专题05 期末真题百练通关（期末复习专项训练，7大题型）八年级数学上学期新教材北京版

专题05 期末真题百练通关（69题7大题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 二次根式 题型5 二次根式、分式综合 题型2 全等综合选择压轴 题型6 全等三角形综合 题型3 最短路径问题 题型7 新定义 题型4 等腰三角形 题型一 二次根式（共5小题） 1．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，实数与数轴上点的对应关系，二次根式的运算．解题关键是正确进行分类，把每条线段的长度与实数对应再计算．由题意得，再计算可判断①；先求得，可得，从而计算出，再判断③；再诈，再计算出时间可判断出②． 【详解】解：正方形和正方形重叠部分的面积为， ， ， ，故①正确； 正方形面积为（）， ， ， ， 点对应的数为，故③错误； ， ，故②正确； 故选：A 2．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，，连结，设，完成下面问题：    （1） °； （2）给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 90 ②④/④② 【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质、完全平方公式及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质、完全平方公式及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后根据三角形三边关系及作差法可进行求解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为90； （2）由题意得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴由三角形三边关系可得：，故②正确； ∵， ∴， ， ，故④正确； ∴，即，故①错误； 当时，则；当时，则；故③错误； 综上所述，正确的结论有②④； 故答案为②④． 3．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，在中，，，是的中点，，分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足，给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为； ④点到点距离的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 取、中点、，连接，，利用可证得，然后根据全等三角形的性质即可判断结论①；根据是的中点，得到，进而可推出，据此即可判断结论②；根据，可求出四边形的面积，于是可判断结论③；根据，即可求得点到点距离的最小值，进而可判断结论④；综上，即可得出答案． 【详解】解：取、中点、，连接，， ，为的中位线， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ，，， ， ，故结论①正确； 四边形为正方形， ， 是的中点，， ， ，故结论②正确； ， ，故结论③错误； ，， 当点移动到，移动到点时，达到最小值， ， ，故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 4．已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，先根据数轴上，，的位置确定的符号，再根据绝对值的性质化简即可，解题的关键是要能根据数轴上点的位置确定各式子的符号． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴ ∴ ， 故答案为：． 5．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是，，若以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为 ． 【答案】或 【分析】根据勾股定理，得，，设点E表示的数为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了勾股定理，数轴上两点间距离，数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由， 根据勾股定理，得，， 设点E表示的数为， 由点A对应的数是， 根据题意，得， 解得或． 故答案为：或． 6．如图，O是数轴的原点，点M对应的数为2，，连接，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点A，点A对应的数为a，则a的值为 ；a 3（填或）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用、数轴上点的坐标的表示及实数的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴．根据勾股定理可计算出的长度，即点在数轴正半轴表示的数，再与3比较大小． 【详解】解：在中 以点为圆心，为半径与正半轴交点表示的数为， ， ， ． 故答案为：；． 题型二 全等综合选择压轴（共9小题） 1．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【来源】北京市门头沟区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质、三角形面积公式判断求解即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确，符合题意； ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确，符合题意； ，，， ； 故③正确，符合题意； 根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，中，于点，于点．给出下面四个结论： ①；    ②； ③若，则；    ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【来源】北京市房山区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，根据题意，利用三角形等面积法判断①；根据三角形外角的定义判断②；根据全等三角形的判定和性质判断是哪；根据三角形外角的定义判断④，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：①∵于点，于点． ∴，即，故①正确； ②∵于点，于点． ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③，，只有两个条件，无法证明，故③错误； ④∵于点，于点． ∴， ∵，， ∴， ∴， 由②得：， ∴，故④正确， 综上可得：①②④正确， 故选：B． 3．(23-24八上·北京房山区·期末)如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，．点关于直线的对称点为，连接，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】北京市房山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由点与点关于直线对称，得到 ，，再由等边三角形的性质和三角形内角和定理求得 ，然后由，即，即可求解，熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点关于直线的对称点， ∴为的中垂线， ∴，， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2024年福建省中考真题数学试题 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 5．(23-24八上·北京通州区·期末)根据下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，，其中不能唯一确定的形状和大小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】北京市通州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项进行判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：已知三角形的三边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 已知三角形的两边及其夹角确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 已知三角形的两边及一边的对角确定时，可知此时这个三角形是不确定的，故该选项符合题意； 已知直角三角形的斜边和一条直角边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 故选：． 6．(23-24八上·北京昌平区·期末)阅读下面材料： 已知：，，，点是中点，给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④点是上的一个动点，当取最小值时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【来源】北京市昌平区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【分析】根据题意可推出，，即可判断①、②；由，，即可判断③；作点关于的对称点，连接交于点，可得的最小值为，证得即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵点是中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， 故②正确； ∴是等边三角形， ∵，， ∴，故③正确； 作点关于的对称点，连接交于点，如图所示： 则有： ∴ ∴的最小值为 ∵，， ∴ ∴ ∴当取最小值时， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边关系、含的直角三角形的特征、全等三角形综合以及线段和的最值问题，熟记相关定理结论是解题关键． 7．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，中，和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ①； ②点D到三边的距离相等； ③当时，； ④若，点D到的距离为n，则； 上述结论正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【来源】北京市平谷区2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试卷 【分析】结合平行线的性质以及角平分线的定义得，则，故；因为和的平分线交于点D，所以平分，则点D到三边的距离相等；当时，运用三角形内角和得，结合角平分线的性质以及三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①是正确的； 连接，过点分别作，如图所示： ∵中，和的平分线交于点D， ∴平分， 则点D到三边的距离相等； 故②是正确的； 当时， 则， ∴， ∴， ∴； 故③是正确的； ∵点D到的距离为n， ∴， 则 故④是正确的； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题 8．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有 ．（写序号） 【答案】①②④ 【来源】北京市怀柔区2024-2025学年八年级上学期数学期末试题 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．①先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；②设与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设，从而可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据角的和差可得，由此即可判断③错误；④过点作于点，于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确． 【详解】解：①∵， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确； ②如图1，设与交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， ，结论②正确； ③假设， ， ∴， ∴， ∵， ∴，根据已知条件无法得出这个结论， 即假设不成立，结论③错误； ④如图2，过点作于点，于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，，且点在的内部， ∴平分，结论④正确； 综上，结论正确有①②④， 故答案为：①②④． 9．(24-25八上·北京延庆区·期末)如图，是等边三角形，是的中线，点D关于直线的对称点为E．连接，交于点F，交于点G，连接，． 有下面四个结论： ①点A在线段的垂直平分线上； ②是等边三角形； ③； ④点P是线段上的一个动点，的最小值等于． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【来源】北京市延庆区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了等边三角形和垂直平分线的性质．熟练掌握等边三角形和垂直平分线的性质，全等三角形的判断和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 由对称的性质可得①正确；根据垂直平分线的性质证得，再根据等边三角形性质得，得是等边三角形；故②正确；由②得，，进而得出与不全等；故③不正确；关于直线的对称点为，利用对称性得出的最小值等于，故④正确；进而得出结果． 【详解】解：①点D关于直线的对称点为E， ， 点A在线段的垂直平分线上； 故①正确； ②设与交于点， 点D关于直线的对称点为E， ， 点A在线段的垂直平分线上； ， 又， ， 是等边三角形，是的中线， ， ， 又， 是等边三角形； 故②正确； ③由②得， ， ， 与不全等； 故③不正确； ④作如图点，设关于直线的对称点为， 与关于直线对称， ，， 是等边三角形，是的中线， 与关于直线对称， ， ， ， 当点，，三点共线时，为最小值， 即， 故④正确； 故答案为：①②④． 题型三 最短路径问题（共8小题） 1．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在等边中，是边上的高线，且，E是的中点，如果点P在上运动，那么的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系求最值： 根据等边三角形可得，那么，即最小值为，根据面积法可得． 【详解】解：连接， ∵在等边中，是边上的高线，且，E是的中点， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，即为， ∵，， ∴， 故答案为：6． 2．(23-24八上·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，，，点是轴上的一个动点，当最小时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 过点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于点C，首先得到当点B，C，D三点共线时，最小，然后求出所在直线的表达式为，然后当时求出，即可求出点C的坐标． 【详解】如图所示，过点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于点C， ∴ ∴当点B，C，D三点共线时，最小． ∵ ∴ ∴设所在直线的表达式为 ∴，解得 ∴ ∴当时， 解得 ∴点的坐标是． 故答案为：． 3．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，中．三个内角，，的度数之比为，点为上一个定点．点，分别是，上的两个动点（不与点，，重合），则 °；当的周长最小时， °． 【答案】 40 【分析】本题考查了用轴对称的性质解决最短路线问题，解决本题的关键是作点关于的对称点，点关于的对称点，找到符合条件的动点E和F． 根据三角形内角和定理即可确定，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，根据轴对称图形的性质得出当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小，，结合图形得出，，即可求解． 【详解】解：∵三个内角，，的度数之比为， ∴， 故答案为：40； 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、， 、关于对称，、关于对称， ，， 当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小， 的周长最小， 中，，，的度数之比为， ， 、关于对称，、关于对称， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 4．在平面直角坐标系xOy 中，A（1，3），B（3，－1），点P在y轴上，当PA＋PB取得最小值时，点P的坐标为 ． 【答案】（0，2） 【分析】根据对称性，作出点关于y轴的对称点，连接与y轴交于点P,，根据两点之间线段最短即可得结论． 【详解】 如图所示，作出点关于点y轴的对称点，连接交y轴与点Ｐ，此时根据两点之间线段最短，所以点P的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握对称性性质． 5．如图，等腰中垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，则的周长最小值是 .    【答案】/5厘米 【分析】如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为，利用三线合一定理和三角形面积公式求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴要使的周长最小，即要使最小， ∴当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为， ∵， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的周长最小值是， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了三线合一定理，三角形面积，线段垂直平分线的性质，正确根据题意得到当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为是解题的关键． 6．如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知识，延长到点，使，连接，证是等边三角形，可推出，过点作于点，则，从而，故当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，求出的值即可，构造含的直角三角形，将目标转化为求的最小值是解题关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ，即， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 过点作于点， ， ， 求的最小值即求的最小值，当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值， 此时，设，则， ， 即当取最小值时，的值为． 故答案为：． 7．如图，在锐角中，，于点，，，，其中，、、分别为线段、、上的点（均不与点，、重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列三个结论：    ①过点向、作垂线、垂足分别为、，此时的周长即为； ②在点从点向点运动过程中，的最小值为； ③当时，点能在两个不同的位置取到相同的值． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③/③② 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，交于，交于，连接，交于，交于，连接，，，由两点之间线段最短可判断①；根据轴对称的性质证明，是等边三角形，由垂线段最短可判断②、③，进而得结论． 【详解】解：作点关于的对称点， 点关于的对称点，交于，交于， 连接，交于，交于， 连接，，，， 根据轴对称的性质可得：，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长， 的周长， ， ， 与重合时，，即最小，故①错误；故②正确； 当时，点能在两个不同的位置取到相同的值， 分别在点两侧且关于点对称，故③正确，    故答案为：②③． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题、轴对称的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质，等边三角形的性质及判定，熟知相关性质，做到数形结合是正确解决本题的关键． 8．如图，在中，点D在边上，连接AD，且，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则周长的最小值为 ． 【答案】18 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AM=MC，则△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM，即可得到当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小，此时AM+DM=AD=13，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接AM， ∵EF是AC的垂直平分线，M在EF上运动， ∴AM=MC， ∴△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM， ∴要想△CDM的周长最小，即AM+DM的值最小， ∴当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小，此时AM+DM=AD=13， ∴此时△CDM的周长=13+5=18， ∴△CDM的周长最小值为18， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质． 题型四 等腰三角形（共8小题） 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上．若为等腰三角形时，，则点C的坐标为（    ） A．，， B．，， C． D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握以上知识点是关键．分情况讨论当作为腰时得到两个符合条件的C点坐标，当作为等腰三角形的底边时，点C应该在线段的垂直平分线与y轴的交点，求出点C坐标即可． 【详解】解：当作为腰时， ， 或， 当作为等腰三角形的底边时，点C应该在线段的垂直平分线与y轴的交点， ，， ，， ， 在中，， ， 综上分析，或或 故选：A． 2．(23-24八上·北京昌平区·期末)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论． 【详解】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点，如图所示： ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴点重合， ∴符合条件的点P有2个； 故选B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．(24-25八上·北京密云区·期末)如图，在中，，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是(    ) A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以三个顶点为等腰三角形的顶点可以画出4个等腰三角形，分别以三条边 等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可以作出7个不同的等腰三角形 【详解】①以为圆心，长为半径画弧，交于点，是等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形； ③以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形，交于点,是等腰三角形；； ④作的垂直平分线交于点，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于，则和都是等腰三角形，此情形点与点重合与④的情形重合，共计2个等腰三角形． 综上所述，最多有7个等腰三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 4．如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 【详解】解：如图， ①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， ③作的垂直平分线，与与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 5．如果等腰三角形的一个内角是，那么这个等腰三角形的顶角度数是 ． 【答案】或 【分析】题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，在计算等腰三角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论．此类题目考查基本知识的同时，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养． 根据等腰三角形的性质，分两种情况求出这个等腰三角形顶角的度数即可． 【详解】解：若的内角是该等腰三角形的顶角，则顶角度数为； 若的内角是该等腰三角形的一个底角，则根据等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和定理，可知顶角的度数为：； 故答案为：或． 6．如图，在中，，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴． 故答案为：6． 7．在中，，D在边上，且是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，分类讨论：当时；当时；当时，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，； 当时，， 则， ∴不符合题意，故舍去； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 8．已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义；根据已知条件：分等腰三角形的底边分别为4和9两种情况，结合三角形三边间的关系进行分析解答即可． 【详解】（1）当长为的边是等腰三角形的底边时，其三边长分别为：、、， 此时三条线段能围成等腰三角形，其周长为：； （2）当长为的边为等腰三角形的底边时，其三边长分别为：、、，此时三条线段不能围成三角形； 综上所述，两条边长分别为和的等腰三角形的周长为 故答案为：． 9．如图所示，在中，，，平分交于点，于点，若的周长为，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，由，得到，进而得到，由，，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出，，从而得到，判断出是等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵的周长为， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，进而解答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：1． 题型五 二次根式综合（共9小题） 1．(24-25八上·北京顺义区·期末)阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 2．(24-25八上·北京通州区·期末)我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键． （1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，，得到最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当且仅当时，， 解得， ∴当时，的最小值为4，此时， 故答案为：4，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，的最小值为， ∴y的最小值为． 3．(23-24八上·北京昌平区·期末)阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； …… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有， 并给出了证明：根据题意，得 ． 等式两边同时___________，得 ____________． 整理得 ． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程. (2)若和为两个相邻整数，则____________. (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 【答案】(1)平方， (2)25 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出，求出的值即可； （3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得， 故答案为：平方，； （2）解：由题意可知，， ， 即， 故答案为：25． （3）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得：， ， ， ． 4．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 5．小明同学在学习完直角三角形之后，发现直角三角形中当一个角是时，角的对边等于斜边的一半，具体探究过程如下． 已知：如图1，在中，， 求证：． 证明：如图2，延长至点D，使得，连接…… (1)请你按照小明的思路完成证明过程； (2)小明想设计一个长方形的钟表，钟面如图所示，宽为6，长为，且整点时刻对应的点都在长方形的边上． ①若2点时对应的点B在长方形的边上，则______； ②若1点时对应的点C在长方形的边上，则______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）延长至点D，使得，连接，证明，再证明是等边三角形，即可求证； （2）①应用结论，2点时，，则，故，那么有勾股定理求解即可；②应用结论，，则由勾股定理得，，解方程即可． 【详解】（1）证明：延长至点D，使得，连接，如上图2， ∵ ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图，当B点在宽边上时，依据题意，，， ∴， ∴， ∵长为， ∴，这与题意矛盾，故该情况不成立； 如图，当B点在长边上时， 2点时，， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②由上题知2点对应的点在长边上，故1点对应的点也在长边上，如图， 1点时，，而 ∴， ∵， ∴， 解得：（舍负）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： (1)已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； (2)已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 【答案】(1)与F是“合分式”，理由见解析，3 (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 将两式相加并计算即可； 将两式相加并计算，根据M与N关于C的“合值”为1求得a的值即可． 【详解】（1）解：与F是“合分式”，理由如下： ， 则E与F关于C的“合值”为3； （2）解： ， 与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1， 7．小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，则当或时原多项式的值为0，因此定义和为多项式的0值，和的平均值为轴值．例：或时，则和为的0值，3和的平均值1为的轴值． (1)的0值为____________，轴值为____________； (2)若的0值只有一个，则____________，此时0值与轴值相等； (3)的0值为，轴值为m，则____________，若的0值与轴值相等，则____________． 【答案】(1)2和，0 ； (2)； (3)0，9． 【分析】（1）把进行因式分解，即可求解； （2）根据的0值只有一个，则，即可求解； （3）根据，且0值为，，即可得出结论， 由的0值与轴值相等，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：， 或时，， 的0值为和， 又， 的轴值为0， 故答案为：2和，0 ； （2）解：的0值只有一个， ， 即的0值为， 又， ， 故答案为：； （3）解：， 的0值为：和， ， ； 当的0值与轴值相等， 的0值只有一个， ， 即时， 此时的0值为，轴值为：， 故答案为：0，9． 【点睛】本题考查是因式分解，以及完全平方公式的运用，解题的关键是读懂题意，以及熟练掌握相关的运算． 8．阅读材料，解决问题 爱因斯坦是20世纪著名的物理学家，他创立的相对论影响了人类对世界的看法．有趣的是，这位科学巨匠闲暇之余喜欢琢磨一些数学趣题．一次，爱因斯坦在计算一道两位数乘法运算时，联想到了“头同尾合十”的速算方法． 所谓“头同尾合十”是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为； 其对应的速算方法是： 第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，如果乘积是一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用0表示； 第二步：用相同的十位数字乘以比它大1的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面． 像这样组成的数就是两位数相乘的结果．例如： 速算，先算，再算，则； 速算，先算，再算，则； (1)利用上述速算方法，计算的积为 ； (2)用和分别表示两个两位数，其中表示十位数字，和表示它们的个位数字，且， ①依据题意，两位数 ，则两位数 ； ②为说明该速算方法的正确性，请你证明成立． 【答案】(1) (2)①；②证明过程见详解 【分析】（1）根据“头同尾合十”的速算方法即可求解； （2）①表示两个两位数，表示十位数字，表示它们的个位数字，由此即可求解； ②计算左边，将左边逐渐转化为右边的形式即可得证． 【详解】（1）解：， 第一步，算个位和十位上的数字：；第二步，算百位和千位上的数字：， ∴， 故答案为：． （2）解：①∵表示两个两位数，表示十位数字，表示它们的个位数字， ∴， 故答案为：； ② 证明： ∵ ∴ ， ∴该速算方法正确，即成立． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，数字规律，理解数字间的规律，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 9．在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： (1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； (2)求分式的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）依题意，原分式可化为，可得解； （2）依题意，原分式可化为，再由推出即可得解． 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， ， ， ， ， 原分式的最大值为． 题型六 全等三角形综合（共12小题） 1．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，．    (1)写出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解； （2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴ 即； （2）证明：如图所示， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵，, ∴ ∴ ∴ ∴ （3）证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，    ∵，， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，      即， ∴， 又，则， 在中， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，在中，，，点是上一点（不与点，重合）．作射线，过点作于点，点关于直线的对称点为点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)若，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）根据题意得出，再由对顶角相等及等角的余角相等即可证明； （3）延长至H，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，确定，结合题意确定，结合图形进行等量代换即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴； （3）延长至H，使得，连接，如图所示： 由（2）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求证：； (2)连接，取的中点，连接，． 依题意补全图形； 求． 【答案】(1)证明见解析； (2)画图见解析；证明见解析． 【分析】（）根据三角形的内角和定理，旋转的性质，角度和差即可求证； （）根据题意补全图形即可； 延长到点，使，连接，证明， 根据性质得，，则有，由平行线的性质得到， 再证明， 最后由性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴； （2）解：依题意画图， 延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．如图，已知和都是等边三角形，连接，，延长交于点P． (1)求证：； (2)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握利用“截长补短法”证明线段的和差关系是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，进而可得，然后利用即可得出结论； （2）延长到点，使得，连接，由，可证得，于是可得，，进而可得，即是等边三角形，于是可得，再根据即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即：， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长到点，使得，连接， 由（1）可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即：， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 5．如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为点D，连接，作射线交于点E，连接．    (1)依题意补全图形； (2)设，求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2) (3)，证明见详解 【分析】（1）依题意补全图形； （2）先得出，，再得出，，进而得出，，得出，即可得出结论； （3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论 【详解】（1）解：依题意，补全图形如图1所示    （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：，过程如下： 如图2，在上取一点F，使，    由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 即 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键． 6．如图，为等边三角形，点D在上，且，作点C关于直线的对称点E，射线交直线于点F，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形见解析： (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据等边三角形的性质得到，，则，根据对称的性质得到，求得 ，于是得到． （3）如图：延长到M，使，连接．根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，则得到，再运用等量代换即可解答． 【详解】（1）解：根据题意补全图形如下： ． （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵点C关于直线的对称点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：线段之间的数量关系是，证明如下： 证明：如图：延长到M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 7．在中，，，点是射线上的一个动点，过点作于点，射线交直线于点，连接． (1)如图1，当点在线段上时（不与端点，重合）： ①求证：； ②求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时()，依题意补全图2并用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)见解析，． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）①由，得出； ②作交于，可证得，，进而得出≌，从而，，从而得出，进一步得出结论； （2）作交于，得出，从而，，进而得出，进一步得出结论． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ，， ， ； ②解：如图1， 作交AD于F， ， ， ， ， ， 由①知， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， 作交BD于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， 8．已知，，点D是直线上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，点F是线段上一点，且，连接． (1)如图1，补全图形，则______°； (2)过点E作，交于点G， ①如图1，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； ②如图2，当点D在的延长线时，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)120 (2)①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）先补全图形，可得为等边三角形，证明，再根据等边三角形的性质以及全等三角形的性质求解； （2）①连接，先证明为等边三角形，再证明，，则，故，再根据等腰三角形的三线合一求证；②先补全图形，证明同①即可． 【详解】（1）解：补全图形，如图， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：120； （2）解：①，理由如下， 证明：连接 ∵， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下， 证明：连接 ∵， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点. (1)当，时，求的长. (2)请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. (3)当线段的长取最大值时，的值为__________. 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，由平行线的性质可得，从而得到，由等角对等边可得，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理计算出，即可得解； （2）由轴对称的性质可得是线段的垂直平分线，从而得到，证明，得出，即可得证； （3）当时，的值最大，即的值最大，由可得此时的长达到最大值，设，则，证明为等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：线段，关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，即， ； （2）解：， 证明：点关于直线的对称点为， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：点关于直线的对称点为， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 如图，作于， 线段，关于直线对称， ， ，， ， 当时，的值最大，即的值最大，由可得此时的长达到最大值， 如图，当时， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 线段，关于直线对称， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（2）可得， ， ， 故答案为：． 10．如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点P，连接，线段交直线l于点D，连接． (1)①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，若， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；②结论：，见解析 【来源】北京市怀柔区2024-2025学年八年级上学期数学期末试题 【分析】（1）①利用轴对称变换的性质作出图形即可； ②证明，即可； （2）①利用轴对称变换的性质作出图形即可； ②结论：．设交于点O，在线段上截取线段，使得，连接．证明，推出可得结论． 【详解】（1）解：①如图1所示： ②证明：，C关于直线l对称， ， ，， ， ， ， ； （2）解：①图形如图2所示； ②结论： 理由：设交于点O，在线段上截取线段，使得，连接． 由（1）可知， ， ， ，， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11．康康同学在研究等边三角形，如图1，已知是等边三角形，D为边的中点，E为中线上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线的对称点是点F．连接，，． (1)①在图1中补全图形； ②他发现E点在中线上运动时，是一种特殊三角形． 请你回答是 三角形； ③利用图1证明这个结论． (2)康康同学发现当E点在中线上运动时，的长度也有规律的变化．当为最大值时，在图2中画出点F，并连接与交于点P． ①按要求画出图形； ②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值____________（填>，<，=）； ③证明②的结论． (3)在边上存在一点M，同时满足的值最大且的值最小，则此时与的数量关系是____________． 【答案】(1)①图形见详解；②等边；③证明见详解； (2)①图形见详解；②；③证明见详解； (3)． 【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②③通过证明，从而判定是等边三角形； （2）①根据题意画图即可；②③由已知可知：点关于直线的对称点一定在上，先证明，当且仅当点在线段上时（如图所示），上式等号成立即的最小值等于，即结论得证； （3）连接并延长交于，设交于点，先证明最小；再根据的值最大，可知点与点重合，点在上，最后证明得到． 【详解】（1）解：①补全图形如图1所示： ②根据题意可知，是等边三角形； 故答案为：等边； ③点E关于直线的对称点是点F， 垂直平分线段， ， 又是等边三角形，且是中线， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：①如图1， 可知， 为直角三角形， 边是定值，要使斜边最大，则最大， 当点与点重合时，最大， 故当点与点重合时，点关于直线的对称点即为所求点； 如图2所示： ②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值等于； 答案为：； ③如图，由已知可知：点关于直线的对称点一定在上， ， 又是等边三角形，且是中线， 垂直平分线段， ， ， 由图可知：， 当且仅当点在线段上时（如图所示），上式等号成立， 即的最小值等于， 故在上存在一点Q，使的值最小，且这最小值等于； （3）解：如图，连接并延长交于，设交于点， 点E关于直线的对称点是点F， 最小； 又的值最大， 点与点重合，点在上，如图， 是等边三角形， ， ， ， ， 为线段的中点， ； 故答案为：． 【点睛】此题是关于等边三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定、轴对称的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及勾股定理等知识，熟练掌握相关定理与性质、添加适当的辅助线是解答此题的关键． 12．【问题探究】 小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题： 如图1，在中，，为的中点，点在边上(点不与点，重合)，连接，过点作交于点，连接．求证∶． 小冬的做法如图2：延长到点，使，连接，，证明，经过推理使问题得到解决 (1)小冬在证明 时，使用的判定依据是：_________． (2)如图，在中，，为的中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，连接． ①补全图形； ②试判断，，三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①作图见解析；②；证明见解析 【分析】（1）根据即可证明，进而可以解决问题； （2）①根据题意即可补全图形； ②延长到点，使，证明，得，，所以，得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：延长到点，使，连接，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴在证明时，使用的判定依据是， 故答案为：； （2）①解：如图，即为补全的图形； ②． 证明：如图，延长到点，使， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，垂直平分线的性质等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13．如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论； （2）延长至，使，连接，利用等边对等角和三角形的外角得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可得出． 【详解】（1）解：证明：在中，，， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． （2）， 证明：延长至，使，连接，   ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．如图，在中，，，是的高，点E是的中点，连接交于点F，过点E作于点E，交的延长线于点G，交于点H． (1)依题意补全图形； (2)判断和的数量关系，并证明； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)；见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与以及性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定以及性质． （1）依题意补全图形即可． （2）由直角三角形两锐角互余可得出，由垂线的定义得出，则，等量代换可得出． （3）连接．由等腰三角形的判定以及性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出． 【详解】（1）解：依题意补全图形如下； （2）解：数量关系：； 证明：于点E， 是的高， ． ． （3）证明：连接． ，， ． 是的高， ． ． ． 点E是的中点， ，． ， ， ． 由（2）知，， 在与中， ， ． 15．已知线段与点，，，点，在直线的同则，点为的中点，连接，． (1)如图，若点在上，，则______； (2)如图，若点在下方，．写出一个的度数（用含的式子表示），使得对于任意的点总有，并证明． 【答案】(1)； (2)，见解析 【分析】（）延长，交于点，证明得，，再根据，，得，进而得，由此可得的度数； （）当时，使得对于任意的点总有，延长到，使，连接，，先证明，得，，再证明，进而证明，则，进而得，则，据此可得； 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，多边形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：延长，交于点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，使得对于任意的点总有，证明如下： 延长到，使，连接，，如图所示， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在五边形中，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型七 新定义（共12小题） 1．(24-25八上·北京房山区·期末)已知点，分别为射线和上的一动点（点，都不与点重合）．过点作一条直线与线段交于点，对于线段给出如下定义：若线段可以将拆分成两个等腰三角形，则称线段为的“腰剖线段”． (1)如图1，当，线段时，画出的“腰剖线段”，并写出此时______． (2)如图2，当线段时，若存在的“腰剖线段”，且，则的面积为______． (3)设．若存在的“腰剖线段”．直接写出的大小（数字或含的式子表示）． 【答案】(1)图见解析，50 (2) (3)或或或或． 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、勾股定理，理解题中定义，分类讨论是解答的关键是解答的关键． （1）根据题意，当点为线段中点时，为的“腰剖线段”，画出对应图形，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得； （2）根据题意可得，，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分类讨论，画出对应图形，结合等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∴， 则和是等腰三角形，且点D为线段的中点， 如图，为的“腰剖线段”， 此时，， 故答案为：50； （2）解：如图， ∵，存在的“腰剖线段”，点在线段上， ∴，， 在中，由得， ∴的面积为； （3）解：根据题意，分以下情况： ①当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴，则， ∴； ②当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ③当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ④当，时，为的“腰剖线段”， 此时，，， ∵， ∴， ∴； ⑤∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”； ⑥当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∵， ∴， ∴， ⑦∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”， 综上，满足条件的度数为或或或或． 2．(23-24八上·北京门头沟区·期末)对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义： 如果点满足，那么点就是线段的“关联点”．其中，当时，称为线段的“远关联点”；当时，称为线段的“近关联点”． (1)如图1，当点坐标分别为和时，在，，，中，线段的“近关联点”有_______． (2)如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，． ①如果点在轴上，且为线段的“关联点”，那么点的坐标为_______； ②如果点为线段的“远关联点”，那么点的纵坐标的取值范围是_______． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）首先得到A、B关于y轴对称，，得到P点在y轴上，然后根据“近关联点”的定义求解即可； （2）①首先求出，然后利用勾股定理得到，，设点P的坐标为，得到，，根据题意得到，然后代入求解即可； ②过点A作x轴的对称点C，过点C作的对称点D，得到线段的“关联点”在的垂直平分线，证明出，是等边三角形，然后求出点C和点D的纵坐标，然后根据“远关联点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴A、B关于y轴对称，， ∵， ∴P点在y轴上， ∴线段的“关联点”是，，， 当时，， ∴， ∴，     ∴是线段的“近关联点”， 当时，， ∴， ∴， ∴是线段的“近关联点”， 当时，， ∴， ∴， ∴点是线段AB的“远关联点”， 故答案为：，； （2）∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ①设点P的坐标为， ∴，， ∵点在轴上，且为线段的“关联点”， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点的坐标为． 故答案为：； ②如图所示，过点A作x轴的对称点C，过点C作的对称点D， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴点C和点D在的垂直平分线上 ∴， ∴线段的“关联点”在的垂直平分线 ∴由图象可得，当点的纵坐标时，点为线段的“远关联点”； ∵和关于对称 ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴点D的纵坐标为6 ∴由图象可得，当点的纵坐标时，点为线段的“远关联点”； 综上所述，点的纵坐标或时，点为线段的“远关联点”． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了新定义，勾股定理，含角的直角三角形，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握新定义，勾股定理解直角三角形，含角的直角三角形性质，等边三角形性质，等腰三角形性质是解题的关键． 3．(24-25八上·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，点A与点B关于x轴对称.对于点A和点B，如果存在点P，使且，那么称点P为点A关于点B的“x轴垂半点”． (1)如图1，点，在，，，中，点A关于点B的“x轴垂半点”是________； (2)如果点是点E关于点F的“x轴垂半点”，那么点E的坐标是________； (3)已知点，，点A是线段上任意一点，如果点G是点A关于点B的“x轴垂半点”，那么点G的横坐标t的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了点的坐标的特征，网格的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用“x轴垂半点”的定义，画出图形，解答即可； （2）根据“x轴垂半点”的性质得出或，再由点关于轴对称，可求出点的坐标； （3）根据“x轴垂半点”的性质可得，由“x轴垂半点”定义分两种情况可得的取值范围． 【详解】（1）解：如图， ∴点A关于点B的“x轴垂半点”是，， 故答案为：，； （2）解：∵ ∴或， ∵点关于轴对称， ∴点的坐标为，， 故答案为：，； （3）解：如图， ∵，， ∴点关于轴对称点的坐标为，点关于轴对称点的坐标为， ∴ ∵点G是点A关于点B的“x轴垂半点”， ∴或, ∴，， 故答案为：，． 4．对于线段与点（点P不在线段上）给出如下定义： Q为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点P与线段的“近距”，记作点P，线段如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段的“远距”，记作（点P，线段）． 如图，中，，，． (1)（点C，线段）______，（点C，线段）______； (2)点B关于直线的对称点为，连接．若点P在线段上，且（点P，线段）是点P，线段）的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点C作若点P在直线上，（点P，线段），直接写出（点P，线段）的取值范围． 【答案】(1)1； (2) (3)（点P，线段） 【分析】（1）过点C作于点D，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得，运用勾股定理可得，再运用勾股定理即可求得答案； （2）过点P作于点D，连接，，设，则，利用勾股定理可得，再由，建立方程求解即可； （3）作，垂足为H，分三种情况：当点H为的中点时，当点H在线段的延长线上且时，当点H在线段的延长线上且时，分别求得点P，线段的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，过点C作于点D， 则， ，， ， ∵垂线段最短， ∴（点C，线段）； 在中，， ， ， 在中，， ∴（点C，线段）； 故答案为：1；． （2）解：过点P作于点D，连接，，如图2， 点B关于直线的对称点为， ，，， ， 由题意知：点P，线段是点P，线段的2倍， 即， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， 线段的长度为； （3）如图3，作，垂足为H，当点H为的中点时， 则，， ， 当点H在线段的延长线上且时，如图4， ∵， ∴， ∴， ， 当点H在线段的延长线上且时， 同理可得， 综上所述，点P，线段． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，点P与线段的“近距”和“远距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．在代数式的学习中，在一定范围内当x的值变化，含x的代数式的值也在变化，给出如下定义：若x值增大时，代数式值也增大，我们叫做“增值代数式”，若x值增大时，代数式值减小，我们叫做“减值代数式”． (1)下列代数式中，当是“增值代数式”的是_____． ①    ②    ③    ④ (2)当时，代数式是“减值代数式”， ①写出一个t的值，______．②t的取值范围是_____． (3)关于x的代数式，若时，代数式M是“增值代数式”，时，代数式M是“减值代数式”，求t的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)1（答案不唯一）， (3) 【分析】本题考查了新定义下的完全平方公式的运用，理解新定义，并熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键. （1）根据“增值代数式”的定义判断即可; （2）根据“增值代数式”的定义，确定t的范围即可: （3）将M整理为，再根据（2）的思路求解即可 【详解】（1）解：①，x的值越大，的值越小，故①不是“增值代数式”； ②，当时，的值随x值增大而增大，所以，②是“增值代数式”； ③，当时，的值随x值增大而增大，所以，③是“增值代数式”； ④，当时，的值随x值增大而减小，所以，④是“增值代数式”； 故答案为：②③； （2）解：， 所以，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∵代数式是“减值代数式”， ∴， ∴， ∴可以取1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一），； （3）解： 对于，当时是“增值代数式”，当时是“减值代数式”， 所以，当时是“减值代数式”，当时是“增值代数式”， 又当时，代数式M是“增值代数式”， ∴， 解得，， 当时，代数式M是“减值代数式”， ∴， 解得，， 综上，的取值范围是 6．给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”． (1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________． (2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，． ①当时，判断与的数量关系，并证明； ②如图2，当时，求证：． 【答案】(1)①④ (2)①，证明见详解 ②见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据“8字形”的定义逐一判断即可； （2）①利用“”证明，即可得到答案； ②方法一：在上截取，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； 方法二：在上取一点，使得，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； 方法三：在的延长线上取一点，使得，易证，即可证明结论． 【详解】（1）解：由“8字形”的定义可知，含有“8字形”的图形有①④， 故答案为：①④． （2）解：①，证明如下： ， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②方法一： 证明：如图，在上截取， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 方法二： 证明：如图，在上取一点，使得， 在和中 . ， ， ， ， ； 方法三： 证明：如图，在的延长线上取一点，使得， ， ，， 在和中， ， ， ． 7．在平面直角坐标系中，将过x轴上的点，且平行于y轴的直线，记作直线．对于图形M和N，若存在直线，使得图形M关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的一阶t包含图形．若存在直线与直线且，图形M关于直线的对称图形记为图形W，图形W关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的二阶m，n包含图形． 已知，，，， (1)若， ①A是线段的一阶k包含图形，则______； ②A是线段的一阶s包含图形，则s的取值范围是______； (2)若点A为四边形的二阶，1包含图形，则a的取值范围是______． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题是四边形的综合题，主要结合四边形、三角形、坐标图形背景考查了新定义内容，正确理解题意和利用中点坐标公式求出一次对称点或者两次对称点是解题关键． （1）①根据定义，利用中点坐标公式直接得解； ②满足A关于直线对称点落在对角线上即可； （2）先求出点A关于直线，直线的二阶对称点，要使点A为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可得解． 【详解】（1）解：①关于直线的对称点在线段上， ， 故答案为：； ②关于直线的对称点在线段上，且关于直线的对称点为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：由题可知关于直线对称点，关于直线对称点， 要使点A为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可， ，， ， ， 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，已知点，直线l是过点M且垂直于y轴的直线，点关于直线l的轴对称点Q，连接，过Q作垂直于y轴的直线与射线交于点，则称为P点的M中心对称点． (1)如图1，当，时Q点坐标为____________，点坐标为____________； (2)若P点的M中心对称点为，，则____________，P点的坐标为____________； (3)在（1）中，在内部（不含边界）存在点N，使点N到和的距离相等，则N点横坐标n的取值范围是___________． 【答案】(1)； (2)或；或 (3) 【分析】（1）根据，，先求出点Q的坐标，证明，得出，即，得出，即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，分别作出图形，求出m的值和点P的坐标即可； （3）连接，证明为的平分线，根据角平分线的性质可知，点N在上，求出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴直线l为， ∵P与Q关系直线l对称， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为：；． （2）解：如图，当点M在点上方时，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 如图，当点M在点下方时，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 综上分析可知，或，点P的坐标为：或． 故答案为：或；或． （3）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 根据解析（1）可知，， ∴平分， ∴点N一定在上， ∴N点横坐标n的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是根据题意作出图形，注意分类讨论． 9．定义：点是内部的一点，若经过点和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点是关于这个顶点的均分点．例如图中，点是关于顶点的均分点． (1)下列图形中，点一定是关于顶点的均分点的是_______；（填序号） (2)在中，，且，点是关于顶点的均分点，且，直接写出的度数； (3)如图，在中，，，点是关于顶点的均分点，直线与交于点，当时，， ①补全图形； ②求的长． 【答案】(1)① (2) (3)①补图见解析  ② 【分析】（）根据均分点的定义判断即可求解； （）如图，连接并延长交于点，由均分点的定义和等腰三角形的性质可得为的垂直平分线，即得，再根据勾股定理的逆定理即可求解； （）①根据题意画出图形即可；②过点作交延长线于点，由均分点的定义可得，进而由勾股定理得，再证明，得到，，即得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴点是关于顶点的均分点； ②∵， ∴是的角平分线， ∴点到的距离相等，设为， 则，， ∵与不一定相等， ∴与也不一定相等， ∴点不一定是关于顶点的均分点； 故答案为：①； （2）解：如图，连接并延长交于点， ∵点是关于顶点的均分点， ∴， 即为的中线， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴； （3）解：①补全图形如下： ②过点作交延长线于点， ∴ ∵点是关于顶点的均分点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线和角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 10．对于平面直角坐标系中的点M和图形G，给出如下定义：点N为图形G上任意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”． (1)已知点，若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 ； (2)已知点．     ①连接，求点D和线段的中立点E的横坐标的取值范围； ②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在的边上存在点F和的中立点，直接写出点F的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据“中立点”的定义求解即可； （2）①连接，取中点，求出的横坐标，连接，取中点，根据中点坐标公式求出的横坐标，即可得出对答案； ②分D为中立点时和C为中立点时，求出两个临界值即可． 【详解】（1）∵点，若点P是点A和原点的中立点， ∴， 故答案为：； （2）① 连接，取中点，如图， ∵， ∴点的横坐标， 连接，取中点， ∵， ∴， ∴； ②第一、三象限角平分线所在直线的解析式为． 当D为中立点时，点F关于点D的中立点为点Q， ∵点Q的纵坐标是3， ∴点的纵坐标是，代入，得 ∴，即点的横坐标是． 当C为中立点时，点F关于点C的中立点为点L， ∵点L的横坐标是-2，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，中点坐标公式，正比例函数的性质，数形结合是解答本题的关键． 11．我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”． 已知：在中，，，，． (1)下列三角形中，的“关联三角形”是_______(填序号)； (2)若的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以是________； (3)若是的“关联三角形”，且的面积是，直接写出的最大值． 【答案】(1)①③ (2)，， (3) 【分析】（1）根据勾股定理求出，可得所对的角为，根据“关联三角形”的定义即可得答案； （2）分顶角为时，顶角为时，顶角为时三种情况，分别根据“关联三角形”的定义即可得答案； （3）当为直角三角形，且角所对的边为时，根据勾股定理及完全平方公式即可求出最大值为，当中有一角为，且所对边为时，可得当时，有最大值，此时有最大值，得出是等边三角形，即可求出，当中有一角为，且所对边为时，可得当时，边上的高最大，则有最大值，根据勾股定理及含角的直角三角形的性质可得，比较即可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，所对的角为， ∵图①中角所对的边为，中角所对的边为， ∴图①是的“关联三角形”， ∵图②中角所对的边为，两个锐角都是， ∴图②不是的“关联三角形”， ∵图③中三边都为， ∴图③中三角形为等边三角形，三个角都为， ∴图③是的“关联三角形”， ∵图④中角所对的边不等于， ∴图④不是的“关联三角形”， 故答案为：①③ （2）解：当顶角为时， ∵的“关联三角形”是等腰三角形，，所对的边， ∴等腰三角形的底边长可以是， 当顶角为时， ∵的“关联三角形”是等腰三角形，，所对的边， ∴等腰三角形的底边长可以是， 当顶角为时， ∵的“关联三角形”是等腰三角形，，所对的边， ∴等腰三角形的底边长可以是， 故答案为：，， （3）解：当为直角三角形，且角所对的边为时，设两直角边分别为、， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为， 如图，当中有一角为，且所对边为时，过点作于， 由图可知，当时，有最大值，此时有最大值， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 当中有一角为，且所对边为时，过点作于， 由图可知：当时，边上的高最大，则有最大值，设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质及完全平方公式，正确理解“关联三角形”的定义，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 12．在平面直角坐标系中，对于点与直线给出如下定义：若点关于直线的对称点到轴的距离不超过1，则称点存在关于直线的近距对称点．（规定：当点在直线上时，点到直线的距离为0．） (1)在点，，中，存在关于轴的近距对称点的是______； (2)如图，点A在轴正半轴上，点在第一象限，，若点存在关于直线的近距对称点，直接写出的取值范围； (3)已知直线与轴交于A，与轴正半轴交于点，若经过点与点的直线上任意一点，都存在关于直线的近距对称点，直接写出的度数及点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或； 【分析】（1）求出、、关于y轴的对称点，判断其与y轴的距离，进而得出结果． （2）作点P关于直线的对称点为Q，连接，作于D点，则可得，从而得出，根据即可求出t的范围． （3）由题意得，直线关于直线l的对称直线m须与y轴平行，且到y轴的距离小于等于1．分A点在x轴的负半轴上和A点在x轴的正半轴上两种情况讨论．当A点在x轴的负半轴上根据轴对称的性质以及三角形内角和定理可求得． 当直线l经过直线与直线的交点C时，B点与直线的距离最大为1.由此可得d的范围．同理可求得A点在x轴的正半轴上时的度数和d的范围． 【详解】（1）解：∵点，，关于轴的对称点分别是，，，它们到y轴的距离分别是，，， ∴点、是关于轴的近距对称点，点不是关于轴的近距对称点． 故答案为：， （2）解：作点P关于直线的对称点为Q，连接，作于D点， 则，， ∴， ， ， ∵点存在关于直线的近距对称点， ∴， 解得． （3）由题意得，直线关于直线l的对称直线m须与y轴平行，且到y轴的距离小于等于1． ①如图，A点在x轴负半轴上时， 设直线与l的交点为D点， ∵， ∴， ， ， ， ． 当直线l经过直线与直线的交点C时，B点与直线的距离最大， ∵直线与直线关于直线对称， ∴到直线OC的距离等于到直线的距离，即， ； ②如图，A点在x轴正半轴上时， 设直线与l的交点为D点， ∵， ∴， ， ， ， ． 当直线l经过直线与直线的交点H时，B点与直线的距离最大， ∵直线与直线关于直线对称， ∴到直线的距离等于到直线的距离，即， ； 综上，的度数为或，且． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，轴对称的性质以及三角形内角和定理，分类讨论解答此题的关键． 2 / 4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期末真题百练通关（69题7大题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 二次根式 题型5 二次根式、分式综合 题型2 全等综合选择压轴 题型6 全等三角形综合 题型3 最短路径问题 题型7 新定义 题型4 等腰三角形 题型一 二次根式（共6小题） 1．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，，连结，设，完成下面问题：    （1） °； （2）给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 3．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，在中，，，是的中点，，分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足，给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为； ④点到点距离的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 4．已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 5．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是，，若以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为 ． 6．如图，O是数轴的原点，点M对应的数为2，，连接，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点A，点A对应的数为a，则a的值为 ；a 3（填或）． 题型二 全等综合选择压轴（共9小题） 1．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，中，于点，于点．给出下面四个结论： ①；    ②； ③若，则；    ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．(23-24八上·北京房山区·期末)如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，．点关于直线的对称点为，连接，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 5．根据下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，，其中不能唯一确定的形状和大小的是（    ） A． B． C． D． 6．阅读下面材料： 已知：，，，点是中点，给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④点是上的一个动点，当取最小值时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 7．如图，中，和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ①； ②点D到三边的距离相等； ③当时，； ④若，点D到的距离为n，则； 上述结论正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有 ．（写序号） 9．如图，是等边三角形，是的中线，点D关于直线的对称点为E．连接，交于点F，交于点G，连接，． 有下面四个结论： ①点A在线段的垂直平分线上； ②是等边三角形； ③； ④点P是线段上的一个动点，的最小值等于． 其中所有正确结论的序号是 ． 题型三 最短路径问题（共8小题） 1．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在等边中，是边上的高线，且，E是的中点，如果点P在上运动，那么的最小值是 ． 2．(23-24八上·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，，，点是轴上的一个动点，当最小时，点的坐标是 ． 3．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，中．三个内角，，的度数之比为，点为上一个定点．点，分别是，上的两个动点（不与点，，重合），则 °；当的周长最小时， °． 4．在平面直角坐标系xOy 中，A（1，3），B（3，－1），点P在y轴上，当PA＋PB取得最小值时，点P的坐标为 ． 5．如图，等腰中垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，则的周长最小值是 .    6．如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 7．如图，在锐角中，，于点，，，，其中，、、分别为线段、、上的点（均不与点，、重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列三个结论：    ①过点向、作垂线、垂足分别为、，此时的周长即为； ②在点从点向点运动过程中，的最小值为； ③当时，点能在两个不同的位置取到相同的值． 其中所有正确结论的序号是 ． 8．如图，在中，点D在边上，连接AD，且，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则周长的最小值为 ． 题型四 等腰三角形（共10小题） 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上．若为等腰三角形时，，则点C的坐标为（    ） A．，， B．，， C． D．，， 2．(21-22八上·北京昌平区·期末)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．(22-23八上·北京密云区·期末)如图，在中，，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是(    ) A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 4．如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 5．如果等腰三角形的一个内角是，那么这个等腰三角形的顶角度数是 ． 6．如图，在中，，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为 ． 7．在中，，D在边上，且是等腰三角形，则的度数为 ． 8．已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是 ． 9．如图所示，在中，，，平分交于点，于点，若的周长为，则的长为 cm． 10．如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，若，则的长为 ． 题型五 二次根式综合（共9小题） 1．(24-25八上·北京顺义区·期末)阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 2．(24-25八上·北京通州区·期末)我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 3．(23-24八上·北京昌平区·期末)阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； …… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有， 并给出了证明：根据题意，得 ． 等式两边同时___________，得 ____________． 整理得 ． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程. (2)若和为两个相邻整数，则____________. (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 4．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 5．小明同学在学习完直角三角形之后，发现直角三角形中当一个角是时，角的对边等于斜边的一半，具体探究过程如下． 已知：如图1，在中，， 求证：． 证明：如图2，延长至点D，使得，连接…… (1)请你按照小明的思路完成证明过程； (2)小明想设计一个长方形的钟表，钟面如图所示，宽为6，长为，且整点时刻对应的点都在长方形的边上． ①若2点时对应的点B在长方形的边上，则______； ②若1点时对应的点C在长方形的边上，则______． 6．我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： (1)已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； (2)已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 7．小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，则当或时原多项式的值为0，因此定义和为多项式的0值，和的平均值为轴值．例：或时，则和为的0值，3和的平均值1为的轴值． (1)的0值为____________，轴值为____________； (2)若的0值只有一个，则____________，此时0值与轴值相等； (3)的0值为，轴值为m，则____________，若的0值与轴值相等，则____________． 8．阅读材料，解决问题 爱因斯坦是20世纪著名的物理学家，他创立的相对论影响了人类对世界的看法．有趣的是，这位科学巨匠闲暇之余喜欢琢磨一些数学趣题．一次，爱因斯坦在计算一道两位数乘法运算时，联想到了“头同尾合十”的速算方法． 所谓“头同尾合十”是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为； 其对应的速算方法是： 第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，如果乘积是一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用0表示； 第二步：用相同的十位数字乘以比它大1的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面． 像这样组成的数就是两位数相乘的结果．例如： 速算，先算，再算，则； 速算，先算，再算，则； (1)利用上述速算方法，计算的积为 ； (2)用和分别表示两个两位数，其中表示十位数字，和表示它们的个位数字，且， ①依据题意，两位数 ，则两位数 ； ②为说明该速算方法的正确性，请你证明成立． 9．在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： (1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； (2)求分式的最大值． 题型六 全等三角形综合（共15小题） 1．(2023·山东省临沂市·)如图，．    (1)写出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 2．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，在中，，，点是上一点（不与点，重合）．作射线，过点作于点，点关于直线的对称点为点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)若，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 3．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求证：； (2)连接，取的中点，连接，． 依题意补全图形； 求． 4．如图，已知和都是等边三角形，连接，，延长交于点P． (1)求证：； (2)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 5．如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为点D，连接，作射线交于点E，连接．    (1)依题意补全图形； (2)设，求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 6．如图，为等边三角形，点D在上，且，作点C关于直线的对称点E，射线交直线于点F，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 7．在中，，，点是射线上的一个动点，过点作于点，射线交直线于点，连接． (1)如图1，当点在线段上时（不与端点，重合）： ①求证：； ②求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时()，依题意补全图2并用等式表示线段，，之间的数量关系． 8．已知，，点D是直线上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，点F是线段上一点，且，连接． (1)如图1，补全图形，则______°； (2)过点E作，交于点G， ①如图1，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； ②如图2，当点D在的延长线时，直接写出线段之间的数量关系． 9．已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点. (1)当，时，求的长. (2)请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. (3)当线段的长取最大值时，的值为__________. 10．如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点P，连接，线段交直线l于点D，连接． (1)①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，若， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 11．康康同学在研究等边三角形，如图1，已知是等边三角形，D为边的中点，E为中线上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线的对称点是点F．连接，，． (1)①在图1中补全图形； ②他发现E点在中线上运动时，是一种特殊三角形． 请你回答是 三角形； ③利用图1证明这个结论． (2)康康同学发现当E点在中线上运动时，的长度也有规律的变化．当为最大值时，在图2中画出点F，并连接与交于点P． ①按要求画出图形； ②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值____________（填>，<，=）； ③证明②的结论． (3)在边上存在一点M，同时满足的值最大且的值最小，则此时与的数量关系是____________． 12．【问题探究】 小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题： 如图1，在中，，为的中点，点在边上(点不与点，重合)，连接，过点作交于点，连接．求证∶． 小冬的做法如图2：延长到点，使，连接，，证明，经过推理使问题得到解决 (1)小冬在证明 时，使用的判定依据是：_________． (2)如图，在中，，为的中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，连接． ①补全图形； ②试判断，，三条线段之间的数量关系，并证明． 13．如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 14．如图，在中，，，是的高，点E是的中点，连接交于点F，过点E作于点E，交的延长线于点G，交于点H． (1)依题意补全图形； (2)判断和的数量关系，并证明； (3)求证：． 15．已知线段与点，，，点，在直线的同则，点为的中点，连接，． (1)如图，若点在上，，则______； (2)如图，若点在下方，．写出一个的度数（用含的式子表示），使得对于任意的点总有，并证明． 题型七 新定义（共12小题） 1．(24-25八上·北京房山区·期末)已知点，分别为射线和上的一动点（点，都不与点重合）．过点作一条直线与线段交于点，对于线段给出如下定义：若线段可以将拆分成两个等腰三角形，则称线段为的“腰剖线段”． (1)如图1，当，线段时，画出的“腰剖线段”，并写出此时______． (2)如图2，当线段时，若存在的“腰剖线段”，且，则的面积为______． (3)设．若存在的“腰剖线段”．直接写出的大小（数字或含的式子表示）． 2．(23-24八上·北京门头沟区·期末)对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义： 如果点满足，那么点就是线段的“关联点”．其中，当时，称为线段的“远关联点”；当时，称为线段的“近关联点”． (1)如图1，当点坐标分别为和时，在，，，中，线段的“近关联点”有_______． (2)如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，． ①如果点在轴上，且为线段的“关联点”，那么点的坐标为_______； ②如果点为线段的“远关联点”，那么点的纵坐标的取值范围是_______． 3．(24-25八上·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，点A与点B关于x轴对称.对于点A和点B，如果存在点P，使且，那么称点P为点A关于点B的“x轴垂半点”． (1)如图1，点，在，，，中，点A关于点B的“x轴垂半点”是________； (2)如果点是点E关于点F的“x轴垂半点”，那么点E的坐标是________； (3)已知点，，点A是线段上任意一点，如果点G是点A关于点B的“x轴垂半点”，那么点G的横坐标t的取值范围是________． 4．对于线段与点（点P不在线段上）给出如下定义： Q为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点P与线段的“近距”，记作点P，线段如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段的“远距”，记作（点P，线段）． 如图，中，，，． (1)（点C，线段）______，（点C，线段）______； (2)点B关于直线的对称点为，连接．若点P在线段上，且（点P，线段）是点P，线段）的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点C作若点P在直线上，（点P，线段），直接写出（点P，线段）的取值范围． 5．在代数式的学习中，在一定范围内当x的值变化，含x的代数式的值也在变化，给出如下定义：若x值增大时，代数式值也增大，我们叫做“增值代数式”，若x值增大时，代数式值减小，我们叫做“减值代数式”． (1)下列代数式中，当是“增值代数式”的是_____． ①    ②    ③    ④ (2)当时，代数式是“减值代数式”， ①写出一个t的值，______．②t的取值范围是_____． (3)关于x的代数式，若时，代数式M是“增值代数式”，时，代数式M是“减值代数式”，求t的取值范围． 6．给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”． (1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________． (2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，． ①当时，判断与的数量关系，并证明； ②如图2，当时，求证：． 7．在平面直角坐标系中，将过x轴上的点，且平行于y轴的直线，记作直线．对于图形M和N，若存在直线，使得图形M关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的一阶t包含图形．若存在直线与直线且，图形M关于直线的对称图形记为图形W，图形W关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的二阶m，n包含图形． 已知，，，， (1)若， ①A是线段的一阶k包含图形，则______； ②A是线段的一阶s包含图形，则s的取值范围是______； (2)若点A为四边形的二阶，1包含图形，则a的取值范围是______． 8．在平面直角坐标系中，已知点，直线l是过点M且垂直于y轴的直线，点关于直线l的轴对称点Q，连接，过Q作垂直于y轴的直线与射线交于点，则称为P点的M中心对称点． (1)如图1，当，时Q点坐标为____________，点坐标为____________； (2)若P点的M中心对称点为，，则____________，P点的坐标为____________； (3)在（1）中，在内部（不含边界）存在点N，使点N到和的距离相等，则N点横坐标n的取值范围是___________． 9．定义：点是内部的一点，若经过点和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点是关于这个顶点的均分点．例如图中，点是关于顶点的均分点． (1)下列图形中，点一定是关于顶点的均分点的是_______；（填序号） (2)在中，，且，点是关于顶点的均分点，且，直接写出的度数； (3)如图，在中，，，点是关于顶点的均分点，直线与交于点，当时，， ①补全图形； ②求的长． 10．对于平面直角坐标系中的点M和图形G，给出如下定义：点N为图形G上任意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”． (1)已知点，若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 ； (2)已知点．     ①连接，求点D和线段的中立点E的横坐标的取值范围； ②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在的边上存在点F和的中立点，直接写出点F的横坐标的取值范围． 11．我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”． 已知：在中，，，，． (1)下列三角形中，的“关联三角形”是_______(填序号)； (2)若的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以是________； (3)若是的“关联三角形”，且的面积是，直接写出的最大值． 12．在平面直角坐标系中，对于点与直线给出如下定义：若点关于直线的对称点到轴的距离不超过1，则称点存在关于直线的近距对称点．（规定：当点在直线上时，点到直线的距离为0．） (1)在点，，中，存在关于轴的近距对称点的是______； (2)如图，点A在轴正半轴上，点在第一象限，，若点存在关于直线的近距对称点，直接写出的取值范围； (3)已知直线与轴交于A，与轴正半轴交于点，若经过点与点的直线上任意一点，都存在关于直线的近距对称点，直接写出的度数及点到直线的距离的取值范围． 2 / 29 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $