寒假作业10 动点与动角问题5大必刷题型（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 动点与动角问题 一、动点问题 1. 利用点之间的距离，可以选择将动点到定点之间的距离设未知数解决 2. 利用数轴解决动点问题，具体步骤： ①确定起点所表示的数 ②确定点的运动方向，方向向右为“＋”，向左为“－” ③确定点的运动速度 如：一个点从数轴上表示a的数出发，向右以v个单位每秒的速度运动，则t秒后，该点在数轴上的位置为a+vt。 二、动角问题 1. 将角运动的边与初始位置之间的夹角设为未知数解决 2. 利用解决动点问题的思路，迁移解决，步骤如下： ①确定角的动边所处的初始位置 ②确定角的动边旋转的方向，确定顺时针或者逆时针方向为“＋” ③确定动边旋转的速度 如：已知∠AOB=α，将边OB绕着点O以每秒2°的速度旋转，则t秒后，∠AOB的度数为（α+2t）度。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 动点中的归纳问题 1．已知点C，N在射线AB上，点M是线段AC的中点． （1）如图，当点C在线段AB上时，若点N是线段CB的中点，AC＝10，BC＝14，求线段MN的长； （2）当点C在线段AB的延长线上时，若CN：BN＝1：2，AC＝a，BC＝b，直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）． 2．综合与探究： 问题情境： 已知：M，N分别是线段AC，BC的中点． 初步探究： （1）如图（1），点C在线段AB上，且AC＝9，BC＝6，求线段MN的长． 问题解决： （2）若C为线段AB上任意一点，且AC＝a，CB＝b，求出线段MN的长（用含有a，b的代数式表示）． 类比应用： （3）若点C在线段AB的延长线上，且AC＝a，CB＝b，请你画出图形，并直接写出线段MN的长（用含有a，b的代数式表示）． 拓展延伸： （4）已知：如图（2），C为线段AB的中点，D为线段AC的中点，E为线段BC上任意一点，M为线段EB的中点，DM＝m，CE＝n，请你直接写出线段AB的长（用含有m，n的代数式表示）． 3．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案． （3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 4．如图，点B、C是线段AD上的两点，点M和点N分别在线段AB和线段CD上． （1）当AD＝8，MN＝6，AM＝BM，CN＝DN时，BC＝　　 ； （2）若AD＝a，MN＝b ①当AM＝2BM，DN＝2CN时，求BC的长度（用含a和b的代数式表示） ②当AM＝nBM，DN＝nCN（n是正整数）时，直接写出BC＝　 ．（用含a、b、n的代数式表示） 题型二 动点定值问题 5．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）． （1）当t＝2时，①AB＝　　 cm．②求线段CD的长度． （2）①点B沿点A→D运动时，AB＝　 cm； ②点B沿点D→A运动时，AB＝　　 cm．（用含t的代数式表示AB的长） （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化，若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 6．已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足|a+12|+|b+6|+（c﹣9）2＝0，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动． （1）直接写出a＝　　 ，b＝　　 ，c＝　　 ； （2）若M为PA的中点，N为PB的中点，试判断在P点运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化，请说明理由； （3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．当P点开始运动后的第　 　 秒时，P，Q两点之间的距离为2． 7．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． （1）出发多少秒后，PB＝2AM？ （2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值． （3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 8．如图1，直线AB上有一点P，点M，N分别为线段PA，PB的中点． （1）若点P在线段AB上，AB＝14，且AP＝8，求线段MN的长度； （2）若点P在直线AB上运动，AB＝14，请分别计算下面情况时MN的长度； ①当P在AB之间； ②当P在A左边； ③当P在B右边； 你发现了什么规律？ （3）如图2，若AB＝a，点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，求证：的值是定值． 题型三 动点求时间问题 9．如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒． （1）当t＝0秒时，AC的长为　　 ，当t＝2秒时，AC的长为　　 ． （2）用含有t的代数式表示AC的长为 　 ． （3）当t＝　　 秒时AC﹣BD＝5，当t＝　　 秒时AC+BD＝15． （4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，C是线段AB上一点，AB＝16cm，BC＝6cm． （1）AC＝　　 cm； （2）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．求运动多少秒时，C、P、Q三点，有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？ 11．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是18，8，﹣10． （1）填空：AB＝　　 ，BC＝　　 ； （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向左运动．试探索：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由； （3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达C点时，点Q就停止移动．设点P移动的时间为t秒，试用含t的代数式表示P、Q两点间的距离． 12．如图，数轴上线段AB＝2，CD＝4，点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16，若线段AB以6个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位/秒的速度向左匀速运动． （1）问运动多少秒时BC＝8？ （2）当运动到BC＝8时，点B在数轴上表示的数是　 　 （3）当3≤t，B点运动到线段CD上时，P是线段AB上一点，是否存在关系式BD﹣AP＝3PC？若存在，求线段PC的长；若不存在，请说明理由． 题型四 动角角度关系探究问题 13．如图，∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝4∠BOC，射线OD在∠AOC内部绕点O旋转，OE平分∠DOC． （1）①求∠BOC的度数； ②若∠EOC与∠DOB互余，求∠EOC的度数． （2）若∠AOD＝n°（n大于0且小于60），求∠BOE的度数（用含n的式子表示）． 14．已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． （1）如图1所示，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）如图2所示，∠AOB＝x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系； ②若∠AOB＝150°，当，求t的值． 15．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． （1）如图（1），若∠DCE＝33°，则∠BCD＝ 　　 ，∠ACB＝ 　 　 ． （2）如图（1），猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由． （3）如图（2），若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的数量关系为 　 ． 16．【实践活动】 如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）若∠DCE＝50°，则∠ACE＝ 　 ；∠ACE　　 ∠BCD（填＞、＜、＝）； （2）①若∠DCE＝20°，则∠ACB＝　 　 ；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝　 　 ； ②∠ACB与∠DCE之间的数量关系是 　 　 ． 【折展探究】 （3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由． 17．【问题驱动】已知O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝44°，求∠DOE的度数； （2）如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　　 （用含有α的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　 　 （用含有α的式子表示），不必说明理由． 18．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点O重合，∠COD是直角，OE平分∠BOC． 【问题发现】 （1）若∠DOE＝18°，则∠AOC的度数为 　 　 ． （2）将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若∠DOE＝66°，求∠AOC的度数； （3）将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究∠AOC和∠DOB的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将直角三角尺绕点O顺时针旋转，旋转过程中OE始终平分∠BOC，当∠AOC＝150°时，请直接写∠DOE的度数． 题型五 动角求时间问题 19．如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）． （1）当t为何值时，射线OC与OD重合； （2）当t为何值时，∠COD＝90°； （3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 20．如图，∠AOB＝130°，将一个直角三角尺COD的顶点与点O重合，∠COD＝30°，OM平分∠AOB，三角尺COD始终在∠AOB的内部（三角尺的边可以与OA，OB重合）． （1）如图1，当OD在射线OB上时，∠COM的度数为　　 ； （2）如图2，三角尺COD在∠BOM的内部，当OC平分∠BOM时，求∠BOD的度数； （3）如图3，三角尺COD从OD与OB重合开始，以每秒5°的速度绕点O按图中的方向旋转，当OD到达OM处停止旋转．在三角尺旋转过程中，OD作为角平分线的情况出现了几次？分别求出OD作为角平分线时t的值（直接写出答案）． 21．已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． （1）如图1所示，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）如图2所示，∠AOB是直角，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； （3）如图3所示，∠AOB＝x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系； ②若∠AOB＝150°，当，求t的值． 22．新定义：若两个角的和为100°，我们则称这两个角互为“百度角”；例如∠AOB＝45°，∠COD＝55°，则∠AOB与∠COD互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果∠AOB＝70°，∠AOD与∠COB互为“百度角”，则∠COD＝ 　　 ． 【初步应用】 （2）射线OM平分角∠AOB，OC为∠AOB∠AOB内部的一条射线且满足∠COM＝10°，若∠BOC与∠AOB互为“百度角”，求∠AOB的值． 【解决问题】 （3）如图2，已知∠AOB＝90°，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒5°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜18）．当t为何值时由OM、ON、OA三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 1．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　　 ，线段AB的中点表示的数为 　　 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 ；点Q表示的数为 ． （2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQAB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 2．如图，C是线段AB上一点，AB＝20cm，BC＝8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为xs． （1）AC＝　　 cm； （2）当x＝　　 s时，P、Q重合； （3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 3．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 1．综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°；三角尺ADE中，∠E＝90°，∠DAE＝30°，∠D＝60°．分别作∠CAE，∠BAD的角平分线AM，AN． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，AM，AN仍然是∠CAE，∠BAD的角平分线．在图2中AB与AE重合，在图3中AB，AD与AN重合在一起． （1）计算：图2中∠MAN的度数为　　 °，图3中∠MAN的度数为　　 °（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中∠MAN的度数为　　 °．如果设∠BAE＝α，请求出图1中∠MAN的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，AM，AN仍然是∠CAE，∠BAD的平分线．请你求出∠MAN的度数． 2．如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0． （1）求线段AB，CD的长； （2）线段AB的中点为M，线段CD中点为N，线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN＝4，求移动前线段BC的长； （3）将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为AB、CD中点，BC＝24，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 3．已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线． （1）如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，如图1，求∠MON的度数； （2）如果将图1中的∠COD绕点O点顺时针旋转n°（0＜n＜155），如图2， ①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由； ②当n为多少时，∠MON为直角？ （3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m＜100），如图3，∠MON与旋转度数m°有怎样的数量关系？说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 动点与动角问题 一、动点问题 1. 利用点之间的距离，可以选择将动点到定点之间的距离设未知数解决 2. 利用数轴解决动点问题，具体步骤： ①确定起点所表示的数 ②确定点的运动方向，方向向右为“＋”，向左为“－” ③确定点的运动速度 如：一个点从数轴上表示a的数出发，向右以v个单位每秒的速度运动，则t秒后，该点在数轴上的位置为a+vt。 二、动角问题 1. 将角运动的边与初始位置之间的夹角设为未知数解决 2. 利用解决动点问题的思路，迁移解决，步骤如下： ①确定角的动边所处的初始位置 ②确定角的动边旋转的方向，确定顺时针或者逆时针方向为“＋” ③确定动边旋转的速度 如：已知∠AOB=α，将边OB绕着点O以每秒2°的速度旋转，则t秒后，∠AOB的度数为（α+2t）度。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 动点中的归纳问题 1．已知点C，N在射线AB上，点M是线段AC的中点． （1）如图，当点C在线段AB上时，若点N是线段CB的中点，AC＝10，BC＝14，求线段MN的长； （2）当点C在线段AB的延长线上时，若CN：BN＝1：2，AC＝a，BC＝b，直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）． 【解答】解：（1）∵点M为线段AC的中点、点N为线段BC的中点， ∴CMAC＝5，CNBC＝7， ∴MN＝CM+CN＝5+7＝12； （2）如图，∵点M是线段AC的中点， ∴CMACa， 当点N在线段BC上时， ∵CN：BN＝1：2， ∴CNb， ∴MN＝CM﹣CNab； 当点N在点C的右侧时， ∵CN：BN＝1：2， ∴CN＝BC＝b， ∴MN＝CM+CNa+b， 综上所述，线段MN的长为ab或a+b． 2．综合与探究： 问题情境： 已知：M，N分别是线段AC，BC的中点． 初步探究： （1）如图（1），点C在线段AB上，且AC＝9，BC＝6，求线段MN的长． 问题解决： （2）若C为线段AB上任意一点，且AC＝a，CB＝b，求出线段MN的长（用含有a，b的代数式表示）． 类比应用： （3）若点C在线段AB的延长线上，且AC＝a，CB＝b，请你画出图形，并直接写出线段MN的长（用含有a，b的代数式表示）． 拓展延伸： （4）已知：如图（2），C为线段AB的中点，D为线段AC的中点，E为线段BC上任意一点，M为线段EB的中点，DM＝m，CE＝n，请你直接写出线段AB的长（用含有m，n的代数式表示）． 【解答】解：（1）∵AC＝9，点M是AC的中点， ∴CMAC＝4.5， ∵BC＝6，点N是BC的中点， ∴CNBC＝3， ∴MN＝CM+CN＝7.5， ∴线段MN的长度为7.5； （2）∵点M，N分别是线段AC，BC的中点． ∴MCACa，CNCBb， ∴MNab（a+b）； （3）当点C在线段AB的延长线时，如图： 则AC＞BC， ∵M是AC的中点， ∴CMACa， ∵点N是BC的中点， ∴CNBCb， ∴MN＝CM﹣CNab（a﹣b）； （4）∵点C，D，M分别是线段AB，AC，EB的中点． ∴AC＝BCAB，AD＝CDAC，EM＝BMEB， ∵DM＝m，CE＝n， ∴DC+EM＝m﹣n， ∴AC+EB＝2（DC+EM）＝2m﹣2n， ∴AB＝AC+EB+CE＝2m﹣2n+n＝2m﹣n． 3．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案． （3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴MCAC、CNBC， ∵AC＝9cm，CB＝6cm， ∴MN＝MC+CNACBC（AC+BC）（9+6）＝7.5cm； （2）∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴MCAC、CNBC， ∵AC+CB＝acm， ∴MN＝MC+CN（AC+CB）a（cm）； （3）MNb， 如图， ∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴MCAC、CNBC， ∵AC﹣BC＝b cm， ∴MN＝MC﹣CNACBC（AC﹣BC）b． 4．如图，点B、C是线段AD上的两点，点M和点N分别在线段AB和线段CD上． （1）当AD＝8，MN＝6，AM＝BM，CN＝DN时，BC＝　4　 ； （2）若AD＝a，MN＝b ①当AM＝2BM，DN＝2CN时，求BC的长度（用含a和b的代数式表示） ②当AM＝nBM，DN＝nCN（n是正整数）时，直接写出BC＝　ba ．（用含a、b、n的代数式表示） 【解答】解：（1）∵AD＝8，MN＝6， ∴AM+DN＝AD﹣MN＝8﹣6＝2， ∵AM＝BM，CN＝DN， ∴AB+CD＝2AM+2DN＝4， ∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝8﹣4＝4， 故答案为4． （2）①∵AD＝a，MN＝b， ∴AM+DN＝AD﹣MN＝a﹣b， ∵AM＝2BM，DN＝2CN， ∴AB+CD（AM+DN）（a﹣b）， ∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝a（a﹣b）ba． ②∵AD＝a，MN＝b， ∴AM+DN＝AD﹣MN＝a﹣b， ∵AM＝nBM，DN＝nCN， ∴AB+CD（AM+DN）（a﹣b）， ∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝a（a﹣b）ba． 故答案为ba． 题型二 动点定值问题 5．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）． （1）当t＝2时，①AB＝　4　 cm．②求线段CD的长度． （2）①点B沿点A→D运动时，AB＝　2t cm； ②点B沿点D→A运动时，AB＝　（20﹣2t ）　 cm．（用含t的代数式表示AB的长） （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化，若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 【解答】解：（1）当t＝2时，①AB＝2×2＝4cm； ②BD＝AD﹣AB＝10﹣4＝6cm， 由C是线段BD的中点，得 CDBD6＝3cm； （2）①点B沿点A→D运动时，AB＝2tcm； ②点B沿点D→A运动时，AB＝（20﹣2t）cm； （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长不变， 由AB中点为E，C是线段BD的中点，得 BEAB，BCBD． EC＝BE+BC（AB+BD）10＝5cm． 6．已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足|a+12|+|b+6|+（c﹣9）2＝0，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动． （1）直接写出a＝　﹣12　 ，b＝　﹣6　 ，c＝　9　 ； （2）若M为PA的中点，N为PB的中点，试判断在P点运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化，请说明理由； （3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．当P点开始运动后的第　8，10，14.5，15.5　 秒时，P，Q两点之间的距离为2． 【解答】解：（1）非负数的和为0，这几个非负数都对应0得： a+12＝0，b+6＝0，c﹣9＝0， ∴a＝﹣12，b＝﹣6，c＝9， 故答案为：﹣12，﹣6，9； （2）线段MN的长度不发生变化，理由如下： 设点P运动时间为t， ①当P在A，B之间时，PA＝t，PB＝6﹣t， M为PA的中点，则PM＝AM， N为PB的中点，则PN＝BN， MN＝PM+PN ＝3； ②当点P运动到点B的右边时，PA＝t，PB＝6﹣t， M为PA的中点，则PM＝AM， N为PB的中点，则PN＝BN， MN＝PM﹣PN ＝3， 故线段MN的长度不发生变化； （3）∵点P运动到点B时，点Q再从点A出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动， 当点P运动2秒时，PQ＝2； 点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动， ∵AB＝﹣6﹣（﹣12）＝6，BC＝9﹣（﹣6）＝15，AC＝9﹣（﹣12）＝21， ∴点P从点B运动至点C的时间为：15s，点Q从点A运动至点C的时间为：7s， ∴可将P，Q两点距离为2的情况分为以下4种， 设点P从点B运动ts后，P，Q两点距离为2， ∴BP＝t，AQ＝3t，PQ＝2， ①如图，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q右侧时， ∵AP＝AB+BP＝t+6，AP＝AQ+PQ， ∴t+6＝3t+2， 解得：t＝2， ∴AP＝t+6＝8s， ∴P点开始运动后的第8秒，P，Q两点之间的距离为2； ②如图，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q左侧时， ∵AP＝AB+BP＝t+6，AQ＝AP+PQ， ∴3t＝t+6+2， 解得：t＝4， ∴AP＝t+6＝10s， ∴P点开始运动后的第10秒，P，Q两点之间的距离为2； ③如图，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q左侧时， ∵AC+CQ＝3t， ∴CQ＝3t﹣21， ∵AP＝AB+BP＝t+6，AC＝AP+PQ+CQ， ∴21＝t+6+2+3t﹣21， 解得：t＝8.5， ∴AP＝t+6＝14.5s， ∴P点开始运动后的第14.5秒，P，Q两点之间的距离为2； ④如图，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q右侧时， ∵AC+CQ＝3t， ∴CQ＝3t﹣21， ∵AP＝AB+BP＝t+6，AC＝AP+CQ﹣PQ， ∴21＝t+6+3t﹣21﹣2， 解得：t＝9.5， ∴AP＝t+6＝15.5s， ∴Q点开始运动后的第15.5秒，P，Q两点之间的距离为2； 综上，当点P运动的第2，8，10，14.5，15.5秒，P，Q两点之间的距离为2． 7．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． （1）出发多少秒后，PB＝2AM？ （2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值． （3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【解答】解：（1）设出发x秒后PB＝2AM， 当点P在点B左边时，PA＝2x，PB＝24﹣2x，AM＝x， 由题意得，24﹣2x＝2x， 解得：x＝6； 当点P在点B右边时，PA＝2x，PB＝2x﹣24，AM＝x， 由题意得：2x﹣24＝2x，方程无解； 综上可得：出发6秒后PB＝2AM． （2）∵AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x， ∴2BM﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝24； （3）选①； ∵PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PNPB＝x﹣12， ∴①MN＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12（定值）； ②MA+PN＝x+x﹣12＝2x﹣12（变化）． 8．如图1，直线AB上有一点P，点M，N分别为线段PA，PB的中点． （1）若点P在线段AB上，AB＝14，且AP＝8，求线段MN的长度； （2）若点P在直线AB上运动，AB＝14，请分别计算下面情况时MN的长度； ①当P在AB之间； ②当P在A左边； ③当P在B右边； 你发现了什么规律？ （3）如图2，若AB＝a，点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，求证：的值是定值． 【解答】（1）解：∵AP＝8，点M是AP中点， ∴MPAP＝4， ∴BP＝AB﹣AP＝6， 又∵点N是PB中点， ∴PNPB＝3， ∴MN＝MP+PN＝7． （2）解：①点P在AB之间，MNAB＝7； ②点P在BA的延长线上，MNAB＝7； ③点P在AB的延长线上，MNAB＝7． 不论点P在哪里，MN为定值7； （3）证明：设PB＝x， ∵AB＝a，点C为线段AB的中点， ∴PA＝AB+PB＝a+x，PCx， ∴2． 题型三 动点求时间问题 9．如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒． （1）当t＝0秒时，AC的长为　2　 ，当t＝2秒时，AC的长为　4　 ． （2）用含有t的代数式表示AC的长为t+2　 ． （3）当t＝　6　 秒时AC﹣BD＝5，当t＝　11　 秒时AC+BD＝15． （4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当t＝0秒时，AC＝|﹣2﹣0|＝|﹣2|＝2； 当t＝2秒时，移动后C表示的数为2， ∴AC＝|﹣2﹣2|＝4． 故答案为：2；4． （2）点A表示的数为﹣2，点C表示的数为t； ∴AC＝|﹣2﹣t|＝t+2． 故答案为t+2． （3）∵t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度， ∴C表示的数是t，D表示的数是3+t， ∴AC＝t+2，BD＝|12﹣（3+t）|， ∵AC﹣BD＝5， ∴t+2﹣|12﹣（t+3）|＝5． 解得：t＝6． ∴当t＝6秒时AC﹣BD＝5； ∵AC+BD＝15， ∴t+2+|12﹣（t+3）|＝15， t＝11； 当t＝11秒时AC+BD＝15， 故答案为6，11； （4）假设能相等，则点A表示的数为2t﹣2，C表示的数为t，D表示的数为t+3，B表示的数为12， ∴AC＝|2t﹣2﹣t|＝|t﹣2|，BD＝|t+3﹣12|＝|t﹣9|， ∵AC＝2BD， ∴|t﹣2|＝2|t﹣9|， 解得：t1＝16，t2． 故在运动的过程中使得AC＝2BD，此时运动的时间为16秒和秒． 10．如图，C是线段AB上一点，AB＝16cm，BC＝6cm． （1）AC＝　10　 cm； （2）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．求运动多少秒时，C、P、Q三点，有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？ 【解答】解：（1）AC＝AB﹣BC＝16﹣6＝10cm， 故答案为：10； （2）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得 10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4； ②当5＜t时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t； ③当t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t； ④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍）， 综上所述：t＝4或或． 11．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是18，8，﹣10． （1）填空：AB＝　10　 ，BC＝　18　 ； （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向左运动．试探索：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由； （3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达C点时，点Q就停止移动．设点P移动的时间为t秒，试用含t的代数式表示P、Q两点间的距离． 【解答】解：（1）AB＝18﹣8＝10，BC＝8﹣（﹣10）＝18， 故答案为：10；18； （2）不变， 由题意得，AB＝10+t+2t＝10+3t， BC＝18﹣2t+5t＝18+3t， BC﹣AB＝8， 故BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变； （3）当0＜t≤10时，PQ＝t， 当10＜t≤15时，PQ＝t﹣3（t﹣10）＝30﹣2t， 当15＜t≤28时，PQ＝3（t﹣10）﹣t＝2t﹣30， 故P、Q两点间的距离为t或30﹣2t或2t﹣30． 12．如图，数轴上线段AB＝2，CD＝4，点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16，若线段AB以6个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位/秒的速度向左匀速运动． （1）问运动多少秒时BC＝8？ （2）当运动到BC＝8时，点B在数轴上表示的数是　4或16　 （3）当3≤t，B点运动到线段CD上时，P是线段AB上一点，是否存在关系式BD﹣AP＝3PC？若存在，求线段PC的长；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设运动t秒时，BC＝8单位长度， ①当点B在点C的左边时， 由题意得：6t+8+2t＝24 解得：t＝2（秒）； ②当点B在点C的右边时， 由题意得：6t﹣8+2t＝24 解得：t＝4（秒）． （2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4； 当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16； 故答案为：4或16； （3）当t＝3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD＝CD＝4，AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC， 当PC＝1时，BD＝AP+3PC，即BD﹣AP＝3PC； 当3≤t时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2， ①点P在线段AC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+2PC＝AB﹣BC+2PC＝2﹣BC+2PC， 当PC＝1时，有BD＝AP+3PC，即BD﹣AP＝3PC； 点P在线段BC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+4PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC， 当PC时，有BD＝AP+3PC，即BD﹣AP＝3PC； 3°当t时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD＝CD﹣AB＝2，AP+3PC＝4PC， 当PC时，有BD＝AP+3PC，即BD﹣AP＝3PC； 此时，PC＝1或． 题型四 动角角度关系探究问题 13．如图，∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝4∠BOC，射线OD在∠AOC内部绕点O旋转，OE平分∠DOC． （1）①求∠BOC的度数； ②若∠EOC与∠DOB互余，求∠EOC的度数． （2）若∠AOD＝n°（n大于0且小于60），求∠BOE的度数（用含n的式子表示）． 【解答】解：（1）①∵∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝4∠BOC， ∴5∠BOC＝∠AOB， ∴∠BOC∠AOB75°＝15°； ②∵OE平分∠DOC，∠EOC＝∠DOE， ∴∠DOB＝2∠EOC+∠COB， ∵∠EOC与∠DOB互余， ∴∠DOB+∠EOC＝90°， ∴2∠EOC+∠COB+∠EOC＝90°， ∴3∠EOC+∠COB＝90°， ∵由①得∠COB＝15°， ∴3∠EOC+15°＝90°， ∴∠EOC＝25°； （2）当射线OD在∠AOC的内部， ∵∠AOB＝75°，∠AOD＝n°（0＜n＜60）， 由（1）得∠BOC＝15°， ∴∠DOC＝∠AOB﹣∠AOD﹣∠BOC＝75°﹣n°﹣15°＝（60﹣n）°， ∵OE平分∠DOC， ∴∠EOC∠DOC（60﹣n）°＝（30n）°， ∴∠BOE＝∠EOC+∠COB＝30°n°+15°＝（45n）°； 当射线OD在∠AOC的外部， ∵∠AOB＝75°，∠AOD＝n°（0＜n＜60）， 由（1）得∠BOC＝15°， ∴∠DOC＝∠AOB+∠AOD﹣∠BOC＝75°+n°﹣15°＝（60+n）°， ∵OE平分∠DOC， ∴∠EOC∠DOC（60+n）°＝（30n）°， ∴∠BOE＝∠EOC+∠COB＝（30n）°+15°＝（45n）°； 综上所述，∠BOE的度数为（45n）°或（45n）°． 14．已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． （1）如图1所示，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）如图2所示，∠AOB＝x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系； ②若∠AOB＝150°，当，求t的值． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝120°， ∴∠AOC120°＝40°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB， ∴∠AOM∠AOC，∠AON∠AOB， ∴∠AOM＝20°，∠AON＝60°， ∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°； （2）①∠COQ＝2∠AOP；理由如下： ∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝x°， ∴∠AOCx°， ∴∠BOCx°， 由题意得：∠COP＝t×1°＝t°，∠BOQ＝t×2°＝2t°， ∴∠AOP＝∠AOC﹣∠COP＝（x﹣t）°，∠COQ＝∠BOC﹣∠BOQ＝（x﹣2t）°， ∴∠COQ＝2∠AOP； ②由①知∠COP＝t°，∠COQ＝（x﹣2t）°， ∵∠POQ＝∠COQ+∠COP，∠BOP＝∠BOC+∠COP， ∴∠POQ＝（t）°，∠BOP＝（t）°， ∵∠AOB＝150°，∠POQ∠BOP， ∴， 把x＝150代入得：100﹣t， 解得t＝20， ∴若∠AOB＝150°， 当∠POQ∠BOP时，t＝20． 15．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． （1）如图（1），若∠DCE＝33°，则∠BCD＝ 　57°　 ，∠ACB＝ 　147°　 ． （2）如图（1），猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由． （3）如图（2），若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的数量关系为 　∠DAB＝120°﹣∠CAE ． 【解答】解：（1）由题意得：∠ACD＝∠BCE＝90°， ∵∠DCE＝33°， ∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝57°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+57°＝147°， 故答案为：57°，147°； （2）∠ACB＝180°﹣∠DCE，理由如下： ∵∠ACD＝90°，∠BCD＝90°﹣∠DCE， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD ＝90°+90°﹣∠DCE ＝180°﹣∠DCE； （3）∠DAB＝120°﹣∠CAE，理由如下： ∵∠DAC＝60°，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝60°﹣∠CAE， ∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC ＝60°+60°﹣∠CAE ＝120°﹣∠CAE． 故答案为：∠DAB＝120°﹣∠CAE． 16．【实践活动】 如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）若∠DCE＝50°，则∠ACE＝　40°　 ；∠ACE　＝　 ∠BCD（填＞、＜、＝）； （2）①若∠DCE＝20°，则∠ACB＝　160°　 ；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝　30°　 ； ②∠ACB与∠DCE之间的数量关系是 　∠ACB+∠DCE＝180°　 ． 【折展探究】 （3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）由题意，得∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∠DCE＝50°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE ＝90°﹣50° ＝40°， ∠BCD＝∠ECB﹣∠DCE ＝90°﹣50° ＝40°， ∴∠ACE＝∠BCD． 故答案为：40°，＝； （2）①∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∠DCE＝20°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE ＝90°﹣20° ＝70°， ∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB ＝70°+90° ＝160°， ∵∠ACB＝150°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB ＝150°﹣90° ＝60°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE ＝90°﹣60° ＝30°． 故答案为：160°，30°； ②∠ACD＝90°，∠ECB＝90°， ∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°， ∴∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°． 又∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD， ∴∠ACB+∠DCE ＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE ＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD ＝180°， ∴∠ACB与∠DCE之间的数量关系是∠ACB+∠DCE＝180°． 故答案为：∠ACB+∠DCE＝180°； （3）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下： ∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，∠ACD+∠BCE＝180°， ∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°， 即∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°， ∴∠ACB+∠DCE ＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE ＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD ＝180°． 17．【问题驱动】已知O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝44°，求∠DOE的度数； （2）如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　　 （用含有α的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　　 （用含有α的式子表示），不必说明理由． 【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣44°＝136°， ∵OE平分∠BOC， ∴， 又∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣68°＝22°； （2）由（1）得，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）．理由如下： ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC， ∵OE平分∠BOC， ∴， 又∵∠COD＝90°， ∴， ∴； （4）∵OE平分∠BOC， ∴， 又∵∠COD＝90°， ∴． 故答案为：． 18．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点O重合，∠COD是直角，OE平分∠BOC． 【问题发现】 （1）若∠DOE＝18°，则∠AOC的度数为 　36°　 ． （2）将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若∠DOE＝66°，求∠AOC的度数； （3）将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究∠AOC和∠DOB的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将直角三角尺绕点O顺时针旋转，旋转过程中OE始终平分∠BOC，当∠AOC＝150°时，请直接写∠DOE的度数． 【解答】解：（1）∵∠COD是直角，∠DOE＝18°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣18°＝72°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝144°， ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝36°， 故答案为：36°； （2）∵∠COD是直角，∠DOE＝66°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣66°＝24°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝48°， ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣48°＝132°； （3）∠AOC和∠DOB的度数之间的关系是：∠AOC+∠DOB＝270°，理由如下： ∵OE平分∠BOC， ∴设∠COE＝∠BOE＝α， ∴∠BOC＝2α， ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2α， ∵∠COD是直角， ∴∠DOB＝∠COD+∠BOC＝90°+2α， ∴∠AOC+∠DOB＝180°﹣2α+90°+2α＝270°； （4）依题意有以下两种情况： ①当OC在直线AB的上方时，如图4①所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，∠AOC＝150°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝30°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC＝15°， ∵∠COD是直角， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣15°＝75°； ②当OC在直线AB的上方时，如图4②所示： 同①得：∠COE＝15°， ∵∠COD是直角， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+15°＝105°， 综上所述：∠DOE的度数为75°或105°． 题型五 动角求时间问题 19．如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）． （1）当t为何值时，射线OC与OD重合； （2）当t为何值时，∠COD＝90°； （3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可得， 20t＝5t+120 解得t＝8， 即t＝8min时，射线OC与OD重合； （2）由题意得， 20t+90＝120+5t或20t﹣90＝120+5t， 解得，t＝2或t＝14 即当t＝2min或t＝14min时，射线OC⊥OD； （3）存在， 由题意得，120﹣20t＝5t或20t﹣120＝5t+120﹣20t或20t﹣120﹣5t＝5t， 解得t＝4.8或t或t＝12， 即当以OB为角平分线时，t的值为4.8min；当以OC为角平分线时，t的值为min，当以OD为角平分线时，t的值为12min． 20．如图，∠AOB＝130°，将一个直角三角尺COD的顶点与点O重合，∠COD＝30°，OM平分∠AOB，三角尺COD始终在∠AOB的内部（三角尺的边可以与OA，OB重合）． （1）如图1，当OD在射线OB上时，∠COM的度数为　35°　 ； （2）如图2，三角尺COD在∠BOM的内部，当OC平分∠BOM时，求∠BOD的度数； （3）如图3，三角尺COD从OD与OB重合开始，以每秒5°的速度绕点O按图中的方向旋转，当OD到达OM处停止旋转．在三角尺旋转过程中，OD作为角平分线的情况出现了几次？分别求出OD作为角平分线时t的值（直接写出答案）． 【解答】解：（1）由条件可知， ∵∠COD＝30°， ∴∠COM＝∠BOM﹣∠BOC＝35°； 故答案为：35°； （2）设∠BOD＝α，则∠BOC＝30°+α， ∵OC平分∠BOM， ∴∠COM＝∠BOC＝30°+α， ∴∠BOM＝2∠COM＝60°+2α， 由条件可知∠AOB＝2∠BOM＝120°+4α， ∵∠AOB＝130°， ∴120°+4α＝130°， 解得：α＝2.5°，即∠BOD＝2.5°； （3）3次，t的值分别为6s，6.5s和13s， 理由如下： ①当OD平分∠BOC时，即∠BOD＝∠COD， 由条件可知∠BOD＝∠COD＝30°． t＝30÷5＝6（s）． ②当OD平分∠BOM时，即∠BOD＝∠MOD， 由（1）可知∠BOM＝65°， ∴． t＝32.5÷5＝6.5（s）． ③当OD到达OM，即OD平分∠AOB时， 由（1）可知，∠BOM＝65°， t＝65÷5＝13（s）． 综上，OD作为角平分线的情况出现了3次，t的值分别为6s，6.5s和13s． 21．已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． （1）如图1所示，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）如图2所示，∠AOB是直角，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； （3）如图3所示，∠AOB＝x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系； ②若∠AOB＝150°，当，求t的值． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝120°， ∴， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB， ∴， ∴∠AOM＝20°，∠AON＝60°， ∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°； （2）∵∠AOB＝90°，∠AOB＝3∠AOC， ∴∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∵∠BOC﹣∠AOC＝∠COD， ∴∠COD＝60°﹣30°＝30°， ∵OM平分∠COD， ∴， ∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝45°； （3）①∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝x°， ∴， ∴， 由题意得：∠COP＝t×1°＝t°，∠BOQ＝t×2°＝2t°， ∴，， ∴∠COQ＝2∠AOP； ②由①知∠COP＝t°，， ∵∠POQ＝∠COQ+∠COP，∠BOP＝∠BOC+∠COP， ∴， ∵∠AOB＝150°，， ∴， 把x＝150代入得：， 解得t＝20， ∴若∠AOB＝150°，当时，t＝20． 22．新定义：若两个角的和为100°，我们则称这两个角互为“百度角”；例如∠AOB＝45°，∠COD＝55°，则∠AOB与∠COD互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果∠AOB＝70°，∠AOD与∠COB互为“百度角”，则∠COD＝ 　30°　 ． 【初步应用】 （2）射线OM平分角∠AOB，OC为∠AOB∠AOB内部的一条射线且满足∠COM＝10°，若∠BOC与∠AOB互为“百度角”，求∠AOB的值． 【解决问题】 （3）如图2，已知∠AOB＝90°，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒5°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜18）．当t为何值时由OM、ON、OA三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 【解答】解：（1）由新定义可知∠AOD+∠COB＝100°， ∴∠AOC+∠COD+∠COD+∠BOD＝100°， ∵∠AOC+∠COD+∠BOD＝70°， ∴∠COD＝100°﹣70°＝30°； 故答案为：30°； （2）如图，当OC在OM上方时， 由条件可知， 根据题意得∠AOB+∠BOC＝100°， ∴， ∴∠AOB＝60°， 同理，当OC在OM下方时， 由条件可知， 根据题意得∠AOB+∠BOC＝100°， ∴， ∴， 综上所述，∠AOB为60°或； （3）①如图： 根据题意得，运动的时间为t秒时， ∠AOM＝10°t，∠AON＝90°﹣5°t，∠NOM＝90°﹣15°t， 当∠AOM和∠AON互为“百度角”时， 10°t+90°﹣5°t＝100°， t＝2秒； 当∠AON和∠MON互为“百度角”时， 90°﹣15°t+90°﹣5°t＝100°， t＝4秒． ②如图： 根据题意得，运动的时间为t秒时， ∠AOM＝10°t，∠AON＝90°﹣5°t，∠NOM＝15°t﹣90°， 当∠AON和∠MON互为“百度角”时， 15°t﹣90°+90°﹣5°t＝100°， t＝10秒． 当∠AOM和∠MON互为“百度角”时， 15°t﹣90°+10°t＝100°， 秒． 综上所述，OM、ON、OA三条射线形成的角互为“百度角”时，t为2秒或4秒或10秒或秒． 1．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　10　 ，线段AB的中点表示的数为 　3　 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣2+3t ；点Q表示的数为 　8﹣2t ． （2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQAB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【解答】解：（1）①10，3； ②﹣2+3t，8﹣2t； （2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等 ∴﹣2+3t＝8﹣2t， 解得：t＝2， ∴当t＝2时，P、Q相遇， 此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4， ∴相遇点表示的数为4； （3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t， ∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|， 又PQAB10＝5， ∴|5t﹣10|＝5， 解得：t＝1或3， ∴当：t＝1或3时，PQAB； （4）不变． ∵点M表示的数为 2， 点N表示的数为 3， ∴MN＝|（2）﹣（3）|＝|23|＝5． 2．如图，C是线段AB上一点，AB＝20cm，BC＝8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为xs． （1）AC＝　12　 cm； （2）当x＝　　 s时，P、Q重合； （3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）AC＝AB﹣BC＝20﹣8＝12（cm）． 故答案为：12； （2）20÷（2+1）（s）． 故当xs时，P、Q重合． 故答案为：； （3）存在， ①C是线段PQ的中点，得 2x+20﹣x＝2×12，解得x＝4； ②P为线段CQ的中点，得 12+20﹣x＝2×2x，解得x； ③Q为线段PC的中点，得 2x+12＝2×（20﹣x），解得x＝7； 综上所述：x＝4或x或x＝7． 3．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　20°　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角， ∴∠COD∠AOB＝35°， ∵∠AOC＝15°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°； 故答案为：20°． （2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α， ∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即63°﹣α， 解得α＝21°， 当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角； （3）能，理由如下， 由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下三种情况： ①当射线OC在∠AOB内，如图4， 此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即30°﹣3t°（30°+3t°）， 解得t（秒）； ②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即3t°﹣30°（30°+3t°）， 解得t＝30（秒）； 如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°， 则∠AOD是∠BOC的内半角， ∴∠AOD∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°（360°﹣3t°+30°）， 解得t＝90（秒）； 综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒． 1．综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°；三角尺ADE中，∠E＝90°，∠DAE＝30°，∠D＝60°．分别作∠CAE，∠BAD的角平分线AM，AN． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，AM，AN仍然是∠CAE，∠BAD的角平分线．在图2中AB与AE重合，在图3中AB，AD与AN重合在一起． （1）计算：图2中∠MAN的度数为　60　 °，图3中∠MAN的度数为　60　 °（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中∠MAN的度数为　60　 °．如果设∠BAE＝α，请求出图1中∠MAN的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，AM，AN仍然是∠CAE，∠BAD的平分线．请你求出∠MAN的度数． 【解答】解：（1）AM，AN分别是∠CAE，∠BAD的角平分线， ∴∠EAM∠CAE，∠BAN， 在图2中AB与AE重合， ∴∠CAE＝90°，∠BAD＝30°， ∵∠MAN＝∠EAM+∠BAN， ∴∠MAN∠EAM∠BAN （∠CAE+∠BAD） （90°+30°） ＝60°； 在图3中AB，AD与AN重合在一起， ∴∠CAE＝90°﹣30°＝60°，∠EAN＝30°， ∵∠MAN＝∠EAM+∠EAN ∴ ＝60°； 故答案为：60，60； （2）由（1）可得图1中，∠MAN＝60°， 故答案为：60； 若∠BAE＝α， ∵∠BAE＝α，∠DAE＝30°， ∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAE＝30°﹣α， ∵AN平分∠BAD， ∴， ∵∠BAE＝α，∠BAC＝90°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣α， ∵A M平分∠CAE， ∴， ∵∠MAN＝∠NAB+∠BAE+∠EAM ∴； （3）设∠BAE＝α， ∵∠BAE＝α，∠DAE＝30°， ∴∠BAD＝∠DAE+∠BAE＝30°+α， ∵AN平分∠BAD， ∴， ∵∠BAE＝α，∠BAC＝90°， ∴∠CAE＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝270°﹣α， ∵A M平分∠CAE， ∴， ∵∠MAN＝∠NAD+∠EAM﹣∠DAE， ∴． 2．如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0． （1）求线段AB，CD的长； （2）线段AB的中点为M，线段CD中点为N，线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN＝4，求移动前线段BC的长； （3）将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为AB、CD中点，BC＝24，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【解答】解：（1）∵|m﹣4|+（n﹣8）2＝0， ∴m﹣4＝0，n﹣8＝0， ∴m＝4，n＝8， ∴AB＝4，CD＝8； （2）若6秒后，M’在点N’左边时， 由MN+NN’＝MM’+M’N’， 即2+4+BC+6×1＝6×4+4， 解得BC＝16， 若6秒后，M’在点N’右边时， 则MM’＝MN+NN’+M’N’， 即6×4＝2+BC+4+6×1+4， 解得BC＝8， （3）运动t秒后 MN＝|30﹣4t|，AD＝|36﹣4t|， 当0≤t＜7.5时，MN+AD＝66﹣8t， 当7.5≤t≤9时，MN+AD＝6， 当t≥9时，MN+AD＝8t﹣66， ∴当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值． 3．已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线． （1）如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，如图1，求∠MON的度数； （2）如果将图1中的∠COD绕点O点顺时针旋转n°（0＜n＜155），如图2， ①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由； ②当n为多少时，∠MON为直角？ （3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m＜100），如图3，∠MON与旋转度数m°有怎样的数量关系？说明理由． 【解答】解：（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°， ∴∠AOM∠AOB130°＝65°， ∵ON平分∠COD，∠COD＝80°， ∴∠AON∠COD80°＝40°， ∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°； （2）①如图2中，∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°+n°﹣40°＝n°+25°． ②当∠MON＝90°时，n°+25°＝90°， ∴n＝65． （3）如图3中，当ON在∠AOB内部时∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣（40°m°）m°+25°． 当ON在∠AOB外部时时，∠MON＝∠AOM+∠AON＝65°m°﹣40m°+25°． 综上所述，∠MONm°+25°． 1 / 5 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