河北省沧州市第一中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学参考答案及解析 GS01 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D C B C B D C ABD BCD AD 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 15．【解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，， 解得，， 2分 所以等差数列的通项公式为， 4分 等比数列的通项公式为 ．6分 （2）由（1）知（）， 则数列的前项和为， 8分 其中， 10分 ， 12分 因此，即数列的前项和为． 13分 16．【解】（1）抛物线的焦点坐标为，双曲线的半焦距， 双曲线的渐近线方程为，， 2分 又，， 3分 双曲线的方程为． 4分 （2）易知直线斜率存在，设直线的方程为（，）， 5分 联立消去，可得， 7分 设，，则①，②， 8分 又，可得③， 10分 由①③可得，， 12分 代入②，化简可得，解得， 14分 则直线的方程为． 15分 17．【解】（1）记红球为1号球，黄球为2号球，绿球为3号球，记事件，分别表示第一次、第二次取到号球，， 则，，又，，， 2分 由全概率公式知， 所以学生甲第二次抽到红球的概率为． 4分 （2）由题意知，学生甲抽球两次总得分的可能取值为2，3，4，5，6， 则， 5分 ， 7分 ， 9分 ， 11分 ． 12分 所以的分布列为 2 3 4 5 6 13分 所以． 15分 18．【解】（1）证明：在四棱锥中，底面，平面，则， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以， 2分 由，为的中点，得，又，，平面， 所以平面． 4分 （2）（i）由（1）知，直线，，两两垂直， 以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 过点作于点，由，，得， 6分 设，则，，，， 所以，， 8分 设平面的法向量，则 令，得， 10分 由平面，得平面的一个法向量为， 11分 依题意，得， 整理得，解得（舍去）， 所以线段的长为2． 13分 （ii）显然平面，而平面，则，又， 所以，解得， 15分 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的， 16分 所以点的轨迹的长度为． 17分 19．【解】（1）由题可知， 令，则， 故在上单调递增，又， 2分 所以当时，，即，在上单调递增； 当时，，即，在上单调递减． 3分 （2）对任意，都有成立，即成立， 令，， 则， 5分 令， 当，即时，在上单调递增，故， 即，在上单调递增，则，满足条件． 7分 当，即时，， 所以存在，使得时，，即，在上单调递减， 故此时，不满足条件． 9分 综上，实数的取值范围是． 10分 （3）证明：要证：当时，，只需证：当时，． 令，． 有，故函数为偶函数， 12分 因此只需要考虑时的情况， 由（1）可知，在上单调递增， 则，即， 14分 由（2）可知，当时，对任意，有，即， 由，得，则， 16分 此时，得证． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 高三数学 GS01 班级_________ 姓名_________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i是虚数单位，若实数，满足，则 A．， B．， C．， D．， 2．设，则下列不等式恒成立的是 A． B． C． D． 3．2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围，某地图书馆计划开展3场主题讲座，现有4名同学报名参加，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能参加一个讲座，则不同的安排方案种数为 A．12 B．24 C．36 D．60 4．已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 5．已知单位向量，满足，则向量与的夹角为 A． B． C． D． 6．已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为 A． B． C． D． 7．在正三棱台中，，，点为的重心，点为棱台的底面上（包括边界）一点，若直线平面，则长的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，，则下列说法错误的是 A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组样本数据：20，8，30，10，38，38，下列对这组数据的分析，其中正确的是 A．极差是30 B．平均数是24 C．方差是11 D．上四分位数是38 10．函数（，）的部分图象如图所示，则 A． B．函数图象的对称中心为（） C． D．不等式的解集为（） 11．定义在上的函数的导函数为，若对于任意实数，都有，且，则 A．曲线在点处的切线方程为 B．函数为偶函数 C．不等式的解集为 D．若方程有两个根，（），则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． 13．若数列的前项和为，数列的前项之积为，满足（），则__________． 14．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，且，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等差数列的首项为1，等比数列的公比为3，且，． （1）求和的通项公式； （2）设（），求数列的前项和． 16．（本小题满分15分）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 17．（本小题满分15分）某学校组织游戏活动，准备了红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球．要求学生第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球． （1）求学生甲第二次抽到红球的概率； （2）若抽到红球获得1积分、抽到黄球获得2积分、抽到绿球获得3积分，记学生甲两次抽球所获得积分的总和为，求随机变量的分布列与期望． 18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）四边形中，，，，，若平面与平面所成的角的余弦值为． （i）求线段的长； （ii）设为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度． 19．（本小题满分17分）（1）已知函数，判断函数的单调性； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $