专题05 反比例函数（期末复习讲义）九年级数学上学期人教版

专题05 反比例函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数相关概念 掌握反比例函数的有关基础概念，能够区分反比例与正比例函数的形式差异. 较少直接考查，若考查也是以选择题、填空题形式考查，难度低。 反比例函数的图象与性质 要熟练根据k的符号判断图象位置和增减性，能结合图象分析进行函数值的大小比较和变化趋势。 基本出现在选择题或解答题的某一问中，常考函数值比较或增减性分析，注意符号的影响。 反比例函数k 的几何意义 理解∣k∣的几何意义，能求解图象与坐标轴围成的三角形或矩形面积问题。 考查大热门，在选择题、填空题出现的概率较大，要用数形结合思想进行解答，多训练，掌握解题方法。 待定系数法求反比例函数解析式 熟练运用待定系数法求函数解析式的方法步骤 基本在解答题中以其中一问的形式进行考查，难度不大，注意按步骤解答。 反比例函数与一次函数的综合应用 掌握联立方程求两个函数的交点坐标，能结合图象比较不同范围内函数值的大小。 在期末考查中常与一次函数、几何图形结合在一起，难度一般较大，特别是动态问题中的函数分析，尖子生要重点突破此类型题型。 反比例函数的实际应用 能够从实际问题中抽象出反比例函数模型，利用函数解析式解决实际问题。 选择、填空和解答题均有考查题型，题干会给出生活实际场景，需要找出等量关系，难度中等偏下。 知识点01 反比例函数的相关概念 （1）概念：一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）三种表示形式 ①y=（k为常数，k≠0）． ②xy=k（k为常数，k≠0）． ③（k为常数，k≠0）． （3）反比例函数y=中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数，若k=0，则y=0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义． 知识点02 反比例函数的图象和性质 （1）反比例函数图象的画法 ①列表：自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三列表对或三对以上互为相反数的数，并计算相应的y值，以表格的形式表示出来； ②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点； ③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸． （2）反比例函数图象的特点 ①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； ②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； ③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=-x）． （3）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数； ②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线； ③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点； ④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点． （4）反比例函数的性质： 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图象 性质 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 知识点03 反比例函数k 的几何意义 如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN =|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|． 知识点04 用待定系数法求反比例函数的解析式 （1）设——根据题意，设反比例函数的解析式为； （2）代——把它的一对对应值（x，y）代入中，得到关于k的方程； （3）解——解方程，求出常数k； （4）写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式． 知识点05 反比例函数的实际应用 用反比例函数解决实际问题的步骤： （1）审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系． （2）设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示． （3）列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数． （4）写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围． （5）解——用函数解析式去解决实际问题． （6）检——检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论． （7）答——写出实际问题的答案，保证解题的完整性． 题型一 反比例函数相关概念 解｜题｜技｜巧 识别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式或变形形式xy=k（k是常数，k≠0），（k是常数，k≠0）进行筛选． 【典例1】下列函数中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据形如为常数，的函数称为反比例函数，即可判断． 【解答】解：、是一次函数，不是反比例函数， 故选项不符合题意； 、是反比例函数，， 故选项符合题意； 、不是反比例函数， 故选线不符合题意； 、的次数是2次的，不是反比例函数， 故选项不符合题意， 故选： 【典例2】已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的一般形式进行计算即可． 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴，且， ∴， 故答案为：2． 【变式1】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的几种形式∶或或的函数是反比例函数． 根据反比例函数或或的形式解答即可． 【详解】解∶A．是反比例函数，故该选项不符合题意； B．是正比例函数，故该选项符合题意； C．是反比例函数，故该选项不符合题意； D．是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选∶B． 【变式2】函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 题型二 反比例函数的图象与性质 解｜题｜技｜巧 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线；②一、三象限的角平分线；对称中心是：坐标原点． 易｜错｜点｜拨 1．反比例函数的增减性，必须强调在“每一象限内”． 2．反比例关系不一定是反比例函数，比如y与x2成反比例，但y不是x的反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系 【典例1】关于反比例函数，下列说法中错误的是　　 A．时，随的增大而减小 B．当时， C．它的图象位于第二、四象限 D．当时，有最小值为 【答案】 【分析】根据反比例函数的单调性、所在的象限进行判断即可． 【解答】解：、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；故本选项正确，不符合题意； 、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，故本选项正确，不符合题意； 、，反比例函数位于第一、三象限，故本选项错误，符合题意； 、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，则有最小值为，故本选项正确，不符合题意； 故选：． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 【典例3】如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：点与关于原点对称，且点坐标为， 点的坐标为． 故选：． 【典例4】若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，， 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴、B两点在第四象限，C点在第二象限， ∴． 故选：D． 【变式1】函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 【变式2】已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．若，则 C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大， 当时，， ∴图象必经过点， 当时，， ∴当时，； 综上，只有选项D的结论不正确； 故选D． 【变式3】 如图，直线与双曲线相交于、两点，则点坐标为　　 A． B． C． D．， 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：点与关于原点对称， 点的坐标为． 故选：． 【变式4】已知点，在反比例函数的图象上，则的大小关系 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是掌握反比例函数，当时，经过二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大；反之经过一、三象限，随的增大而减小．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大， ∴在第二象限，在第四象限， ， 故答案为：． 题型三 反比例函数k 的几何意义 易｜错｜点｜拨 由于k有正、负之分，在利用反比例系数k的几何意义，求面积时，加上绝对值符号． 【典例1】如图，反比例函数在第一象限，△的面积是1.5，则反比例函数中，是　　 A．1.5 B． C．3 D． 【答案】 【分析】根据所给三角形的面积，得出，再根据所给图象即可解决问题． 【解答】解：因为△的面积为1.5， 所以， 则． 又因为反比例函数的图象在第一象限， 所以． 故选：． 【典例2】如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点、在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为6，则的值为　　 A．6 B． C．3 D． 作于，由四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象得到． 【解答】解：作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， 而， ， 而，即， ． 故选：． 【变式1】如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为　　 A．18 B．36 C． D． 【答案】 【分析】根据点与点关于轴对称，求出，再根据三角形中线平分三角形的面积和反比例函数系数的几何意义可求出的值． 【解答】解：连接， 点是点关于轴的对称点， ， ， 的面积为18， ， ． 又反比例函数的图象在第二象限， ． 故选：． 【变式2】如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，设反比例函数解析式为，由，则有，，，通过反比例函数系数的几何意义可得，，，则有，，求得，，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设反比例函数解析式为， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 待定系数法求反比例函数解析式 解｜题｜技｜巧 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 【典例1】已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数的表达式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据待定系数法求反比例函数解析式解答即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数解析式为． 故选：． 【变式1】若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把代入函数中求出的值即可求出函数解析式． 【解答】解：设反比例函数的解析式为， 把代入函数，得，． 所以，反比例函数的解析式为：． 故选：． 【变式2】如图，已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B、C在x轴负半轴上，反比例函数的图象经过点D（﹣1，3），交AB于点E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△CBE的面积． 分析：（1）反比例函数的图象经过点D（﹣1，3）可得反比例函数关系式； （2）求出点E的坐标，利用面积公式代入数据计算即可． 解：（1）∵反比例函数的图象经过点D（﹣1，3）， ∴k＝﹣1×3＝﹣3， 反比例函数解析式为：y； （2）∵D（﹣1，3）， ∴BC＝DC＝3， ∴点B的坐标（﹣4，0）， 当x＝﹣4时，y， ∴BE． S△CBE． 题型五 反比例函数与一次函数的综合应用 解｜题｜技｜巧 反比例函数与一次函数的交点问题,求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 易｜错｜点｜拨 【典例1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可． 【解答】解：， 一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的图象经过二、四象限， 故选项的图象符合要求． 故选：． 【典例2】如图，已知反比例函数 （）与一次函数相交于A、B两点（点A在第一象限），轴于点C．若的面积为1，且． (1)求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？ 【答案】(1)； (2)点的坐标为，当和时，． 【分析】本题考查反比例及一次函数的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函数的性质是本题的解题关键． （1）根据，的面积为1，确定点A的坐标，把点A的坐标分别代入两个解析式即可求解； （2）根据两个解析式求得交点B的坐标，观察图象，得到当x为何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【详解】（1）解：在中，设． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴（负值舍去）． ∴A点的坐标为． 把A点的坐标代入中，得． ∴反比例函数的表达式为． 把A点的坐标代入中，得， ∴． ∴一次函数的表达式． （2）由题意得：， 解得：， 点的坐标为． 由图可知：当和时，． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【解答】解：， ①若，，则经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限， ②若，，则经过一、二、四象限，反比例函数位于一、三象限， 只有选项符合题意， 故选：． 【变式2】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，根据三角形面积计算公式可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴交于点， ∴， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 题型六 反比例函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.反比例函数解决实际问题的方法： ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 2.实际问题中常见的反比例关系： （1）路程型：当路程一定时，时间与平均速度成反比例． （2）面积型 ①矩形：当矩形面积一定时，长与宽成反比例． ②三角形：当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例． （3）物理应用型 ①做功型：当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例． ②压强型：当压力一定时，压强与受力面积成反比例． ③电流型：在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例． 【典例1】某品牌蓄电池的电压为，使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定函数关系，则电流（单位：关于电阻（单位：函数图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据题意得， 电流（单位：关于电阻（单位：函数是反比例函数， 故选：． 【典例2】在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：，已知时，氯化钠的溶解度是36克，在此温度下，设克水可溶解氯化钠克，则关于的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题意可得：， 故． 故选：． 【典例3】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小 时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙 尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 【变式1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数．已知与之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当，时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，由此即可判断A错误；再将代入求出的值，由此即可判断B错误；然后将和代入求出的值，利用反比例函数的增减性即可判断C错误，D正确，由此即可得． 【详解】解：设与之间的函数解析式为， 将点代入得：， ∴，则选项A错误； 当时，，则选项B错误； 当时，， 当时，， ∵在函数中，， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当时，，则选项C错误； 当时，，则选项D正确； 故选：D． 【变式2】如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： 15 20 25 30 20 15 12 10 猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式为　　． 【解答】解：由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数， 设， 把，代入得： ， 将其余各点代入验证均适合， 与的函数关系式为：． 故答案为：． 【变式3】为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列函数关系式中属于反比例函数的是（　　） A．y＝3x B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义解答即可． 【解答】解：A、y＝3x不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意， 故选：B． 2．已知反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象必经过（1，﹣5） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象关于原点中心对称 【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可． 【解答】解：A、把x＝1代入解析式得y＝﹣5，所以点（1，﹣5）在函数图象上，故本选项正确，不符合题意； B、∵k＝﹣5＜0， ∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、∵k＝﹣5＜0， ∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．函数y＝2x与函数y在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵y＝2x中的2＞0， ∴直线y＝2x位于第一、三象限． ∵y中的﹣1＜0， ∴双曲线y位于第二、四象限， 综上所述，只有B选项符合题意． 故选：B． 4．已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3是反比例函数，则m＝　 　 ． 【分析】由反比例函数的定义得到|m|﹣3＝﹣1且m﹣2≠0，由此求得m的值． 【解答】解：依题意得：|m|﹣3＝﹣1且m﹣2≠0， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 5．在功W（J）一定的条件下，功率P（W）是做功时间t（s）的反比例函数，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当t＝35时，P的值为 　　 W． 【分析】先求出P（W）关于t（s）的函数解析式，再将t＝35代入计算即可． 【解答】解：设函数解析式为P， 由图象可知，反比例函数图象过点（60，20）， ∴20， ∴W＝1200， ∴函数解析式为P， 当t＝35时，P， 故答案为：． 6．已知反比例函数，其中k是常数． （1）若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求k的取值范围； （2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？ 【分析】（1）根据反比例函数的图象与系数的关系求解即可； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，2k+3＜0， 解得：； （2）∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴2k+3＞0， ∴． 7．新学期开学前，小美同学买了一个可以调节亮度的护眼灯，她通过阅读说明书并实践操作发现：护眼灯调节亮度原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，护眼灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求I关于R的函数表达式． （2）当R＝1500Ω时，求I的值． 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）把R＝1500Ω代入解析式可求解． 【解答】解：（1）设I关于R的函数解析式为：I， 由题意可得：0.3， ∴k＝240， ∴I关于R的函数解析式为：I； （2）当R＝1500Ω时，I0.16， ∴I的值为0.16． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝﹣bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】判断出a，b，c的符号，确定反比例函数，一次函数图象的位置可得结论． 【解答】解：由题意，a＜0，b＜0，c＞0， ∴反比例函数的图象在二，四象限，一次函数y＝﹣bx+c的图象经过一，二，三象限． 故选：C． 2．已知反比例函数y（k＞0），当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　） A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最小值﹣a D．最大值 【分析】根据反比例函数在一，三象限，在每一个象限内，y随着x的值的增大而减小性质，可求得k＝a，进而可判断：当x＝﹣2时，函数有最大值ya，当x＝﹣1时，函数有最小值y2a． 【解答】解：∵y（k＞0）， ∴反比例函数在一，三象限，在每一个象限内，y随着x的值的增大而减小， ∵当2≤x≤3时，函数y的最大值是a， ∴当x＝2时，y＝a， ∴k＝2×a＝2a， 当﹣2≤x≤﹣1时，反比例函数在第三象限， ∴当x＝﹣2时，函数有最大值ya，当x＝﹣1时，函数有最小值y2a． 故选：B． 3．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1（Ω）（如图1），当人站上踏板时，电阻R1随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m（kg）．已知U0连R1的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（　　） A．在一定范围内，U0越小，R1越大 B．当U0＝4V时，R1的阻值为30Ω C．当踏板上人的质量为95kg时，U0＝3V D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是110kg 【分析】根据图2中U0随R1的增大而减小可得A选项正确；图2中的图象经过点（30，4），可得选项B正确；把m＝95代入图三可得R1为50Ω，而U0＝3V时，对应的是50Ω，故C正确；根据图三可得R1随m的增大而减小，所用求m的最大值，找到R1的最小值10代入即可求得最大该电子体重秤可称的最大质量． 【解答】解：∵图2中U0随R1的增大而减小， ∴在一定范围内，U0越大，R1越小． 故A正确，不符合题意； ∵图2中的图象经过点（30，4）， ∴当U0＝4V时，R1的阻值为30Ω． 故B正确，不符合题意； ∵当m＝95时，R1＝﹣2m+240＝50Ω，U0＝3V时，对应的是50Ω， ∴踏板上人的质量为95kg时，U0＝3V． 故C正确，不符合题意． ∵R1＝﹣2m+240， ∴R1随m的增大而减小． ∵R1的最小值为10， ∴m的最大值为115． ∴若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg． 故D错误，符合题意． 故选：D． 4．若反比例函数在图象在第二、四象限，那么a的取值范围是 ． 【分析】根据反比例函数的图象和性质，由1﹣2a＜0即可解得答案． 【解答】解：∵反比例函数在图象在第二、四象限， ∴1﹣2a＜0， 解得a． 故答案为：a． 5．如图，物理实验小组在实验课上，小华展示用自制“密度计”测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度ρ为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝30cm时，则该液体的密度ρ＝　 　 g/cm3． 【分析】根据题意，设反比例函数的解析式为，代入ρ＝1g/cm3，h＝20cm，得出k的值，再代入h＝30cm到反比例函数的解析式即可解答． 【解答】解：浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，设反比例函数的解析式为， 将ρ＝1g/cm3，h＝20cm，代入得： ， 解得：k＝20， ∴反比例函数为， 当h＝30cm时，得：， 解得：ρ， 故答案为：． 6．如图，一次函数y1＝﹣x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，与反比例函数的图象交于点A，B，已知点A的纵坐标为1． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出y1＞y2时x的取值范围； （3）若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积． 【分析】（1）根据点A的纵坐标为1，代入一次函数y1＝﹣x﹣3得出A（﹣4，1），代入反比例函数解析式即可求解； （2）联立一次函数与反比例数解析式，求得点B（1，﹣4），然后根据函数图象直接写出x的取值范围； （3）一次函数y1＝﹣x﹣3的图象y轴交于点D，则D（0，﹣3），根据点F是点D关于x轴的对称点，则F（0，3），进而根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【解答】解：（1）∵点A在直线y1＝﹣x﹣3上，点A的纵坐标为1， ∴﹣x﹣3＝1，解得x＝﹣4， ∴A（﹣4，1）． ∵点A在反比例函数上， ∴m＝﹣4，∴． （2）∵点B是y1＝﹣x﹣3和的交点， ∴， ∴解得或． ∵点B在第四象限， ∴B（1，﹣4）， ∴由图象可得：当x＜﹣4或0＜x＜1时y1＞y2． （3）∵一次函数y1＝﹣x﹣3的图象与y轴交于点D， 令x＝0，解得：y＝﹣3， ∴D（0，﹣3）． ∵点F是点D关于x轴的对称点， ∴F（0，3）． ∵S△ABF＝S△ADF+S△BDF， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）． （1）分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式； （2）开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？ （3）为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标﹣探究思考，归纳新知﹣辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）从图象上看，AB表示的函数为一次函数，BC是平行于x轴的线段，CD为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答； （2）把自变量的值5和35代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值，比较即可得出结论； （3）要求学习时的注意力指标数不低于40，取y＝40，求出相对应的自变量的值，进而求出注意力指标数不低于40的时间，与30相比较，得出答案． 【解答】解：（1）由图象知，A（0，20），B（10，50），C（30，50）， 设线段AB所在的直线的解析式为：y：＝k1x+20（k1≠0）， 把B（10，50）代入得：10k1+20＝50， 解得：k1＝3， ∴线段AB解析式为：y＝3x+20（0≤x≤10）． 设C、D所在双曲线的解析式为：y（k2≠0）， 把C（30，50）代入得：50， 解得：k2＝1500， ∴曲线CD的解析式为：y（30≤x≤45）； （2）把x＝5代入y＝3x+20，得：y＝35， 把x＝35代入y，得：y， ∵35， ∴第35分钟时学生的注意力更集中； （3）这样的要求能实现．理由如下： 把y＝40代入y＝3x+20得：3x+20＝40，解得：x； 把y＝40代入y，得：40，解得：y2， ∴学习时的注意力指标数不低于40的时间为：， ∵30， ∴这样的要求能实现． 2． 制作简易杆秤 杆秤示意图 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y）．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【设计杆秤】 设定m0＝10克，M＝50克，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把m＝0，m＝100，m＝200，m＝300，m＝400，m＝500，m＝600，m＝700，m＝800，m＝900，m＝1000 代入求解，以此即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：m＝0，y＝0， ∵m0＝10，M＝50， ∴10l＝50a， ∴l＝5a； （2）由题意得：m＝1000，y＝50， ∴（10+1000）l＝50（a+50）， ∴101l﹣5a＝250； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； （4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5， ∴2.5（10+m）＝50（0.5+y）， 则ym； （5）由（4）可知：y， ∴当m＝0时，则有y＝0；当m＝100时，则有y＝5；当m＝200时，则有y＝10；当m＝300时，则有y＝15；当m＝400时，则有y＝20；当m＝500时，则有y＝25；当m＝600时，则有y＝30；当m＝700时，则有y＝35；当m＝800时，则有y＝40；当m＝900时，则有y＝45；当m＝1000时，则有y＝50； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 3．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A与坐标原点O重合，B在x轴的正半轴上，AD＝8，AB＝6，对角线AC，BD相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若将矩形ABCD向右平移2个单位长度，使得双曲线经过点E，求该双曲线的解析式； 【深入探究】 （2）如图2，若将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度，使过点E的双曲线分别与AD，BC交于点F，G．连接EG． ①若AF﹣AE＝2，求S△BEG的值； ②若△AEF为等腰三角形，求t的值． 【分析】（1）由题易得E（5，4），据此求解即可； （2）①由题可得AF＝7，由题设条件可知OA＝t，则F（t，7），E（t+3，4），可得7t＝4（t+3），解得t＝4，求出k值，点G（10，），据此求解即可； ②当△AEF为等腰三角形时，分三种情况讨论：AF＝AE、FE＝AE、FA＝FE，据此分别求解即可． 【解答】解：（1）由题设条件可知OB＝8， ∴B（8，0），D（2，8），B（8，0）， ∵对角线AC，BD相交于点E， ∴点E为BD的中点， ∴E（5，4）， 把E（5，4）代入，得， 解得k＝20． 故该反比例函数的解析式为：； （2）①由勾股定理可得， ∴BE＝AE＝5， ∵AF﹣AE＝2， ∴AF＝7， 由题设条件可知OA＝t，则F（t，7），E（t+3，4）， ∵反比例函数的图象经过点E、F， ∴7t＝4（t+3）， 解得t＝4， ∴k＝7t＝28， ∴反比例函数解析式为， 当x＝10时，， ∴， ∴； ②当△AEF为等腰三角形时，分三种情况讨论： 1°当AF＝AE时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴AF＝AE＝5， ∴F（m，5）， ∵将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度， ∴E（t+3，4）， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：5t＝4（t+3）， 解得t＝12； 2°当FE＝AE时，此时点F与点D重合， ∴F（t，8）， ∵将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度， ∴E（t+3，4）， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：8t＝4（t+3）， 解得t＝3； 3°当FA＝FE时，设F（t，n）， ∵将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度， ∴E（t+3，4），A（t，0）， ∵FA＝FE， ∴（t﹣t）2+（n﹣0）2＝（t+3﹣t）2+（4﹣n）2， 解得：n， ∴F（t，）， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：， 解得， ∵t＞0， ∴与题意不符，故舍去； 综上所述，t的值为3或12． 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 反比例函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数相关概念 掌握反比例函数的有关基础概念，能够区分反比例与正比例函数的形式差异. 较少直接考查，若考查也是以选择题、填空题形式考查，难度低。 反比例函数的图象与性质 要熟练根据k的符号判断图象位置和增减性，能结合图象分析进行函数值的大小比较和变化趋势。 基本出现在选择题或解答题的某一问中，常考函数值比较或增减性分析，注意符号的影响。 反比例函数k 的几何意义 理解∣k∣的几何意义，能求解图象与坐标轴围成的三角形或矩形面积问题。 考查大热门，在选择题、填空题出现的概率较大，要用数形结合思想进行解答，多训练，掌握解题方法。 待定系数法求反比例函数解析式 熟练运用待定系数法求函数解析式的方法步骤 基本在解答题中以其中一问的形式进行考查，难度不大，注意按步骤解答。 反比例函数与一次函数的综合应用 掌握联立方程求两个函数的交点坐标，能结合图象比较不同范围内函数值的大小。 在期末考查中常与一次函数、几何图形结合在一起，难度一般较大，特别是动态问题中的函数分析，尖子生要重点突破此类型题型。 反比例函数的实际应用 能够从实际问题中抽象出反比例函数模型，利用函数解析式解决实际问题。 选择、填空和解答题均有考查题型，题干会给出生活实际场景，需要找出等量关系，难度中等偏下。 知识点01 反比例函数的相关概念 （1）概念：一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）三种表示形式 ①y=（k为常数，k≠0）． ②xy=k（k为常数，k≠0）． ③（k为常数，k≠0）． （3）反比例函数y=中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数，若k=0，则y=0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义． 知识点02 反比例函数的图象和性质 （1）反比例函数图象的画法 ①列表：自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三列表对或三对以上互为相反数的数，并计算相应的y值，以表格的形式表示出来； ②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点； ③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸． （2）反比例函数图象的特点 ①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； ②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； ③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=-x）． （3）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数； ②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线； ③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点； ④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点． （4）反比例函数的性质： 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图象 性质 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 知识点03 反比例函数k 的几何意义 如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN =|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|． 知识点04 用待定系数法求反比例函数的解析式 （1）设——根据题意，设反比例函数的解析式为； （2）代——把它的一对对应值（x，y）代入中，得到关于k的方程； （3）解——解方程，求出常数k； （4）写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式．知识点05 反比例函数的实际应用 用反比例函数解决实际问题的步骤： （1）审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系． （2）设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示． （3）列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数． （4）写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围． （5）解——用函数解析式去解决实际问题． （6）检——检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论． （7）答——写出实际问题的答案，保证解题的完整性． 题型一 反比例函数相关概念 解｜题｜技｜巧 识别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式或变形形式xy=k（k是常数，k≠0），（k是常数，k≠0）进行筛选． 【典例1】下列函数中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【典例2】已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ． 【变式1】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 题型二 反比例函数的图象与性质 解｜题｜技｜巧 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线；②一、三象限的角平分线；对称中心是：坐标原点． 易｜错｜点｜拨 1．反比例函数的增减性，必须强调在“每一象限内”． 2．反比例关系不一定是反比例函数，比如y与x2成反比例，但y不是x的反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系 【典例1】关于反比例函数，下列说法中错误的是　　 A．时，随的增大而减小 B．当时， C．它的图象位于第二、四象限 D．当时，有最小值为 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【典例3】如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为　　 A． B． C． D． 【典例4】若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，， 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．若，则 C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而减小 【变式3】 如图，直线与双曲线相交于、两点，则点坐标为　　 A． B． C． D．， 【变式4】已知点，在反比例函数的图象上，则的大小关系 ． 题型三 反比例函数k 的几何意义 易｜错｜点｜拨 由于k有正、负之分，在利用反比例系数k的几何意义，求面积时，加上绝对值符号． 【典例1】如图，反比例函数在第一象限，△的面积是1.5，则反比例函数中，是　　 A．1.5 B． C．3 D． 【典例2】如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点、在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为6，则的值为　　 A．6 B． C．3 D． 【变式1】如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为　　 A．18 B．36 C． D． 【变式2】如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则 ． 题型四 待定系数法求反比例函数解析式 解｜题｜技｜巧 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 【典例1】已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数的表达式为　　 A． B． C． D． 【变式1】若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【变式2】如图，已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B、C在x轴负半轴上，反比例函数的图象经过点D（﹣1，3），交AB于点E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△CBE的面积． 题型五 反比例函数与一次函数的综合应用 解｜题｜技｜巧 反比例函数与一次函数的交点问题,求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 易｜错｜点｜拨 【典例1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致　　 A． B． C． D． 【典例2】如图，已知反比例函数 （）与一次函数相交于A、B两点（点A在第一象限），轴于点C．若的面积为1，且． (1)求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？ 【变式1】在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是　　 A． B． C． D． 【变式2】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 题型六 反比例函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.反比例函数解决实际问题的方法： ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 2.实际问题中常见的反比例关系： （1）路程型：当路程一定时，时间与平均速度成反比例． （2）面积型 ①矩形：当矩形面积一定时，长与宽成反比例． ②三角形：当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例． （3）物理应用型 ①做功型：当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例． ②压强型：当压力一定时，压强与受力面积成反比例． ③电流型：在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例． 【典例1】某品牌蓄电池的电压为，使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定函数关系，则电流（单位：关于电阻（单位：函数图象大致是　　 A． B． C． D． 【典例2】在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：，已知时，氯化钠的溶解度是36克，在此温度下，设克水可溶解氯化钠克，则关于的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【典例3】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小 时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙 尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【变式1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数．已知与之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当，时， C．当时， D．当时， 【变式2】如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： 15 20 25 30 20 15 12 10 猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式为　　． 【变式3】为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列函数关系式中属于反比例函数的是（　　） A．y＝3x B． C． D． 2．已知反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象必经过（1，﹣5） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象关于原点中心对称 3．函数y＝2x与函数y在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3是反比例函数，则m＝　 　 ． 5．在功W（J）一定的条件下，功率P（W）是做功时间t（s）的反比例函数，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当t＝35时，P的值为 　　 W． 6．已知反比例函数，其中k是常数． （1）若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求k的取值范围； （2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？ 7．新学期开学前，小美同学买了一个可以调节亮度的护眼灯，她通过阅读说明书并实践操作发现：护眼灯调节亮度原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，护眼灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求I关于R的函数表达式． （2）当R＝1500Ω时，求I的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝﹣bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．已知反比例函数y（k＞0），当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　） A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最小值﹣a D．最大值 3．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1（Ω）（如图1），当人站上踏板时，电阻R1随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m（kg）．已知U0连R1的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（　　） A．在一定范围内，U0越小，R1越大 B．当U0＝4V时，R1的阻值为30Ω C．当踏板上人的质量为95kg时，U0＝3V D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是110kg 4．若反比例函数在图象在第二、四象限，那么a的取值范围是 ． 5．如图，物理实验小组在实验课上，小华展示用自制“密度计”测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度ρ为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝30cm时，则该液体的密度ρ＝　 　 g/cm3． 6．如图，一次函数y1＝﹣x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，与反比例函数的图象交于点A，B，已知点A的纵坐标为1． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出y1＞y2时x的取值范围； （3）若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）． （1）分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式； （2）开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？ （3）为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标﹣探究思考，归纳新知﹣辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由． 2． 制作简易杆秤 杆秤示意图 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y）．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【设计杆秤】 设定m0＝10克，M＝50克，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 3．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A与坐标原点O重合，B在x轴的正半轴上，AD＝8，AB＝6，对角线AC，BD相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若将矩形ABCD向右平移2个单位长度，使得双曲线经过点E，求该双曲线的解析式； 【深入探究】 （2）如图2，若将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度，使过点E的双曲线分别与AD，BC交于点F，G．连接EG． ①若AF﹣AE＝2，求S△BEG的值； ②若△AEF为等腰三角形，求t的值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $