17.2.1 直接开平方法 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法，系统讲解形如x²=p（p≥0）和(x+n)²=p（p≥0）的方程解法。课堂导入通过复习平方根概念及性质，如“x²=a（a≥0）则x=±√a”，衔接旧知与新知，搭建清晰的学习支架。 其亮点在于以问题链引导探究，通过“试一试”“练一练”让学生自主归纳不同p值下方程根的情况，培养抽象能力和推理意识。例题中把(x+3)²=5转化为x+3=±√5，体现降次转化思想，课堂小结明确步骤，助力学生形成规范解题思路。学生能深化数学思维，教师可直接用于教学提升效率。

第17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法 直接开平方法 沪科版·八年级下册 学习目标 1 2 会利用直接开平方法解形如 x2 = p (p  0) 的方程. 初步了解形如 (x + n)2 = p (p  0) 方程的解法. 3 能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法. 2 回顾导入 1. 如果 x2 = a，则 x 叫作 a 的 . 2. 如果 x2 = a (a  0)，则 x = . 3. 如果 x2 = 16，则 x = . 4. 任何数都有平方根吗？ 平方根 ±4 负数没有平方根. 推进新课 知识点 用直接开平方法解一元二次方程 试一试 求 x2 = 9 中 x 的值. 开平方，得 x = ±3 所以开平方就可求得方程 x2 = 9 的两个根： x1 = 3，x2 = –3. 像这样的求一元二次方程的根的方法，叫作直接开平方法. 练一练 用直接开平方法解下列方程： （1）x2 = 36；（2）x2 – 0.81 = 0. 解：（1）开平方，得 x = ±6 所以原方程的根是 x1 = 6，x2 = – 6. （2）原方程可化为 x2 = 0.81 x = ±0.9 所以原方程的根是 x1 = 0.9，x2 = – 0.9. 开平方，得 对于一元二次方程 x2 = p： 归 纳 （1）当 p ＞ 0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 ； （2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； （3）当 p ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有x2  0，所以方程无实数根. 例 1 用直接开平方法解下列方程： （1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5. 解：（1）两边同除以 3，得 x2 = 4. 开平方，得 x = ±2. 所以原方程的根是 x1 = 2，x2 = – 2. 例 1 用直接开平方法解下列方程： （1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5. 可以怎 样解这个方程？ 由方程 x2 = 25 得 x = ±5. 依此类推：由 (x + 3)2 = 5 可得 例 1 用直接开平方法解下列方程： （1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5. 解：（2）开平方，得 所以原方程的根是 解方程 (x + 3)2 = 5 ，实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程，即得原方程的解. 练一练 用直接开平方法解下列方程： （1）3(x + 1)2 = 48；（2）2(x – 2)2 – 4 = 0. 解：（1）原方程可化为 (x + 1)2 = 16 开平方，得 x + 1 = ±4 所以原方程的根是 x1 = 3，x2 = – 5. （2）原方程可化为 (x – 2)2 = 2 所以原方程的根是 开平方，得 对于一元二次方程 (x + n) 2 = p： 归 纳 （1）当 p ＞ 0 时，方程有两个不等的实数根 （2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n； （3）当 p ＜ 0 时，方程无实数根. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式. 1 3 2 开平方，将方程化为两个一元一次方程. 方法 解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根. 随堂练习 1. 一元二次方程 (x + 6)2 = 16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x + 6 = 4，则另一个一元一次方程是（ ） A. x – 6 = – 4 B. x – 6 = 4 C. x + 6 = 4 D. x + 6 = – 4 D 2. 方程 3x2 + 9 = 0 的根为（ ） A. 3 B. – 3 C. ±3 D. 无实数根 D 3. 若 8x2 – 16 = 0，则 x 的值是 . 4. 解下列方程： （1）2x2 – 8 = 0；（2）9x2 – 5 = 3. 解：（1）原方程可化为 x2 = 4 开平方，得 x = ±2 所以原方程的根是 x1 = 2，x2 = – 2. 所以原方程的根是 开平方，得 （2）原方程可化为 （3）(x + 6)2 – 9 = 0；（4）3(x – 1)2 – 6 = 0； 解：（3）原方程可化为 (x + 6)2 = 9 开平方，得 x + 6 = ±3 所以原方程的根是 x1 = – 3，x2 = – 9. 所以原方程的根是 开平方，得 （4）原方程可化为 (x – 1)2 = 2 （5）x2 – 4x + 4 = 5；（6）9x2 + 5 = 1. 解：（5）原方程可化为 (x – 2)2 = 5 所以原方程的根是 开平方，得 （6）原方程可化为 ∵ ∴原方程无实数根. 课堂小结 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式. 开平方，将方程化为两个一元一次方程. 解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根. 课后作业 完成练习册本课时的习题。 $