精品解析：黑龙江省双鸭山市第三十一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

双鸭山市第三十一中学2024—2025（下）学期期中考试高一学年 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）. 1. 已知为虚数单位，复数，则的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的概念求得答案. 【详解】复数的虚部是. 故选：A 2. 已知向量，若⊥，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 又，，所以，解得， 故选：C. 3. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，，则原平面图形的面积是（ ） A. 16 B. 18 C. D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法可得原图形中的长度，故可求其面积. 【详解】由直观图可得且，故原平面图形的面积为， 故选：B. 4. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 5. 已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥底面圆的半径为，求出侧面积和表面积得解. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为， ，， . 故选：B. 6. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过平移说明即异面直线与所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得. 【详解】 如图所示，因，则即异面直线与所成角. 连接，在中，， 则，即异面直线与所成角为. 故选：C. 7. 在中，已知，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】， 故，解得（负值舍）， 故选：B 8. 已知向量，，，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模长的求法，结合向量数量积及夹角公式，直接求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，化简得，所以， 所以，而， 所以向量与的夹角是. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对的得部分分，有选错的得零分） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出复数，再根据复数的相关知识逐项判断即可. 【详解】， ，A正确； ，B正确； 不是纯虚数，C错误； 在复平面内对应的点位于第四象限，D正确. 故选：ABD. 10. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理判断，即可判断. 【详解】显然A正确； 由面面垂直的性质定理可知，只有当时，才能推出，B错误； 当时，与矛盾，C错误； 借助直二面角的定义及法向量的定义可知成立，即D正确. 故选：AD. 11. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成角为 D. 平面和平面夹角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的结构特征，结合平面基本事实、线面垂直的判定推理判断AB；利用线面角及面面角的几何法求解判断CD. 【详解】在正方体中，连接，由为的中点，得是的中点， 对于A，，平面，而，则平面， 而平面，平面，且平面平面， 所以，即，，三点共线，A正确； 对于B，由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，所以，同理， 而平面，因此平面，B正确； 对于C，连接，令交点为，连接，由选项B，同理平面， 则是直线与平面所成的角， 所以，所以， 因此直线与平面所成角为，C正确； 对于D，由选项B得，则是平面和平面夹角， 而平面，则，，D错误. 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其共轭复数. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 在中，角的对边分别为，若，则角__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以为锐角，则， 所以， 故答案为：． 14. 长方体的所有顶点都在一个球面上，长，宽，高分别为3，2，1，那么这个球面的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，即可求出球的表面积. 【详解】依题意可知球的半径， 所以球面的面积. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知向量，． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. （2）根据向量模的计算公式计算可得. （3）利用向量夹角余弦公式可求出答案. 【小问1详解】 因为，, 所以 【小问2详解】 因为，, 所以， 所以, 【小问3详解】 . 16. 如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点. （1）求证：平面； （2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 【答案】（1）证明如下： 连接，交于点，则为中点，连接，如图所示， 在中，因为分别为的中点，所以， 又因为面，且面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，使得，再连接，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）利用柱体和锥体的体积公式，分别求得和，根据题意，结合，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正三棱柱中，因为，且， 可得正三棱柱的体积为, 又由三棱锥的体积为， 所以剩余部分的体积为. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边可求答案； （2）先求，利用面积公式可得答案. 【小问1详解】 ，由余弦定理得，， 又， ，化简得， ． 【小问2详解】 由（1）得， 为锐角，， ，， 的面积． 18. 如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到平面，从而得到为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理、三角形的面积公式可化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由（1）可得出的值，结合正弦定理可求得的知，结合已知条件求出的值，由此可求出的周长. 【小问1详解】 由余弦定理可得，即， 因为，即，所以， 因为，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 由（1）可得，可得， 所以，，则，故， 因为，所以， 故， 因此，的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双鸭山市第三十一中学2024—2025（下）学期期中考试高一学年 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）. 1. 已知为虚数单位，复数，则的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知向量，若⊥，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，，则原平面图形的面积是（ ） A. 16 B. 18 C. D. 36 4. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 1 8. 已知向量，，，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对的得部分分，有选错的得零分） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成角为 D. 平面和平面夹角为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数________. 13. 在中，角的对边分别为，若，则角__________． 14. 长方体的所有顶点都在一个球面上，长，宽，高分别为3，2，1，那么这个球面的面积是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知向量，． （1）求； （2）求； （3）求． 16. 如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点. （1）求证：平面； （2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $