专题2.3 直线与圆（期末复习专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2-3直线与圆综合 题型归纳内容导航 题型1切线长范围与最值（常考点） 题型8切点弦最值 题型2切点弦 题型？圆切线与角度最值范围（重点） 题型3切点弦过定点（重点） 题型10直线与圆：定点 题型4切点三角形面积范围与最值 题型11直线与圆：定值 题型5切点四边形面积范围最值（常考点） 题型12直线与圆：定直线 题型6两圆关系综合应用（难点） 题型13圆压轴第19题型 题型7圆型“将军饮马”（难点） 题型通关·靶向提分 题型一切线长范围与最值（共3小题） 1.(25-26高二上湖南邵阳期中)从点P(m,4-m)向圆C:(x+1)2+(y+1)2=3引切线，则切线长的最小 值为() A.15 B.√7 c.19 D.√21 2.(25-26高三上湖南永州开学考试)已知点P在曲线x2=2y上运动，过M(0,3)作以P为圆心，1为半 MAMB 径的圆的两条切线M,MB' 则MP 的值不可能是() 8.45 D.5 5 C.4 3.(25-26高二上·重庆渝北期中)过直线x-y+1=0上一动点M作圆C:(x-7)+y2=7的切线，切点为 T,则线段MT的最小值为() A.6 B.5 C.4 D.3 题型二、切点弦（共3小题） 4.(23-24高三上江苏南通月考)已知P(x,是1：x-y+4=0上一点，过点P作圆O:x2+y2=5的两 条切线，切点分别为A,B，当直线AB与1平行时，AB=() A.5 8.G C.v30 D.4 2 2 5.(2024全国·模拟预测)过直线y=x上一点M作圆C:(x-22+y=1的两条切线，切点分别为 P,9.若直线PQ过点(1,3)，则直线P9的方程为() A.5x-y-2=0 B.x-5y+14=0 C.5x+y-8=0 D.x+5y-16=0 6.(23-24高三上云南曲靖月考)过点P(0,2)作圆C:x2-4x+y2+3=0的两条切线，设切点为A,B, 则切点弦AB的长度为() 1/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.14 8.4 c.vi D. 14 2 4 1 题型三、切点弦过定点（共3小题） 7.(22-23高二下河南漯河·期末)设点P为直线：2x+y-4=0上任意一点，过点P作圆O:x2+y2=1 的切线，切点分别为A,B,则直线AB必过定点() 11) 711 A.42 B.24) c. o. 8.(23-24高三上北京顺义期中)过直线x+y=4上一动点M,向圆O:x2+y2=4引两条切线，A、B 为切点，则圆O上的动点P到直线AB距离的最大值等于() A.1+V2B.2+V2 C.3+√2 D.3+√2 9.(22-23高二上福建莆田·月考)过直线x+y=4上一动点M,向圆O:x2+y2=4引两条切线，AB为 切点，线段AB的最小值为() A.2W2+1B.2W2 c.2W3 D.2W3+1 题型四、切点三角形面积范围与最值（共3小题） 10.(2025山东聊城三模)已知M是直线1√3x+y-8=0上一点，过点M作圆O:x2+y2=4的切线， 切点分别为P,2,则△OPQ面积的最大值为() A.5 B.2W3 C.1 D.2 11.(24-25高二上四川自贡·月考).已知点P(x,y)为直线1：2x+y+4=0上的动点，过P点作圆 C:x2+(y-1)=1的切线PA,PB,切点为A,B,则△PAB周长的最小值为() A.4+45 5 B.5+N5 C.4+5 D.4+2W5 川雅安期中已知椭圆E)+山的左焦点为上，过点 PA、PB,切点分别是A、B,则三角形ABF面积最大值为() 4 A.2 B.1 C.2 0.3 题型五、切点四边形面积范围最值（共3小题） 13.(2025高三全国专题练习)已知直线：2x+y-5=0与y轴交于点A,点P在直线1上（异于点A), 过点P作圆O:x2+y2=1的两条切线，切点分别为M,N,当∠MPN最大时，四边形PMON的面积为 () A.2 B.4 C.5 D.6 14.(25-26高二上河北邢台月考)已知P是直线/：3x-4y+8=0上的动点，过点P作圆 C:x2+y2-6x+4y+4=0的切线PA,PB,切点分别为A,B,则四边形PACB(C为圆C的圆心)面积的最 小值是() A.24 B.18 C.12 D.8 15.(25-26高二上湖北黄冈期中)已知直线：x-y-4k+13=0与直线12：x++11k+6=0相交于点P 2/7 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,过点p作圆C:(x-3)+(y-4)2=4的两条切线，切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最大值为 () A.4V35B.8V5 c.16W5 D.325 题型六、两圆综合关系(（共3小题）) 16.(25-26高二上河南新乡月考)设集合E={(xy)川x=-V4-,集合 F=(xI(x+3'+(y-3)≤r}(,>0),当EUF=F时，则r的取值范围是（） A.V34,+∞ B.[V34,+∞ c.(0,32-2UV34,+o D.{3W2-2Uvo34 17.(25-26高三上江苏无锡月考)1：mx+y-m-3=0与2：x-my+m-3=0相交于点M,线段AB是圆 c:x+2+y+12=4的一条动弦，且AB=25,则MA+M的最大值为() A.16+4W2B.2+8√2 c.5+63 D.20W5-1 18.(25-26高二上·福建宁德·期中)如图，已知点A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),CD是以OD为直径的圆 O上的一段圆弧，CB是以BC为直径的圆O2上的一段圆弧，BA是以OA为直径的圆O上的一段圆弧，则 圆O与圆O的相交弦所在直线被圆O截得的弦长为() A A 2 A. B. 2 c.3 3 D. 3 题型七园型“将军饮马”（共3小题） 19.(25-26高二上·广东广州·期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历 山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》 一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：己知动点M与两定点A,B的距离之比为1（九>0 ，元1)，则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点A-2,0),B(2,0)的距离之比为√2时的 阿波罗尼斯圆为x-6)+y=32.我们来研究与此相关的一个问题：已知圆0：X+y=4上的动点M和 定点A-1,0),B1,,则2MA+MB的最小值为() A.2+V10B.√21 C.√26 D.√29 20.(25-26高三上·安徽·月考)阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山 大时期数学三巨匠.阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值（九>0，且元≠）的点的轨 3/7 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 迹是圆，此圆被称为点A和B相关的阿波罗尼斯圆现已知点A和B相关的阿波罗尼斯圆为圆O:x2+y2=4 ,其中点A(-4,0),且点P在该圆上，点Q在圆M:(x-5)+(y-8)=4上，则2PQ+PA的最小值为 () A.16 B.8 C.12 D.6 21.(25-26高二上湖北期中)设点P为圆x2+y2=4上的动点，A1,0),B(0,3),则3PA+PB的最小值 为() A.3N2 B.5 C.210 D.4 题型八、切点弦最值（共3小题） 22.(25-26高二上山东临沂·期中)设M是圆C:x+y=9上的一个动点，过M向圆C2x2+y2=4引切 线，两切点间的线段称为切点弦，则当点M在C上运动时，切点弦所形成的区域的面积为() A.智 8.16 20元 c.9 D.4元 23.(23-24高二上浙江期末)已知圆C:x2-2x+y2=0与直线1：y=mr+2m(m>0),过1上任意一点p 向圆C引切线，切点为A和B,若线段AB长度的最小值为V2,则实数m的值为() A. 2V7 7 8.6 7 c. 2 D.4 7 24.(23-24高三上陕西西安月考)已知圆C过点(4,2)，(2,0)，(6,0)，点M在线段y=x(0≤x≤4 上，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A,B,以AB为直径作圆C',则圆C的面积可能为() π 6. 5π C.2 7元 A.3 D.2 题型九、圆切线与角度最值范围（共3小题） 25.(2023新疆乌鲁木齐三模)已知直线1：x+2y-4=0与x轴和y轴分别交于A,B两点，点P在以点A 为圆心，2为半径的圆上，当∠ABP最大时，△APB的面积为() A.2 B.5 C.4 D.2W5 26.(23-24高三上湖南岳阳·月考)过动点Pa,)（a≠0)作圆C:x2+y-4√5=3的两条切线，切点 分别为A'B'且∠APB=600,则。的取值范围是() A.「-5，V5 3’3 D.(-o,-5]U[V5,+o∞ 27.(2024辽宁辽阳一模)已知动点p在直线：x-y=0上，过p总能作圆C:(x-)+y2=1的两条切 线，切点为AB,且∠BPA<乃恒成立，则，的取值范围是( A.(-4,0U(0,4 B.-00,-4)U4,+0) 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.-22,0U0,22 D.-0,-2W2U22,+0 题型土、直线与圆：定点（共3大题） 28.(25-26高二上重庆月考)已知圆C过点E1,4和点F(3,2),且圆心在直线4x-3y=0上. (1)求圆C的方程： (2)已知圆C外有一定点A1,2),过A作圆C的切线，切点分别为B,D两点，求BD; (3)已知点Pl,4),过C的直线1交圆C于M,N两点(P不在直线1上)，直线PM,PW分别与直线 :x=7交于S,T两点，则以ST为直径的圆是否过除点P以外的定点？若过定点，求出此点的坐标；若 不过定点，请说明理由. 29.(24-25高二上·天津·月考)古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》， 此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆 后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(-l,0)和B(-2,),且该平面内的点P满足 PA=V2 PB (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设点M为直线y=x-3上的一点.过点M作轨迹C的两条切线，切点为Q,R. ()证明：直线QR过定点： (ⅱ)求线段QR长度的最小值. 30.(25-26高二上河南月考)己知直线1：2x-y+2=0与圆0：x2+y2=r2(r>0)交于M,N两点，且 nW=&5 5 (1)求r. (2)过1上且在圆O外的一动点P作圆O的两条切线，2，切点分别为A,B. ()当点A的坐标为，0)时，求点B的坐标： (i)证明：直线AB过定点. 题型十一、直线与圆：定值（共3大题） 31.(25-26高二上河南新乡·月考)如图，已知圆0：x+y=4,P是直线y=4上的动点，过点P作圆0 的两条切线，切点分别为A、B B (1)若PA⊥x轴，求四边形OAPB的面积： 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若直线PA、PB与x轴分别交于点Mm,0)、N(n,0),证明：9m2+9n2+30mn为定值： (3)求线段AB的中点Q的轨迹方程， 32.(25-26高二上·福建泉州期中)已知圆0：x2+y2-4,点Q0,1),过点P0,4)的直线1与圆0交于不 同的两点A,B(均不在y轴上)· (1)若直线1的斜率为2√2，求AB的长度： (2)设直线QA,QB的斜率分别为k,k,求证：k+k2为定值： (3)设 B中点为M是否存在直线，使得M0-Mg?若存在，求出直线，的方程，若不有在，说明 AB 理由。 33.(25-26高二上·甘肃金昌·月考)已知圆0：x+y2=4,直线1：mx+y+m=0.记直线1与圆0交于 A,B两点， (1)当AB=V5时，求直线1的方程： (2)记圆O与x轴的正半轴交点为M,直线MA的斜率为k,直线MB的斜率为k2,求证：kk2为定值. 题型土二直线与圆：定直线（共3大题） 34.(25-26高二上广东清远期中)已知k∈R,圆C:x2+y2+2+(4k+10y+52+20k+9=0. (1)若k=-4,求圆C的圆心C与半径： (2)求圆心C的轨迹方程： (3)是否存在定直线1，使得动圆C截直线1所得的弦长恒为V59?若存在，求出直线1的方程：若不存在， 说明理由. 35.(25-26高二上四川成都月考)动圆C:x+y+x+元y-(九+1)=0(1∈R)与直线1：y=2x交于 A,B两点。 (1)证明：动圆C必过两定点，并求出这两点坐标； (2)求AB的最小值： (3)是否存在一条定直线，在其上任取点K,无论元为何值，都有KA·KB为常数，若存在，求出定直线方 程；若不存在，请说明理由 36.(23-24高三上陕西·月考)已知抛物线C1的方程为y2=8x. (1)若M是C上的一点，点N在C的淮线I上，C的焦点为F,且FM⊥FN,MF=10,求NF: (2)设P(x,%(x≠m±r,%≠±m)为圆C2:(x-m)2+y2=r2外一点，过P作C,的两条切线，分别与C相交 于点A,B和C,D,证明：当P在定直线x=t上运动时，A,B,C,D四点的纵坐标乘积为定值的充要条件 为m2=t2+r2(r≠0). 【点睛】求解与抛物线焦半径有关的问题，可以利用抛物线的定义来列方程进行求解，求解有关直线和圆位 置关系有关问题，可利用圆心到直线的距离来建立等量关系式要求直线和圆锥曲线的交点，可通过联立方 程组来求解. 题型十三、圆压轴第19题型（共3大题） 37.(25-26高二上四川遂宁期中)已知过点H2,-1)且斜率为-1的直线被圆0：x2+y2=r2截得的弦长 为v14 (1)求过点H的圆O的切线方程： 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PA 2已知两个定点Aa,2,Bm,l,其中a∈R'm>0p为圆0上任意一点.P =n(为常数)· ①求常数n的值： ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基首先提出来的名 词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若C,),D(x2,2),则 C,D两点的“曼哈顿距离”为C,D)=2-x+y2-y,若过点E(a,)作直线1与圆C:x2+y2=m交 于M、N两点，且M点恰好是线段NE的中点，又已知点F(,-1,dE,F)≥b-3b+5能成立，且 dE,F)≥b2+3b+√2恒成立，求实数b的取值范围 38.（25-26高二上·江苏盐城月考)若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合 A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为 集合A的包络圆. (1)若圆E:x2+y2=4是集合A={(x,y川ax+by=2的包络圆. (i)求a,b满足的关系式： (i)若2a+b+t=0,求t的取值范围： (2)若集合A=(xy川xcos0+(y+6)sin6+65=0,0∈R的包络圆为C,p是C上任意一点，判断y轴上 是否存在定点， M'N'使得PN P三万，若存在，求出点，心的坐标：若不存在，诗说明理由。 39.(25-26高二上·河北邢台·月考)在平面直角坐标系x0少中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上 存在两个不同的点M,N,对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P,Q,都有∠PAQ≤∠MAW,则称 点A是⊙C的关联点，称∠MAW的大小为点A与⊙C的关联角度.（本定义中的角均指锐角、直角、钝角 或平角) (1)如图，⊙0的半径为1. ①在点4行04（售0420中，点 是⊙0的关联点且其与⊙0的关联角度小于g0,该 点与⊙O的关联角度为 ②点B(山，m在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD,BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的 最小值为 (2)已知点E(1,3),F(4,3到，T(t,0),⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的 关联角度的最大值为a.若90°≤a≤180°，直接写出t的取值范围. 7/7 专题2-3 直线与圆综合 题型1 切线长范围与最值（常考点） 题型8 切点弦最值 题型2 切点弦 题型9 圆切线与角度最值范围（重点） 题型3 切点弦过定点（重点） 题型10 直线与圆：定点 题型4 切点三角形面积范围与最值 题型11 直线与圆：定值 题型5 切点四边形面积范围最值（常考点） 题型12 直线与圆：定直线 题型6 两圆关系综合应用（难点） 题型13 圆压轴第19题型 题型7 圆型“将军饮马”（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、切线长范围与最值 （共3小题） 1．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的切线长公式求解. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 则切线长为， 当时，切线长取得最小值， 此时点，且，即点在圆外，满足题意. 故选：A 2．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）已知点在曲线上运动，过作以为圆心，1为半径的圆的两条切线，则的值不可能是（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用点到圆心的距离与切线长的关系，结合抛物线的性质求出的取值范围，进而分析表达式的可能取值. 【详解】由题意得，由勾股定理得， 则. 易知，随着的增大，也越来越大，所以随着的增大而增大. 设，由两点间距离公式得 ， 所以当时，取得最小值，此时. 故的最小值为，即，显然B，C，D可能成立. 故选：A 3．（25-26高二上·重庆渝北·期中）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据题意可知圆心和半径，利用勾股定理结合圆的性质分析求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 由题意可知：， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以线段的最小值为5. 故选：B. 题型二、切点弦 （共3小题） 4．（23-24高三上·江苏南通·月考）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答. 【详解】连接，由切圆于知，， 因为直线与平行，则，，而圆半径为， 于是，由四边形面积，得， 所以.    故选：C 5．（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点求得t的值，进而得到直线PQ的方程. 【详解】圆C：的圆心为， 设，则以为直径的圆的方程为 与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为 因为直线PQ过点，所以，解得． 所以直线PQ的方程为，即． 故选：C． 6．（23-24高三上·云南曲靖·月考）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果. 【详解】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以． 故选：B． 题型三、切点弦过定点 （共3小题） 7．（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 8．（23-24高三上·北京顺义·期中）过直线上一动点，向圆：引两条切线，、为切点，则圆上的动点到直线距离的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，由圆的切线性质可得点、在以为直径的圆上，联立两个圆的方程可得直线的方程，结合的坐标可得直线过定点，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，点在直线上，设，则， 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点、在以为直径的圆上， 又由，则以为直径的圆的方程是， 圆的方程为， 联立两个圆的方程可得：直线的方程为，即， 因为，所以，代入直线的方程，得，即， 当且，即，时该方程恒成立，所以直线过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离加上圆的半径， 即点到直线距离的最大值为． 动点到直线距离的最大值为， 故选：B 9．（22-23高二上·福建莆田·月考）过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】得到四点共圆，且为直径，求出以为直径的圆的方程，与联立求出相交弦所在直线的方程，得到其过的定点，再数形结合求出 要想线段取得最小值，只需，即为的中点时，利用勾股定理求出答案. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 因为，故四点共圆，且为直径， 设，则， 线段的中点坐标为， 故以为直径的圆的方程为， 整理得：， 与相减得： 直线的方程为， 整理为， 令，解得：， 即直线恒过点， 要想线段取得最小值，只需，即为的中点， 其中， 则， 故选：B 题型四、切点三角形面积范围与最值 （共3小题） 10．（2025·山东聊城·三模）已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】应用点到直线距离得出，最小时，利用面积公式结合角的范围即得. 【详解】∵圆心O到直线的距离，所以， 设 ，，所以，，所以， 则面积 故选：A. 11．（24-25高二上·四川自贡·月考）.已知点为直线上的动点，过P点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心到直线的距离，确定动点到圆心的最短距离，从而得出切线长进而求出的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值. 【详解】设圆心到直线的动点的距离为， 根据点到直线距离公式，. 因为，是圆的切线，所以（其中）. 又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即. 的周长为. 因为是圆的弦，且和全等，所以. 根据三角形面积公式，（其中是圆的半径）， 可得，所以， 则的周长. 因为与均在上单调递增， 所以当时，周长取得最小值. 最小值为. 故选：A. 12．（20-21高二下·四川雅安·期中）已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】设,，并求出切线PA、PB的方程，进而求出直线方程，并确定其过定点，且定点为椭圆的右焦点，再联立方程求得，，再表示出，利用基本不等式求出范围即可. 【详解】由椭圆方程，知， ，设右焦点为，即 设,， 由椭圆的切线方程可知切线PA的方程为，切线PB的方程为 由于点P在切线PA、PB上，则，故直线方程为， 所以直线过定点，且定点为椭圆的右焦点， 联立方程，消去x得： 由韦达定理得，， 令，则，，则 ，当且仅当，即时，等号成立， 故三角形ABF面积最大值为 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求三角形的面积得最值，解题的关键是清楚椭圆方程在椭圆上一点的切线方程为，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于较难题. 题型五、切点四边形面积范围最值 （共3小题） 13．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与y轴交于点A，点P在直线l上（异于点A），过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，当最大时，四边形的面积为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意，由图可得当最大时，即最大，此时也最大，即最小，此最小值即为点O到直线l的距离，由此运算得解. 【详解】如图所示，连接，易知，，， 又，因此当最大时，也最大， 此时也最大，即最小，此最小值即为点O到直线l的距离， 则四边形的面积为． 故选：A． 14．（25-26高二上·河北邢台·月考）已知是直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形（为圆的圆心）面积的最小值是（    ） A．24 B．18 C．12 D．8 【答案】C 【分析】根据切线的性质先计算圆的圆心和半径及圆心到直线距离，要求四边形面积的最小值，只要求出的最小值即可，求得面积即可. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 点到直线的距离， 当时，则， 因为是圆的切线，所以， 故四边形面积的最小值是. 故选：C. 15．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线恒过定点及两直线垂直，可求得点P的轨迹方程，分析可得，要使四边形面积的最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】变形为，恒过， 变形为，恒过， 因为，所以， 所以交点P的轨迹是以和为直径端点的圆， 则圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：C 题型六、两圆综合关系 （（共3小题）） 16．（25-26高二上·河南新乡·月考）设集合，集合（），当时，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程得出集合，再结合集合并集关系结合图形关系得出参数范围. 【详解】由得，所以集合表示以点为圆心，以2为半径的左半圆， 与轴的交点为，， 集合表示以点为圆心，以为半径的圆及其内部， 当圆过点时，此时，所以， 所以当时，则的取值范围是．    故选：B. 17．（25-26高三上·江苏无锡·月考）与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点的轨迹为圆，设为弦的中点，再由向量的加法运算和圆与圆的位置关系可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标为， 直线恒过点，直线恒过点， 因为，所以，则，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆，的中点为， ， 故点的轨迹为圆，但是去掉点，其中， 若点为弦的中点，位置关系如图：     ，连接，由，易知， 故点在以为圆心，半径为1的圆上， ，直线为， 联立与得或（舍去）， 又点为圆上的点， ， 此时. 故选：B 18．（25-26高二上·福建宁德·期中）如图，已知点是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，则圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个圆的方程，求出相交弦的方程，结合勾股定理可得答案. 【详解】由题意可得圆的方程为，圆的方程为， 圆的方程为； 圆与圆的相交弦所在直线方程为； 到直线的距离为， 所以圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为， 故选：A 题型七、圆型“将军饮马” （共3小题） 19．（25-26高二上·广东广州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O：上的动点M和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取点，推理证明得，把问题转化为求点到定点，距离和的最小值作答. 【详解】如图，点在圆上，取点， 连接、，有， 当点、、不共线时，， 又，故，则有； 当点、、共线时，有； 故恒成立， 则， 当且仅当点是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 20．（25-26高三上·安徽·月考）阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼奥斯发现:平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是圆，此圆被称为点和相关的阿波罗尼斯圆.现已知点和相关的阿波罗尼斯圆为圆，其中点，且点P在该圆上，点Q在圆上，则的最小值为（    ） A．16 B．8 C．12 D．6 【答案】A 【分析】设，表示出，根据阿波罗尼斯圆定义得出点，再根据两点之间线段最短求出最小值. 【详解】，    设，则，故， 故=====， 可得，则， 故， 当且仅当B，P，Q，M四点共线时，取得最小值8， 则的最小值为16. 故选：A 21．（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】在轴上找一点，此时，证明，同理在轴上找一点，证明，将所求变为，代入整理，当D、P、C三点共线时，有最小值，即可得答案. 【详解】，可在轴上找一点， 此时，， ， 所以， 同理因为，可在轴上找一点，使得， ， 所以， 由此知. 故选：C. 题型八、切点弦最值 （共3小题） 22．（25-26高二上·山东临沂·期中）设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设是切点弦，连接交于，由求得点到直线的距离，进而求出圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积，进而求出切点弦区域面积. 【详解】如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以， 则原点到直线的距离为定值， 故切点弦始终与圆相切， 在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 所以切点弦所形成的区域为圆与圆之间的圆环， 故所形成的区域的面积为. 故选：C 23．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种： （1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解； （2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解. 24．（23-24高三上·陕西西安·月考）已知圆过点，，，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆C的方程，作图分析，确定M点位于何处时，以为直径作圆，圆的面积取到最大或最小，求出最大值或最小值，即可判断答案. 【详解】由于圆过点，，，则圆心在直线上，设为， 则，解得，故圆， 设线段为OD， 由于， 结合图形可知为等腰直角三角形，当，即M在线段OD的中点时， 最小，则最小，此时最小，最小值为， 此时以为直径作圆，圆的最小面积为； 当M位于D或O点时，最大，则最大，此时最大， 此时，最大值为， 此时以为直径作圆，圆的最大面积为； 结合选项可知符合题意， 故选：C 题型九、圆切线与角度最值范围 （共3小题） 25．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）已知直线l：与x轴和y轴分别交于两点，点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当最大时，的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】作图分析，可知当最大时，直线为圆的切线，由此求得，根据三角形面积公式，可得答案. 【详解】如图示，,点P在以点A为圆心，2为半径的圆上， , 当最大时，直线为圆的切线，则, 此时, 故的面积为， 故选：C 26．（23-24高三上·湖南岳阳·月考）过动点（）作圆：的两条切线，切点分别为，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，确定动点的轨迹方程，从而结合表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，利用距离公式列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆：的半径为， 因为，分别为两条切线，的切点，且，则，所以，所以动点在圆上且， 表示圆上的点与坐标原点连线的斜率， 设，则直线与圆有公共点， 由点到直线的距离公式可得，解得或， 即的取值范围是， 故选：D 27．（2024·辽宁辽阳·一模）已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，且恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设,，然后得到恒成立，进一步转化为最短即为点到直线的距离，计算即可. 【详解】设，则, 恒成立，即，则恒成立， 最短即为点到直线的距离，则，解得或. 故选：D. 题型十、直线与圆：定点（共3大题） 28．（25-26高二上·重庆·月考）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆外有一定点，过作圆的切线，切点分别为，两点，求； (3)已知点，过的直线交圆于，两点（不在直线上），直线，分别与直线交于，两点，则以为直径的圆是否过除点以外的定点？若过定点，求出此点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点为 【分析】（1）由题可设所求圆圆心为，接着由求出参数a和圆的半径即可得解； （2）由点A与圆的位置特征求出两切点即可由两点间距离公式求解； （3）利用直线的参数方程并结合题意得到，，再结合平面向量垂直的坐标运算和圆的性质求解定点即可. 【详解】（1）由题可设所求圆圆心为，则， 所以，即，解得， 所以圆的半径为，圆心为 则圆的方程为. （2）由（1）可知圆过点， 所以过作圆的切线，得切线有两条分别为，两切点即为， 所以； （3）由（1）可知点P在圆C上，作出符合题意的图形， 因为直线过，所以直线的参数方程为， 将代入中， 可得，解得或， 则，， 而直线过，则，令， 则，，而的方程为， 当时，，解得， 故，同理可得， 设以为直径的圆上任意一点为，则，即， 可得，， 则， 整理得， 令，，解得或， 故为直径的圆过除点以外的定点，该定点为. 29．（24-25高二上·天津·月考）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点Р满足. (1)求点P的轨迹的方程； (2)设点M为直线上的一点.过点作轨迹C的两条切线，切点为Q，R. （i）证明：直线过定点； （ⅱ）求线段长度的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）； 【分析】（1）设点P的坐标为，根据及两点距离公式列方程，化简即可得； （2）（i）设点．确定以为直径圆的方程，与圆方程相减可得直线的方程，即可求证；（ii）记圆的半径为，到直线的距离为，则 通过确定的最大值即可求解； 【详解】（1）设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． （2） （i）设点，而，则中点为，且， 以为直径圆的方程为， 整理得， 以为直径圆与圆的方程相减，得． 整理得，令，可得， 所以直线过定点． （ii）记圆的半径为，到直线的距离为，则． 当取最大值时有最小值，而，当且仅当时取到， 所以的最小值为． 30．（25-26高二上·河南·月考）已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据圆心到直线距离与弦长，利用勾股定理直接计算即可得半径； （2）（i）结合（1）中结论可知，由点与圆的位置关系，利用对称性可求得点的坐标； （ii）由题意知在以为直径的圆上，其方程为，求出直线方程为，即可得直线过定点. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为． 点到的距离为， 所以． （2）（i）因为分别是过点的两条切线与圆的切点，所以点关于直线对称． 由（1）知点的坐标为， 则， 由得； 则，所以直线的方程为． 设，则； 解得， 即． （ii）设点． 由题意知，所以在以为直径的圆上，如下图所示： 以为直径的圆的方程为， 与作差，可得直线的方程为， 整理得， 由，解得 即直线过定点． 题型十一、直线与圆：定值（共3大题） 31．（25-26高二上·河南新乡·月考）如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． (1)若轴，求四边形的面积； (2)若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明出，分析可知，求出、，即可得出，结合三角形的面积公式可得出答案； （2）设，求出直线的方程，利用直线与圆相切可得出，同理有，进而可知、是方程的两个实根，结合韦达定理可证得结论成立； （3）分析可知点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，可求出直线所过定点的坐标，分析可知，点在以为直径的圆上，又可知线段为该圆的直径，即可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）当轴时，不妨设、，如图所示： 所以，，且， 连接，由切线长定理可得，，，故， 则． （2）设，因为， 所以直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 整理得，同理有， 所以、是方程的两个实根， 所以，， 所以为定值． （3）由题知，， 所以点、在以为直径的圆上， 由、得该圆的方程为， 将与相减，得直线的方程为． 取，得，所以直线过定点， 又因为为的中点，所以，即， 所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为． 又不可能是圆的直径，所以点不可能与原点重合， 所以点的轨迹方程为，即． 32．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆，点，过点的直线与圆交于不同的两点，（均不在轴上）. (1)若直线的斜率为，求的长度； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)设中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）求得直线方程及圆心到直距离，利用公式求解即可； （2）联立直线方程为与圆的方程，消元后利用韦达定理得到，，用坐标表示出，，进一步计算即可. （3）利用坐标表示出点，继而求得,根据建立方程，求解后进一步判断即可；也可以根据，是直角三角形，继而求得点的轨迹方程且，再利用，建立方程，利用两圆的位置关系进行判断即可. 【详解】（1）由已知直线方程为即 则圆心到直距离 则. （2）设直线方程为与圆交点坐标为， 由消去得到 即 ， 又， 所以 , 所以为定值. （3）法一：由已知， 由（2）化简得 所以， 所以由得 即解得 由（2）知，即 所以不存在直线使得. 法二：由是弦中点，得，即有， 所以是直角三角形. 设中点为，由已知得，， 所以点轨迹方程为: 且（点轨迹在圆内），记为圆. 又，即. 设则 化简得，记为圆,则, 而圆心距. 所以圆与圆相交， 联立， 解得或者， 两圆交点为和， 不在圆内，不满足题意， 所以不存在直线，使得. 33．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）已知圆，直线：.记直线与圆交于两点， (1)当时，求直线的方程； (2)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用圆心距来求弦长，即可由点到直线的距离公式求解直线方程； （2）由直线：可知直线斜率一定存在，然后将直线方程与圆联立方程组，利用根与系数关系来求解定值即可. 【详解】（1）由圆心原点到直线的距离， 结合弦长公式：，可得，解得， 所以，解得， 即可得直线方程为：， （2）由题意知，， 因为直线，所以直线的斜率一定存在； 直线方程化简得， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 题型十二、直线与圆：定直线（共3大题） 34．（25-26高二上·广东清远·期中）已知圆 (1)若，求圆的圆心与半径； (2)求圆心的轨迹方程； (3)是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，直线方程为或 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程即可求解. （2）求得的坐标并消去参数，从而求得的轨迹方程. （3）求得圆心到直线的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）当时，圆， 即， 所以圆的圆心为，半径. （2）圆的方程化为， 即， 所以圆的圆心为，即， 消去得， 所以圆心的轨迹方程为. （3）设直线交圆于两点，设到直线的距离为， 则，假设存在符合题意的定直线， 则， 即圆心与直线的距离恒为， 而圆心的轨迹方程为， 所以可设直线的方程为，且， 解得或， 所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或. 35．（25-26高二上·四川成都·月考）动圆：与直线：交于两点． (1)证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； (2)求的最小值； (3)是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）将圆的方程整理得，由，可解得两定点； （2）求出圆的圆心坐标和半径，求圆心到直线的距离为，使用公式，将和代入整理得，设，利用二次函数的图像和性质求出； （3）设定，，，根据向量法得出，经整理后得到，因为无论为何值，都有为常数，则有，进而得到定直线. 【详解】（1）， 整理得， 由，解得或， 即动圆恒过两定点的坐标为或. （2）由圆的方程可得， 圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的圆心到直线：的距离为， 所以两点间的距离， 整理得， 设，其对称轴为， 故， 所以. （3）设，， 将直线代入圆中， 得， 整理得，根据韦达定理得， 设，则，， 则有， 整理得， 即有， 整理得， 因为无论为何值，都有为常数， 则令，为常数. 故存在定直线，即，其上任意点满足条件.    36．（23-24高三上·陕西·月考）已知抛物线的方程为． (1)若M是上的一点，点N在的准线l上，的焦点为F，且，，求； (2)设为圆外一点，过P作的两条切线，分别与相交于点A，B和C，D，证明：当P在定直线上运动时，四点的纵坐标乘积为定值的充要条件为． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 【分析】（1）先求得点的坐标，求得直线的斜率，进而求得直线的斜率，由直线的方程求得点坐标，进而求得. （2）设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，写出根与系数关系，联立切线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，由四点的纵坐标乘积为定值求得. 【详解】（1）由题意可得，抛物线的焦点为，准线． 不妨设点，则， 即，可得，即， 所以，则直线的斜率． 为，所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 令，解得，即， 故．    （2）设，由，， 知过所作圆的切线的斜率k存在且非零，每条切线都与有两个交点， 设切线方程为，即， 故，整理得，① 则过P所作的两条切线，的斜率，分别是方程①的两个实根， 故有，．② 联立，消去x得，③ 设点A，B，C，D的纵坐标分别为，，，， 由③得， 同理可得． 于是得． 设（其中为常数）， 把②式代入整理得， 要使上式与的取值无关，则当且仅当常数且时， 四点的纵坐标乘积为定值．    【点睛】求解与抛物线焦半径有关的问题，可以利用抛物线的定义来列方程进行求解.求解有关直线和圆位置关系有关问题，可利用圆心到直线的距离来建立等量关系式.要求直线和圆锥曲线的交点，可通过联立方程组来求解. 题型十三、圆压轴第19题型（共3大题） 37．（25-26高二上·四川遂宁·期中）已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为. (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，能成立，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）①由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果；②由①可得，圆，设，从而，由，在圆上，解关于的方程组并化简，转化为直线和圆有交点的问题，可得，结合“曼哈顿距离”的定义表示并计算得到两点的“曼哈顿距离”，最后由满足的不等式求得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为. 所以过点的圆的切线方程为或. （2）①设点，则，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以， 又，，解得，所以常数. ②由①知，，，所以点，圆， 设，是线段的中点，则， 又，在圆上，即关于的方程组有解， 化简得有解， 即直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离， 化简得：，解得， 又，，由“曼哈顿距离”的定义知两点的“曼哈顿距离”为 ，因为， 所以， 解得， 又能成立，且恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 38．（25-26高二上·江苏盐城·月考）若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （i）求，满足的关系式； （ii）若，求的取值范围； (2)若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）. (2)存在，，或，. 【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. 【详解】（1）（ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是； （2）设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 39．（25-26高二上·河北邢台·月考）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，对于上任意满足的两个不同的点，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为1． ①在点中，点__________是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为__________； ②点在第一象限，若对于任意长度小于1的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为__________； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①先根据关联角度的概念，分析出点与圆的位置关系不同时，关联角度的大小和意义；再对逐个分析，求其对应的关联角度即可； ②问题转化为两圆的圆心距的问题求解. （2）根据关联角度的取值范围分情况讨论，若线段在外，根据上的点到点的距离在取值求的取值范围，若线段在内，根据根据上的点到点的距离在求的取值范围. 【详解】（1）①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为，∴，且是的切线， ∴，∴ ∴，即与的关联角度为. 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为，∴，当时， 如图，取点，则， ∴，∴的最小值为，故答案为：． （2）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，点距离圆心最近. ∵，∴当时，由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵   ∴四边形是正方形，  ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内. ①若线段均内，线段上所有的点都是的关联点，这些点与的关联角度的最大值均为若，如图， 则. ②若线段均在外，则上距离最近的点在的圆环内. 当时，如图： 则； 当时，如图： 则. 综上可知：或或. 所以所求的取值范围为. 结束 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $