专题03 线段的双（多）中点模型（几何模型讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题03 线段的双（多）中点模型 关于线段的计算，这类题型对于刚上初中的学生来说，是第一个要面对的几何难题。我们在解决这一类问题时，首先要有一个明确的思路，知道解题的方向，其次是如何根据思路列出相关的数量关系，最后就是正确计算问题。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ 1．（2025·广西桂林·三模）如图，C是线段上一点，若线段，且，O是的中点，则线段的长度为 ． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 3．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·全国·期末）已知线段与在同一直线上，，M为的中点，N为的中点，则的长为 ． 例2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段，点、在上且满足，点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时，点从出发沿射线方向以的速度运动，设运动时间为秒，点、分别为、的中点，当时，则 ． 例3（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 例4（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 例5（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 例2（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知点在线段上，，．点，点在直线上，满足，且点在点的左侧． (1)当为中点时，求的长； (2)点F（异于A，B，C三点）在线段上，，，求的长； (3)若点D从点处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段向右运动，点随之向右运动，设运动时间为秒，求出当点或点三等分线段时的值． 例3（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】 若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 例4（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 例5（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 1．（2025九年级下·浙江·竞赛）如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段的中点，N是线段的中点，若想求出的长度，则只需条件（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知点为线段的中点，且，若点是线段的三等分点，则（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25七年级上·吉林·期末）点A、B、C在直线l上，，，点M是的中点，则线段的长度是（） A． B． C．或 D．或 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 6．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点在线段上，且，点是的中点，，已知点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿线段向终点匀速运动，设点的运动时间为t秒，点是的中点，点是的中点，若，则t的值为 ． 7．（2025七年级·山东潍坊·竞赛）如图，，点是线段延长线上一点，在线段上取一点，使，点为线段的中点，则 ． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 9．（24-25七年级上·北京·期末）如图，长度为的线段的中点是点，点在线段上，且，则线段的长为 ． 10．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知点D是折线的“折中点”，E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 11．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）如图，直线上有A、B、M、N、Q五点，点M是线段的三等分点，点N是线段的中点，点Q是线段延长线上一点，且，则的值为 ．    12．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 13．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，， （1） ； （2）连续这样操作4次，则 ． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）如图，点C、M、N为线段上的点，C为线段的中点，且． (1)若，求的长； (2)若N为线段的中点，，求的长． 15．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图所示，线段，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如图1，求线段的长； (2)如图2，点是线段上的一点，且满足，求的长度． 16．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知线段． (1)读语句画图：延长线段到点C，使得； (2)在（1）的条件下，若点P是线段的中点，求线段的长； (3)若点D是线段延长线上一点，点M是线段的中点，点N是的中点，请在备用图中画出图，求线段的长． 17．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，点是线段上一点，，，分别是，的中点， (1)图中共有_______条线段 (2)求线段的长度 (3)若点分别从两点出发，分别以每秒和的速度都向点B的方向运动，经过多长时间P，Q两点相遇？ 18．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点，点对应的数为，，． (1)点对应的数为______，点对应的数为______； (2)动点、同时从、出发，点以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动．若点向数轴负方向运动，相遇点恰好在点，求点运动的速度． (3)是的中点，是的中点，若点以（2）中的速度向数轴正方向运动，设运动的时间为．则点对应的数为______，点对应的数为______；（用含的代数式表示） 19．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知线段a、b． (1)请用尺规按要求作图，作线段，使；（保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若点C为上的任意一点，点D为的中点，点E为的中点，请补全图形，并求的长； (3)若（2）条件中“点E为的中点”改为“点E为的中点”，直接写出与、的数量关系和理由． 20．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，为的中点，为的中点． (1)点出发_____秒后，． (2)在点的运动过程中，有如下两个结论：①的长度不变；②的长度不变．请选择一个正确的结论，并求出其值． 21．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 22．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 23．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为－2，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为． 【综合运用】 (1)填空： ①A，B两点间的距离_____，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：后，点表示的数为_____，点表示的数为______． (2)当为何值时，P，Q两点相遇？并写出相遇点所表示的数． (3)当为何值时，？ (4)若为的中点，为的中点，在点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 线段的双（多）中点模型 关于线段的计算，这类题型对于刚上初中的学生来说，是第一个要面对的几何难题。我们在解决这一类问题时，首先要有一个明确的思路，知道解题的方向，其次是如何根据思路列出相关的数量关系，最后就是正确计算问题。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ 1．（2025·广西桂林·三模）如图，C是线段上一点，若线段，且，O是的中点，则线段的长度为 ． 【答案】16 【分析】此题主要考查了与线段中点有关的计算，线段间的和差，理清题意是解答本题的关键．根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵O是的中点， ∴， 故答案为：16． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，中点定义，一元一次方程的应用，是解题的关键． （1）A、B两点表示的数相加即得； （2）根据，写出．根据P是的中点，得，解方程即得． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 当点P是的中点时，， ∴， 解得． 3．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 【答案】1或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴，进行分类讨论是解题关键．先根据线段中点坐标公式求出点B表示的数，再分别表示出运动t秒时两点表示的数，然后分P在Q的左边与P在Q的右边两种情况进行讨论，根据列方程，求解即可． 【详解】解：∵点C表示的数为6，点A表示的数为， ∴点B表示的数是， 依题意可知，运动t秒时，P表示的数为：，Q表示的数为：， 点P与点Q之间的距离为2个单位长度时，分两种情况： ①P在Q的左边， ， ， 解得； ②P在Q的右边， ， ， 解得， 综上所述：当t为1或秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 故答案为：1或． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·全国·期末）已知线段与在同一直线上，，M为的中点，N为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义．作出图形，分①点A、C在点B的两侧，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解；②点C在线段上，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解；③点A在线段上，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解． 【详解】解：①如图1，点A、C在点B的两侧， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②如图2，点C在线段上， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； ③如图3，点A在线段BC上， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为． 故答案为：． 例2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段，点、在上且满足，点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时，点从出发沿射线方向以的速度运动，设运动时间为秒，点、分别为、的中点，当时，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，线段的和差计算，一元一次方程的应用，根据相等之间的关系可得，以点A为原点，射线的方向为正方形，为1个单位长度建立数轴，则点A表示的数为0，点B表示的数为5，点C表示的数为20，点D表示的数为50，再求出点P表示的数为，点Q表示的数为，进而得到点E表示的数为，点F表示的数为，根据建立方程求解即可。 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，以点A为原点，射线的方向为正方形，为1个单位长度建立数轴， ∴点A表示的数为0，点B表示的数为5，点C表示的数为20，点D表示的数为50； 由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点、分别为、的中点， ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴或， 综上所述，的长为或， 故答案为；或。 例3（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了线段和、差的运算及线段中点的概念，解答本题的关键是熟练掌握线段中点的概念及性质． （1）根据M，N分别为的中点可得，，再由即可求解； （2）先由 、 求出 ，再依据中点性质表示出和 ，最后计算两者比值． 【详解】（1）解：∵M是的中点， ∴， ∵N是CB的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵、分别为、的中点． ∴， ∴． 例4（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 【答案】(1)， (2)①4或；②2或10 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差以及线段中点的定义即可求解； （2）①由题意得，点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒，分2种情况讨论：当、时，分别表示出、的长，结合点与点重合，列出方程求出的值，即可解答；②分2种情况讨论：当、时，利用线段中点的定义表示出、的长，结合，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∴综上所述，，； （2）解：①点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒， 依题意得，当时，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； 当时，，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； ∴当为4或时，点与点重合； ②当时，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴； 当，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴； ∴综上所述，时，的值为2或10． 例5（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【答案】(1)， (2)运动5秒，点可以追上点 (3)点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为，图见解析 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质即可得点表示的数和点对应的数； （2）根据点运动距离减去点运动距离等于的长，建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①当点在点之间运动时，则，②当点在点左侧运动时，则，先根据线段中点可得，再线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：点表示的数是， 点对应的数是， 故答案为：，． （2）解：由题意得：， 解得， 答：运动5秒，点可以追上点． （3）解：线段的长度不发生变化，画图求解如下： ①如图，当点在点之间运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； ②如图，当点在点左侧运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； 综上，点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 例2（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知点在线段上，，．点，点在直线上，满足，且点在点的左侧． (1)当为中点时，求的长； (2)点F（异于A，B，C三点）在线段上，，，求的长； (3)若点D从点处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段向右运动，点随之向右运动，设运动时间为秒，求出当点或点三等分线段时的值． 【答案】(1)7 (2)的长为3或5 (3)当或或时，点或点三等分线段 【分析】本题主要考查线段中点的性质及和差关系，熟练掌握线段中点的性质及和差关系是解题的关键． （1）首先根据得到，，然后由线段中点的概念得到，然后利用线段的和差关系求解即可； （2）根据题意分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论，然后分别根据线段的和差关系求解即可； （3）根据题意分点E为线段靠近点B的三等分点，点为线段靠近点的三等分点和点运动到线段靠近点的三等分点，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图， 因为，， 所以，． 因为为中点， 所以． 因为， 所以， 所以； （2）解：①当点在点的左侧时，如图， 因为，， 所以点是的中点， 所以， 所以． 因为， 所以； ②当点在点的右侧时，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以． 其他情况不存在，舍去． 综上所述，的长为3或5． （3）解：当点E为线段靠近点B的三等分点时， 此时，， 所以， 所以点D向右运动了秒，即； 当点为线段AB靠近点的三等分点时，， 所以点向右运动了（秒），即； 当点运动到线段靠近点的三等分点时，， 所以点向右运动了（秒），即． 综上所述，当或或时，点或点三等分线段． 例3（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】 若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3  （2）或11；（3）①；②存在，，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，数轴上线段的中点对应的数的表示，数轴上动点的问题，绝对值得非负性的应用，一元一次方程的应用，熟练利用一元一次方程解决数轴上动点问题是解题关键． （1）利用绝对值，乘方的非负性求出a，b值的大小再利用题中给出的方法求出结果即可； （2）由题意可知，D点可能在A点左侧，也可能在B点右侧，根据列出方程求解即可； （3）①设C点为m，则为，为，根据点C为线段的左三等分点，列式结算即可；②由题意得， ， ，，，，得出，，，根据的值为定值，进行求解即可． 【详解】解：， 且， ，， A、B两点的中点表示的数为， 故答案为：； （2）设点D表示的数为x， ∵ 当点D在点A左边时，， 解得：， 当点D在点B右边时，， 解得：， 点为或11； （3）①设C点为m，则为，为， 点C为线段的左三等分点， ， ∴， 解得， 点C表示的数为； ②存在．理由如下： 由题意得，，，，，， ，，， ， 随着t的变化，上式的值为定值，   解得． 例4（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 例5（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴， …… 发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得， 故答案为：． 1．（2025九年级下·浙江·竞赛）如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段的中点，N是线段的中点，若想求出的长度，则只需条件（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是线段中点的定义、两点间的距离等知识点，明确线段中点的定义是解题的关键． 根据点M、N分别是、的中点，，进而得到，即只需知道的长度即可求得的长度． 【详解】解：∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴， ∴，即只需知道的长度即可求得的长度， ∴符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知点为线段的中点，且，若点是线段的三等分点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段内和点在线段内两种情况进行讨论求解． 【详解】解：点为线段的中点，且， ， 点是线段的三等分点，如图， 当点在线段内，， ； 当点在线段内， ， ． 故选D． 3．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的有关计算； 分点在点的左侧和右侧两种情况，分别求出，再根据线段中点的定义计算即可． 【详解】解：如图，当点在点左侧时，可有， ∵点是线段的中点， ∴； 如图，当点在点右侧时，可有， ∵点是线段的中点， ∴； 综上：的长为或； 故选：C． 4．（24-25七年级上·吉林·期末）点A、B、C在直线l上，，，点M是的中点，则线段的长度是（） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点C在点A和点B之间和点C在点A和点B外侧两种情况，分别根据中点的定义以及线段的和差求解即可． 【详解】解：①如图：点C在点A和点B之间时， ∴， ∵点M是的中点， ∴． ∴． ②如图：点C在点A和点B外侧时， ∴， ∵点M是的中点， ∴． ∴． 综上，的长度可能为或． 故选D． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：B． 6．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点在线段上，且，点是的中点，，已知点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿线段向终点匀速运动，设点的运动时间为t秒，点是的中点，点是的中点，若，则t的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了线段中点定义、线段的和与差．正确的画图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键．注意，分类讨论． 根据点是的中点，，可以求出，，再由点P的运动方式确定，，进而根据中点确定，，再由列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵点是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴ 又∵点是的中点，点是的中点， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述：t的值为或． 7．（2025七年级·山东潍坊·竞赛）如图，，点是线段延长线上一点，在线段上取一点，使，点为线段的中点，则 ． 【答案】8.5 【分析】本题考查了线段的和差，与线段中点有关的计算，由题意可得，，，再求出，从而可得，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点是线段延长线上一点，在线段上取一点，使， ∴，，， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据点的位置分两种情况分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在的延长线上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 如图，当点在上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 综上可知，线段或， 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·北京·期末）如图，长度为的线段的中点是点，点在线段上，且，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是线段中点的有关计算、线段的和与差、一元一次方程的实际应用，解题关键是熟练掌握线段中点的有关计算． 先由中点的定义求出，的长，再根据的关系，求的长，最后利用得其长度． 【详解】解：线段的中点为， ， ，， 设，则， ， 解得， 即， ． 故答案为：． 10．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知点D是折线的“折中点”，E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】6或14 【分析】本题考查两点间的距离，根据“折中点”的定义，分两种情况分别画出图形，由图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 如图2，∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：6或14． 11．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）如图，直线上有A、B、M、N、Q五点，点M是线段的三等分点，点N是线段的中点，点Q是线段延长线上一点，且，则的值为 ．    【答案】4 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段的和、差、倍、比的关系以及线段中点的定义是正确解答的关键．根据线段的和、差、倍、比的关系以及线段中点的定义用含有参数a的代数式表示算即可． 【详解】解：设， ∵点M是线段的三等分点，点N是线段的中点， ∴， ，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 12．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段中点的计算，与线段有关的动点问题，解题的关键在于理解题意列出方程．设点Q的运动速度是，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：设点Q的运动速度是， 因为当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差， 所以， 整理得， 解得， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，， （1） ； （2）连续这样操作4次，则 ． 【答案】 32 4 【分析】本题考查与线段中点有关的计算： （1）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）∵的中点是，的中点是， ∴，． ∵， ∴． 故答案为：32； （2）同理可得，，． 故答案为：4． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）如图，点C、M、N为线段上的点，C为线段的中点，且． (1)若，求的长； (2)若N为线段的中点，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查线段的和差，数轴上两点间的距离，一元一次方程的运用等．准确表示出线段之间的和差倍分关系是解决问题的关键 （1）根据题中条件，得到长，进而求出，结合C为线段的中点，确定，代值求解即可得到答案； （2）由，可设，，由线段中点定义，数形结合，由列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点C、M、N为线段上的点，且，， ． ． C为线段的中点， ． 答：的长为； （2）解：设，则， 为线段的中点， ． 为线段的中点， ∴． ， ∴，解得． ∴． 答∶的长为． 15．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图所示，线段，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如图1，求线段的长； (2)如图2，点是线段上的一点，且满足，求的长度． 【答案】(1)12 (2)10 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：点是线段的中点， ， 又点是线段的中点， ， ， 则线段的长为12； （2）， ， ， 则的长度为10． 16．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知线段． (1)读语句画图：延长线段到点C，使得； (2)在（1）的条件下，若点P是线段的中点，求线段的长； (3)若点D是线段延长线上一点，点M是线段的中点，点N是的中点，请在备用图中画出图，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点，掌握知识点是解题的关键． （1）先根据，，求出的长，再延长线段到点C即可； （2）在线段上标出点P，根据即可得出结论； （3）根据线段中点的性质，可得，根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点C的位置如图所示 （2）如图 ∵， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴， ∴． （3） 如图 ∵点M是线段的中点，点N是的中点， ∴， 由线段的和差，得 ， ∵， ∴． 17．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，点是线段上一点，，，分别是，的中点， (1)图中共有_______条线段 (2)求线段的长度 (3)若点分别从两点出发，分别以每秒和的速度都向点B的方向运动，经过多长时间P，Q两点相遇？ 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，列一元一次方程解决行程问题，解题的关键是掌握线段中点的性质及找出等量关系列方程． （1）通过图形即可得出线段条数； （2）利用线段中点的性质以及线段的和差即可得出结果； （3）假设经过P，Q两点相遇，根据得，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，图中的线段有、、、、、、、、、， 共有10条线段， 故答案为：10； （2）解：∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴ ； （3）解：假设经过，P，Q两点相遇，根据得，， ∴， 解得， 所以经过，P，Q两点相遇． 18．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点，点对应的数为，，． (1)点对应的数为______，点对应的数为______； (2)动点、同时从、出发，点以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动．若点向数轴负方向运动，相遇点恰好在点，求点运动的速度． (3)是的中点，是的中点，若点以（2）中的速度向数轴正方向运动，设运动的时间为．则点对应的数为______，点对应的数为______；（用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2)单位/秒 (3)， 【分析】本题考查了有理数和数轴，数轴上两点间的距离，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设点对应的数分别为，求出，，即可得到答案； （2）根据路程速度时间，确定出点的速度即可； （3）根据题意表示出点表示的数即可． 【详解】（1）解：设点对应的数分别为， 点对应的数为，， ， ； ， ，即， ； 故答案为：； （2）解：（秒）， （单位/秒）； 点运动的速度单位/秒； （3）解：根据题意得，， 是的中点，是的中点， ，， 对应的数为，对应的数为， 故答案为：，． 19．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知线段a、b． (1)请用尺规按要求作图，作线段，使；（保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若点C为上的任意一点，点D为的中点，点E为的中点，请补全图形，并求的长； (3)若（2）条件中“点E为的中点”改为“点E为的中点”，直接写出与、的数量关系和理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了线段和的尺规作图，线段中点的定义； （1）作一条以A为端点的射线，以A为圆心，的长为半径画弧，连续截取两次，再按同样的作法顺次截取线段，即可求解； （2）由线段的中点可得，，再由即可求解； （3）由线段的中点可得，，再由即可求解； 掌握线段的作法，根据题意用线段的和差表示线段，能利用线段中点的定义进行线段的等量转换是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作的线段； （2）解：如图   为的中点， ， 为的中点， ， ， ∴． （3）如图所示， ∵点E为的中点 ∴， 为的中点， ， ∴． 20．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，为的中点，为的中点． (1)点出发_____秒后，． (2)在点的运动过程中，有如下两个结论：①的长度不变；②的长度不变．请选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)7 (2)选①的长度不变，；选②的长度不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）根据题意分析，列出方程，解方程，求出t的值即可． （2）选①，由中点定义得，， 然后根据即可求解； 选②，，由中点定义得，进而可求出． 【详解】（1）解：设出发x秒后， ，，， 由题意得，， 解得：； 故答案为：7； （2）解：选①，的长度不变． 点为线段的中点，点为线段的中点， ，， 或选②，的长度不变． 点为线段的中点， ． 21．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 【答案】（1），；（2）2；（3） 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差． （1）根据线段的和差得出，再求出，即可得解； （2）①先求出线段的长，再根据线段中点计算即可得解； ②由线段的中点可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵是的中点， ∴； 故答案为：2； ②∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． （1）非负性求出的值即可； （2）根据题意，得到，进而求解即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （4）先求出的值，进而求出的值，再分两种情况求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 23．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为－2，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为． 【综合运用】 (1)填空： ①A，B两点间的距离_____，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：后，点表示的数为_____，点表示的数为______． (2)当为何值时，P，Q两点相遇？并写出相遇点所表示的数． (3)当为何值时，？ (4)若为的中点，为的中点，在点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②， (2)当时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4. (3)或3 (4)不发生变化，． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴，熟练掌握点的移动以及点所表示的数之间的关系是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可； （3）t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，根据题意列方程即可； （4）将点M表示的数为：，点N表示的数为，即可得到答案． 【详解】（1）解：①，线段的中点表示的数为； ②由题意可得点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为∶①10，；②，； （2）解：t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， P、Q两点相遇时，， 解得：， 此时相遇点所表示的数为：； （3）解：t秒后，点P表示的数为， 点Q表示的数为，， 又， ， 或， 解得：或； （4）解：不发生变化，理由如下∶ 点M，N分别为，的中点， 点M表示的数为：， 点N表示的数为， ． 点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $