精品解析：河南省周口商水新世纪学校2025-2026学年九年级上学期数学期中考试

新世纪学校2025-2026学年九年级上期中调研数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于(　 　) A. 2 B. C. D. 24 2. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若0°＜＜90°，且|sin²－|＋=0，则tan的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 5. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，若为高，且，则三边的长分别是( ) A. B. C. D. 7. 如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度，坝高BC为2m，则斜坡AB的长是（ ） A. m B. m C. m D. 6m 8. 一渔船上的渔民在处看见灯塔在北偏东方向，这艘渔船以的速度向正东航行，半小时到，在处看见灯塔在北偏东方向，此时灯塔与渔船距离是( ) A. B. C. D. 9. 如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12　m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（ ） A. 6（＋1）m B. 6 (—1) m C. 12 (＋1) m D. 12（－1）m 10. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9 m，则两路灯之间的距离是(　　) A. 24 m B. 25 m C. 28 m D. 30 m 二、填空题（每小题3分，共12分） 11. 计算：___________． 12. 在中，，若，则___________． 13. 长是4米的梯子搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了______米 14. 一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为________米（答案可保留根号） 三、解答题 15. 计算：． 16. 在中，，解这个直角三角形． 17. 若和是一元二次方程的两个根，求的值． 18. 如图，一水坝横断面为等腰梯形，斜坡的坡度为，坡面的水平宽度为，上底宽为，求坡角、坝高和坝底宽各是多少？ 19. 如图，在等腰三角形中，底边是底角且，求． 20. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆的高度是，从侧面点测得显示牌顶端点和底端点的仰角分别是和．求路况显示牌的高度． 21. 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新世纪学校2025-2026学年九年级上期中调研数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于(　 　) A. 2 B. C. D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】设AC=k,由cosA=,得AB=5k,根据勾股定理,得BC，tanA=. 【详解】设AC=k,由cosA=,得AB=5k, 根据勾股定理,得BC=k, 所以 tanA= 2 故选A 【点睛】本题考核知识点：求正切. 解题关键点：理解正切的定义. 2. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算．直接代入已知三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 3. 若0°＜＜90°，且|sin²－|＋=0，则tan的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据非负数的性质得到sin2θ-=0，cosθ-=0，再根据特殊角的三角函数解答． 【详解】由0°＜θ＜90°，且|sin2θ-|+（cosθ-）2=0， 得：sin2θ-=0，cosθ-=0， ∴sinθ=，cosθ=， ∴tanθ==． 故选B． 【点睛】本题利用了两个非负数的和等于0，则这两个非负数均为0，还利用了tanθ=来求值． 4. 如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数定义的应用，解此题的关键是求出的长．根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的cos值即可得出答案. 【详解】 作AD垂直BC的延长线于点D 则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45° ∴ 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是锐角三角函数，比较简单，需要理解并记忆特殊锐角三角函数值. 6. 在中，，若为高，且，则三边的长分别是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．利用直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质，结合勾股定理，根据高求解各边长度． 【详解】，，，． 在中，，，，即． 在中，， 由勾股定理，，代入，，得， 解得：（负值舍去）． 故，，， 故选：C． 7. 如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度，坝高BC为2m，则斜坡AB的长是（ ） A. m B. m C. m D. 6m 【答案】B 【解析】 【分析】先根据坡比的定义求出AC的长，再根据勾股定理求解即可. 【详解】∵斜坡AB的坡度，坝高BC为2m， ∴1:3=2：AC， ∴AC=6m， 由勾股定理得 AB=m. 故选B. 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及坡度坡角的运用，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度h和水平宽l的比. 8. 一渔船上的渔民在处看见灯塔在北偏东方向，这艘渔船以的速度向正东航行，半小时到，在处看见灯塔在北偏东方向，此时灯塔与渔船距离是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确画出图形、准确标注方向角、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．作于，根据题意标注方向角，根据等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的概念进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 由题意得，，， ， ∵， ， ， ， ， ． 故选：A． 9. 如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12　m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（ ） A. 6（＋1）m B. 6 (—1) m C. 12 (＋1) m D. 12（－1）m 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意可得：BC= ∴AB=6（+1）． 故选A． 10. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9 m，则两路灯之间的距离是(　　) A. 24 m B. 25 m C. 28 m D. 30 m 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得：EP∥BD， 所以△AEP∽△ADB， 所以， 因为EP=1.5，BD=9， 所以， 解得：AP=5， 因为AP=BQ，PQ=20， 所以AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30， 故选：D． 点睛：本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用，应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度，解题时关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 二、填空题（每小题3分，共12分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算．直接代入已知三角函数值计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在中，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．根据直角三角形中边角关系，利用正切函数求解． 【详解】解：在中，，． 设，则． ∴． ∴． 故答案为：． 13. 长是4米的梯子搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了______米 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出BO，再利用30°的直角三角形的性质得到CO，再利用勾股定理求出DO，相减可得BD． 【详解】解：由题意知： AB=CD=4，∠AOB=90°，∠BAO=45°，∠DCO=60°， ∴AO=BO， 在△AOB中，， 解得：AO=BO=， ∵∠DCO=60°， ∴∠CDO=30°， ∴CO=CD=2， ∴DO=, ∴BD=DO-BO=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是理解实际情境，灵活运用勾股定理． 14. 一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为________米（答案可保留根号） 【答案】（4+4） 【解析】 【详解】由题意得，在△ACB中，∠C=90°， ∵∠ABC=45°， ∴∠A=45°， ∴∠ABC=∠A， ∴AC=BC． ∵BC=4， ∴AC=4， 由AC2+BC2=AB2得， AB=， 所以此树在未折断之前的高度为（4+4）米． 故答案是：（4+4）． 三、解答题 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值计算即可求解． 【详解】解： 16. 在中，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，已知直角和两边，利用勾股定理求另一边，再通过三角函数求锐角度数． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 17. 若和是一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，正弦和余弦的关系；根据一元二次方程根的判别式求得的范围，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到和的表达式，利用三角恒等式建立方程，解出的值，并检验方程有实根的条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程 ∴ ∵和是方程的两个根， ∴ 解得： 根据根与系数的关系， ， ． ∵， ∴， 整理得， 解得（舍去）或． ∴的值为． 18. 如图，一水坝横断面为等腰梯形，斜坡的坡度为，坡面的水平宽度为，上底宽为，求坡角、坝高和坝底宽各是多少？ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，坡度坡角的正切值，据此知坡角是，在中，运用三角函数求解即可求得的长，过点作于点，则，进而根据等腰梯形的性质即可求解． 【详解】解：∵斜坡的坡度为，坡面的水平宽度为， ∴ ∴ 在中，坡面的水平宽度为，即 ∴； 如图，过点作于点，则 ∵四边形是等腰梯形， ∴，，则， ∵ ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴． 19. 如图，在等腰三角形中，底边是底角且，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形；过点作于点，根据三线合一的性质可得，根据正切的定义求得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是等腰三角形，， ∴ 又∵ ∴ 在中， 20. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆的高度是，从侧面点测得显示牌顶端点和底端点的仰角分别是和．求路况显示牌的高度． 【答案】路况显示牌的高度为． 【解析】 【分析】在Rt△ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由BC＝AC−AB得解． 【详解】在中，，，所以． 在中，，，所以． BC＝AC−AB=-3， 所以路况显示牌的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路． 21. 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：） 【答案】28分钟 【解析】 【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，分别在Rt△ABD与Rt△BCD中，利用三角函数的性质，即可求得BC的长，继而求得答案． 【详解】解：过点B作BD⊥AC于D，由图可知， 作于（如图）， 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴（分钟） 答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $