17.2.2 配方法（课件）2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过完全平方式填空题（如x²+8x+m是完全平方式求m）回顾旧知，搭建从完全平方式到配方法的学习支架，衔接自然。 其亮点是以蔬菜产量增长率问题引入方程，渗透化归思想，通过“化1、移项、配方、开方、求解”步骤归纳和分层练习，培养抽象能力、运算能力和模型意识，帮助学生掌握方法，教师教学更高效。

沪科版·八年级下册 第17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法 配方法 学习目标 1 2 掌握用配方法解一元二次方程. 理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法. 3 在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣. 2 回顾导入 1. 已知代数式 x2 + 8x + m 是一个完全平方式，则 m 的值为_________. 2. 已知代数式 x2 + nx + 9 是一个完全平方式，则 n 的值为_________. 16 6 或 – 6 推进新课 问题1：某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为 200 t）. 要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到 1%） x 知识点 用配方法解一元二次方程 x2 + 2x – 1 = 0. 如何解这个方程？ 思 考 把常数项移到等号右边，得 x2 + 2x = 1. 方程两边同时加上 1，得 x2 + 2x + 1 = 1 + 1. 则 (x + 1)2 = 2. x2 + 2x – 1 = 0. 开平方，得 所以原方程的根是 为什么 在方程两边同时加上数“1” ？ 只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式. 像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 配方法的基本思路： 把方程化为 (x + n)2 = p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. “化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.配方法是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方求解的方法，这是一种化归方法. 练一练 填空： 【教材P26练习 T1】 （1）x2 – 8x + ( )2 = (x – )2； （2）y2 + 5y + ( )2 = (y + )2； （3）x2 – + ( )2 = (x – )2； （4）x2 + px + ( )2 = (x + )2. 4 4 例 2 用配方法解下列方程： （1） x2 – 4x – 1 = 0；（2）2x2 – 3x – 1 = 0. 分析：(1) 方程的二次项系数为 1，直接运用配方法. 解：（1）移项，得 x2 – 4x = 1. 配方，得 x2 – 2×x×2 + ____ = 1 + ____. 4 4 则 (x – ____) 2 = ____. 2 5 开平方，得 _____________. 所以原方程的根是 x1 = _______，x2 = _______. （2）2x2 – 3x – 1 = 0. 分析：先将方程的二次项系数化为 1，再配方. 解：（2）先把 x2 的系数变为 1，即把原方程两边同除以 2，得 移项，得 配方，得 则 开平方，得 所以原方程的根是 用配方法解一元二次方程的步骤： 化二次项系数为 1. 1 2 移项，含未知数的项移至左边，常数项移至右边. 3 配方，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方. 4 开方，利用平方根的意义开平方. 5 解两个一元一次方程. 归 纳 最关键的步骤 练一练 解下列方程： 【教材P26练习 T2】 （1）x2 = 25；（2）(2x – 2)2 = x2； （5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0. （3） ；（4）x2 – 3x – 2 = 0； 直接开平方法 配方法 解：（1）开平方，得 x = ±5 所以原方程的根是 x1 = 5，x2 = – 5. （2）开平方，得 2x – 2 = x 或 2x – 2 = – x 所以原方程的根是 （3） ；（4）x2 – 3x – 2 = 0； （3）整理，得 开平方，得 所以原方程的根是 （4）移项，得 x2 – 3x = 2 配方，得 则 开平方，得 所以原方程的根是 （3） ；（4）x2 – 3x – 2 = 0； （5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0. （5）方程两边同除以 3，得 移项，得 配方，得 则 开平方，得 所以原方程的根是 （5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0. （6）方程两边同除以 2，得 移项，得 配方，得 则 开平方，得 所以原方程的根是 随堂练习 1. 填空： （1）x2 – x + ( ) = (x – )2； （2）y2 + 6y + ( ) = (y + )2； （3）x2 – + ( ) = (x – )2； （4）4x2 + 4x + ( ) = (2x + )2. 9 3 1 1 2. 解下列方程： （3）x2 + 4x – 9 = 2x – 11；（4）x(x + 4) = 8x + 12. （1） ；（2）4x2 – 6x – 3 = 0； 解：（1）移项，得 配方，得 则 开平方，得 所以原方程的根是 二次项系数化为 1，得 配方，得 则 开平方，得 所以原方程的根是 （2）移项，得 4x2 – 6x = 3 2. 解下列方程： （3）x2 + 4x – 9 = 2x – 11；（4）x(x + 4) = 8x + 12. （1） ；（2）4x2 – 6x – 3 = 0； 配方，得 x2 + 2x + 1 = – 2 + 1 则 (x + 1)2 = – 1 所以原方程没有实数根. （3）移项，得 x2 + 4x – 2x = – 11 + 9 2. 解下列方程： （3）x2 + 4x – 9 = 2x – 11；（4）x(x + 4) = 8x + 12. （1） ；（2）4x2 – 6x – 3 = 0； x2 + 2x = – 2 配方，得 x2 – 4x + 4 = 12 + 4 则 (x – 2)2 = 16 （4）去括号，得 x2 + 4x = 8x + 12 2. 解下列方程： （3）x2 + 4x – 9 = 2x – 11；（4）x(x + 4) = 8x + 12. （1） ；（2）4x2 – 6x – 3 = 0； 移项，得 x2 – 4x = 12 开平方，得 x – 2 = ±4 所以原方程的根是 x1 = 6，x2 = – 2. 3. 当a为何值时，多项式 a2 + 2a + 18 有最小值？求出这个最小值. 解：对原式进行配方，则原式 = (a + 1)2 + 17. ∵(a + 1)2  0， ∴当 a = – 1时，原式有最小值，为 17. 4. 有一根 20 m 长的绳，怎样用它围一个面积为 24 m2 的矩形？ 解：设围成的矩形的一边长为 x m，则另一边为 (10 – x) m. 根据题意，得 x(10 – x) = 24， 解得 x1 = 6，x2 = 4. 当 x = 6 时，10 – x = 4；当 x = 4 时，10 – x = 6. 所以围成矩形的长和宽分别为 6 m 和 4 m 即可. 课堂小结 用配方法解一元二次方程的步骤： 化二次项系数为 1. 1 2 移项，含未知数的项移至左边，常数项移至右边. 3 配方，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方. 4 开方，利用平方根的意义开平方. 5 解两个一元一次方程. 课后作业 完成练习册本课时的习题. $