七年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷（沪教版五四制2024，举一反三）

七年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【沪教版五四制2024】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共28题，单选6题，填空12题，解答10题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末），，，是四个常数，根据表中的数据，下列判断错误的是（    ） 7 1 A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是(   ) A．11 B．12 C．13 D．14 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 6．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级上·全国·期中）已知，且满足两个等式，，则的值为 ． 8．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上．若，则的度数为 ． 9．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知实数满足，则的值为 ． 11．（25-26八年级上·四川资阳·期中）如果，，那么等于 ． 12．（25-26七年级上·重庆·期中）图中的正方形由9个小方格组成，在每个小方格中各填一个代数式，使每行、每列、每条对角线上的三个代数式的和相等，已知小方格中部分代数式如图，则 ． A x B 13．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）若多项式与多项式的差不含二次项，则m等于 ． 14．（24-25七年级下·江苏·期中）如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 15．当，时，代数式，那么当，时，代数式的值为 ． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）“七巧板”被誉为“东方魔方”，如图是一个由七巧板拼成的边长为4的正方形．现从中选取5块拼成一个四边形（拼图不能有空隙和重叠），若这个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则这个四边形的面积是 ． 17．（24-25九年级上·重庆江北·月考）关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 18．（25-26八年级上·福建泉州·期中）“南安赛场燃热血，少年逐梦展锋芒；青春赛道竞风流，学子挥汗谱华章”．近日南安某中学举行秋季运动会，由若干名同学组成一个10列的长方形队列．若原队列增加54人，就能组成一个正方形队列；若原队列减少54人，也能组成一个正方形队列．则原长方形队列有 名同学． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 20．（4分）（25-26八年级上·福建泉州·期中）观察下列等式： … 根据以上规律，解决下列问题： (1)填空： ； (2)试说明：比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除． 21．（4分）（25-26八年级上·江西上饶·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知(，若，求y的值； (3)若，求的值． 22．（4分）如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中． (1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形； (3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形． 23．（4分）（25-26八年级上·湖南常德·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则 ，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 24．（4分）（25-26八年级上·福建泉州·月考）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？ 我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算时，可依照的计算方法用竖式进行计算． 因此． (1)的商是______，余式是______． (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值． 25．（6分）（25-26七年级上·上海·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图中的三角形①、③、⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“翻折”）；也可以看作由三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，请在网格中作出三角形②和直线． (2)通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过___________来实现． (3)基于问题（2）的发现，于是聪明的你提出一个猜想：图形的一次平移能否通过两次旋转实现？例如：三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形④：再将三角形④绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形⑤．完成以上填空并在网格中作出三角形④． 26．（6分）（25-26八年级上·河北邢台·期中）某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间多多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 27．（8分）（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． (1)根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式： ． (2)将一张大长方形纸板按图2中所示方式裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分的面积为80平方厘米，大长方形纸板的周长为48厘米，求图2中空白部分的面积． 28．（8分）（25-26七年级上·山东青岛·期中）【实际问题】 快递公司将4个相同的长方体物品包装成一个大长方体包裹，每个长方体物品的长、宽、高分别是．大长方体包裹的表面积最小是多少？ 【解决问题】 如图，将这4个小长方体拼成一个大的长方体，有4种方式： 这4种方式中表面积的最小值为_____________dm2； 【问题拓展】 小明觉得这种问题很有趣，他想研究： 将4个长、宽、高分别是，，的小长方体拼成一个大的长方体．这个大长方体表面积最小是多少？ 显然，这里也有4种类似的方式： （1）猜想结论：由前面的实际问题我们可以猜想：方式③拼成的大长方体表面积最小． （2）验证结论：设方式①，②，③，④搭成的大长方体表面积分别是，，，． 因为，，， 所以， 因为，所以，所以， 所以． ①请你用上面的方法比较和的大小； ②求出，并比较和的大小； （3）归纳结论：将四个长、宽、高分别是，，的小长方体拼成一个大的长方体，这个大长方体表面积的最小值是多少？（直接写出你的结论） （4）应用结论： 某包装厂需要将长、宽、高分别是的4个完全相同的长方体零件，包装到一个大长方体形纸盒中，大长方体表面积的最小值是_____________cm2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【沪教版五四制2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式需能因式分解，选项A、B、C均可使多项式通过完全平方公式或平方差公式因式分解，而选项D引入四次项导致无法分解． 【详解】解：A、★=，多项式为，可分解． B、★=，多项式为，可分解． C、★=，多项式为，且，可分解． D、★=，多项式为，无法因式分解． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末），，，是四个常数，根据表中的数据，下列判断错误的是（    ） 7 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，解一元一次方程，解分式方程，把代入即可求出的值，再将的值代入即可求出a的值，把代入即可求出的值，再将的值代入即可求出b的值，即可判断． 【详解】解：把代入，即， 解得，故选项C正确，不符合题意； 将的值代入，即，故选项A正确，不符合题意； 把代入，即， 解得：， 经检验，是分式方程的解，故选项D正确，不符合题意； 将代入，即，故选项B错误，符合题意； 故选：B． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方逆运算、积的乘方的逆运算的应用及代数式求值，先得出，进而求出，再整体法代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是(   ) A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及利用配方法确定代数式取值范围．解题的关键是通过联立方程消去n，结合的条件得出a与b的关系，再将n转化为关于a的二次函数，结合自然数的要求确定最小值． 联立等式消去n，整理后因式分解求得每个因式为0，利用得到；将代入n的表达式，转化为a的表达式；根据排除特殊值，结合n为自然数确定最小值即可． 【详解】∵， ∴， 整理得， ， ． ∵， ∴，即． 将代入，得：． ∵， ∴，即，故．即， 因n为自然数，故n的最小值是13， 此时，此时，符合题意， 故选：C． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查多项式的运算与大小比较，解题的关键是通过作差法比较甲、乙球员击球旋转数的大小． 先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 【详解】解：展开甲球员的击球旋转数：， 展开乙球员的击球旋转数：， 作差比较：， ， ，即， 甲球员击出的球更转． 故选：A． 6．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，将化为，，，然后代入，推出，可得结论．掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级上·全国·期中）已知，且满足两个等式，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查因式分解的应用，联立方程，通过因式分解求出的值，再将因式分解得，将的值代入求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，则 ∴，则， ∴． 故答案为：4． 8．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、平角的定义、角的和差等知识点，掌握旋转不改变角的大小是解题的关键． 根据旋转的性质可得，再根据平角的性质列式计算即可． 【详解】解：∵将绕点旋转得到， ∴， ∵点，，在同一条直线上． ∴． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 【答案】线段、圆 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念作答． 【详解】解：线段、圆既是轴对称图形又是中心对称的图形； 等边三角形只是轴对称图形； 平行四边形只是中心对称的图形； 故答案为：线段、圆． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，得到，代入化简解答即可． 本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4051． 11．（25-26八年级上·四川资阳·期中）如果，，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用已知条件和，先求出，再计算平方和，最后代入求解即可，熟练掌握完全平方公式，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·重庆·期中）图中的正方形由9个小方格组成，在每个小方格中各填一个代数式，使每行、每列、每条对角线上的三个代数式的和相等，已知小方格中部分代数式如图，则 ． A x B 【答案】 【分析】本题考查整式的加减应用，先求出，再根据第一列和第三列的和可得，求出即可． 【详解】解：每行、每列、每条对角线上的三个代数式的和相等，相等的和为， 如下表： A x B 由第三列的和得：， 由左下到右上对角线的和得：， 由第二行的和得， ∴， 整理得， 由第一列的和与第三列的和可得，， ∴ ， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）若多项式与多项式的差不含二次项，则m等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握整式加减运算法则． 先求两个多项式的差，合并同类项后，令二次项的系数为零，解方程即可． 【详解】解：计算两个多项式的差： ， 由于差不含二次项，则二次项系数， 解得 ． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏·期中）如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．依据旋转变换以及轴对称变换，即可使与重合． 【详解】解：先将绕着的中点旋转，再将所得的三角形绕着的中点旋转°，即可得到； 先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着过点与垂直的直线翻折，即可得到； 故答案为：③④． 15．当，时，代数式，那么当，时，代数式的值为 ． 【答案】1998 【分析】先把，代入，整理得，再把，代入，整理得，变形为，再整体代入即可求解． 【详解】解：把，代入得， 整理得， 把，代入得 ． 故答案为：1998 【点睛】本题考查了求代数式的值，理解题意，根据已知条件得到代数式的值，并能整体代入是解题关键． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）“七巧板”被誉为“东方魔方”，如图是一个由七巧板拼成的边长为4的正方形．现从中选取5块拼成一个四边形（拼图不能有空隙和重叠），若这个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则这个四边形的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查七巧板，轴对称图形，中心对称图形．先根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断出四边形的形状为正方形，再拼出图形，即可求解． 【详解】解：七块七巧板拼成的正方形边长为4， 这个大正方形的面积为16， 如图，用2块大直角三角形之外的5块七巧板拼成正方形， 这个四边形的面积是， 故答案为：8． 17．（24-25九年级上·重庆江北·月考）关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组合一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集，通过解不等式组确定一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定一个取值范围，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】解：， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴， ∴， 又∵关于的分式方程有非负整数解， ∴为非负整数， 由为整数可知， 为偶数，即为奇数， 由分母可知， ，则，解得， 综上，符合条件的整数需满足， 为奇数且， ∴的取值为，， 所有整数的和为 故答案为：2． 18．（25-26八年级上·福建泉州·期中）“南安赛场燃热血，少年逐梦展锋芒；青春赛道竞风流，学子挥汗谱华章”．近日南安某中学举行秋季运动会，由若干名同学组成一个10列的长方形队列．若原队列增加54人，就能组成一个正方形队列；若原队列减少54人，也能组成一个正方形队列．则原长方形队列有 名同学． 【答案】730或90 【分析】本题主要考查因式分解的应用，设原长方形队列有 （n为正整数）名同学，增加54人可组成的正方形队列，减少54人可组成 的正方形队列，由人数不变，可列出关于a，b的方程组，作差后可得出，即，结合和同奇或同偶及，可求出a，b的值，结合方程①可求出n值，取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设原长方形队列有（n为正整数）名同学，增加54人可组成的正方形队列，减少54人可组成 的正方形队列， 根据题意得： ， 由得：，即， ∵和同奇或同偶，且 ， ∴ 或， ∴ 或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． ∴原长方形队列有730或90名同学． 故答案为：730或90． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）根据分式方程无解，得到整式方程无解或分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：； 故． 20．（4分）（25-26八年级上·福建泉州·期中）观察下列等式： … 根据以上规律，解决下列问题： (1)填空： ； (2)试说明：比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了规律问题，因式分解的应用． （1）直接根据题干等式作答即可； （2）设这个偶数为（n是整数），则比它大5的数为，求出，即可证明能被5整除，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：设这个偶数为（n是整数），则比它大5的数为， 由（1）可知 ， 能被5整除， 即能被5整除， 比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除． 21．（4分）（25-26八年级上·江西上饶·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知(，若，求y的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)4；64 (2)60 (3) 【分析】本题主要考查了乘方的应用，同底数幂相乘，幂的乘方， 对于（1），根据，再结合新定义解答； 对于（2），根据新定义得，进而求出，再根据可得，则此题可解； 对于（3），根据新定义得，再将化为 ，然后根据代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4；64； （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 22．（4分）如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中． (1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形； (3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的设计，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． （1）把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称图形；根据上述性质，即可拼接组成图形； （2）结合（1）即可拼接组成图形； （3）结合（1）即可拼接组成图形． 【详解】（1）解：如图1所示： （2）解：如图2所示： （3）解：如图3所示： 23．（4分）（25-26八年级上·湖南常德·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则 ，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①√；②× (2) (3)7 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （1）根据互动分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）根据（2）找规律求出；再根据分式方程解的情况求出，求出代数式，再对代数式配方求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∴， ∴是分式的“互动分式”， ②∵， ， ∴， ∴不是分式的“互动分式”， 故答案为：①√；②×． （2）解：设的“互动分式”为， 则， ∴， 即， ∴． 所以分式的“互动分式”为； （3）解：∵设的“互动分式”为， ∴， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴且， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义， ∴， ∴当时的最大值是7． 24．（4分）（25-26八年级上·福建泉州·月考）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？ 我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算时，可依照的计算方法用竖式进行计算． 因此． (1)的商是______，余式是______． (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． （1）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）根据多项式除以多项式的法则计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；． （2）解：． 多项式能被整除． ，． ，． ． 25．（6分）（25-26七年级上·上海·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图中的三角形①、③、⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“翻折”）；也可以看作由三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，请在网格中作出三角形②和直线． (2)通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过___________来实现． (3)基于问题（2）的发现，于是聪明的你提出一个猜想：图形的一次平移能否通过两次旋转实现？例如：三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形④：再将三角形④绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形⑤．完成以上填空并在网格中作出三角形④． 【答案】(1)平移，画图见解析 (2)两次轴对称 (3)顺，，逆，，画图见解析 【分析】本题考查的是平移，轴对称，旋转的性质与画图． （1）根据平移与轴对称的性质进行解答与画图． （2）根据轴对称的性质解答即可． （3）根据旋转的性质进行解答与画图即可． 【详解】（1）解：如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次平移得到； 三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，画图如下： 故答案为：平移； （2）解：通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过两次轴对称来实现， 故答案为：两次轴对称； （3）解：如图，三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点顺时针旋转．得到三角形④：再将三角形④绕着点逆时针旋转．得到三角形⑤．画图如下： 故答案为：顺，，逆，． 26．（6分）（25-26八年级上·河北邢台·期中）某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间多多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 【答案】（1）嘉嘉在两项活动中的用时相差秒；（2）嘉嘉在活动一的速度为4米/秒；（3）嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒 【分析】本题考查分式方程解实际应用题，涉及分式运算、解分式方程等知识，读懂题意，准确列出分式及分式方程，掌握分式方程解法是解决问题的关键． （1）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，作差，利用分式减法运算求解即可得到答案； （2）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，列出分式方程，求解即可得到答案； （3）根据题意，设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒，列出分式方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （秒）， 答：嘉嘉在两项活动中的用时相差秒； （2）解：， 化简，得， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉在活动一的速度为4米/秒； （3）设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒， ， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒． 27．（8分）（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． (1)根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式： ． (2)将一张大长方形纸板按图2中所示方式裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分的面积为80平方厘米，大长方形纸板的周长为48厘米，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)①；②60平方厘米 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）大正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积等于三个正方形的面积加上六个长方形面积，据此用两种方法表示出大正方形的面积即可得到答案； （2）①大长方形面积等于其长乘以其宽，大正方形面积等于四个正方形面积加上五个长方形面积，据此用两种方法表示出大长方形的面积即可得到答案；②根据阴影部分的面积可以推出，根据大长方形的周长可推出，再由完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：图1中大正方形的边长为，则其面积为， 图1中大正方形的面积等于三个正方形的面积加上六个长方形面积，则其面积为， ∴； （2）解：①图2的最大的长方形面积为，其面积又为， ∴； ②∵阴影部分的面积为80平方厘米， ∴， ∴， ∵大长方形纸板的周长为48厘米， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴空白部分的面积为60平方厘米． 28．（8分）（25-26七年级上·山东青岛·期中）【实际问题】 快递公司将4个相同的长方体物品包装成一个大长方体包裹，每个长方体物品的长、宽、高分别是．大长方体包裹的表面积最小是多少？ 【解决问题】 如图，将这4个小长方体拼成一个大的长方体，有4种方式： 这4种方式中表面积的最小值为_____________dm2； 【问题拓展】 小明觉得这种问题很有趣，他想研究： 将4个长、宽、高分别是，，的小长方体拼成一个大的长方体．这个大长方体表面积最小是多少？ 显然，这里也有4种类似的方式： （1）猜想结论：由前面的实际问题我们可以猜想：方式③拼成的大长方体表面积最小． （2）验证结论：设方式①，②，③，④搭成的大长方体表面积分别是，，，． 因为，，， 所以， 因为，所以，所以， 所以． ①请你用上面的方法比较和的大小； ②求出，并比较和的大小； （3）归纳结论：将四个长、宽、高分别是，，的小长方体拼成一个大的长方体，这个大长方体表面积的最小值是多少？（直接写出你的结论） （4）应用结论： 某包装厂需要将长、宽、高分别是的4个完全相同的长方体零件，包装到一个大长方体形纸盒中，大长方体表面积的最小值是_____________cm2． 【答案】【问题拓展】①见解析②，当时，；当时，；当时，（3）当时，表面积最小值为；当时，表面积最小值为；当时，表面积最小值为；（4） 【详解】解：【解决问题】依题意可得四种拼法对应的大长方体尺寸及表面积分别为： 方式①： 方式②： 方式③： 方式④： ∴四种方式中表面积的最小值是 ． 【问题拓展】①， ∵， ∴， ∴， ∴； ②， ， 当时，； 当时，； 当时，； （3）答案为：当时，表面积最小值为； 当时，表面积最小值为；当时，表面积最小值为； （4）∵， ∴， 此时最小， ． 故大长方体的最小表面积是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $