀："时慢分快差5.5，超过180要换算" 【典例1】（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）钟表在9时20分时，时针与分针所成的夹角为 度． 【答案】160 【分析】本题考查了钟面角，首先求出时针每分钟移动度，然后计算9时20分时时针和分针的位置，再求夹角． 【详解】∵钟表一圈为360度，平均分为12部分， ∴每部分为度， ∴时针每分钟移动度， ∵9时整，时针在数字9处，分针在数字12处， ∴9时20分时，时针转过的角度为度，此时分针在数字4处， ∴时针与分针所成的夹角为度． 故答案为：160． 【典例2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，这四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数分别是 ， ， ， ．（均小于） 【答案】 【分析】此题考查的是角的运算的应用，读出钟表所显示的时间，明确钟表上每个大格是解题的关键． 根据钟面角的特点即可依次求解． 【详解】解：钟表上12个大格把一个周角12等分，每个大格， 巴黎的时间是1点，时针与分针之间共1个大格，故时针与分针所成的角是； 伦敦的时间是12点，故时针与分针所成的角是； 北京的时间是8点，时针与分针之间共4个大格，故时针与分针所成的角是； 东京的时间是9点，时针与分针之间共3个大格，故时针与分针所成的角是； 所以，四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数分别为，，，． 故答案为：，，，． 【变式1】（25-26七年级上·湖南·期末）如图，从8点钟开始，过了20分钟后，分针与时针所夹的度数是 【答案】/130度 【分析】本题考查钟面角，根据钟面角的特征得出钟面上两个相邻数字之间所对应的圆心角为30°，再根据时针与分针旋转过程中所成角度之间的变化关系求出即可． 【详解】解：如图，时针与分针所处的位置如图所示： 由钟面角的特征可知，， 由时针与分针旋转过程中所成角度的变化关系可得， ， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）2时20分时，钟面上时针与分针所成的角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，由时针每小时转动，时针每分钟转动进行求解即可． 【详解】解：因为时针每小时转动，时针每分钟转动， 所以分针在2时20分时与时的刻度线夹角为， 时针在2时20分时与时的刻度线夹角为， 所以2时20分时，钟面上时针与分针所成的角： ； 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握立体图形的特征是解此题的关键． 根据面动成体并结合图形即可得解． 【详解】 解：将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是． 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点C是线段的中点，，点D在线段上，且，则线段的长为(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是利用中点性质得到线段长度，再通过和差求目标线段． 由中点得，再用计算长度． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴ 又∵， ∴． 故选：C． 3．（25-26七年级上·全国·期末）下列四种说法中，两点确定一条直线；等角的补角相等； ；A在B的东南方向，则B在A的西北方向．正确的说法共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查几何基本公理、补角的性质、度分秒换算、方向的相对性． 逐一判断四个说法的正误，统计正确说法的数量． 【详解】解：①：两点确定一条直线，这是几何基本公理，正确； ②：设，则的补角为的补角为，因为，所以补角相等，正确； ③：因为，所以，因此，错误； ④：方向具有相对性，东南与西北相对，若在的东南方向，则在的西北方向，正确． 综上，正确的说法有3个． 故答案为：3． 4．（25-26七年级上·西藏日喀则·期末）若与互为补角，且是的3倍，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角，根据补角的定义，与互为补角，故；又已知是的3倍，即，代入方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得 故答案为：． 5．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，为线段的中点，点在线段上．若，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，线段中点的定义，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键． 根据线段中点的定义，可得：，再根据，求得，然后即可求解； 【详解】解：∵为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个面A，B，C上分别填上适当的数，使得A，B，C的数字与其对面数字互为相反数，则B上数字为（   ） A． B．0 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查正方体的展开图，相反数．依据正方体展开图的性质确定出相对面，然后依据相反数的定义计算，即可得到答案． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， B与数字3是相对面， 相对面数字互为相反数， B上数字为， 故选：A． 2．（23-24七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查补角、余角的概念、一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 设这个角为，根据补角和余角的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， 由题意可得：， ， ， ． 故选B． 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，由角平分线的定义得出， ， ，结合已知条件可得出，，即可判断①②，再由平角的定义和角度的和差即可得出，即可判断③，由角的等量代换可得出，由即可得出与不互补. 【详解】解：∵平分，平分，平分， ∴， ， ， ∵，， ∴，，， ∴，即，故①②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴与不互补，故④错误． 故答案为：①②③ 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段折叠问题中的长度计算及比例关系应用，解题的关键是根据不同折点（B或A）确定绳子对折后的线段对应关系，明确剪断P处后最长段的具体来源，再结合“最长段为”列方程求解原长． （1）设，由得、；点B为折点时，剪断后最长段为，结合求，再算原长（原长为． （2）点A为折点时，剪断后得到的三段等长，则最长段为，结合求，再根据“折点A时原长为”计算最终原长． 【详解】（1）解：设，   ∵， ∴，则 ∵点B为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得 绳子原长为 ．   故答案为：； （2）解：设，   ∵， ∴，则． ∵点A为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得． 绳子原长为 ．   故答案为：． 5．（24-25七年级上·吉林·期末）数学课上，张老师出示了如下题目： 将一副三角板按如图所示方式摆放，分别作出，的平分线，；求的度数． 李明与同桌王丽讨论后进行了如下探究： 探究一：特例分析 （1）按如图2摆放，当，，在同一条直线上时，和仍然是和的平分线，则______； （2）按如图摆放，当时，和仍然是和的平分线，则______； 探究二：类比解答 （3）请你完成张老师出示的题目的解答过程； 探究三：拓展应用 （4）若将张老师出示题目中的条件“分别作出，的平分线，；”改为“分别作出射线，，使，；”求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； 【分析】本题主要考查了角的和差运算、平角的定义、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系与角的相关性质是解题的关键． （1）先确定三角板角度（、），结合射线共线得出度数，再用角平分线求，最后利用平角计算． （2）先由三角板角度得出的和，结合求出单个角的度数，再用角平分线求、，最后用平角计算． （3）先由三角板角度得出的和，再用角平分线表示，最后用平角计算． （4）先由三角板角度得出的和，再用角的比例关系表示，最后用平角计算． 【详解】解：（1）∵，，且、、共线， ∴， ∵平分，平分， ∴ ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ∴； （3）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）直线平行于直线．直线上有10个点．分别是，直线上有11个点．分别是将上的每个点与上的每个点相连．可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点．这些线段一共有（    ）个交点 ．不包括 A．110 B．2475 C．9900 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题．直线上分别取点和，连接，得到四边形，而这个四边形的对角线的交点恰好是我们要求的点，故想要求出这些线段一共有多少个交点，只需要求出在直线上能找到多少个满足条件的四边形即可求解． 【详解】解：如图， 直线上分别取点和，连接，得到四边形，而这个四边形的对角线的交点恰好是我们要求的点，故想要求出这些线段一共有多少个交点，只需要求出在直线上能找到多少个满足条件的四边形就可以了． 确定线段，有（种）， 确定线段，有（种）， 共可以产生个四边形， 所以这些线段一共有2475个交点． 故选：B． 2．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 【答案】或 【分析】本题考查了钟面角和一元一次方程的应用，根据时针和分针的转动，用t表示出， ，，再根据有两个角相等可列方程，求解可得t的值． 【详解】解：∵钟表一周为 ∴分针每分钟走，时针每分钟走， 依题意得， ①当时，，，，不存在相等的两个角， ②当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， ③当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， 综上，当或时， 三个角中有两个角相等 3．（2025·福建泉州·二模）日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； (2)若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； (3)若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 【答案】(1)储物箱最多可收纳A物品24件 (2)空间利用率可以达到，A物品有4件，B物品有112件或A物品有16件，B物品有48件 (3)三层①，一层②，一层④组合，总重量 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用、阅读理解以及方案选择等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依题意可算出每层摆放4件，再由高度计算可摆放6层，据此求解； （2）根据题意可知每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙，进而可设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层，得到，求整数解即可； （3）依题意，列举方案，逐一比较即可． 【详解】（1）解：因为， 所以每一层以方式①摆放4件A物品且无空隙， 因为， 所以最多可摆放6层， 所以储物箱最多可收纳A物品24件； （2）解：空间利用率可以达到100%，理由如下： 因为， 所以每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙． 设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层， 依题意，得， 所以或， 当，时，A物品有4件，B物品有112件： 当，时，A物品有16件，B物品有48件； （3）解：三层①，一层②，一层④组合，总重量． 有以下四种组合方式： （i）三层①，一层②，一层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品22件，B物品16件 因为， 此时总重量为； （ii）四层①，三层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品16件，B物品48件， 因为， 此时总重量为； （iii）一层②，五层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品10件，B物品有80件， 因为， 此时总重量为； （iv）一层①，七层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品4件，B物品有112件． 因为， 此时总重量为． 综上可知，空间利用率最大的组合方式为三层①，一层②，一层④组合，总重量． 4．（25-26七年级上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段上． ①填空： __________． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 【答案】（1）①，；②；（2）①；②1或4 【分析】此题考查解一元一次方程的应用、线段的中点、两点间的距离等知识与方法，解题的关键是理解和把握线段中点的定义． （1）①根据线段的和差解答即可； ② 设为，表示出长，再列出方程，计算即可； （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为，时间为3秒，则； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为6秒，当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，①当为中点，，即，计算求解即可；②当为中点，，即，计算求解即可；当绕点顺时针旋转时，时间为秒，为中点，，即，计算求解即可． 【详解】解：（1）①， 故答案为：，． ②设， ， ， 是线段中点， ， ， ， ． （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为， ∴时间为（秒）， ∴， 故答案为：； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点， 当为中点，，即， 解得； 当为中点，，即， 解得，； 当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 为中点，，即， 解得． 综上，的值为1或4． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $