寒假作业11 相交线与平行线8大必刷题型（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 相交线与平行线 一、对顶角 1、定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图，与是一对对顶角，另外还有一对对顶角． 2、性质：对顶角相等． 二、垂线 1、定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2、画法： 一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合． 二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点． 三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 3、性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 三、垂线段 1、定义：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段． 2、性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短． 3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 四、平行线 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．如图，直线a，b互相平行，记作a//b． 2、画法：利用三角板、直尺画平行线的步骤 一“落”：将三角板的一边落在已知直线a上，如图（1）； 二“靠”：用一把直尺紧靠在三角板的另一边上，如图（2）； 三“推”：推移三角板，使与已知直线a重合的那一边经过已知点P，如图（3）； 四“画”：沿过已知点的三角板的一边画直线，如图（4）． 则画出的直线b就是与直线a平行的直线，如图（5）． 五、三线八角 1、同位角：两个角分别在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 2、内错角：两个角都在两条被截直线之间,并且分别在截线两侧，即被截线“错开”,具有这种位置关系的一对角叫做内错角． 3、同旁内角：两个角都在两条被截直线之间,并且在截线的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角． 六、平行线基本事实 1、基本事实1：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2、基本事实2：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 3、推论①：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。 推论②：在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行。 七、平行线的判定定理 1、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 2、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 八、平行线的性质定理 1、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等． 2、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等． 3、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简述为：两直线平行，同旁内角互补． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 对顶角 1．在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，若∠AOC＝35°，则∠BOE的度数为（　　） A．125° B．135° C．65° D．55° 3．如图，直线a、b相交于一点，如果∠1+∠2＝280°，则∠3的度数是 　 　 ． 4．如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOD＝70°，∠EOF＝65°，则∠AOF的度数为　 　 °． 题型二 垂线与垂线段 5．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 6．在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是（　　） A．线段PC的长度 B．线段QD的长度 C．线段PA的长度 D．线段QB的长度 7．如图，已知AB＝10m，AF＝9m，AC＝11m，AE＝6m，若G在线段BC上运动，则AG的最大值与最小值相差　　 m． 8．如图，已知直线BC及直线外一点A，按要求解答下列问题： （1）借助三角板画出射线CA、线段AB，过点C画CD⊥AB，垂足为D． （2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明判断依据． 题型三 三线八角的认识 9．图中的∠1和∠2的位置关系是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．同旁内角 D．内错角 10．如图，∠1和∠2是同位角的是（　　） A． B． C． D． 11．如图所示的五个角中，∠2的同位角是 　 　 ． 12．如图，直线L截直线a，b所得的同位角有　　 对；内错角有　　 对，它们是　 　 ；同旁内角有　　 对，它们是　 　 ；对顶角　　 对，它们是　 　 ． 题型四 平行线的概念及其基本事实的运用 13．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 14．下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行 ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行 ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 15．下列四种说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段； ③相等的角是对顶角； ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交． 其中，错误的是　 　 （填序号）． 16．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的说法是　 　 ． 题型五 平行线的判定 17．如图，点E在AD的延长线上，下列条件能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠A＝∠CDE D．∠C+∠ABC＝180° 18．已知∠1＝∠2，下列图形中，能确定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 19．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能证明a∥b的是 　 　 （填序号）． ①∠1＝∠3；②∠3＝∠5；③∠2＝∠6；④∠2+∠3＝180°． 20．如图，点A在直线DE上，则∠BAC的度数为　 　 时，DE∥BC． 21．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点（不与端点重合），CD与EF相交于点G，连接DE．若∠CGE＝∠B+∠BCD，∠B＝∠DEF．求证：DE∥BC． 22．请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠α+∠β＝90° 求证：AB∥CD． 证明：∵CE平分∠ACD （已知）， ∴∠ACD＝2∠α （　 　 ）． ∵AE平分∠BAC （已知）， ∴∠BAC＝　 　 （角的平分线的定义）． ∴∠ACD+∠BAC＝2∠α+2∠β（　 　 ）． 即∠ACD+∠BAC＝2（∠α+∠β）． ∵∠α+∠β＝90° （已知）， ∴∠ACD+∠BAC＝　 　 （　 　 ）． ∴AB∥CD（　 　 ）． 题型六 平行线的性质 23．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 24．如图，一副三角尺按如图方式摆放．若直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．15° C．10° D．5° 25．如图，AB∥EF，∠D＝90°，则α，β，γ的大小关系是　 　 ． 26．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，使得点D，C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，∠EFG＝55°，则∠2﹣∠1的度数为　 　 ． 27．如图，在三角形ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，连接BD，DE．点F在线段BD上，连接EF．已知∠1+∠2＝180°，DE∥BC． （1）求证：∠ADE＝∠DEF； （2）若∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠1的度数． 28．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 题型七 平行线中角的关系探究问题 29．已知，AB∥CD，点E在CD上，点G在AB上，点H为一动点． （1）如图1，当H在AB与CD之间时，点F在AB上，连接FE、EH、HG，若∠AGH＝∠FED，求证：HG∥EF． （2）如图2，在（1）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，EH∥KF，GM平分∠HGB，且有∠KFE：∠MGH＝m：n． ①当m＝7，n＝3时，求∠GHE的度数； ②当EM平分∠HED，GM，EM交于点M时，若∠GME＝54°，求m：n的值． （3）如图3，当H在AB上方，EH交AB于点F，∠AGH的角平分线的反向延长线和∠DEH的角平分线相交于点M，∠BGM的角平分线和∠DEM的角平分线相交于点M1，依此类推，请论证∠M与∠H之间的数量关系，并直接写出∠H与∠Mn的数量关系（用含n的式子表示） 30．已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D． （1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC； （2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数． 31．小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． （1）【问题初探】如图1，∠CDF+∠DFE＝180°，∠C＝∠DAE，求证：AD∥BC． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问∠ADF，∠AEB与∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由． （3）【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角度数为α，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角度数为β，∠EFG的度数为　 　 ．（用含α，β的式子表示） 32．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，已知∠DAE＝60°，∠B＝∠C＝45°，且AD∥BC，则∠CAE的度数为 　 　 °； （2）如图2，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B＝∠ACB＝45°），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得∠MAB＝35°，∠PCB＝10°，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由； （3）现将三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B＝∠ACB＝45°），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若MN∥PQ，请写出∠PAB与∠MCA之间的关系式，并说明理由． 题型八 与平行有关的旋转问题 33．如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣8|+（b﹣2）2＝0． （1）a＝ 　　 ，b＝ 　　 ； （2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直． （3）若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ第一次到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 34．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a﹣3）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）求a、b的值； （2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 35．如图1，点O在MN上，∠AOB＝90°，∠AOM＝m°，∠OCQ＝n°，射线OB交PQ于点C，已知m，n满足：|m﹣20|+（n﹣70）2＝0． （1）试说明MN∥PQ的理由； （2）如图2，OD平分∠AON，CF平分∠OCQ，直线OD、CF交于点E，则∠OEF＝　 　 °； （3）若将∠AOB绕点O逆时针旋转α（0＜α＜90°），其余条件都不变，在旋转过程中，∠OEF的度数是否发生变化？请说明你的结论． 36．如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝40°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，转至AM后停止旋转；射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后停止旋转．若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣4|+（b﹣1）2＝0． （ 1 ）a＝　　 ，b＝　　 ； （ 2 ）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直？ （3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线BQ转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 1．已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝40°，则α＝　　 °； （2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F． ①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA； ②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系． 2．已知直线PQ∥/直线MN，一副三角板（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACM．将三角板ABC绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（0≤t≤60）． （1）在旋转过程中，若边BG∥CE，如图②所示，则t＝　　 秒． （2）若三角板ABC绕点B旋转的同时，三角板CDE绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边BG∥HK时t的值为　 　 秒． 1．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°． （1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数； （2）如图③，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图④，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线EC的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出∠ACE所有可能的度数． 2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°． （1）填空：∠1与∠3的数量关系：　 　 ；理由是 　 　 ； （2）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　 　 ； （3）如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当BE∥AD时．画出图形，并求出∠ACE的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值． 3．已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF＝α． （1）如图1，若α＝80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数； （2）如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，，，∠DFM＝20°，求∠ENF的度数；（结果可用含α的式子表示） （3）如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分∠AEM交FP于点G，2∠ENF+∠EMF＝110°，求∠CFN的度数． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 相交线与平行线 一、对顶角 1、定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图，与是一对对顶角，另外还有一对对顶角． 2、性质：对顶角相等． 二、垂线 1、定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2、画法： 一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合． 二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点． 三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 3、性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 三、垂线段 1、定义：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段． 2、性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短． 3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 四、平行线 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．如图，直线a，b互相平行，记作a//b． 2、画法：利用三角板、直尺画平行线的步骤 一“落”：将三角板的一边落在已知直线a上，如图（1）； 二“靠”：用一把直尺紧靠在三角板的另一边上，如图（2）； 三“推”：推移三角板，使与已知直线a重合的那一边经过已知点P，如图（3）； 四“画”：沿过已知点的三角板的一边画直线，如图（4）． 则画出的直线b就是与直线a平行的直线，如图（5）． 五、三线八角 1、同位角：两个角分别在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 2、内错角：两个角都在两条被截直线之间,并且分别在截线两侧，即被截线“错开”,具有这种位置关系的一对角叫做内错角． 3、同旁内角：两个角都在两条被截直线之间,并且在截线的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角． 六、平行线基本事实 1、基本事实1：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2、基本事实2：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 3、推论①：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。 推论②：在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行。 七、平行线的判定定理 1、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 2、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 八、平行线的性质定理 1、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等． 2、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等． 3、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简述为：两直线平行，同旁内角互补． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 对顶角 1．在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、∠1，∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故A不符合题意； B、∠1，∠2的两边不互为反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故B不符合题意； C、∠1与∠2是对顶角，故C符合题意； D、∠1，∠2的两边不互为反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故D不符合题意． 故选：C． 2．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，若∠AOC＝35°，则∠BOE的度数为（　　） A．125° B．135° C．65° D．55° 【解答】解：由条件可知∠EOD＝90°，∠AOC＝∠BOD＝35°， ∴∠BOE＝∠EOD+∠DOB＝125°， 故选：A． 3．如图，直线a、b相交于一点，如果∠1+∠2＝280°，则∠3的度数是 　40°　 ． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∠1+∠2＝280°， ∴∠1＝140°， ∵∠1+∠3＝180°， ∴∠3＝180°﹣140°＝40°． 故答案为：40°． 4．如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOD＝70°，∠EOF＝65°，则∠AOF的度数为　30　 °． 【解答】解：∵∠BOD＝70°， ∴∠AOC＝∠BOD＝70°， ∵OE是∠AOC的平分线， ∴∠AOE∠AOC70°＝35°， ∵∠EOF＝65°， ∴∠AOF＝65°﹣35°＝30°， 故答案为：30． 题型二 垂线与垂线段 5．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【解答】解：∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠AOD＝90°﹣∠1＝50°， ∴∠2＝180°﹣AOD＝130°． 故选：B． 6．在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是（　　） A．线段PC的长度 B．线段QD的长度 C．线段PA的长度 D．线段QB的长度 【解答】解：在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是线段PA的长度， 故选：C． 7．如图，已知AB＝10m，AF＝9m，AC＝11m，AE＝6m，若G在线段BC上运动，则AG的最大值与最小值相差　5　 m． 【解答】解：根据垂线段最短可知此时AG取最小值，AG＝AE＝6m， 当G运动到点C时，AG取最大值，AG＝AC＝11m， ∴AG的最大值与最小值相差11﹣6＝5m， 故答案为：5． 8．如图，已知直线BC及直线外一点A，按要求解答下列问题： （1）借助三角板画出射线CA、线段AB，过点C画CD⊥AB，垂足为D． （2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明判断依据． 【解答】解：（1）如图： （2）CA＞CD， 理由：∵CD⊥AB， ∴根据垂线段最短得，CA＞CD． 题型三 三线八角的认识 9．图中的∠1和∠2的位置关系是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．同旁内角 D．内错角 【解答】解：∠1与∠2是直线AB，直线BC被直线EF所截的同位角． 故选：B． 10．如图，∠1和∠2是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、∠1和∠2是同位角，故本选项正确； B、∠1和∠2没有没有公共截线，故本选项错误； C、∠1和∠2没有没有公共截线，故本选项错误； D、∠1和∠2没有没有公共截线，故本选项错误； 故选：A． 11．如图所示的五个角中，∠2的同位角是 　∠4　 ． 【解答】解：由图可得∠2的同位角是∠4． 故答案为：∠4． 12．如图，直线L截直线a，b所得的同位角有　4　 对；内错角有　2　 对，它们是　∠4与∠8，∠3与∠5　 ；同旁内角有　2　 对，它们是　∠4与∠5，∠3与∠8　 ；对顶角　4　 对，它们是　∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8　 ． 【解答】解：直线l截直线a，b所得的同位角有4对，分别是∠6与∠4，∠5与∠1，∠7与∠3，∠8与∠2； 内错角有2对，它们是∠4与∠8，∠3与∠5； 同旁内角有2对，它们是∠4与∠5，∠3与∠8； 对顶角有4对，它们是∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8． 题型四 平行线的概念及其基本事实的运用 13．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【解答】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以及在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可知m＝1，n＝1， ∴m+n＝2， 故选：C． 14．下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行 ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行 ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，只有a∥b时才能画出，故说法错误； ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确； 故选：D． 15．下列四种说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段； ③相等的角是对顶角； ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交． 其中，错误的是　①②③　 （填序号）． 【解答】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误； ∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误； ∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误； ∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确； 故答案为：①②③． 16．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的说法是　③⑤　 ． 【解答】解：①应为：两直线平行，同位角相等，故本小题错误； ②应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误； ③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直，故本小题正确； ④三条直线两两相交，总有一个交点或三个交点，故本小题错误； ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，故本小题正确； ⑥应为：在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故本小题错误． 综上所述，正确的有③⑤． 故答案为③⑤． 题型五 平行线的判定 17．如图，点E在AD的延长线上，下列条件能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠A＝∠CDE D．∠C+∠ABC＝180° 【解答】解：A、由内错角相等，两直线平行判定AB∥DC，但不能判定AD∥BC，故A不符合题意； B、由内错角相等，两直线平行判定AD∥BC，故B符合题意； C、由同位角相等，两直线平行判定AB∥DC，但不能判定AD∥BC，故C不符合题意； D、由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥DC，但不能判定AD∥BC，故D不符合题意． 故选：B． 18．已知∠1＝∠2，下列图形中，能确定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以判定两条被截直线平行判断如下： A选项：∠1和∠2是直线AE、DF被直线DA所截形成的同位角，当∠1＝∠2时，根据同位角相等，两直线平行可证AE∥DF，不能证明AB∥CD，故A选项不符合题意； B选项：∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，当∠1＝∠2时，根据内错角相等，两直线平行可证AB∥CD，故B选项符合题意； C选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被第三条直线所截形成的角，当∠1＝∠2时，不能判断AB∥CD，故C选项不符合题意； D选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被第三条直线所截形成的角，当∠1＝∠2时，不能判断AB∥CD，故D选项不符合题意． 故选：B． 19．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能证明a∥b的是 　①③④　 （填序号）． ①∠1＝∠3；②∠3＝∠5；③∠2＝∠6；④∠2+∠3＝180°． 【解答】解：①∵∠1和∠3是直线a、b被直线c所截得的一组同位角，且∠1＝∠3， ∴a∥b； ∴所以①说法正确，符合题意； ②∵∠3与∠5是对顶角，由“对顶角相等”的性质可知∠3＝∠5，但无法证明a∥b； ∴所以②说法错误，不符合题意； ③∵∠2和∠6是直线a、b被直线c所截得的一组内错角，且∠2＝∠6， ∴a∥b； ∴所以③说法正确，符合题意； ④∵∠2与∠3是直线a、b被直线c所截得的一组同旁内角，且∠2+∠3＝180°， ∴a∥b； ∴所以④说法正确，符合题意． 故答案为：①③④． 20．如图，点A在直线DE上，则∠BAC的度数为　56°　 时，DE∥BC． 【解答】解：∵DE∥BC（已知）， ∴∠EAC＝180°﹣124°＝56°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠BAC＝180°﹣78°﹣56°＝56°， 即当∠BAC的度数为56°时，DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：56°． 21．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点（不与端点重合），CD与EF相交于点G，连接DE．若∠CGE＝∠B+∠BCD，∠B＝∠DEF．求证：DE∥BC． 【解答】解：∵∠ADC是△BCD的一个外角， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD． ∵∠CGE＝∠B+∠BCD， ∴∠ADC＝∠CGE， ∴AB∥EF， ∴∠B＝∠EFC， ∵∠B＝∠DEF， ∴∠EFC＝∠DEF， ∴DE∥BC． 22．请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠α+∠β＝90° 求证：AB∥CD． 证明：∵CE平分∠ACD （已知）， ∴∠ACD＝2∠α （　角平分线的定义　 ）． ∵AE平分∠BAC （已知）， ∴∠BAC＝　2∠β　 （角的平分线的定义）． ∴∠ACD+∠BAC＝2∠α+2∠β（　等式性质　 ）． 即∠ACD+∠BAC＝2（∠α+∠β）． ∵∠α+∠β＝90° （已知）， ∴∠ACD+∠BAC＝　180°　 （　等量代换　 ）． ∴AB∥CD（　同旁内角互补，两直线平行　 ）． 【解答】证明：∵CE平分∠ACD （已知）， ∴∠ACD＝2∠α （角平分线的定义）． ∵AE平分∠BAC （已知）， ∴∠BAC＝2∠β（角的平分线的定义）． ∴∠ACD+∠BAC＝2∠α+2∠β（等式性质）． 即∠ACD+∠BAC＝2（∠α+∠β）． ∵∠α+∠β＝90° （已知）， ∴∠ACD+∠BAC＝180° （等量代换）． ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义，2∠β，等式性质，180°，等量代换，同旁内角互补，两直线平行． 题型六 平行线的性质 23．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝40°， ∴∠FEB＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°， ∵EG平分∠BEF， ∴． 则∠2的度数为70°， 故选：A． 24．如图，一副三角尺按如图方式摆放．若直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．15° C．10° D．5° 【解答】解：如图， ∵直线a∥b， ∴∠4＝∠1+∠3 ∵∠3＝30°，∠1＝50° ∴∠4＝50°+30°＝80°， ∵∠4+∠2＝90° ∴∠2＝90°﹣∠4＝10°， 故选：C． 25．如图，AB∥EF，∠D＝90°，则α，β，γ的大小关系是　β﹣α+γ＝90°　 ． 【解答】解：如图，分别过点C、D作CG∥AB，DH∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥EF∥CG∥DH， ∴∠BCG＝α，∠GCD＝∠CDH，∠HDE＝γ， ∴α+∠GCD＝β， ∴∠CDH＝∠GCD＝β﹣α． ∵∠CDE＝90°， ∴∠CDH+∠HDE＝90°， ∴β﹣α+γ＝90°． 故答案为：β﹣α+γ＝90°． 26．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，使得点D，C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，∠EFG＝55°，则∠2﹣∠1的度数为　40°　 ． 【解答】解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°， ∴∠EFG＝∠DEF＝55°（两直线平行，内错角相等）， 由折叠可知∠GEF＝∠DEF＝55°， ∴∠1＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°， ∴∠2﹣∠1＝110°﹣70°＝40°， 故答案为：40°． 27．如图，在三角形ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，连接BD，DE．点F在线段BD上，连接EF．已知∠1+∠2＝180°，DE∥BC． （1）求证：∠ADE＝∠DEF； （2）若∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠1的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1+∠2 ＝180°，∠DFE+∠2 ＝180°， ∴∠1＝∠DFE， ∴FE∥AC， ∴∠ADE＝∠DEF； （2）解：由 （1）得：FE∥AC， ∵DE∥BC， ∴∠DEB+∠ABC ＝ 180°， ∵∠ABC ＝ 70°， ∴∠DEB＝∠DEF+∠FEB＝110°， ∵∠DEF＝∠FEB﹣10°， ∴∠DEF+10°＝∠FEB， ∴∠DEF+∠DEF+10°＝110°， ∴∠DEF＝ 50°＝∠ADE， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝70°， ∴∠CBD＝∠ABD＝35°， ∵DE∥BC， ∴∠CBD ＝∠BDE＝35°， ∴∠ADB＝∠ADE+∠EDB＝85°， ∴∠1＝180°﹣∠ADB＝ 95°． 28．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 【解答】（1）证明：∵AC∥EF， ∴∠1+∠FAC＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠FAC＝∠2， ∴FA∥CD， ∴∠FAB＝∠BDC； （2）解：∵AC平分∠FAD， ∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC， 由（1）知∠FAC＝∠2， ∴∠FAD＝2∠2， ∴∠2∠FAD， ∵∠FAD＝80°， ∴∠280°＝40°， ∵EF⊥BE，AC∥EF， ∴AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°． 题型七 平行线中角的关系探究问题 29．已知，AB∥CD，点E在CD上，点G在AB上，点H为一动点． （1）如图1，当H在AB与CD之间时，点F在AB上，连接FE、EH、HG，若∠AGH＝∠FED，求证：HG∥EF． （2）如图2，在（1）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，EH∥KF，GM平分∠HGB，且有∠KFE：∠MGH＝m：n． ①当m＝7，n＝3时，求∠GHE的度数； ②当EM平分∠HED，GM，EM交于点M时，若∠GME＝54°，求m：n的值． （3）如图3，当H在AB上方，EH交AB于点F，∠AGH的角平分线的反向延长线和∠DEH的角平分线相交于点M，∠BGM的角平分线和∠DEM的角平分线相交于点M1，依此类推，请论证∠M与∠H之间的数量关系，并直接写出∠H与∠Mn的数量关系（用含n的式子表示） 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠FED， ∵∠AGH＝∠FED， ∴∠AFE＝∠AGH， ∴HG∥EF． （2）解：①如图，过点H作HI∥AB， ∴HI∥AB∥CD． 由题意可知：∠KFE：∠MGH＝m：n＝7：3， 故可设∠KFE＝7x，则∠MGH＝3x， ∴∠DEH＝∠IHE，∠AFK＝∠EKF，∠BGH＝∠IHG， ∵FK平分∠AFE，GM平分∠HGB， ∴∠BGH＝2∠MGH＝6x，∠AFK＝∠EFK＝7x， ∴∠AFE＝14x， ∴∠AGH＝180°﹣∠BGH＝180°﹣6x， 由（1）可知，HG∥EF， ∴∠AGH＝∠AFE， ∴14x＝180°﹣6x，解得：x＝9°， ∴∠IHG＝6x＝54°，∠EKF＝7x＝63°． ∵EH∥KF， ∴∠IHE＝∠DEH＝∠EKF＝63°， ∴∠GHE＝∠IHG+∠IHE＝54°+63°＝117°． ②如图，过点M作MN∥AB． 由题意可设∠KFE＝my，则∠MGH＝ny． ∵AB∥CD，FK平分∠AFE， ∴∠EKF＝∠KFE＝∠AFK＝my，∠AFE＝2my． ∵EH∥KF， ∴∠DEH＝∠EKF＝my． ∵EM平分∠HED， ∴． ∵AB∥CD，MN∥AB， ∴MN∥AB∥CD， ∴． ∵GM平分∠HGB， ∴∠BGH＝2ny，∠BGM＝∠MGH＝ny， ∴∠AGH＝180°﹣∠BGH＝180°﹣2ny． ∵MN∥AB， ∴∠GMN＝∠BGM＝ny． ∴∠GME＝∠GMN+∠NME，即． 由（1）可知HG∥EF， ∴∠AGH＝∠AFE， ∴180°﹣2ny＝2my， 即，解得：， ∴m：n＝my：ny＝72°：18°＝4：1． （3）过点M作MN∥AB，过点H作HI∥AB， 设∠FGH＝2α，∠HED＝2β， 同理（2）可得：∠FHK＝180°﹣∠HED＝180°﹣2β，∠FGH＝∠KHG＝2α， ∴∠EHG＝∠FHK﹣∠KHG＝180°﹣2β﹣2α， ∵∠AGH的角平分线的反向延长线和∠DEH的角平分线相交于点M， ∴，， 由（2）得∠GME＝∠BGM+∠DEM＝α+β， ∴∠EHG+2∠GME＝180°﹣2β﹣2α+2（α+β）＝180°． ∵∠BGM的角平分线和∠DEM的角平分线相交于点M1． 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 30．已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D． （1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC； （2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数． 【解答】解：（1）如图1，∵AC∥BD， ∴∠DAE＝∠D， 又∵∠C＝∠D， ∴∠DAE＝∠C， ∴AD∥BC； （2）∠EAD+2∠C＝90°． 证明：如图2，设CE与BD交点为G， ∵∠CGB是△ADG是外角， ∴∠CGB＝∠D+∠DAE， ∵BD⊥BC， ∴∠CBD＝90°， ∴△BCG中，∠CGB+∠C＝90°， ∴∠D+∠DAE+∠C＝90°， 又∵∠D＝∠C， ∴2∠C+∠DAE＝90°； （3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α， ∵∠DFE+∠AFD＝180°， ∴∠AFD＝180°﹣8α， ∵DF∥BC， ∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α， 又∵2∠C+∠DAE＝90°， ∴2（180°﹣8α）+α＝90°， ∴α＝18°， ∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB， 又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD， ∴∠ABC＝∠ABD∠CBD＝45°， ∴△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°． 31．小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． （1）【问题初探】如图1，∠CDF+∠DFE＝180°，∠C＝∠DAE，求证：AD∥BC． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问∠ADF，∠AEB与∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由． （3）【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角度数为α，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角度数为β，∠EFG的度数为　α+β　 ．（用含α，β的式子表示） 【解答】（1）证明：∵∠CDF+∠DFE＝180° ∴AE∥DC（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠AEC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠C＝∠DAE， ∴∠AEC+∠DAE＝180°， ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∠DFE＝∠AEB+∠ADF，理由如下： ∵AD∥BC，AE∥DC， ∴∠DFE+∠FDC＝180°，∠ADF+∠C+∠FDC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∠AEB＝∠C（两直线平行，同位角相等）， ∴∠DFE+∠FDC＝180°，∠ADF+∠AEB+∠FDC＝180°， ∴∠DFE＝∠AEB+∠ADF． （3）解：如图，过E作EM∥AB， ∵AB∥FG， ∴AB∥EM∥FG， ∴∠ABC＝∠MEC＝α（两直线平行，同位角相等），∠MEF+∠EFG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠EFG＝180°﹣∠MEF． ∵∠MEC+∠DEF＝180°﹣∠MEF， ∴∠MEC+∠DEF＝∠EFG， ∴∠ABC+∠DEF＝∠EFG， ∴∠EFG＝α+β， 故答案为：α+β． 32．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，已知∠DAE＝60°，∠B＝∠C＝45°，且AD∥BC，则∠CAE的度数为 　75　 °； （2）如图2，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B＝∠ACB＝45°），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得∠MAB＝35°，∠PCB＝10°，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由； （3）现将三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B＝∠ACB＝45°），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若MN∥PQ，请写出∠PAB与∠MCA之间的关系式，并说明理由． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠DAB＝∠ABC＝45°， ∴∠BAE＝∠DAE﹣∠DAB＝60°﹣45°＝15°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣15°＝75°； 故答案为：75°． （2）MN∥PQ； 理由如下： ∵∠MAB＝35°，∠BAC＝90°， ∴∠MAC＝35°+90°＝125°， ∵∠PCB＝10°，∠ACB＝45°， ∴∠ACP＝10°+45°＝55°， ∴∠MAC+∠ACP＝125°+55°＝180°， ∴MN∥PQ； （3）∠PAB﹣∠MCA＝90°． 理由如下： ∵MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠CAQ， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAQ+∠BAQ＝90°， ∴∠MCA+∠BAQ＝90°， 又∵∠PAB+∠BAQ＝180°， ∴∠PAB﹣∠MCA＝90°． 题型八 与平行有关的旋转问题 33．如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣8|+（b﹣2）2＝0． （1）a＝ 　8　 ，b＝ 　2　 ； （2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直． （3）若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ第一次到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 【解答】解：（1）∵|a﹣8|+（b﹣2）2＝0，|a﹣8|≥0，（b﹣2）2≥0， ∴a﹣8＝0，b﹣2＝0， ∴a＝8，b＝2， 故答案为：8；2； （2）设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直， 如图，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∵PQ∥MN， ∴∠ABQ+∠BAM＝180°， ∴∠OBQ+∠OAM＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°， 又∵∠OBQ＝2t°，∠OAM＝8t°， ∴2t+8t＝90， ∴10t＝90， ∴t＝9， ∴至少旋转9秒时，射线AM、射线BQ互相垂直； （3）设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行． 如图，射线AM绕点A顺时针先转动15秒后，AM转动至AM′的位置，则∠MAM′＝15×8＝120°， ∴∠M′AB＝180°﹣45°﹣120°＝15°； 分两种情况： ①当时，∠QBQ′＝2t°，∠M′AM″＝8t°， ∵PQ∥MN， ∴∠BAN＝45°＝∠ABQ， ∴∠ABQ′＝45°﹣2t°，∠BAM″＝∠M′AM″﹣∠M′AB＝8t°﹣15°， 当∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM″， ∴45﹣2t＝8t﹣15， ∴10t＝60， 解得t＝6； ②当7.5＜t＜13.125时，∠QBQ′＝2t°，∠NAM″＝8（t﹣7.5）°＝8t°﹣60°， ∴∠ABQ′＝45°﹣2t°，∠BAM″＝45°﹣（8t°﹣60°）＝105°﹣8t°， 当∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM″， 此时，45﹣2t＝105﹣8t， ∴6t＝60， 解得t＝10； 综上所述，射线AM再转动6秒或10秒时，射线AM、射线BQ互相平行． 34．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a﹣3）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）求a、b的值； （2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3b|+（a﹣3）2＝0， ∴a﹣3b＝0，且a﹣3＝0， ∴a＝3，b＝1； （2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行， ①当0＜t＜60时，3t＝（20+t）×1， 解得，t＝10； ②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°， 解得，t＝85； ③当120＜t＜160时，3t﹣360＝t+20， 解得，t＝190＞160，（不合题意）， 综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行； （3）∠BAC与∠BCD的数量关系不变，设灯A射线转动时间为t秒， ∵∠CAN＝180°﹣3t， ∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°， 又∵PQ∥MN， ∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t， 而∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°， ∴∠BAC：∠BCD＝3：2， 即2∠BAC＝3∠BCD． 35．如图1，点O在MN上，∠AOB＝90°，∠AOM＝m°，∠OCQ＝n°，射线OB交PQ于点C，已知m，n满足：|m﹣20|+（n﹣70）2＝0． （1）试说明MN∥PQ的理由； （2）如图2，OD平分∠AON，CF平分∠OCQ，直线OD、CF交于点E，则∠OEF＝　45　 °； （3）若将∠AOB绕点O逆时针旋转α（0＜α＜90°），其余条件都不变，在旋转过程中，∠OEF的度数是否发生变化？请说明你的结论． 【解答】解：（1）∵m，n满足：|m﹣20|+（n﹣70）2＝0， ∴m﹣20＝0，n﹣70＝0， ∴m＝20，n＝70， ∴∠MOC＝90°﹣∠AOM＝70°， ∴∠MOC＝∠OCQ＝70°， ∴MN∥PQ； （2）∵∠AON＝180°﹣∠AOM＝160°， 又∵OD平分∠AON，CF平分∠OCQ， ∴∠DON∠AON＝80°，∠OCF∠OCQ＝35°， ∵∠MOE＝∠DON＝80°， ∴∠COE＝∠MOE﹣∠MOC＝10°， ∴∠OEF＝∠OCF+∠COE＝35°+10°＝45°， 故答案为：45． （3）不变，理由如下： ①如图， 当0°＜α＜20°时， ∵CF平分∠OCQ， ∴∠OCF＝∠QCF， 设∠OCF＝∠QCF＝x， 则∠OCQ＝2x， ∵MN∥PQ， ∴∠MOC＝∠OCQ＝2x， ∵∠AON＝360°﹣90°—（180°﹣2x）＝90°+2x，OD平分∠AON， ∴∠DON＝45°+x， ∵∠MOE＝∠DON＝45°+x， ∴∠COE＝∠MOE﹣∠MOC＝45°+x﹣2x＝45°﹣x， ∴∠OEF＝∠COE+∠OCF＝45°﹣x+x＝45°； ②当α＝20°时，OD与OB共线，则∠OCQ＝90°， 由CF平分∠OCQ知，∠OEF＝45°； ③当20°＜α＜90°时，如图， ∵CF平分∠OCQ， ∴∠OCF＝∠QCF， 设∠OCF＝∠QCF＝x， 则∠OCQ＝2x， ∵MN∥PQ， ∴∠NOC＝180°﹣∠OCQ＝180°﹣2x， ∵∠AON＝90°+（180°﹣2x）＝270°﹣2x，OD平分∠AON， ∴∠AOE＝135°﹣x， ∴∠COE＝90°﹣∠AOE＝90°﹣（135°﹣x）＝x﹣45°， ∴∠OEF＝∠OCF﹣∠COE＝x﹣（x﹣45°）＝45°， 综上所述，∠EOF的度数不变． 36．如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝40°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，转至AM后停止旋转；射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后停止旋转．若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣4|+（b﹣1）2＝0． （ 1 ）a＝　4　 ，b＝　1　 ； （ 2 ）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直？ （3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线BQ转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 【解答】解：（1）|a﹣4|+（b﹣1）2＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣1＝0， ∴a＝4，b＝1， 故答案为：4，1； （2）设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直． 如图，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∵PQ∥MN， ∴∠ABQ+∠BAM＝180°， ∴∠OBQ+∠OAM＝90°， 又∵∠OBQ＝t°，∠OAM＝4t°， ∴t°+4t°＝90°， ∴t＝18（s）； （3）设射线BQ转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行． 如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×4＝72°， ①当M″到达MN前，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝4t°， ∵∠BAN＝40°＝∠ABQ， ∴∠MAB＝140°， ∴∠M'AB＝140°﹣72°＝68°， ∴∠ABQ'＝40°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝4t°﹣68°， 当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″， 此时，40°﹣t°＝4t°﹣68°， 解得t； ②当M″到达MN后，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝4t°﹣（180﹣72）°＝4t°﹣108°，∠BAM″＝40°﹣（4t°﹣108°）＝148°﹣4t°， ∵∠BAN＝40°＝∠ABQ， ∴∠ABQ'＝45＝0°﹣t°， 当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″， 此时，40°﹣t°＝148°﹣4t°， 解得t＝36； 综上所述，射线AM再转动秒或36秒时，射线AM、射线BQ互相平行． 1．已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝40°，则α＝　50　 °； （2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F． ①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA； ②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系． 【解答】解：（1）过点E作EF∥MN， 由题意可得：∠DEF＝∠NDE＝40°， ∵∠CED＝90°， ∴∠FEC＝90°﹣40°＝50°， ∵MN∥OB， ∴EF∥OB， ∴∠BCE＝∠FEC＝50°， ∵CE∥AO， ∴∠AOB＝∠BCE＝50°， 则α＝50°， 故答案为：50； （2）①∵DF∥OA， ∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°， ∵MN∥OB， ∴∠MDF＝∠DFC＝60°， ∵DF平分∠MDC， ∴∠CDF＝∠MDF＝60°， ∵∠CDE＝30°， ∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CDF＝∠DCE， ∴CE∥DF， ∵DF∥OA， ∴CE∥OA； ②∵CE∥OA， ∴∠ECB＝α， 由①可知，∠DCE＝60°， ∴∠DCB＝∠DCE+∠ECB＝60°+α， ∵MN∥OB， ∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α，∠DFC＝∠MDF， ∵， ∴， ∴． 2．已知直线PQ∥/直线MN，一副三角板（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACM．将三角板ABC绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（0≤t≤60）． （1）在旋转过程中，若边BG∥CE，如图②所示，则t＝　10　 秒． （2）若三角板ABC绕点B旋转的同时，三角板CDE绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边BG∥HK时t的值为　6或42　 秒． 【解答】解：（1）如图②中， ∵BG∥CD， ∴∠GBC＝∠DCM， ∵∠DCM＝∠ECM﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°， ∴∠GBC＝30°， ∴3t＝30， ∴t＝10s． ∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为10s． 故答案为：10； （2）如图，当BG∥HK时，延长KH交MN于R． ∵BG∥KR， ∴∠GBN＝∠KRM＝3t， 过点K作KT∥MN，则BG∥KT∥MN， ∴∠PEK＝∠EKT，∠KRM＝∠HKT， ∴∠PEK＝60°+2t，∠EKH＝∠EKT+∠TKH＝∠PEK+∠KRM＝90°， ∴∠KRM＝90°﹣（60°+2t）＝30°﹣2t， ∴3t＝30°﹣2t， ∴t＝6s． 如图，当BG∥HK时，延长HK交MN于R． ∵BG∥KR， ∴∠GMB＝∠KRN＝180°﹣3t， 过点K作KT∥MN，则PQ∥KT∥MN， ∴∠PEK+∠EKT＝180°，∠KRN＝∠TKR＝180°﹣3t， ∵∠PEK＝60°+2t， ∴∠EKT＝180°﹣60°﹣2t＝120°﹣2t， ∵∠EKR＝∠EKT+∠TKR＝120°﹣2t+180°﹣3t＝90°， ∴t＝42s． 综上所述，满足条件的t的值为6s或42s． 故答案为：6或42． 1．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°． （1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数； （2）如图③，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图④，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线EC的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出∠ACE所有可能的度数． 【解答】解：（1）过点G作GH∥DF，如图2所示： 依题意得：∠C＝90°，∠DFE＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°， ∴∠C+∠DFE＝90°+90°＝180°， ∴BC∥DF， 由平行线性质可知∠HGD＝∠D＝30°，∠BGH＝∠B＝45°， ∴∠BGD＝∠HGD+∠BGH＝30°+45°＝75°， （2）∠DEM﹣∠DPB＝30°，理由如下： 过点D作DH∥MN，如图3所示， ∵AB∥MN， ∴DH∥AB∥MN， ∴∠HDE＝∠DEM，∠HDP＝∠DPB， ∵∠HDE﹣∠HDP＝∠EDF，且∠EDF＝30°， ∴∠DEM﹣∠DPB＝30°； （3）∠ACE角度所有可能的值是135°或150°或60°或45°或15°，理由如下： 依题意有以下5种情况： ①当AB∥EC时，如图4①所示： 则∠ECB＝∠B＝45°， ∴∠ACE＝∠ACB+∠ECB＝90°+45°＝135°； ②当BC∥DE时，如图4②所示： 则∠ECB＝∠E＝60°， ∴∠ACE＝∠ACB+∠ECB＝90°+60°＝150°； ③当AC∥DE时，如图4③所示： 则∠ACE＝∠E＝60°； ④当AB∥CD时，如图4④所示： 则∠DCB＝∠B＝45°， ∴∠ECB＝45°， ∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°； ⑤当AB∥DE时，设BC于DE交于点T，如图4⑤所示： 则∠ETC＝∠B＝45°， ∴∠ECT＝75°， ∴∠AEC＝90°﹣75°＝15°． 综上所述：∠ACE角度所有可能的值是135°或150°或60°或45°或15°． 2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°． （1）填空：∠1与∠3的数量关系：　∠1＝∠3　 ；理由是 　同角的余角相等　 ； （2）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　∠2+∠ACB＝180°　 ； （3）如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当BE∥AD时．画出图形，并求出∠ACE的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值． 【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3（同角的余角相等）， 故答案为：∠1＝∠3，同角的余角相等； （2）∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠2＝180 ∵∠1+∠2+∠3＝∠ACB， ∴∠2+∠ACB＝180°， 故答案为：∠2+∠ACB＝180°； （3）①如图3，当BE∥AD时，作CF∥AD， ∵BE∥AD，CF∥AD， ∴BE∥AD∥CF， ∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°， ∴∠DCE＝∠D+∠E＝30°+45°＝75°， ∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°； ②存在， 如图4，当BC∥AD时，∠DCB＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝30°； 如图5，当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°； 如图6，当AD∥CE时，∠DCE＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝90°+30°＝120°； 如图7，当BE∥CD时，∠DCE＝∠E＝45°， ∴∠ACE＝90°+45°＝135°． 综上，①如图3，∠ACE＝165°；②存在，当BC∥AD时，∠ACE＝30°；当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°；当AD∥CE时，∠ACE＝120°；当BE∥CD时，∠ACE＝135°． 3．已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF＝α． （1）如图1，若α＝80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数； （2）如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，，，∠DFM＝20°，求∠ENF的度数；（结果可用含α的式子表示） （3）如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分∠AEM交FP于点G，2∠ENF+∠EMF＝110°，求∠CFN的度数． 【解答】解：（1）如图，过M作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥AB∥CD， ∴∠BEM＝∠NME，∠DFM＝∠NMF， ∵∠EMF＝α＝80°， ∴∠NME+∠NMF＝80°， ∴∠BEM+∠DFM＝80°； （2）∵，∠DFM＝20°， ∴∠MFN＝10°，∠DFN＝30°， ∵∠BEM+∠DFM＝α， ∴∠BEM＝α﹣20°， ∵， ∴∠MEN＝3∠BEM＝3α﹣60°， ∴∠EGF＝∠BEM+∠DFG＝α﹣20°+30°＝α+10， ∴∠EGN＝180°﹣∠EGF＝170°﹣α， ∴∠ENF＝180°﹣∠MEN﹣∠EGN ＝180°﹣（3α﹣60°）﹣（170°﹣α） ＝70°﹣2α； （3）方法一：∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α， ∴， （Ⅰ）如图3，当时， 设∠PFN＝x，则∠CFP＝2x＝∠DFM，∠CFN＝3x， ∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α， ∴∠BEM＝α﹣2x， ∴∠AEM＝180°﹣α+2x， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∴∠1＝180°﹣∠ENF﹣∠NFP， ∵∠1+∠2＝180°， ∴， ∵∠2+∠MEN+∠EMF＝180°， ∴， 解得x＝17.5°， ∴∠CFN＝3x＝52.5°； （Ⅱ）如图4，当时， 设∠CFP＝x，则∠PFN＝2x，∠CFN＝3x， ∴∠DFM＝∠CFP＝x， ∵∠MFD+∠BEM＝α， ∴∠BEM＝α﹣x， ∴∠AEM＝180°﹣α+x， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∵∠ENF+∠NFP+∠1＝180°， ∴， ∴， ∵∠2+∠MEN+∠EMF＝180°， ∴， 解得x＝14°， ∴∠CFN＝3x＝42°； 综上，∠CFN的度数为52.5°或42°． 方法二：设∠CFN＝x， （Ⅰ）如图3，当时， ∴， ∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α， ∴， ∴， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∴∠2＝180°﹣∠EMF﹣∠MEN， ∵∵∠1+∠2＝180°， ∴， ∴， ∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α， 即， 解得x＝52.5°， 即∠CFN＝52.5°； （Ⅱ）如图4，当时， ∴， ∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α， ∴， ∴， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∴， ∵∠1+∠2＝180°， ∴， ∴， ∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α， 即， 解得x＝42°， 即∠CFN＝42°； 综上，∠CFN的度数为52.5°或42°． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $