专题02特殊三角形（期末知识清单，含21常考5技巧题型清单）八年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学“特殊三角形”专题知识清单系统整合了轴对称、等腰三角形、等边三角形、直角三角形及勾股定理等11个核心知识模块，构建了从概念定义到性质判定再到综合应用的递进式学习支架，配套21类典型题型与5大解题方法。 清单采用“知识清单+题型变式+方法总结”三维架构，如等腰三角形“三线合一”性质标注证明规范写法，折叠问题设计多层变式训练，勾股定理提供三种验证方法，培养学生几何直观与推理意识。特别设置“构造等腰三角形”等方法清单，助力学生形成解题模型，既方便学生自主梳理知识，也为教师教学提供精准资源支持。

专题02 特殊三角形（11知识&21题型&5方法清单） 【清单01】 轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 【清单02】 轴对称的性质 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【清单03】 等腰三角形的概念 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 【清单04】 等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 【清单05】 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 【清单06】 等边三角形的概念 （1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 【清单07】直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质 【清单08】 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 【清单09】 直角三角形的判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 【清单10】 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 【清单11】 勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【题型一】轴对称图形的识别 【例1】（25-26八年级上·广西南宁·月考）下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·河北·期中）下列图形中是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·月考）下列常见的运动图标是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【题型二】轴对称的性质 【例2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，点D 为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（    ） A．14 B．15 C．19 D．23 【变式2-1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在△中，，，△与△关于直线对称，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·吉林·期中）如图，与关于直线对称，E、F、G是线段上的任意三点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点_______，点的对称点是点______； (2)若，则_______． (3)写出两组相等的线段． 【题型三】折叠问题 【例3】（25-26七年级上·江苏南京·月考）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，在，上各取一点连成的虚线，沿该虚线剪去一个角，剩余部分展开铺平后得到的图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，连接交于F，再将三角形沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）将一张纸如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕，若，则的度数是 ．（用表示） 【变式3-4】（25-26八年级上·广西崇左·月考）折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点B，C分别落在点，的位置，在上，再沿折叠，点落在点位置，点在上，若，则 °． 【题型四】等腰三角形的定义 【例4】（25-26八年级上·福建莆田·月考）一个等腰三角形两边长分别为6，3，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．12或15 D．15或18 【变式4-1】（25-26八年级上·海南海口·月考）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（   ） A． B． C． D．或 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 【变式4-3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则另两边的长是（    ） A．4与4 B．6与6 C．4与8 D．6与6或4与8 【题型五】等边对等角 【例5】（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，E为边上一点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图， ，点D 在边上，若，则的度数为 ． 【题型六】等腰三角形的三线合一 【例6】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【变式6-1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，，则的面积为（   ） A．10 B．16 C．20 D．25 【变式6-2】（25-26八年级上·北京·月考）已知：如图，在中，，为的中点，于点，交于点．连接，若．求证：． 【题型七】等腰三角形的性质 【例7】（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，的平分线交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．点一定在的垂直平分线上 D．是轴对称图形 【变式7-1】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论中正确的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④过点作于点，若，则． A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式7-2】（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为14，，求的长． 【题型八】等边三角形的性质 【例8】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式8-1】（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图，和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接 (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式8-2】（25-26八年级上·广东汕头·月考）如图，为等边三角形，D、E分别是、上的点，且，与相交于点F． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点C作于点H，若，，求的长度． 【题型九】等腰三角形的判定 【例9】（25-26八年级上·天津·期中）如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【变式9-1】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，平分，过点A作交于点D，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【变式9-2】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 【变式9-3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【题型十】等边三角形的判定 【例10】（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点，，测得，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【变式10-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，E为的边延长线上的一点，，．求证：是等边三角形． 【变式10-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，平分交于点，延长至点，连接，若，，．求证：是等边三角形． 【变式10-3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证；是等边三角形． 【题型十一】逆命题与逆定理 【例11】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 【变式11-1】（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式11-2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果两个数互为倒数，那么它们的乘积等于1”的逆定理是： ． 【变式11-3】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等角的补角相等” (填“有”或“没有”)逆定理． 【题型十二】直角三角形的两锐角互余 【例12】（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则 ， ，是 三角形． 【变式12-3】（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，中，，是的垂直平分线，，求的度数． 【题型十三】斜中定理 【例13】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，，为的中点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【变式13-2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 【变式13-3】（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在△中，，，，垂足分别为、，且点是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【题型十四】用勾股定理解直角三角形 【例14】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）在中，，是斜边上的高，，，则的长为 ． 【变式14-1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，点D在的边上，已知，则的面积为 ． 【变式14-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，点是边长为的等边边上一点，，垂足为，，垂足为，则 ． 【题型十五】勾股数问题 【例15】（25-26八年级上·广东清远·月考）下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．7， 8，9 B．1， 1， 2 C．9， 12， 15 D．2， 3，4 【变式15-1】（25-26八年级上·江苏常州·期中）当n为正整数时，下列各组数：①，，；②5，6，7；③，，，其中是勾股数的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【变式15-2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 【变式15-3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 【题型十六】勾股定理的证明 【例16】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图：在和中，，，，，，试利用图形证明勾股定理． 【变式16-1】（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【变式16-2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 【变式16-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，以的斜边为直角边作等腰直角三角形，再作，交的延长线于点E．请利用面积相等证明勾股定理． 【题型十七】勾股定理的应用 【例17】（25-26八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端，并测得绳子末端距离打结处，则旗杆的高度为 【变式17-2】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是 尺． 【变式17-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）小东和小毅在课后复习时，对课本P93“目标与评定”中的一道题，进行了认真地探索．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)小东顺利完成了此题的解答，请写出他的完整解答过程； (2)看了小东解答后，小毅又有了如下思考：梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？他是这样想的，当时，……请帮助小毅把完整解题过程写下来． 【题型十八】用勾股定理求最短路径问题 【例18】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，圆柱底面周长为20，高为12，是底面圆的直径，点C是的中点．现有一只蚂蚁从点C爬到上顶点D，则蚂蚁所走的最短路径为（ ） A．2 B．13 C．17 D．22 【变式18-1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ． 【变式18-2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）国庆节前，某企业准备用彩带把大门口的柱子装扮一下．如图，柱子底面圆的直径为，高，若彩带从点顺着圆柱侧面绕4圈到点（，分别是圆柱两底面圆周上的点），则需要彩带的长度最短为 ． 【变式18-3】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【题型十九】用勾股定理逆定理求解 【例19】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【变式19-1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，，，，，，请你连接．求： (1)的长； (2)四边形的面积． 【变式19-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，且．求四边形的面积． 【题型二十】勾股定理逆定理的应用 【例20】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图所示，四边形是某公园的平面示意图：经测量，桂花园在入口的正南方向处，入口在桂花园的正东方向处，玫瑰园与入口相距，玫瑰园与入口相距．求该公园的面积． 【变式20-1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 【变式20-2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，C，其中，由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AB的长． 【题型二十一】用HL证明直角三角形全等 【例21】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为 ． 【变式21-1】（25-26八年级上·湖南株洲·月考）在中，，D为的中点，于点E，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式21-2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，点是边的中点，点、分别在边、上，且，连接． (1)如图1，是等腰直角三角形，，，求证：； (2)如图2，，是等边三角形，，求证：； 【变式21-3】（25-26八年级上·福建福州·期中）在中，，于点，的平分线于点，交于点，是的中点，连接交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【题型一】手拉手模型 【例1】（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．有四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（25-26八年级上·陕西商洛·月考）【发现问题】 （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一条直线上时，连接． 填空： ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为__________________； 【拓展研究】 （2）如图2，和均为等腰三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （3）如图3，点，分别在边，上，和均为等边三角形，绕点顺时针旋转（），当点，，不在同一条直线上时，设直线与相交于点，探索的度数，请直接写出结果，不必说明理由． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）已知是等腰直角三角形，，点A在x轴的负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1，若点A的坐标是，点B的坐标是，过点C作轴于点H，则线段______，点C的坐标为______； (2)如图2，过点C作轴于点D，请猜想线段之间的等量关系并写出证明过程； (3)如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于点F，请直接写出与之间的等量关系． 【题型二】利用将军饮马求最短路径问题 【例2】（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，在中，，，的面积为6，D、E、F分别是、、边上的动点，连接，，，则的最小值是 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为 ． 【变式2-4】（25-26八年级上·北京·月考）如图，点P是内一定点，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，当周长取得最小值时， ． 【题型三】等腰三角形与解析几何 【例3】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中．已知、分别在坐标轴的正半轴上． (1)如图1．若、满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角三角形．求___________，___________，点的坐标为___________． (2)如图2．若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：： (3)如图3，设，的平分线过点，请问的值是否为定值，请说明理由． 【变式3-1】（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，． (1)求证：； (2)如图2，点C的坐标为，点E为上一点，且，求的长； (3)在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【题型四】等边三角形与解析几何 【例4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，点B在第一象限，为等边三角形，点P在线段上，且点P不与点B重合，，作于点H，点C在线段上，． (1)求点B的横坐标； (2)过点C作的垂线交线段于点Q，求的长，并直接写出相应的t的取值范围： (3)在（2）的条件下，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，当时，求t的值． 【变式4-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图①，已知点是的垂直平分线上的一点，为轴上的一点，． (1)若，求的坐标； (2)在（）的条件下，求证：； (3)如图②，若点是的垂直平分线上的一点，的坐标为，求的值． 【题型五】直角三角形与解析几何综合 【例5】（25-26八年级上·河北唐山·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，． (1)点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的正半轴上，且． ①求证：； ②求的值． (2)点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的负半轴上，且，求的值． 【变式5-1】（23-24八年级上·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． (1)若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； (2)如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 【变式5-2】（24-25八年级上·天津和平·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，，且于点，．则点的坐标为________： （2）如图2，在平面直角坐标系中，于点，，点的坐标为，则点的坐标为________； （3）如图3，点A在轴上，点在轴上，且，点在轴的负半轴上，连接，作于点，并且，连接交轴于点，请猜想线段与线段的数量关系，并进行证明； （4）如图4，点的坐标为，轴于点，在直线上有一动点，连接，在轴上方作于点，并且，连接，线段平行于轴，连接，线段交坐标轴于点，当时，直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊三角形（11知识&21题型&5方法清单） 【清单01】 轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 【清单02】 轴对称的性质 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【清单03】 等腰三角形的概念 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 【清单04】 等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 【清单05】 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 【清单06】 等边三角形的概念 （1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 【清单07】直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质 【清单08】 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 【清单09】 直角三角形的判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 【清单10】 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 【清单11】 勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【题型一】轴对称图形的识别 【例1】（25-26八年级上·广西南宁·月考）下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，判断图形是否为轴对称图形是解题的关键． 首先根据轴对称图形的定义，依次判断每个选项中图形是否为轴对称图形，最终找出符合条件的选项即可． 【详解】解：对于选项A、B、D：不能找到一条直线，使得汉字沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 对于选项C：能找到一条直线，使得汉字沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·河北·期中）下列图形中是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·月考）下列常见的运动图标是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 【题型二】轴对称的性质 【例2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，点D 为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（    ） A．14 B．15 C．19 D．23 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，线段的和差，熟知轴对称的性质是解题的关键． 先根据轴对称的性质得出，，再由，可得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在△中，，，△与△关于直线对称，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：由题知， ，且， ， ． 又△与△关于直线对称， ，， ． 故选：C． 【变式2-2】（25-26八年级上·吉林·期中）如图，与关于直线对称，E、F、G是线段上的任意三点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，将阴影部分的面积转化为的面积，再结合及的长进行计算即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，，， 阴影部分的面积可转化为的面积． ，， ， ， 即图中阴影部分的面积是 故答案为： 【变式2-3】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点_______，点的对称点是点______； (2)若，则_______． (3)写出两组相等的线段． 【答案】(1)， (2)45° (3)，．（答案不唯一） 【分析】本题考查了图形成轴对称的定义及性质，根据轴对称的性质即可判断，掌握图形成轴对称的定义及性质是解题的关键． （1）观察图形，根据轴对称的性质即可求解； （2）观察图形，根据轴对称的性质即可求解； （3）根据轴对称的性质即可求解； 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴点的对称点是点，点的对称点是点 故答案为：，． （2）解：∵与关于直线对称， ∴，则45° （3）解：，．（答案不唯一） 【题型三】折叠问题 【例3】（25-26七年级上·江苏南京·月考）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，在，上各取一点连成的虚线，沿该虚线剪去一个角，剩余部分展开铺平后得到的图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查“折叠图形”，根据折叠的方式判断出正方形内部图形的对称性是解题关键． 根据折叠方式，可判断正方形内的图形既关于正方形的对角线对称，又关于经过正方形对边中点的直线对称，根据特征判断选项即可． 【详解】解：根据折叠方式，判断出是正方形的对角线的一部分，是正方形一边的中点，为过正方形对边中点的直线， 故正方形内的图形既关于正方形的对角线对称，又关于经过正方形对边中点的直线对称， 其中，选项A，B，C均满足该特征， 选项D不满足该特征， 故选：． 【变式3-1】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，连接交于F，再将三角形沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键． 根据折叠的性质可得，由角平分线的定义可得，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案． 【详解】解：由折叠可知，， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式3-2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质与三角形周长计算，运用折叠全等思想，关键是利用折叠后对应边相等转化线段，易错点是折叠后线段对应关系混淆；思路是根据折叠性质得、，将的周长转化为，代入边长计算． 【详解】解：沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为， ∵，，， ∴，， （）， 的周长（）， 故选：B． 【变式3-3】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）将一张纸如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕，若，则的度数是 ．（用表示） 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质（折叠前后对应角相等）与平角的定义，涉及知识点：折叠的全等性、平角为．解题方法是利用折叠得角相等，结合平角关系推导；解题关键是识别折叠后的对应角，易错点是忽略平角的限制条件．解题思路：由折叠得、，结合，利用平角关系求． 【详解】由折叠性质，，． ∵， ∴． 又，， ∴． ∴． 故答案为． 【变式3-4】（25-26八年级上·广西崇左·月考）折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点B，C分别落在点，的位置，在上，再沿折叠，点落在点位置，点在上，若，则 °． 【答案】 【分析】设，，由折叠的性质可得和，进而证得，根据和可得和，进而得到，在中，根据三角形的内角和为，列出方程，解出、的值即可． 【详解】解：设，， 由折叠得：、， , ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质、平行线的性质、矩形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质和角与角之间的关系是解题的关键． 【题型四】等腰三角形的定义 【例4】（25-26八年级上·福建莆田·月考）一个等腰三角形两边长分别为6，3，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．12或15 D．15或18 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义、三角形的三边关系的应用等知识点，分类讨论是解本题的关键．分两种情况讨论：①当3为底时，其它两边都为6，②当3为腰时，其它两边为3和6，再结合三角形的三边关系作答即可． 【详解】解：①当3为底时，其它两边都为6， 由，则3、6、6可以构成三角形，此时三角形的周长为； ②当3为腰时，其它两边为3和6， ∵， ∴不能构成三角形，故舍去， ∴这个等腰三角形的周长为15． 故选B． 【变式4-1】（25-26八年级上·海南海口·月考）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理. 分情况讨论这个的角是顶角还是底角． 【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为； 若的角是底角，则顶角是； 综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：①当腰长是3时，则底边长为9，不符合构成三角形的条件，②当底边为3时，则腰长为6，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的腰长． 【详解】解：等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3， 有以下两种情况： ①当腰长是3时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为：3，3，9， ，不符合构成三角形的条件； ②当底边为3时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为：6，6，3， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：该等腰三角形的腰长为6， 故选：． 【变式4-3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则另两边的长是（    ） A．4与4 B．6与6 C．4与8 D．6与6或4与8 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分情况讨论边长为4的是腰或底边，并结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）进行验证． 【详解】解：由题意，当边长为4的边为腰时，三角形的底边为， 但，不能构成三角形，不符合题意； 当边长为4的边为底边时，则等腰三角形的腰长为； 故另两边的长是6与6； 故选：B． 【题型五】等边对等角 【例5】（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，E为边上一点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，解题的关键是证明．根据等腰三角形的性质求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式5-1】（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握相关性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质可以求出，由折叠的性质可得，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 故选：C． 【变式5-2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图， ，点D 在边上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形性质，等腰三角形判定及性质，三角形内角和定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据题意可知，利用等腰三角形性质可知，通过即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型六】等腰三角形的三线合一 【例6】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 【变式6-1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，，则的面积为（   ） A．10 B．16 C．20 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了三角形面积的计算，利用全等求高是解答本题的关键．作，垂足为E，作，交的延长线于点F，先根据等腰三角形的性质得，再证明，得，即可求的面积． 【详解】解：由题意，作，垂足为E，作，交的延长线于点F，如图： 是等腰三角形的中线， ， 的面积为：． 故选：D． 【变式6-2】（25-26八年级上·北京·月考）已知：如图，在中，，为的中点，于点，交于点．连接，若．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一． 延长至，使，连接，则，证明， 得到，又，所以，再根据等腰三角形三线合一即可得出结论 【详解】证明：如图，延长至，使，连接，则， 为中点， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即． 【题型七】等腰三角形的性质 【例7】（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，的平分线交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．点一定在的垂直平分线上 D．是轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、垂直平分线的判定及轴对称图形的概念，解题关键是利用等腰三角形的性质推导各角的度数和线段关系． 先由得；再由平分得，推导各角、线段关系，结合垂直平分线判定、轴对称图形定义分析选项即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， 故A选项正确； ， ， 点在的垂直平分线上， 故C选项正确； ， 是等腰三角形， 是轴对称图形， 故D选项正确； 在中 ， 又， ， 故B选项不正确． 故选B． 【变式7-1】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论中正确的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④过点作于点，若，则． A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．①过点作于点，根据等腰直角三角形和全等三角形判断；③利用角平分线的性质判断；②过点作交延长线于点，根据全等三角形判断；④在上取，垂直平分线的性质，以及等腰三角形和全等三角形判断． 【详解】解：①如图，过点作于点， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ，①结论正确； ③，，， ，③结论正确； ②如图，过点作交延长线于点， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，②结论错误； ④如图，在上取，则， ，， ， ，， ， ，， 若，则， 又，， ， ， ， 即，题干中缺少这一条件，④结论错误； 故选：A． 【变式7-2】（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为14，，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据于点D，，可得，从而得到，从而得到，再由线段垂直平分线的性质，可得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质，即可求解； （2）根据题意可得，再由三角形的周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∵ ∴在中， ∵垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， 且的周长为14， ∴， ∴ 即 ∴． 【题型八】等边三角形的性质 【例8】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∴的周长． ∵， ∴的周长为． 故选：A． 【变式8-1】（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图，和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接 (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的边和角的特征，以及利用判定三角形全等是解题的关键． （1）通过等边三角形的性质得到对应边相等、对应角相等，再推导出差角相等，利用证明三角形全等； （2）借助全等三角形的性质得到对应边相等，结合等边三角形的边长关系，计算得出的长度． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ． 即， 在与中，   ， （）； （2）解：由（1）， ． 是等边三角形， ． ． 【变式8-2】（25-26八年级上·广东汕头·月考）如图，为等边三角形，D、E分别是、上的点，且，与相交于点F． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点C作于点H，若，，求的长度． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明≌，得到，进而解题； （2）证明，进而结合全等三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质解题． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ∴≌， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵≌， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【题型九】等腰三角形的判定 【例9】（25-26八年级上·天津·期中）如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即；再根据等边对等角即可证明结论； （2）先求得，再证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，       ∵， ∴， ∴，， ∴，     ∵， ∴，    ∴，        ∴是等腰三角形． （2）解∶ ∵，， ∴，                  ∵，， ∴是等边三角形，    ∴． 【变式9-1】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，平分，过点A作交于点D，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则根据平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ∵， ， ， ∴， 为等腰三角形． （2）解：，， ， ∵， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【变式9-2】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式9-3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【题型十】等边三角形的判定 【例10】（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点，，测得，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，三角形形状的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 先根据平行线的性质得出，，求出，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，根据题意可得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴为等边三角形． 故选：C． 【变式10-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，E为的边延长线上的一点，，．求证：是等边三角形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质证明角相等是解题的关键．根据平行线的性质证明结合已知条件证明三角形的三个内角都相等即可． 【详解】证明：∵， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【变式10-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，平分交于点，延长至点，连接，若，，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质等知识，根据等边对等角得出，，根据三角形外角的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据等角对等边得出，然后根据等边三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形． 【变式10-3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证；是等边三角形． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证，再根据全等三角形对应边相等即可； （2）先证，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求解； （3）利用有一个是的等腰三角形是等边三角形即可求解． 【详解】（1）证明：与都是等边三角形， ， ， ， ； （2）由（1）知， ， ， ， ， （3）由（2）知，， 为等边三角形． 【题型十一】逆命题与逆定理 【例11】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．原定理的条件是“等腰直角三角形”，结论是“两个锐角都是”，逆定理需将条件和结论互换．逆定理是原命题的条件与结论互换，需严格对应． 【详解】解：∵ 原定理：若三角形是等腰直角三角形，则两个锐角都是． ∴ 逆定理：若两个锐角都是，则三角形是等腰直角三角形． 故选：A． 【变式11-1】（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式11-2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果两个数互为倒数，那么它们的乘积等于1”的逆定理是： ． 【答案】如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数 【分析】本题考查了逆定理．逆定理是将原定理的条件和结论互换，原定理的条件是“两个数互为倒数”，结论是“它们的乘积等于1”，因此逆定理是“如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数” ． 【详解】解：根据逆定理的定义，将原命题“如果，那么”中的条件和结论互换，得到逆命题“如果，那么”． 这里是“两个数互为倒数”，是“它们的乘积等于1”， 所以逆定理为“如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数”． 故答案为：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数． 【变式11-3】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等角的补角相等” (填“有”或“没有”)逆定理． 【答案】有 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”．根据等式的性质即可得出其逆命题成立，即可求解． 【详解】解：定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”． 设两个角分别为和，它们的补角分别为和． 若补角相等，即，根据等式的性质，可得， 因此逆命题成立．故有逆定理． 故答案为：有 【题型十二】直角三角形的两锐角互余 【例12】（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D． 【变式12-1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：选项A： ∵，且， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项A不符合题意； 选项B： ∵，，， ∴中最大的角为， ∴不是直角三角形， 故选项B符合题意； 选项C： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， 故选项C不符合题意； 选项D： ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项D不符合题意． 故选：B． 【变式12-2】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则 ， ，是 三角形． 【答案】 直角三角形 【分析】题考查了三角形内角和定理及直角三角形的判定．利用三角形内角和定理，设为未知数，根据已知条件表示和，列方程求解 【详解】解：在中，． 已知，， 代入得：， 即， 解得． 则． 由于，因此是直角三角形． 故答案为：，，直角三角形． 【变式12-3】（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，中，，是的垂直平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由已知条件得出是正确解答本题的关键． 由是的垂直平分线得，从而得到，结合与直角三角形两锐角互余，可以得到答案． 【详解】解∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 【题型十三】斜中定理 【例13】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，，为的中点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角定理，直角三角形的性质；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，推出，再由三角形的外角定理得，即可求解. 【详解】解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴. 故选：D. 【变式13-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据，是边上的中线，则，从而求解，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式13-2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求得是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，取的中点，连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半，推导出，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ，． 如图，取的中点，连接， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式13-3】（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在△中，，，，垂足分别为、，且点是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一． （1）根据垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到； （2）根据三线合一可知点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：，， ， 是的中点， ， ∴； （2）解：，， 点是的中点， ， ， ， 的周长． 【题型十四】用勾股定理解直角三角形 【例14】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）在中，，是斜边上的高，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先求出，再借助面积求出，最后用勾股定理求出结论即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 是斜边上的高， 在中，， 故答案为：． 【变式14-1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，点D在的边上，已知，则的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及三角形中线的性质等知识，掌握这些知识是关键． 过点C作于点E，由勾股定理及等腰三角形的性质求得，进而求得的面积，再由三角形中线平分三角形面积即可求得的面积． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为：24． 【变式14-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，点是边长为的等边边上一点，，垂足为，，垂足为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算方法等知识． 连接，作交于点，由，得，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出的长即可得到答案，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接，作交于点， 则， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型十五】勾股数问题 【例15】（25-26八年级上·广东清远·月考）下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．7， 8，9 B．1， 1， 2 C．9， 12， 15 D．2， 3，4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故7，8，9不是勾股数，不符合题意； B、，故1，1，2不是勾股数，不符合题意； C、，故9，12，15是勾股数，符合题意； D、，故2，3，4不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 【变式15-1】（25-26八年级上·江苏常州·期中）当n为正整数时，下列各组数：①，，；②5，6，7；③，，，其中是勾股数的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数：两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：①：∵， ∴①是勾股数． ②：∵，，， ∴②不是勾股数． ③：∵，，∴， ∴③是勾股数． 综上，是勾股数的有①和③． 故选C． 【变式15-2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了“勾股树”---勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理与面积之间的转化． 由勾股定理得，，，，则，，，然后进行面积代换相加求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 【变式15-3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 【答案】(1)40，41；48，50 (2)见解析 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键： （1）观察可知a为奇数时，后2个数为连续的整数，得到，列出方程进行求解即可；为偶数时，，列出方程进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行求解即可． 【详解】（1）（1）观察可知a为奇数时，， ∴，解得， 故9，40，41是一组勾股数， 为偶数时，， ∴，解得； 故14，48，50是一组勾股数； （2）证明∶，， 则， ∵n为正整数，且， ∴a、b、c都是正整数， ∴a，b，c是勾股数组． 【题型十六】勾股定理的证明 【例16】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图：在和中，，，，，，试利用图形证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质以及利用等面积法证明勾股定理． 先证明，可得，从而得到，再根据图形的面积解答即可． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由题意可得，， 直角梯形的面积为 则， 化简可得，，即可求证． 【变式16-1】（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)；； (2)① (3)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，图形的面积计算，代数恒等变形，用两种方法表示图形面积是解题关键． （1）明确大正方形面积的两种表示方法，通过面积相等建立等式，化简后得到勾股定理； （2）判断图形能否用面积法证明勾股定理，核心是能否用两种方式表示图形面积，进而推导出； （3）图4的图形类型为梯形，用梯形面积公式和“两个直角三角形+一个小三角形”的面积和建立等式，化简得到勾股定理． 【详解】（1）解：大正方形可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 故大正方形的面积可表示为， 大正方形边长为， 大正方形面积也可表示为， ， 化简得． 答：；；． （2）解：图①可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 其面积为， 图①是边长为的正方形， 其面积也可以表示为， ， 化简得， 故图①可证明勾股定理． 图②、③无法由两种面积表达方式推导出勾股定理． 答：①． （3）证明：图4可拆分为2个直角边长分别为，的直角三角形和一个直角边为的等腰直角三角形， 图4的面积可表示为， 图4是上底为，下底为，高为的梯形， 图4的面积也可表示为， ， 化简得． 【变式16-2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明，再根据梯形的面积，，四边形的面积，四边形的面积梯形的面积 的面积，即可推出结论； （2）设边上的高为，根据割补法求出的面积，再利用的面积可求出结果； （3）由勾股定理得，，再结合列方程求解即可． 【详解】（1）证明：把两个全等的直角和如图2放置， ， 又， ， ， 即， 梯形的面积，， 四边形的面积 ， ∵四边形的面积梯形的面积 的面积， ∴ ∴． （2）解：①：设边上的高为， 由勾股定理得，， 的面积， 的面积， ， 即边上的高为， 故答案为：； ②如图， 在中，，，，， 由勾股定理得，， ， 又∵， ∴， ， ． 答：边上的高为． 【变式16-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，以的斜边为直角边作等腰直角三角形，再作，交的延长线于点E．请利用面积相等证明勾股定理． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查勾股定理的证明，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理的证明解答即可． 【详解】证明：， 是直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ，， ， ，，， ， ，， ， ， ， 四边形是梯形， 梯形中，，， ， 等腰直角三角形中，， ， ，， ， ， ． 【题型十七】勾股定理的应用 【例17】（25-26八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 【变式17-1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端，并测得绳子末端距离打结处，则旗杆的高度为 【答案】9 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，设出未知数，由勾股定理列出方程是关键；设旗杆的高度为，则可表示出绳子的长度，由勾股定理即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 由勾股定理得：， 解得：， 所以旗杆的高度为； 故答案为：9． 【变式17-2】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 先求出尺，设尺，则芦苇的高度尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇， ∴尺， 设尺，则芦苇的高度尺， ∴， ， 解得：， 即芦苇的高度尺． 故答案为：． 【变式17-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）小东和小毅在课后复习时，对课本P93“目标与评定”中的一道题，进行了认真地探索．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)小东顺利完成了此题的解答，请写出他的完整解答过程； (2)看了小东解答后，小毅又有了如下思考：梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？他是这样想的，当时，……请帮助小毅把完整解题过程写下来． 【答案】(1)解答过程见详解 (2)解答过程见详解 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用． （1）根据题意利用勾股定理得出的长度，再根据已知长度得出的长度，紧接着继续利用勾股定理得出的长度，进而求得点B将向外移动的距离； （2）根据全等三角形的性质得到，，进而得出，设米，根据勾股定理列出方程求解x的值，此时当米时，梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 【详解】（1）解：由题意知，在中，由勾股定理得，（米）， ∵在移动的过程中，为定值，米， ∴（米）， ∴在中，由勾股定理得，（米）， ∴（米）， 即点B将向外移动0.8米． （2）解：当时，，， ∴，即， 设米，由勾股定理得， ， 解得：，（舍去）， 当米时，即梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 【题型十八】用勾股定理求最短路径问题 【例18】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，圆柱底面周长为20，高为12，是底面圆的直径，点C是的中点．现有一只蚂蚁从点C爬到上顶点D，则蚂蚁所走的最短路径为（ ） A．2 B．13 C．17 D．22 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题． 画出展开图，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ∵圆柱底面周长为20，高为12， ∴，， 根据勾股定理可得． 故选：B． 【变式18-1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ． 【答案】5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：5米． 【变式18-2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）国庆节前，某企业准备用彩带把大门口的柱子装扮一下．如图，柱子底面圆的直径为，高，若彩带从点顺着圆柱侧面绕4圈到点（，分别是圆柱两底面圆周上的点），则需要彩带的长度最短为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用-路径最短问题，熟练掌握知识点是解题的关键．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，圆柱的侧面展开图如图所示： 用一根彩带从A顺着圆柱侧面绕4圈到B的运动最短路线是， ∵柱子底面圆的直径为，高， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：20． 【变式18-3】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解； （2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 【题型十九】用勾股定理逆定理求解 【例19】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 【变式19-1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，，，，，，请你连接．求： (1)的长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理得出即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：如图， ，，， ； （2）解：，， ， 是直角三角形， ， 在中，， 在中，， ． 【变式19-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，且．求四边形的面积． 【答案】18.5 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得，则有是直角三角形，即，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴． 【题型二十】勾股定理逆定理的应用 【例20】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图所示，四边形是某公园的平面示意图：经测量，桂花园在入口的正南方向处，入口在桂花园的正东方向处，玫瑰园与入口相距，玫瑰园与入口相距．求该公园的面积． 【答案】该公园的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，先根据勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据计算，即可求解． 【详解】解：由题意得，，，，． 在中，． ，， ， 是直角三角形，， 答：该公园的面积为． 【变式20-1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 【答案】空地的面积是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由勾股定理得米，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：连接， 在中，米，米，米，米， （米）， ， ， 是直角三角形，且， 答：空地的面积是. 【变式20-2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，C，其中，由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AB的长． 【答案】(1)为从村庄A到河边最近的路，见解析 (2)千米 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是从村庄A到河边最近的路，理由如下：     ∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴，即， ∴为从村庄A到河边最近的路； （2）解：设千米， ∵， ∴千米， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴的长为千米． 【题型二十一】用HL证明直角三角形全等 【例21】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为 ． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 【变式21-1】（25-26八年级上·湖南株洲·月考）在中，，D为的中点，于点E，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）证明为等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵于点E，于点F， ∴， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【变式21-2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，点是边的中点，点、分别在边、上，且，连接． (1)如图1，是等腰直角三角形，，，求证：； (2)如图2，，是等边三角形，，求证：； 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质；解题的关键是通过构造辅助线实现线段或角的转化，从而构造全等三角形；易错点在于辅助线的合理添加以及图形变换后对应关系的准确识别． （1）在等腰直角三角形中，利用中点构造全等三角形，将分散的线段或角集中到同一个三角形中，结合垂直条件推导角度关系； （2）在等边三角形中，利用三线合一以及角平分线上的点到两边距离相等，构造全等三角形，通过证明三角形全等得到对应边相等． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，点是边的中点 ∴， 又∵在四边形中， ， ∴ 又∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ （2） 连接，过点作于，过点作于 ∵点是边的中点，是等边三角形， ∴平分 ∴ 又∵在等腰中， ∴在和中 ∴ 同理可证 ∴ ∴ ∴ 【变式21-3】（25-26八年级上·福建福州·期中）在中，，于点，的平分线于点，交于点，是的中点，连接交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明是等腰直角三角形，得出，再证明即可； （2）连接，利用垂直平分线的性质得出，确定，再由等量代换及三角形外角的定义得出，再由等角对等边即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，， 又， ． ，， ∴． （2）解：连接， ∵，H为中点， ∴为的垂直平分线， ， ∴， ∵平分， ∴ ， ， ， ， ， ． 【题型一】手拉手模型 【例1】（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．有四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全等三角形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三角形的性质． 由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出与全等，由全等三角形的对应边相等得到，①结论正确；由与全等，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，②结论错误；由②结论再加上等于，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形，得到，③结论正确；④结论正确，利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确． ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②错误． ③由②知，， ∴， ∴， 故③正确． ④∵， ∴， 故④正确． 故①③④都正确． 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·陕西商洛·月考）【发现问题】 （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一条直线上时，连接． 填空： ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为__________________； 【拓展研究】 （2）如图2，和均为等腰三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （3）如图3，点，分别在边，上，和均为等边三角形，绕点顺时针旋转（），当点，，不在同一条直线上时，设直线与相交于点，探索的度数，请直接写出结果，不必说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知这些性质定理是解题的关键． （1）根据和均为等边三角形，得，，，进而证得即可得结果； （2）根据（1）的做题思想同理证得，再根据等腰三角形三线合一的性质证得，最后可证得； （3）根据点E在的内部和外部，分类讨论求得的度数． 【详解】解： （1）①∵与均为等边三角形， ∴，，． ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴，． 如图1，设与交于点O， ∴． ∴． ②∵， ∴． 故答案为：①；②． （2），理由如下， ∵与均为等腰三角形，， ∴，， ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵与均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，且， ∴． 即． （3）如图2，点E在的内部，由（1）知，同理可得． 如图3，点E在的外部， ∵与均为等边三角形， ∴，，． ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵． ∴． ∴． 故答案为：的度数为或． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）已知是等腰直角三角形，，点A在x轴的负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1，若点A的坐标是，点B的坐标是，过点C作轴于点H，则线段______，点C的坐标为______； (2)如图2，过点C作轴于点D，请猜想线段之间的等量关系并写出证明过程； (3)如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于点F，请直接写出与之间的等量关系． 【答案】(1)；； (2)或，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解本题的关键是构造全等三角形． （1）先求出，，再判断出，，进而得出，即可得出结论； （2）同（1）的方法，进行分类讨论，即可得出结论； （3）先判断出，再判断出，进而判断出，得出，最后判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 故答案为：；； （2）解：或，理由如下： 当点在轴下方时，如图， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 当点在轴上方时，如图， 同（1）原理可得， ，， ， ； 综上，或； （3）解：如图，延长，相交于点， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 轴平分，轴， ， ， ， ， ． 【题型二】利用将军饮马求最短路径问题 【例2】（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是作出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．作点关于的对称点，连接，，，得，，；作点关于的对称点，连接，，，得，，；根据；当，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，连接，，； ∴，，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∴， 当，，，共线时，周长最短， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-2】（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，在中，，，的面积为6，D、E、F分别是、、边上的动点，连接，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-路径最短问题，垂线段最短，两点之间，线段最短，如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接， ，推出，可得M、C、N共线，由，，可知F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接， ，    ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值， ∵， ∴， ∵，的面积为6， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及两点之间线段最短．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的最小值为的长，进而可得周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线m垂直平分， ∴， 又∵， ∴的最小值为的长，即的最小值为的长， ∴周长的最小值是． 故答案为：11． 【变式2-4】（25-26八年级上·北京·月考）如图，点P是内一定点，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，当周长取得最小值时， ． 【答案】/度 【分析】本题考查轴对称中最短路径问题，全等三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握轴对称的性质是解题关键． 分别作点P关于和的对称点C、D，连接、、、、．由对称性可知，，，因此的周长等于折线的长．当C、M、N、D四点共线时，取到最小值，利用对称性计算出此时的即可． 【详解】解：如图，分别作点P关于和的对称点C、D，连接、、、、， 由对称的性质可知，，， ∴，， ∴， 当C、M、N、D四点共线时，取到最小值，最小值为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型三】等腰三角形与解析几何 【例3】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中．已知、分别在坐标轴的正半轴上． (1)如图1．若、满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角三角形．求___________，___________，点的坐标为___________． (2)如图2．若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：： (3)如图3，设，的平分线过点，请问的值是否为定值，请说明理由． 【答案】(1) ； (2)证明见解析； (3)的值是定值，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由偶次方和算术平方根的非负性质求出，则，再证，得，则，即可求解； （2）过作轴于，证，得，再证是等腰直角三角形，得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）过作轴于轴于交的延长线于，则，由角平分线的性质得，再证，得，同理，得，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点作轴于，则，如图： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ； （2）证明：过作轴于，则，如图： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：的值是定值，理由如下： 过作轴于轴于交的延长线于，如图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴，即， ∴的值是定值． 【变式3-1】（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，． (1)求证：； (2)如图2，点C的坐标为，点E为上一点，且，求的长； (3)在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)见解析； (2)8； (3)，见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由解平分线的性质得到，再证明，即可得出结论； （2）过点D作于M，由平分，，得到，证明，得到，再证明，得到，进一步即可得出答案； （3）在的延长线上取一点N，使，证明，得到，，证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解： 平分， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图2，过点D作于M， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图3，在的延长线上取一点N，使， 点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【题型四】等边三角形与解析几何 【例4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，点B在第一象限，为等边三角形，点P在线段上，且点P不与点B重合，，作于点H，点C在线段上，． (1)求点B的横坐标； (2)过点C作的垂线交线段于点Q，求的长，并直接写出相应的t的取值范围： (3)在（2）的条件下，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，当时，求t的值． 【答案】(1)3 (2)， (3)或2 【分析】（1）是等边三角形，过点B作轴于点D，根据等边三角形三线合一可知点D为中点，由可知的长度，即为点B的横坐标； （2）根据题意画出对应的图象，由是等边三角形得出，，再由，，根据直角三角形中对边是斜边一半得到，根据，，得到的长度，同理根据直角三角形中对边是斜边一半得到的长度，由于P不与B重合，，得出t的取值范围； （3）根据题意分情况讨论：当点Q在点P上方时和点Q在点P下方时，根据题意作出对应的图象，利用全等三角形的判定与性质及平行线的性质得出t的值． 【详解】（1）解：如图，过点B作轴于点D， ∵点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴点B的横坐标为3． （2）解：由题意知，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，当Q在P上方时，作交于点E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴， ∴； ②如图，当点Q在点P的下方时，作交于点F， 同理可证得：， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或2． 【点睛】本题以等边三角形为核心，综合直角三角形性质、全等三角形、旋转及分类讨论，考查几何图形中线段关系的推导与计算． 【变式4-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图①，已知点是的垂直平分线上的一点，为轴上的一点，． (1)若，求的坐标； (2)在（）的条件下，求证：； (3)如图②，若点是的垂直平分线上的一点，的坐标为，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得是等边三角形，进而可得，再根据直角三角形的性质求出即可求解； （）在上取，连接，可得是等边三角形，即得，，再证明，得到，即可求证； （）作于，轴于点，设与交于点，由，轴得，分别证明和，得到，，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵点是的垂直平分线上一点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标是； （2）证明：在上取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，作于，轴于点，设与交于点，则， ∵，轴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型五】直角三角形与解析几何综合 【例5】（25-26八年级上·河北唐山·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，． (1)点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的正半轴上，且． ①求证：； ②求的值． (2)点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的负半轴上，且，求的值． 【答案】(1)①见解析；②10 (2)10 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． （1）①过点作轴于，作轴于，根据点的坐标可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据垂直的定义证明； ②根据全等三角形对应边相等可得，再表示出，然后列出方程整理即可得解； （2）根据全等三角形对应边相等可得，再表示出，然后列出方程整理即可得解； 【详解】（1）①证明：如图，过点作轴于，作轴于， ， ， ， 在和， ， ， ， ， ． ②解：∵， ， ， ． （2）解：如图，过点作轴于，作轴于， 同理得， ， ， ， ． 【变式5-1】（23-24八年级上·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． (1)若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； (2)如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 【答案】(1)①； ；② (2)见解析 【分析】（1）①根据三角形的面积公式得出，继而根据三角形的面积公式，得出的面积，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而得出点的坐标； ②过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得出 （2）先证明是等边三角形，在上取点，，根据则是等边三角形，证明，即可得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵点，点均在坐标轴上， ∴，则 ∵的面积为， ∴，则 ∴， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，   ， ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∵点，点 ∴， 故答案为：； ； ②如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点， ∵点； ∴ 又 ∴， ∴ ∴， ∴ （2）∵ ∴， 又∵， ∴ ∴是等边三角形， 如图所示，在上取点，， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级上·天津和平·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，，且于点，．则点的坐标为________： （2）如图2，在平面直角坐标系中，于点，，点的坐标为，则点的坐标为________； （3）如图3，点A在轴上，点在轴上，且，点在轴的负半轴上，连接，作于点，并且，连接交轴于点，请猜想线段与线段的数量关系，并进行证明； （4）如图4，点的坐标为，轴于点，在直线上有一动点，连接，在轴上方作于点，并且，连接，线段平行于轴，连接，线段交坐标轴于点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、一次函数的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． （1）根据点A、B的坐标可得，然后证明可得，即，然后确定点C的坐标即可； （2）如图：过B作轴，过C作，垂足为D，则，然后证明可得，即点C的横坐标为5，进而确定点C的纵坐标为1，最后确定点C的坐标即可； （3）如图：过点C作轴于点F，证明可得，进而得到，再证明，得到即可解答； （4）当点M在x轴上方和下方两种情况，作图并运用全等三角形的判定与性质确定点N的坐标，再求出直线的解析式，最后确定与坐标轴的交点即可． 【详解】解：（1）如图1：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； （2）如图：过B作轴，过C作，垂足为D，则， ∵点的坐标为， ∴，点D的纵坐标为3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点C的横坐标为5， ∵点D的纵坐标为3，， ∴点C的纵坐标为1， ∴点C的坐标为； （3），理由如下： 如图：过点C作轴于点F， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （4）如图：当点M在x轴上方时，点M的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∵线段平行于轴， ∴，点N的纵坐标为3， ∵， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即点P的坐标为． 同理可得：如图：当点M在x轴下方时，点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $