八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷（沪教版五四制2024，举一反三）

八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【沪教版五四制2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先计算，然后运用二次根式的乘法、除法以及混合运算法则逐项判断即可． 【详解】解：， A． ，故不符合题意； B． ，故不符合题意； C． ，故不符合题意； D． ，故符合题意． 故选D． 2．（25-26八年级上·河南·月考）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 3．（25-26八年级上·广东梅州·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若，则图2中阴影部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键． 设，根据题意得出，得出阴影部分的面积为，代入求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴， ∴阴影部分的面积为2, 故选：B． 4．（25-26七年级上·山东烟台·期中）的三边长分别为、、，下列四个选项能判断为直角三角形有（   ）个 ①，； ②，，； ③，，； ④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，可判断①；先计算出、、，再根据三角形三边关系可判断②；利用勾股定理的逆定理可判断③；先根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理求出，可判断④． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴是直角三角形； ②∵，，，且，不满足三角形两边之和大于第三边的性质， ∴此时、、不能构成三角形； ③∵，，， ∴， ∴不是直角三角形； ④∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 综上所述，只有①和④能判断为直角三角形，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 5．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，网格与勾股定理，角平分线的判定，，，利用勾股定理求出，证明得到从而得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 设每个方格的长度为1， ，，，， ， 又， ， ，即为的平分线， 点符合题意，，，不符合题意， 故选：A． 6．（24-25九年级上·湖北随州·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式．根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：3． 8．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得： ， 故小汽车的速度为 s． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，立方根和算术平方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴； 故答案为：． 10．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 11．（25-26八年级上·上海·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小林用来表示的小数部分．事实上，小林的表示方法是有道理的，因为，即的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．如果的小数部分为a，的整数部分为b，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a、b的值是解题的关键．先估算出与的大小，可得到a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 原式， 故答案为：． 12．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据将被开方数变形，再根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a为正整数，b在0和1之间， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，在中，于点是斜边的中点．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据题意先求出，，利用直角三角形两锐角互余求得，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，求得的度数，进而得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，的平分线和边的垂直平分线交于点（点在上），过点作，交的延长线于点，作于点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质并证明三角形全等是解题的关键． 先利用角平分线的性质得到，垂直平分线的性质得到，再证明，得出；接着证明，得出，最后结合、的长度建立等式求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）实数a，b，c满足，．当时， ；实数a的取值范围是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查配方法的应用，等式的性质，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键； 把代入，可得：，然后把，代入，求得，把代入，得到，然后即可求解； 【详解】解：把代入， 即， ∴， 把，代入，即， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 故答案为：4；； 18．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填写序号）． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理． 证明，可知，即；由平分得到，进而可知；过D作于Q，则，根据角平分线的性质定理得到，即，根据的边上的高和的边上的高相同可知；证明，得到，即可求出；证明，得到，进而可知． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴由三角形内角和定理得：， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴，①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，②正确； 过D作于Q， 则， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴，④错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在直角和直角中，，， ∴（）， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴，⑤正确； 故答案为：②③⑤． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小红折叠时，定点落在边上的点处（折痕为）． (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和长方形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键． （1）先根据矩形的性质得到，，，再根据折叠的性质得，，则可利用勾股定理计算出； （2）计算出的长，设，则，然后在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形   ， 折叠                                 由勾股定理，得： （2），， ， 设 则                              由勾股定理，得： 解得： 所以，的长为 20．（4分）（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的值为； (3)的算术平方根为． 【分析】（1）根据题意可知比小2，即可求解； （2）结合（1），把的值代入计算即可； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，可得，即可得，求算术平方根即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴实数的值是． 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ． ∴的值为． （3）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值，代数式求值，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求算术平方根． 21．（4分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1． (1)图中阴影部分正方形的面积是______，它的边长a是______； (2)我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 【答案】(1)17， (2) 【分析】本题考查勾股定理，算术平方根的实际应用，无理数的估算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）勾股定理求出正方形的面积，求出算术平方根，即可得到边长； （2）夹逼法求出整数部分和小数部分，进行计算即可． 【详解】（1）解：由勾股定理，得：； 正方形的面积； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 22．（4分）（25-26八年级上·陕西·期中）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)求证： (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，还需注意方程思想在这类问题中的应用． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据勾股定理公式的变形可求得是直角三角形，即可证明． （2）先求出的长度，设所求线段为，利用（1）的结论，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）证明：点是边的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， 是直角三角形， ． （2）解：点是边的中点，， ， 在中，，，， ， 设，则， ， ， 解之得：． 即：． 23．（4分）（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：    (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 【答案】(1)， (2)66 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）求出前面几个图形中黑色正方形和白色正方形的个数，进而得到规律求解即可； （2）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题干得，图n的黑色正方形有，白色正方形比黑色正方形多n个 ∴图n 的白色正方形有个； （2）解：图1中，等边三角形的个数为2个； 图2中，等边三角形的个数为3个： 图3 中，等边三角形的个数为4个； 图4中，等边三角形的个数为5个； ……， 以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个， ∵图n 中黑色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， ∴， 解得或（舍去）， 当时，， ∴图n 中白色正方形的个数为66个． 24．（4分）（25-26九年级上·山西朔州·期中）综合与实践 【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 【数学思考】（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，如果，当时，求的度数； ②“善思小组”提出问题：如图3，如果，．当时，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）①；②12． 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，再证明，从而可得结论； （2）①由全等三角形的性质证明，，求解，再进一步求解即可；②利用勾股定理求解，证明，可得，可得．结合，可得，证明，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：．理由：如图1，连接AF， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图2，由旋转可得，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ②如图3，∵，，， ∴． 由旋转的性质知，，，，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握旋转的性质是解本题的关键． 25．（6分）（25-26九年级上·福建福州·期中）阅读材料后解答问题： 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为 ∴，则． 材料2：已知实数、满足，且，求的值． 解：依题意得：与为方程的两根， ∴，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则______，_____． (2)类比应用：已知实数、满足，求的值． (3)思维拓展：设，且，求的值． 【答案】(1)3， (2)或2 (3) 【分析】（1）直接应用根与系数关系求解； （2）分情况讨论后，再通过根与系数关系得到和的值，再将变形为，代入求值即可； （3）通过方程变形发现的关系，代入表达式化简求值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为和， ∴，， 故答案为：3，； （2）解：∵实数、满足， ∴当时，原式； 当时， 令一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， 综上可得：原式的值为2或； （3）解： ， ∴， 设，则， ∴c是一元二次方程的根， ， ∴也是一元二次方程的根， 假设和c是一元二次方程两个不同的根， 则，， ， ∴， ∴，与矛盾， ∴假设不成立， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）以及代数式的化简求值，第3问难度较大，证明是解题的关键． 26．（6分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 27．（8分）（25-26八年级上·四川成都·期中）综合探究：“在中，、、三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的边长分别为（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式（）的最小值． 【答案】(1)3.5 (2) (3)45 【分析】本题主要考查“勾股定理”，理解题意中的构图法，并运用构图法构造问题中所求式子对应的三角形是解题关键． （1）通过作差法，用大正方形的面积减去三个小三角形的面积即可； （2）根据根号下式子的特征，确定横、纵格子的个数，来确定顶点的位置，画出对应的三角形，再通过作差法求面积即可； （3）构造两个直角三角形，使斜边长等于式子中每个根式的值，再通过将军饮马求最值的方法求解出线段和的最值，即可求出该式子的最值． 【详解】（1）由图，得， 故答案为：3.5． （2）如图，根据题意构造， ∴． （3）如图，构造图形如下，则线段，线段， 作点M关于直线的对称点，连接，则为的最小值，即的长为代数式的最小值， ∴， ∴的最小值为45． 28．（8分）（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，，点在边上运动，沿着折叠得到．若线段与边相交，则记交点为． (1)若，求的长度； (2)如图，当，求的长度； (3)如图，在点的运动过程中，当时，连接，直接写出的长度． 【答案】(1)； (2)； (3)的长为或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，折叠的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据勾股定理得，然后利用等面积法即可求解； （）过作于点，同（）理得，由折叠性质可知，，，所以，求得，故有，然后通过勾股定理即可求解； （）分如图，当与重合时，如图，当在下方时，然后通过全等三角形的判定与性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于点， 同（）理得， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当与重合时， ∴， ∴； 如图，当在下方时， 过作于点，作于点， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 综上可得：的长为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【沪教版五四制2024】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共28题，单选6题，填空12题，解答10题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南·月考）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东梅州·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若，则图2中阴影部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（25-26七年级上·山东烟台·期中）的三边长分别为、、，下列四个选项能判断为直角三角形有（   ）个 ①，； ②，，； ③，，； ④， A．个 B．个 C．个 D．个 5．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级上·湖北随州·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 8．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    9．（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ． 10．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 11．（25-26八年级上·上海·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小林用来表示的小数部分．事实上，小林的表示方法是有道理的，因为，即的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．如果的小数部分为a，的整数部分为b，则 ． 12．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 13．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    14．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，在中，于点是斜边的中点．若，则的度数为 ． 15．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 16．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，的平分线和边的垂直平分线交于点（点在上），过点作，交的延长线于点，作于点，连接．若，则的长为 ． 17．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）实数a，b，c满足，．当时， ；实数a的取值范围是 ． 18．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填写序号）． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小红折叠时，定点落在边上的点处（折痕为）． (1)求的长； (2)求的长. 20．（4分）（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 21．（4分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1． (1)图中阴影部分正方形的面积是______，它的边长a是______； (2)我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 22．（4分）（25-26八年级上·陕西·期中）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)求证： (2)若，，求的长度． 23．（4分）（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：    (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 24．（4分）（25-26九年级上·山西朔州·期中）综合与实践 【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 【数学思考】（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，如果，当时，求的度数； ②“善思小组”提出问题：如图3，如果，．当时，求线段的长． 25．（6分）（25-26九年级上·福建福州·期中）阅读材料后解答问题： 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为 ∴，则． 材料2：已知实数、满足，且，求的值． 解：依题意得：与为方程的两根， ∴，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则______，_____． (2)类比应用：已知实数、满足，求的值． (3)思维拓展：设，且，求的值． 26．（6分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 27．（8分）（25-26八年级上·四川成都·期中）综合探究：“在中，、、三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的边长分别为（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式（）的最小值． 28．（8分）（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，，点在边上运动，沿着折叠得到．若线段与边相交，则记交点为． (1)若，求的长度； (2)如图，当，求的长度； (3)如图，在点的运动过程中，当时，连接，直接写出的长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $