精品解析：北京市东城区北京景山学校2025～2026年度第二学期期中考试 八年级 数学试卷

北京市东城区北京景山学校2025~2026年度第二学期期中考试八年级数学试卷 注意事项 （1）请用黑色钢笔或签字笔答题，不得使用铅笔或红笔答卷． （2）认真审题，字迹工整，卷面整洁． （3）本试卷共8页，共有三道大题，28道小题，考试时长100分钟． （4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试题答案填写在答题纸上． 一、选择题（每题只有1个选项符合题意，每小题2分） 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（　　） A. 34° B. 46° C. 56° D. 66° 4. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 图象与轴有一个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 如果点和点均在该函数的图象上，那么 5. 观察下列4个图形及相应推理，其中正确的是（ ） A. 如图1，∵ B. 如图2，∵ C. 如图3，∵的度数是 D. 如图4，∵垂直平分 6. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，已知A，B是反比例函数y= （k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分） 9. 已知反比例函数的图象经过点，则__________． 10. 如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为_________． 11. 如图，点P是反比例函数图象上一点，过点分別作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 12. 如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 13. 已知点，，都在反比例函数（）的图象上，则，，之间的大小关系为___________．（请用“”连接） 14. 如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 15. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 16. 如图，平面直角坐标系中， 是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为__________． 三、解答题（17-22题每题5分，23-26每题6分，27-28每题7分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． （1）将绕点A顺时针旋转，得到（点，分别是B，C的对应点），在图中画出； （2）在图中画出关于点O中心对称的（点，分别是B，C的对应点），点的坐标是 ； （3）在（1）、（2）的基础上，我们发现点，关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 ． 18. 已知与成反比例，且其函数图象经过点． （1）求关于的表达式； （2）当时，求的值． 19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，当筒车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，已知被水面截得的弦长为6米，点C为运行轨道的最低点，于D，点C到水面的距离是1米，求的半径． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点． （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 21. 如图所示，四边形内接于，． 求证： （1）； （2）是的直径． 22. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，求BD的长？ 23. 如图，在中，为直径，弦于点．平分交于点，连接，，，． （1）求的半径． （2），，三点是否在以点为圆心，的长为半径的圆上？请说明理由． 24. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）求的面积． 25. 如图，在半径为3的中，是直径，是弦，D是的中点，与交于点E，若E是的中点，求的长． 26. 如图1．在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； （2）观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； （3）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （4）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 27. 如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 28. 在平面直角坐标系中，对于点P、点M、点Q，给出如下定义：点P绕点M逆时针旋转得到点，点N为线段的中点（点N不与点重合），则称线段的长为点P关于点M及点Q的“垂中距”，记为． （1）已知点． ①若点，则为______________； ②若点C为y轴上一动点，则的最小值为______________． （2）若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东城区北京景山学校2025~2026年度第二学期期中考试八年级数学试卷 注意事项 （1）请用黑色钢笔或签字笔答题，不得使用铅笔或红笔答卷． （2）认真审题，字迹工整，卷面整洁． （3）本试卷共8页，共有三道大题，28道小题，考试时长100分钟． （4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试题答案填写在答题纸上． 一、选择题（每题只有1个选项符合题意，每小题2分） 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是中心对称图形，故B符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 2. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（　　） A. 34° B. 46° C. 56° D. 66° 【答案】C 【解析】 【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACD＝34°， ∴∠ABD＝34° ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°， 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 4. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 图象与轴有一个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【解析】 【分析】先由解析式得到，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 反比例函数为，， ∴ 反比例函数图象在第二、四象限，A选项错误． ∵ 反比例函数中，恒不为， ∴ 图象与轴没有交点，B选项错误． ∵ 时，反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 当时，随的增大而增大，C选项错误． ∵ 点，都在第二象限的函数图象上，且， ∴ ，D选项正确． 5. 观察下列4个图形及相应推理，其中正确的是（ ） A. 如图1，∵ B. 如图2，∵ C. 如图3，∵的度数是 D. 如图4，∵垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，因此，故A选项错误，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、根据重直平分，无法证明，故D选项错误，不符合题意． 6. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 7. 如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解： ∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积 故选B． 【点睛】考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键． 8. 如图，已知A，B是反比例函数y= （k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案． 【详解】设∠AOM=α，点P运动的速度为a， 当点P从点O运动到点A的过程中，S=a2•cosα•sinα•t2， 由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大； 当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段； 当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段； 故选A． 点睛：本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时三角形OMP的面积计算方式． 二、填空题（每小题2分） 9. 已知反比例函数的图象经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入得：， 解得：． 10. 如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为_________． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，涉及周角为，据此作答，观察出该图形被平分成五部分，这五部分完全重合是解题的关键． 【详解】解：因为该图形被平分成五部分，这五部分完全重合， 所以每个部分形成的角度：． 即旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故答案为：72． 11. 如图，点P是反比例函数图象上一点，过点分別作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用点P在第二象限及矩形面积等于  的性质确定  值． 【详解】解：设点的坐标为 ， 点在第二象限， ，， ∴，即 ， 过点 分别作 轴、 轴的垂线段， 矩形的长为 ，宽为 ，  矩形面积 ， ，即， ， ． 12. 如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据，，可求得的长，再根据垂径定理和勾股定理可计算出答案． 【详解】解：∵弦于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 已知点，，都在反比例函数（）的图象上，则，，之间的大小关系为___________．（请用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二，四象限，且在每个象限内随增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 14. 如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 15. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 16. 如图，平面直角坐标系中，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依次求出等腰直角三角形的顶点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴交于点， 由题意知，， ∴， ， ∴； 同理可得，，，， 以此类推，点的横坐标为， 当为奇数时，点的纵坐标为； 当为偶数时，点的纵坐标为； 当时，， ∴． 三、解答题（17-22题每题5分，23-26每题6分，27-28每题7分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． （1）将绕点A顺时针旋转，得到（点，分别是B，C的对应点），在图中画出； （2）在图中画出关于点O中心对称的（点，分别是B，C的对应点），点的坐标是 ； （3）在（1）、（2）的基础上，我们发现点，关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 ． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析，点的坐标是 （3）． 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，中心对称，点的坐标，熟练掌握利用旋转的性质作图是解题的关键． （1）根据旋转的性质，分别是作出点A、B、C旋转后的对应点，再连接即可； （2）根据中心对称的性质，分别是作出点绕点逆时针旋转后的对应点，再连接即可，根据点位置，写出点坐标即可； （3）连接，交轴于，根据中心对称的性质，求出的中点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 由的位置可得：点的坐标是； 【小问3详解】 解：如图，连接，交轴于， 由图可得：为对称中心，坐标为． 18. 已知与成反比例，且其函数图象经过点． （1）求关于的表达式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，则， 解得． 19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，当筒车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，已知被水面截得的弦长为6米，点C为运行轨道的最低点，于D，点C到水面的距离是1米，求的半径． 【答案】5米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，由垂径定理得（米），再根据勾股定理得求解即可． 【详解】解：如图1，连接， 由题意得：，， ∴， ∴（米），， 在中，， ∴， ∴（米）， 即的半径为米． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点． （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 【答案】（1）； （2）当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【解析】 【分析】（1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据图象，即可进行解答． 【小问1详解】 解：∵反比例的图象过点，即， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 又∵点在函数的图象上， ∴，， ∴ 又∵一次函数过、两点， 即， 解之得． ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 21. 如图所示，四边形内接于，． 求证： （1）； （2）是的直径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，再由可计算出，则，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； （2）根据三角形内角和定理可计算出，则根据圆周角的推理即可得到为的直径． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ， 而， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，， ， 为的直径． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 22. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，求BD的长？ 【答案】5 【解析】 【分析】连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE=BC=4，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE即可． 【详解】解：连接BE，如图， ∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE， ∴∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE， ∴△BCE为等边三角形， ∴BE=BC=4，∠CBE=60°， ∵∠ABC=30°， ∴∠ABE=90°， 在Rt△ABE中，AE==5， ∴BD=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 23. 如图，在中，为直径，弦于点．平分交于点，连接，，，． （1）求的半径． （2），，三点是否在以点为圆心，的长为半径的圆上？请说明理由． 【答案】（1） （2）在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，如图，设的半径为则，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）先根据垂径定理得到，，再证明得到，所以，于是可判断，，三点在以点为圆心，的长为半径的圆上． 【小问1详解】 解：连接，如图， 设的半径为则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为； 【小问2详解】 ，，三点在以点为圆心，的长为半径的圆上． 理由如下： ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，三点在以点为圆心，的长为半径的圆上． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 24. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），点坐标为（1，4））；（2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数的解析式，然后把代入到解析式，即可求得m的值； （2）根据函数的对称性求得A的坐标，再根据待定系数法求得直线AP的解析式，从而求得直线AP与y轴的交点C的坐标，然后根据S△AOP=S△AOC+S△POC求得即可． 【详解】解：（1）把点代入，得 ∴反比例函数的表达式为 ∵把代入得： ∴点坐标为（1，4）． （2）∵点与点关于原点对称，点 ∴点 设与轴交于点，直线的函数关系式为， 把点、分别代入得：，解得 ∴直线的函数关系式为 ∴点的坐标（0，3） ∴ 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 25. 如图，在半径为3的中，是直径，是弦，D是的中点，与交于点E，若E是的中点，求的长． 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，首先，通过垂径定理确定与的关系，然后利用全等三角形的性质证明与相等，最后通过勾股定理计算的长度即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，交于，如图： ∵D是的中点， ， ， ， ∴是的中位线， ， 是直径， ， ∵E是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 答：的长为． 26. 如图1．在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； （2）观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； （3）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （4）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据利用描点法画函数图象即可； （2）根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当时，，求解即可； （4）设在移动前托盘中的砝码质量为，则在移动前托盘与点的距离为，根据当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：根据图象可知是关于的反比例函数， 设， 将代入得， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：在中，当时，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘与点的距离为； 【小问4详解】 解：设在移动前托盘中的砝码质量为， 由题意得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 27. 如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点并构造适当的辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）证明即可； （2）过点A作，交的延长线于点H，则可证明，从而有，则有；再证明，得，由线段的和差关系即可得证． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴； ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：； 证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H； ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵M为的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P、点M、点Q，给出如下定义：点P绕点M逆时针旋转得到点，点N为线段的中点（点N不与点重合），则称线段的长为点P关于点M及点Q的“垂中距”，记为． （1）已知点． ①若点，则为______________； ②若点C为y轴上一动点，则的最小值为______________． （2）若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①1．② （2） 【解析】 【分析】（1）①过点作轴交y轴于点D，证明得，，从而，由中点坐标公式求出的中点N的坐标为，进而可求出； ②设，同理可证，，得出，，从而，求出的中点N的坐标为，由勾股定理得，然后利用二次函数的性质即可求解； （2）由题意可知，点A在以点O为圆心，以2为半径的圆上运动，点C在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动，将点O绕点C逆时针旋转至点，由新定义可知，点在以以点为圆心，以2为半径的圆上运动，在1为半径的圆O上取点C，在2 为半径的圆O上取点A，点A绕点C旋转90度至点，由旋转的性质得，， ，证明得，，由勾股定理求出，然后在中，利用三角形三边的关系即可求解． 【小问1详解】 ①过点作轴交y轴于点D，则， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴的中点N的坐标为， ∴． 故答案为：1； ②设，如图， 同理可证，， ∴，， ∴， ∵，， ∴的中点N的坐标为， ∴， ∴当时，取得最小值， ∴的最小值是，即的最小值为． 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴点A在以点O为圆心，以2为半径的圆上运动，点C在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动， 将点O绕点C逆时针旋转至点，由新定义可知，点在以以点为圆心，以2为半径的圆上运动， 在1为半径的圆O上取点C，在2 为半径的圆O上取点A，点A绕点C旋转90度至点， ∵由旋转的性质得，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 取的中点N，连接，则， ∴， 在中， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，圆的性质，勾股定理，二次函数的性质，难度较大，属中考压轴题，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $