寒假作业12 相交线与平行线的5大必刷热考模型（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 相交线与平行线的热考模型 一、基本辅助线 解决相交线与平行线的相关问题，通常需要过已知点做某一条线的平行线辅助解决相关问题。 二、跨学科问题：光的反射和折射 ①光的反射：已知OE垂直于平面AB，一束光线从点C出发，经点O反射后经过点D，则∠AOC=∠BOD，∠COE=∠DOE。 ②光的折射：一束光线从空气射入水中后，光线的角度会发生变化，这样的现象叫光的折射。 三、“猪蹄”模型与“锯齿”模型 ①“猪蹄”模型 条件：AB∥CD，O是平行线间的一点，连接OB，OC，且两条线段凹进去 结论：∠APC=∠A＋∠C ②“猪蹄”模型拓展（当内部凹进去的拐点比较多时，设为n个） 结论： ③锯齿模型 条件：AB∥CD，点P1,P2,P3······Pn在平行线的内部，依次连接点B,P1,P2,P3······Pn,C 结论：∠P1+∠P3＋···+∠Pn=∠B+∠P2＋∠Pn-1＋∠C 四、“铅笔头”模型 条件：AB∥CD，点O在平行线之间，连接OB，OC，且两条线段凸出来 结论： 模型拓展（当内部凸出去的拐点比较多时，设为n个） 结论： 五、“尖角”模型 ①“尖角”模型1 如图，AB∥CD，点E为直线AB，CD外侧一点，连接AE，DE 结论：∠D＋∠E=∠A ②“尖角”模型2 如图，AB∥CD，点E为直线AB，CD外侧一点，连接AE，DE 结论：∠A＋∠E=∠D ③“尖角”模型3 如图，AB∥CD，点E为直线AB，CD外侧一点，连接AE，DE 结论：∠A＋∠D－∠E=180° 六、“5”字模型 如图，AB∥CD，点E为直线AB，CD内侧一点，连接AE，DE 结论：∠A＋∠E－∠D=180° 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 跨学科问题（光的反射和折射） 1．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若∠ABE＝45°，∠CBD＝19°，则∠DBF的度数为　　 °． 2．如图，将平面镜放置在桌面AB上，光线CO经过平面镜反射形成光线OD．已知EO⊥AB，∠AOC＝35°，∠COE＝∠DOE，则∠DOB的度数为 　　 ． 3．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝50°，折射角∠2＝34°，则∠EDF的度数为　　 度． 4．如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫做光的折射，在图中，AB与直线CD相交于水平面上的点F，一束光线沿CD射入水面，在点F处发生折射，沿FE射入水内．如果∠1＝42°，∠2＝29°，则光的传播方向改变了 　　 度． 5. 【学科融合】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2． 【应用探究】 有两块平面镜OM、ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD． （1）如图2，有两块平面镜OM、ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．求证：AB∥CD． （2）如图3，光线AB与CD相交于点P，若∠MON＝46°，求∠BPC的度数． 题型二 “猪蹄”模型与“锯齿”模型 6. 探究题： 已知：AB∥CD． （1）如图1，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （2）如图2，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （3）如图3，点E在AB与CD之外，此时∠A、∠C与∠E又有什么关系？直接写出结论． （4）如图4，∠E+∠G与∠A+∠F+∠C之间有何关系？直接写出结论． 7．如图，AB∥EF，∠D＝90°，则α，β，γ的大小关系是　 　 ． 8．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M＝　 　 ． 9．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD＝45°，那么∠BED的度数为 　　 ． 10．如图1所示，MN∥PQ，∠B与MN，PQ分别交于A、C两点． （1）若∠MAB＝30°，∠QCB＝20°，求∠B的度数； （2）如图2所示，直线AE，CD相交于D点，且满足∠BAM＝n∠MAE，∠BCP＝n∠DCP． ①当n＝2时，若∠ABC＝90°，求∠CDA的度数； ②试探究∠CDA与∠B的关系． 题型三 “铅笔头”模型 11．如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架AO与底座OE垂直，支架AB，BC为固定支撑杆，当灯体CD与底座OE平行时，∠BAO＝138°，∠BCD＝154°，则∠B的度数为 　　 °． 12．如图，AB∥CD，E，F分别是直线AB，CD之间的点，连接AE，CE，AF，CF，已知∠EAF＝2∠BAF，，当∠AEC＝105°时，∠AFC的度数为 　 　 ． 13. 如图，如果，那么 ． 14. 如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 题型四 “尖角”模型 15．如图，直线a∥b，则∠A＝　 　 度． 16．如图，直线a∥b，∠1＝62°，∠B＝46°，则∠2的度数为 　 　 ． 17．如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　 　 ． 18．如图，直线AB∥CD，如果∠EFB＝30°，∠EGD＝70°，那么∠E的度数是　　 ． 19．如图，AB∥CD，E是CD上一点，F是AB，CD外一点，连接BF，EF，若∠1＝80°，∠2＝38°，则∠3的度数为 　 　 ． 题型五 “5”字型模型 20．如图，AB∥DE，∠CDE＝20°，则∠B+∠C的度数是 　 　 ． 21．如图，AB∥CD，∠A＝120°，∠1＝70°，则∠D的度数为 　 　 ． 22．如图，已知AB∥CD，点E为CD上一点，作∠BEF，连接AF，若∠ABE与∠BEF的角平分线交于点G．下列结论： ①∠BEC＝2∠ABG；②若∠BAF＝80°，则∠AFE﹣∠DEF＝100°；③∠G﹣∠DEF＝90°；④．其中一定正确的结论有　 　 （填写序号即可）． 23．如图，若AB∥CD，CD∥EF，∠1＝20°，∠2＝70°，那么∠BCE＝ 　 　 ． 1．如图1，已知∠ACB＝90°，MA∥BN． （1）设∠MAC＝α，∠CBN＝β，直接写出α、β之间的数量关系； （2）如图2，已知∠MAC、∠CBN的平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； （3）在（2）的条件下，若∠MAC＝50°，E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP，已知∠FEP＝10°，求∠BPE的度数． 2．（1）【问题】 如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】 如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 3．如图，已知AB∥CD，点P为平面内一点，过点P作射线PM、PN，PM与AB相交于点F，PN与CD相交于点E． （1）如图1，当点P在直线AB、CD之间区域内时，若∠AFM＝65°，∠PED＝30°，求∠MPN的度数； （2）分别在∠AFM、∠CEP的内部作射线FG、EG交于点G，使得．且n为整数）． ①如图2，当点P在直线AB、CD之间区域内时，EG与AB交于点H，若n＝3，∠G＝50°，求∠P的度数； ②如图3，当点P在直线AB上方时，请直接写出∠P与∠G的数量关系（用含n的式子表示）． 4．如图1，∠ACB＝90°，MA∥BN． （1）①如果∠MAC＝30°，求∠CBN的度数； ②设∠MAC＝α，∠CBN＝β，直接写出α、β之间的数量关系：　 　 ； （2）如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； （3）在（2）的条件下，若∠MAC＝40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP．已知∠FEP＝10°，求∠BPE的度数． 5．综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知AB∥CD，BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，BF和DF相交于点F． 【探究问题】 （1）如图1，请直接写出∠BFD，∠ABF，∠CDF之间的数量关系． （2）如图1，请写出∠BFD，∠ABE，∠CDE之间的数量关系，并说明理由． 【知识迁移】 （3）如图2，若，求∠MDF大小． 1．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“3系数补角”是　 　 ； 【初步认识】 （2）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠BEG的大小． 【问题解决】 （3）连接EF．点M、N为直线AB与直线CD间的动点（点M、N不在直线EF上），AEM，．∠EMF是∠ENF的“2系数补角”，当点M、N在直线EF异侧时，如图2，∠ENF的度数为　 　 ；若点M、N在线段EF同侧，其他条件不变，在备用图中画出对应的图形，此时∠ENF的度数为　 　 ． 2．【知识回顾】 如图1，直线AB与直线CD被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角∠1与∠2的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有∠1和∠3这样位置关系的角称作一组“内外错角”． 【探究发现】 当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系． （1）当∠1和∠3满足何种数量关系时能使得AB∥CD？请说明理由． 【深入探究】 如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线AB的上方，∠PEA和∠EFD是一组“内外错角”，∠PEA和∠EFD的角平分线所在的直线EM，FN相交于点O，设∠PEA＝α，∠EFD＝β． （2）请用含α，β的代数式表示∠EOF的大小； （3）如图3，若EM与CD交于点Q，请直接写出当α，β满足何种数量关系时，△FOQ是直角三角形． 3．如图1，当一束光线照射到平面镜上反射时，始终有∠1＝∠2．如图2，MN，EF是两面互相平行的镜面，光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则∠1＝∠2． 【猜想】（1）如图2，若光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由； 【探究】将两块平面镜MN，NF的一个端点重合于点N，一束光线AB照射在镜面MN上，经镜面NF反射后得到光线CD． （2）如图3，若AB∥CD，∠DCF＝50°，求∠ABC及∠MNF的度数； （3）光线AB与光线CD交于点D．设两面镜子的夹角∠MNF＝α（0°＜α＜90°），设∠BDC＝β（0°＜β＜90°）； ①如图4，若α＝80°，∠MBA＝40°，求β的度数．王明在点C右侧作CP∥AB，请帮助王明完成解答； ②直接写出α与β之间的数量关系． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 相交线与平行线的热考模型 一、基本辅助线 解决相交线与平行线的相关问题，通常需要过已知点做某一条线的平行线辅助解决相关问题。 二、跨学科问题：光的反射和折射 ①光的反射：已知OE垂直于平面AB，一束光线从点C出发，经点O反射后经过点D，则∠AOC=∠BOD，∠COE=∠DOE。 ②光的折射：一束光线从空气射入水中后，光线的角度会发生变化，这样的现象叫光的折射。 三、“猪蹄”模型与“锯齿”模型 ①“猪蹄”模型 条件：AB∥CD，O是平行线间的一点，连接OB，OC，且两条线段凹进去 结论：∠APC=∠A＋∠C ②“猪蹄”模型拓展（当内部凹进去的拐点比较多时，设为n个） 结论： ③锯齿模型 条件：AB∥CD，点P1,P2,P3······Pn在平行线的内部，依次连接点B,P1,P2,P3······Pn,C 结论：∠P1+∠P3＋···+∠Pn=∠B+∠P2＋∠Pn-1＋∠C 四、“铅笔头”模型 条件：AB∥CD，点O在平行线之间，连接OB，OC，且两条线段凸出来 结论： 模型拓展（当内部凸出去的拐点比较多时，设为n个） 结论： 五、“尖角”模型 ①“尖角”模型1 如图，AB∥CD，点E为直线AB，CD外侧一点，连接AE，DE 结论：∠D＋∠E=∠A ②“尖角”模型2 如图，AB∥CD，点E为直线AB，CD外侧一点，连接AE，DE 结论：∠A＋∠E=∠D ③“尖角”模型3 如图，AB∥CD，点E为直线AB，CD外侧一点，连接AE，DE 结论：∠A＋∠D－∠E=180° 六、“5”字模型 如图，AB∥CD，点E为直线AB，CD内侧一点，连接AE，DE 结论：∠A＋∠E－∠D=180° 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 跨学科问题（光的反射和折射） 1．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若∠ABE＝45°，∠CBD＝19°，则∠DBF的度数为　64　 °． 【解答】解：由对顶角相等可知：∠FBC＝∠ABE＝45°， ∵∠CBD＝19°， ∴∠FBD＝45°+19°＝64°， 故答案为：64． 2．如图，将平面镜放置在桌面AB上，光线CO经过平面镜反射形成光线OD．已知EO⊥AB，∠AOC＝35°，∠COE＝∠DOE，则∠DOB的度数为 　35°　 ． 【解答】解：∵EO⊥AB， ∴∠BOE＝∠AOE＝90°， ∵∠COE＝∠DOE， ∴∠BOE﹣∠DOE＝∠AOE﹣∠COE， ∴∠DOB＝∠AOC＝35°， 故答案为：35°． 3．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝50°，折射角∠2＝34°，则∠EDF的度数为　16　 度． 【解答】解：∵点F为CD的延长线上一点， ∴∠1＝∠BDF（对顶角相等）， ∵∠1＝50°，∠2＝34°，∠EDF＝∠BDF﹣∠2， ∴∠EDF＝50°﹣34°＝16°， 故答案为：16． 4．如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫做光的折射，在图中，AB与直线CD相交于水平面上的点F，一束光线沿CD射入水面，在点F处发生折射，沿FE射入水内．如果∠1＝42°，∠2＝29°，则光的传播方向改变了 　13　 度． 【解答】解：∵∠1＝42°， ∴∠DFB＝∠1＝42°， ∵∠2＝29°， ∴∠DFE＝42°﹣29°＝13°， 故答案为：13． 5. 【学科融合】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2． 【应用探究】 有两块平面镜OM、ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD． （1）如图2，有两块平面镜OM、ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．求证：AB∥CD． （2）如图3，光线AB与CD相交于点P，若∠MON＝46°，求∠BPC的度数． 【解答】（1）证明：如图2，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2+∠3＝∠1+∠4， ∵OM⊥ON， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠4＝90°， ∴∠DCB+∠ABC ＝（180°﹣∠3﹣∠4）+（180°﹣∠1﹣∠2） ＝360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4） ＝180°， 即∠DCB+∠ABC＝180°， ∴AB∥CD； （2）解：如图3，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠MON＝46°， ∴∠2+∠3＝134°， ∴∠1+∠4＝134°， ∴∠PCB+∠PBC ＝（180°﹣∠3﹣∠4）+（180°﹣∠1﹣∠2） ＝360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4） ＝92°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝88°． 题型二 “猪蹄”模型与“锯齿”模型 6. 探究题： 已知：AB∥CD． （1）如图1，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （2）如图2，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （3）如图3，点E在AB与CD之外，此时∠A、∠C与∠E又有什么关系？直接写出结论． （4）如图4，∠E+∠G与∠A+∠F+∠C之间有何关系？直接写出结论． 【解答】解：（1）∠A+∠C＝∠AEC，理由如下： 过点E作EF∥AB， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD，∠A＝∠AEF， ∴∠C＝∠CEF， ∴∠A+∠C＝∠AEF+∠CEF， ∴∠A+∠C＝∠AEC； （2）∠A+∠C+∠AEC＝360°，理由如下： 过点E作EF∥AB， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD，∠A+∠AEF＝180°， ∴∠C+∠CEF＝180°， ∴∠A+∠C+∠AEF+∠CEF＝360°， ∴∠A+∠C+∠AEC＝360°； （3）∠A＝∠C+∠E，理由如下： 如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DME． ∵∠DME＝∠C+∠E， ∴∠A＝∠C+∠E； （4）∠A+∠EFG+∠C＝∠E+∠G，理由如下： 过点F作FH∥AB， 由（1）知， ∠A+∠EFH＝∠E，∠HFG+∠C＝∠G， ∴∠A+∠EFH+∠HFG+∠C＝∠E+∠G， ∴∠A+∠EFG+∠C＝∠E+∠G． 7．如图，AB∥EF，∠D＝90°，则α，β，γ的大小关系是　β﹣α+γ＝90°　 ． 【解答】解：如图，分别过点C、D作CG∥AB，DH∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥EF∥CG∥DH， ∴∠BCG＝α，∠GCD＝∠CDH，∠HDE＝γ， ∴α+∠GCD＝β， ∴∠CDH＝∠GCD＝β﹣α． ∵∠CDE＝90°， ∴∠CDH+∠HDE＝90°， ∴β﹣α+γ＝90°． 故答案为：β﹣α+γ＝90°． 8．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M＝　32°　 ． 【解答】解：过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD， ∵GN∥AB， ∴∠AEG＝∠EGN， ∵GN∥KH， ∴∠GHK＝∠NGH， ∵KH∥CD， ∴∠KHF＝∠HFD＝20°， ∴∠AEG+∠GHK+∠KHF＝∠EGN+∠NGH+∠HFD， ∴∠AEG+∠GHF＝∠EGH+∠HFD， ∵∠EGH＝84°，∠HFD＝20°， ∴∠AEG+∠GHF＝104°， ∵EM平分∠AEG，MH平分∠GHF， ∴∠AEM∠AEG，∠MHF∠GHF， ∴∠AEM+∠MHF（∠AEG+∠GHF）＝52°， ∵∠KHF＝20°， ∴∠AEM+∠MHK＝32°， ∵MP∥AB∥KH， ∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠MHK， ∴∠AEM+∠MHK＝∠EMP+∠PMH＝32°， 即∠EMH＝32°， 故答案为：32°． 9．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD＝45°，那么∠BED的度数为 　90°　 ． 【解答】解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB， ∴∠3＝∠1，∠5＝∠ABE， 又∵AB∥CD， ∴FH∥CD，EG∥CD， ∴∠4＝∠2，∠6＝∠CDE， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝∠BFD＝45°， ∵DF平分∠CDE，BF平分∠ABE， ∴∠CDE＝2∠2，∠ABE＝2∠1， ∴∠BED＝∠5+∠6＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝2×45°＝90°， 故答案为：90°． 10．如图1所示，MN∥PQ，∠B与MN，PQ分别交于A、C两点． （1）若∠MAB＝30°，∠QCB＝20°，求∠B的度数； （2）如图2所示，直线AE，CD相交于D点，且满足∠BAM＝n∠MAE，∠BCP＝n∠DCP． ①当n＝2时，若∠ABC＝90°，求∠CDA的度数； ②试探究∠CDA与∠B的关系． 【解答】解：（1）如图1，过点B作BF∥MN， 则∠BAM＝∠ABF＝30°， ∵MN∥PQ， ∴PQ∥BF， ∴∠CBF＝∠QCB＝20°， ∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝50°； （2）①设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°， 当n＝2时，∠BAM＝2x°，∠BCP＝2y°， ∴∠BCQ＝180°﹣2y°， 由（1）知，∠ABC＝∠BAM+∠BCQ， ∴2x+180﹣2y＝90，整理，得：x﹣y＝﹣45， 如图2，延长DA交PQ于点G， ∵MN∥PQ， ∴∠MAE＝∠DGC＝x°， ∵∠D+∠DCG+∠DGC＝180°，且∠DCP+∠DCG＝180°， ∴∠DCP＝∠D+∠DGC， 则∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC ＝y°﹣x° ＝﹣（x﹣y）° ＝45°； ②n∠CDA+∠ABC＝180°， 设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，则∠BAM＝n∠MAE＝nx°，∠BCP＝n∠DCP＝ny°， ∴∠BCQ＝180°﹣ny°， 由（1）知，∠ABC＝nx°+180°﹣ny°， ∴y°﹣x°， ∵MN∥PQ， ∴∠MAE＝∠DGP＝x°， 则∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC ＝y°﹣x° ， 即n∠CDA+∠ABC＝180°． 题型三 “铅笔头”模型 11．如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架AO与底座OE垂直，支架AB，BC为固定支撑杆，当灯体CD与底座OE平行时，∠BAO＝138°，∠BCD＝154°，则∠B的度数为 　74　 °． 【解答】解：过点B作BG∥CD，过点A作AF∥OE， ∵AO⊥OE， ∴∠AOE＝90°， ∵AF∥OE， ∴∠OAF＝90°， ∵∠BAO＝138°， ∴∠BAF＝138°﹣90°＝48°， ∵BG∥CD，AF∥OE，CD∥OE， ∴BG∥AF， ∴∠ABG＝∠BAF＝48°． ∵∠BCD＝154°， ∴∠CBG＝180°﹣154°＝26°， ∴∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝48°+26°＝74°． 故答案为：74． 12．如图，AB∥CD，E，F分别是直线AB，CD之间的点，连接AE，CE，AF，CF，已知∠EAF＝2∠BAF，，当∠AEC＝105°时，∠AFC的度数为 　85°　 ． 【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，则AB∥FN∥EM∥CD， ∵AB∥EM∥CD， ∴∠BAE+∠AEM＝180°，∠MEC+∠ECD＝180°， ∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°， ∵∠AEC＝105°， ∴∠BAE+∠DCE＝360°﹣105°＝255°， ∵∠EAF＝2∠BAF， ∴∠BAF∠BAE， ∵∠DCF∠ECD， ∴∠BAF+∠DCF（∠BAE+∠ECD）255°＝85°， ∵AB∥FN∥CD， ∴∠BAF＝∠AFN，∠DCF＝∠CFN， ∴∠AFC＝∠AFN+∠DCF＝∠BAF+∠DCF＝85°． 故答案为：85°． 13. 如图，如果，那么 ． 【解答】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 故答案为：540． 14. 如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 【解答】过作（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 又∵， ∴；    （）分别过、分别作的平行线，如图③所示，    用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，    用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 题型四 “尖角”模型 15．如图，直线a∥b，则∠A＝　24.7　 度． 【解答】解：如图， ∵直线a∥b， ∴∠1＝55°18′（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1是三角形的外角， ∴∠A＝∠1﹣30°36′＝55°18′﹣30°36′＝24°42′＝24.7°， 则∠A的度数为24.7． 故答案为：24.7． 16．如图，直线a∥b，∠1＝62°，∠B＝46°，则∠2的度数为 　108°　 ． 【解答】解：由条件可知∠BCD＝∠1＝62°， ∴∠2＝∠B+∠BCD＝108°， 故答案为：108°． 17．如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　20°　 ． 【解答】解：∵AB∥EF， ∴∠BOF＝∠1＝60°， ∵CD∥EF， ∴∠COF＝180°﹣∠3＝180°﹣140°＝40°， ∴∠2＝∠BOF﹣∠COF＝60°﹣40°＝20°， 故答案为：20°． 18．如图，直线AB∥CD，如果∠EFB＝30°，∠EGD＝70°，那么∠E的度数是　40°　 ． 【解答】解：如图，设AB交EG于H， ∵AB∥CD， ∴∠EGD＝∠EHB＝70°（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠EHB＝∠EFB+∠E＝30°+∠E＝70°， 即30°+∠E＝70°， 解得∠E＝40°． 那么∠E的度数为40°． 故答案为：40°． 19．如图，AB∥CD，E是CD上一点，F是AB，CD外一点，连接BF，EF，若∠1＝80°，∠2＝38°，则∠3的度数为 　118°　 ． 【解答】解：如图，延长AB交EF于点M， ∵AB∥CD，∠1＝80°， ∴∠M＝∠1＝80°， ∵∠3＝∠2+∠M，∠2＝38°， ∴∠3＝38°+80°＝118°， 故答案为：118°． 题型五 “5”字型模型 20．如图，AB∥DE，∠CDE＝20°，则∠B+∠C的度数是 　200°　 ． 【解答】解：过点C作CF∥AB， ∴∠B+∠BCF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠FCD＝∠CDE＝20°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠B+∠BCD＝∠B+∠BCF+∠FCD＝200°． 故答案为：200°． 21．如图，AB∥CD，∠A＝120°，∠1＝70°，则∠D的度数为 　50°　 ． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠A＝120°， ∴∠C＝60°， ∵∠C+∠D+∠1＝180°，∠1＝70°， ∴∠D＝180°﹣60°﹣70°＝50°． 故答案为：50°． 22．如图，已知AB∥CD，点E为CD上一点，作∠BEF，连接AF，若∠ABE与∠BEF的角平分线交于点G．下列结论： ①∠BEC＝2∠ABG；②若∠BAF＝80°，则∠AFE﹣∠DEF＝100°；③∠G﹣∠DEF＝90°；④．其中一定正确的结论有　①②④　 （填写序号即可）． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BEC， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABE＝2∠ABG， ∴∠BEC＝2∠ABG， 故①正确． 过F作FM∥AB，则FM∥AB∥CD， ∴∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF＝∠EFM， 若∠BAF＝80°，则∠AFM＝100°， ∴∠AFE﹣∠DEF＝∠AFE﹣∠EFM＝100°， 故②正确． 过G作GN∥AB，则GN∥AB∥CD， ∴∠ABG＝∠BGN，∠GED＝∠EGN， ∵∠ABE与∠BEF的角平分线交于点G， ∴∠BGE∠ABE∠BEF+∠DEF， ∵AB∥CD， ∴∠ABE+∠BED＝180°， ∴∠ABE∠BEF∠DEF＝90°， ∴∠BGE∠DEF＝90°， 故③错误． 由以上可知：∠BGE∠ABE∠BEF+∠DEF， 又∵∠CEF＝∠BEC+∠BEF＝∠ABE+∠BEF， ∴∠ABE∠BEF， ∴∠BGE∠ABE+∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠BED＝180°， 故④正确． 故答案为：①②④． 23．如图，若AB∥CD，CD∥EF，∠1＝20°，∠2＝70°，那么∠BCE＝ 　130°　 ． 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝20°， ∴∠1＝∠BCD＝20°， ∵CD∥EF， ∴∠2+∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝180°﹣70°＝110°， ∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝20°+110°＝130°． 故答案为：130°． 1．如图1，已知∠ACB＝90°，MA∥BN． （1）设∠MAC＝α，∠CBN＝β，直接写出α、β之间的数量关系； （2）如图2，已知∠MAC、∠CBN的平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； （3）在（2）的条件下，若∠MAC＝50°，E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP，已知∠FEP＝10°，求∠BPE的度数． 【解答】解：（1）过点C作CD∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥CD∥BN， ∴∠ACD＝∠A＝α，∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣β， 又∵∠ACB＝90°， ∴α+180°﹣β＝90°， ∴β＝α+90°， 故答案为：β＝α+90°； （2）不发生变化，135°，理由为： 由②可得∠MAC＝α，∠CBN＝β＝90°+α， ∵∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P， ∴，， 过点P作PE∥MA，则MA∥PE∥BN， ∴∠EPA＝∠MAPα，∠EPB＝180°﹣∠NBP＝180°﹣（45°）＝135， ∴∠APB＝∠EPA+∠EPB135°α＝135°； （3）由（2）得∠MAP＝∠MAC＝25°，∠CBN＝90°+50°＝140°，∠APB＝135°， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝180°﹣∠CBE＝180°﹣140°＝40°， 过点P作PG∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥PG∥BN， ∴∠APG＝∠MAF＝25°，∠GPE＝∠PEB， ∴∠APE＝∠APG+∠GPE＝25°+∠PEB， 当点F在点P的左侧时，如图， 则∠PEB＝∠FEB+∠FEP＝40°+10°＝50°， ∴∠APE＝25°+∠PEB＝25°+50°＝75°， ∴∠BPE＝∠APB﹣∠APE＝135°﹣75°＝60°， 当点F在点P的右侧时，如图， 则∠PEB＝∠FEB﹣∠FEP＝40°﹣10°＝30°， ∴∠APE＝25°+∠PEB＝25°+30°＝55°， ∴∠BPE＝∠APB﹣∠APE＝135°﹣55°＝80°． ∠BPE的度数为60°或80°． 2．（1）【问题】 如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】 如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 【解答】解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴CD∥PQ． ∴∠CFP+∠FPQ＝180° ∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°， 又∵PQ∥AB， ∴∠BEP＝∠EPQ＝25°， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°； （2）∠PFC＝∠PEA+∠P， 理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD， ∴∠PEA＝∠NPE， ∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE， ∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE， ∵PN∥CD， ∴∠FPN＝∠PFC， ∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P； （3）如图3，过点G作AB的平行线GH． ∵GH∥AB，AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG， 又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G， ∴∠HGE＝∠AEG∠AEP，∠HGF＝∠CFG∠CFP， 同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP， ∴∠HGF（∠P+∠AEP）（α+∠AEP）， ∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE（α+∠AEP）﹣∠HGEα∠AEP﹣∠HGEα． 3．如图，已知AB∥CD，点P为平面内一点，过点P作射线PM、PN，PM与AB相交于点F，PN与CD相交于点E． （1）如图1，当点P在直线AB、CD之间区域内时，若∠AFM＝65°，∠PED＝30°，求∠MPN的度数； （2）分别在∠AFM、∠CEP的内部作射线FG、EG交于点G，使得．且n为整数）． ①如图2，当点P在直线AB、CD之间区域内时，EG与AB交于点H，若n＝3，∠G＝50°，求∠P的度数； ②如图3，当点P在直线AB上方时，请直接写出∠P与∠G的数量关系（用含n的式子表示）． 【解答】解：（1）过点P作PQ∥AB，如图1所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠MPQ＝∠AFM，∠NPQ＝∠PED， ∴∠MPQ+∠NPQ＝∠AFM+∠PED， 即∠MPN＝∠AFM+∠PED， ∵∠AFM＝65°，∠PED＝30°， ∴∠MPN＝∠AFM+∠PED＝65°+30°＝95°； （2）①过点G作GH∥AB，如图2所示： 当n＝3时，∠MFG∠AFM，∠PEG∠PEC ∴∠AFM＝3∠MFG，∠PEC＝3∠PEG， 设∠MFG＝α，∠PEG＝β， ∴∠AFM＝3α，∠PEC＝3β， ∴∠AFG＝∠AFM﹣∠MFG＝2α，∠CEG＝∠PEC﹣∠PEG＝2β， ∴∠PED＝180°﹣∠PEC＝180°﹣3β， ∵GH∥AB，AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠HGF＝∠AFG＝2α，∠HGE＝∠CEG＝2β， 由（1）可知：∠MPN＝∠AFM+∠PED＝3α+180°﹣3β＝180°﹣3（β﹣α）， ∴∠FGE＝∠HGE﹣∠HGF＝2（β﹣α）， ∵∠FGE＝50°， ∴2（β﹣α）＝50°， ∴β﹣α＝25°， ∴∠MPN＝180°﹣3（β﹣α）＝105°； ②∠MPN与∠G的数量关系是：∠MPN∠G＝180°，理由如下： 延长GF到T，过点P作PR∥AB，如图3所示： ∵∠MFG∠AFM，∠PEG∠PEC， ∴∠AFM＝n∠MFG，∠PEC＝n∠PEG， 设∠MFG＝α，∠PEG＝β， ∴∠AFM＝nα，∠PEC＝nβ， ∴∠AFG＝∠AFM﹣∠MFG＝（n﹣1）α，∠CEG＝∠PEC﹣∠PEG＝（n﹣1）β， ∴∠PFT＝∠AFG＝（n﹣1）α，∠PED＝180°﹣∠PEC＝180°﹣nβ， ∵PR∥AB，AB∥CD， ∴PR∥AB∥CD， ∴∠RPE＝∠PED＝180°﹣nβ，∠RPM＝∠AFM＝nα， 由（1）可知：∠G＝∠PFT+∠CEG＝（n﹣1）α+（n﹣1）β＝（n﹣1）（α+β）， ∴α+β∠G， ∴∠MPN＝∠RPE﹣∠RPM＝180°﹣nβ﹣nα＝180°﹣n（α+β）， ∴∠MPN＝180°﹣n•∠G， ∴∠MPN∠G＝180°． 4．如图1，∠ACB＝90°，MA∥BN． （1）①如果∠MAC＝30°，求∠CBN的度数； ②设∠MAC＝α，∠CBN＝β，直接写出α、β之间的数量关系：　β＝α+90°　 ； （2）如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； （3）在（2）的条件下，若∠MAC＝40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP．已知∠FEP＝10°，求∠BPE的度数． 【解答】解：（1）①过点C作CD∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥CD∥BN， ∴∠ACD＝∠A＝30°，∠DCB+∠B＝180°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠DCB＝180°﹣60°＝120°； ②过点C作CD∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥CD∥BN， ∴∠ACD＝∠A＝α，∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣β， 又∵∠ACB＝90°， ∴α+180°﹣β＝90°， ∴β＝α+90°， 故答案为：β＝α+90°； （2）不发生变化，135°，理由为： 由②可得∠MAC＝α，∠CBN＝β＝90°+α， ∵∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P， ∴∠MAP∠MACα，∠NBP∠NBC（90°+α）＝45°α， 过点P作PE∥MA，则MA∥PE∥BN， ∴∠EPA＝∠MAPα，∠EPB＝180°﹣∠NBP＝180°﹣（45°α）＝135°α， ∴∠APB＝∠EPA+∠EPBα+135°α＝135°； （3）由（2）得∠MAP∠MAC＝20°，∠CBN＝90°+40°＝130°，∠APB＝135°， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝180°﹣∠CBE＝180°﹣130°＝50°， 过点P作PG∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥PG∥BN， ∴∠APG＝∠MAF＝20°，∠GPN＝∠PEB， ∴∠APN＝∠APG+∠GPN＝20°+∠PEB， 当点F在点P的左侧时，如图， 则∠PEB＝∠FEB+∠FEP＝50°+10°＝60°， ∴∠APN＝20°+∠PEB＝20°+60°＝80°， ∴∠BPE＝∠APB﹣∠APE＝135°﹣80°＝55°， 当点F在点P的右侧时，如图， 则∠PEB＝∠FEB﹣∠FEP＝50°﹣10°＝40°， ∴∠APN＝20°+∠PEB＝20°+40°＝60°， ∴∠BPE＝∠APB﹣∠APE＝135°﹣60°＝75°． 5．综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知AB∥CD，BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，BF和DF相交于点F． 【探究问题】 （1）如图1，请直接写出∠BFD，∠ABF，∠CDF之间的数量关系． （2）如图1，请写出∠BFD，∠ABE，∠CDE之间的数量关系，并说明理由． 【知识迁移】 （3）如图2，若，求∠MDF大小． 【解答】解：（1）如图所示，过点F作FG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥FG∥CD， ∴∠CDF＝∠DFG，∠ABF＝∠BFG， ∵∠BFG+∠DFG＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF； （2）由（1）证明可知，∠BFD＝∠ABF+∠CDF， ∵BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线， ∴∠CDF＝∠FDE∠CDE，∠ABF＝∠FBE∠ABE， ∴∠BFD∠ABE∠CDE， ∴∠ABE+∠CDE＝2∠BFD； 故答案为：∠ABE+∠CDE＝2∠BFD． （3）∠MDF＝3∠CDM，理由如下： 如图所示，过点E作EQ∥AB，过点M作MP∥AB， 设∠CDM＝20°＝x，∠ABM＝y， ∵CD∥AB， ∴EQ∥MP∥AB∥CD， ∴∠ABM＝∠PMB＝y，∠PMD＝∠CDM＝x， ∵∠CDE+∠QED＝180°，∠ABE+∠QEB＝180°， ∴∠ABE+∠CDE+∠QEB+∠QED＝360°， ∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°， ∴∠BED＝360°﹣（∠ABE+∠CDE）， ∵∠E+8∠M＝360°， 即∠BED+8∠BMD＝360°， ∴360°﹣（∠ABE+∠CDE）+8∠BMD＝360°， ∴8∠BMD＝∠ABE+∠CDE， ∵∠BMD＝∠PMB+∠PMD＝y+x， ∴8∠BMD＝8（x+y）＝∠ABE+∠CDE， ∵， ∴∠EBF＝4y， ∵DF为∠CDE的平分线，BF为∠ABE的平分线， ∴∠EBF＝∠ABF＝4y，∠CDF＝∠EDF， ∴∠ABE＝8y， ∵∠ABE+∠CDE＝8x+8y， ∴∠CDE＝8x＝8×20°＝160°， ∴∠CDF＝∠EDF＝80°， ∴∠MDF＝∠CDF﹣∠CDM＝60°． 1．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“3系数补角”是　∠3　 ； 【初步认识】 （2）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠BEG的大小． 【问题解决】 （3）连接EF．点M、N为直线AB与直线CD间的动点（点M、N不在直线EF上），AEM，．∠EMF是∠ENF的“2系数补角”，当点M、N在直线EF异侧时，如图2，∠ENF的度数为　108°　 ；若点M、N在线段EF同侧，其他条件不变，在备用图中画出对应的图形，此时∠ENF的度数为　（）°　 ． 【解答】解：（1）设∠P的“3系数补角”是x， ∵∠P＝90°， ∴∠P+3x＝180°，即90°+3x＝180°， 解得x＝30°， ∴∠P的“3系数补角”是∠3＝30°， 故答案为：∠3； （2）如图，过G作GH∥AB，而AB∥CD， ∴AB∥CD∥GH， ∴∠BEG＝∠HGE，∠HGF＝∠DFG， ∴∠EGF＝∠BEG+∠DFG， ∵∠BEG＝m，∠EGF＝n， ∴n＝m+50°①， 由条件可知∠EGF+6∠BEG＝180°，即n+6m＝180°②， 联立①②得，， 解得， ∴∠BEG＝（）°； （3）由题可知∠ENF+2∠EMF＝180°， 设∠AEN＝x，∠CFN＝y，则∠AEM＝3x，∠CFM＝3y， 当点M、N在直线EF异侧时， 此时∠BEM＝180°﹣3x，∠DFM＝180°﹣3y， 同（2）中方法可得∠ENF＝∠AEN+∠CFN＝x+y，∠EMF＝∠BEM+∠DFM＝360°﹣3（x+y）， ∵∠ENF+2∠EMF＝180°， ∴x+y+2[360°﹣3（x+y）]＝180°， 解得x+y＝108°， ∴∠ENF＝108°； 当点M、N在线段EF同侧时， 同理可知∠ENF＝∠AEN+∠CFN＝x+y，∠EMF＝∠AEM+∠CFM＝3（x+y）， ∵∠ENF+2∠EMF＝180°， ∴x+y+6（x+y）＝180°， 解得x+y＝（）°， ∴∠ENF＝（）°． 故答案为：108°，（）°． 2．【知识回顾】 如图1，直线AB与直线CD被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角∠1与∠2的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有∠1和∠3这样位置关系的角称作一组“内外错角”． 【探究发现】 当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系． （1）当∠1和∠3满足何种数量关系时能使得AB∥CD？请说明理由． 【深入探究】 如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线AB的上方，∠PEA和∠EFD是一组“内外错角”，∠PEA和∠EFD的角平分线所在的直线EM，FN相交于点O，设∠PEA＝α，∠EFD＝β． （2）请用含α，β的代数式表示∠EOF的大小； （3）如图3，若EM与CD交于点Q，请直接写出当α，β满足何种数量关系时，△FOQ是直角三角形． 【解答】解：（1）当∠1+∠3＝180°时，能使得AB∥CD，理由如下： 如图1，∵∠3＝∠BEF，∠1+∠3＝180°， ∴∠1+∠BEF＝180°， ∴AB∥CD； （2）如图2， ∵∠PEA＝α，∠EFD＝β， 且EO，FO分别平分∠PEA，∠EFD， ∴∠1＝∠2α，∠4β， ∵∠3＝∠1α， ∴∠EOF＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°； （3）由（2）知∠EOF＝180°， ∵△FOQ为直角三角形， 第一种情况：当∠FOQ＝90°时， ∴∠FOQ＝∠EOF＝90°＝180°， ∴α+β＝180°； 第二种情况：当∠OQF＝90°时， 此时∠OQF＝∠EOF﹣∠OFD＝90°， 即180°90°， ∴α+2β＝180°； 综上，当α+β＝180°或α+2β＝180°时，△FOQ是直角三角形． 3．如图1，当一束光线照射到平面镜上反射时，始终有∠1＝∠2．如图2，MN，EF是两面互相平行的镜面，光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则∠1＝∠2． 【猜想】（1）如图2，若光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由； 【探究】将两块平面镜MN，NF的一个端点重合于点N，一束光线AB照射在镜面MN上，经镜面NF反射后得到光线CD． （2）如图3，若AB∥CD，∠DCF＝50°，求∠ABC及∠MNF的度数； （3）光线AB与光线CD交于点D．设两面镜子的夹角∠MNF＝α（0°＜α＜90°），设∠BDC＝β（0°＜β＜90°）； ①如图4，若α＝80°，∠MBA＝40°，求β的度数．王明在点C右侧作CP∥AB，请帮助王明完成解答； ②直接写出α与β之间的数量关系． 【解答】解：（1）AB与CD的位置关系为AB∥CD，理由： 由题意得：∠BCE＝∠DCF， ∵MN∥EF， ∴∠2＝∠BCE， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠2＝∠BCE＝∠DCF， ∵∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2，∠BCD＝180°﹣∠BCE﹣∠DCF， ∴∠ABC＝∠BCD， ∴AB∥CD； （2）由题意得：∠BCN＝∠DCF＝50°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BCN﹣∠DCF＝80°． ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠ABC＝100°． 由题意得：∠ABM＝∠CBN， ∴∠ABM＝∠CBN40°． ∴∠MNF＝180°﹣∠CBN﹣∠BCN＝180°﹣40°﹣50°＝90°． （3）①在点C右侧作CP∥AB，如图， 由题意得：∠MBA＝∠NBC＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣∠MBA﹣∠NBC＝100°， ∵α＝80°， ∴∠NCB＝180°﹣∠CBN﹣α＝60°， ∴∠DCF＝∠BCN＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BCN﹣∠DCF＝60°． ∵CP∥AB， ∴∠BCP+∠ABC＝180°， ∴∠BCP＝80°， ∴∠PCD＝∠BCP﹣∠BCD＝20°． ∵CP∥AB， ∴β＝∠PCD＝20°． ②α与β之间的数量关系为2α+β＝180°．理由： 在点C右侧作CP∥AB，如图， 设∠MBA＝m°，则∠MBA＝∠NBC＝m°， ∴∠ABC＝180°﹣∠MBA﹣∠NBC＝180°﹣2m°， ∴∠NCB＝180°﹣∠CBN﹣α＝180°﹣m°﹣α， ∴∠DCF＝∠BCN＝180°﹣m°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BCN﹣∠DCF＝2m°+2α﹣180°． ∵CP∥AB， ∴∠BCP+∠ABC＝180°， ∴∠BCP＝2m°， ∴∠PCD＝∠BCP﹣∠BCD＝180°﹣2α． ∵CP∥AB， ∴β＝∠PCD＝180°﹣2α． ∴2α+β＝180°． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $