专题01 三角形（高频考点归纳+解析+单元检测）2025-2026学年人教版八年级数学上册期末冲刺专题

2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题01 三角形（高频考点归纳+解析+单元检测） 考点01 三角形的三边关系 考点02 三角形的稳定性 考点03 三角形的中线 考点04 三角形的高 考点05三角形的内角 考点06 三角形的外角 考点07三角形角平分线 考点08三角形中的折叠 考点01 三角形的三边关系 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西平遥·期末）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）若是的三边，试化简（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·北京·期末）已知一个三角形的两边长分别是和，若第三边的长为（是整数），则最大为 ． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为 ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）在中，，，且的长为奇数，求的长． 考点02 三角形的稳定性 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）下列物品中，主要利用三角形稳定性设计的是（    ） A．伸缩式雨棚 B．可折叠的购物车 C．照相机的三脚 D．校门口的自动伸缩门 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图是跨越太原汾河的现代交通动脉——祥云桥，在设计上大胆创新，融入了国际桥梁设计的最新理念．由两根撑杆和一根拉索精心构成的稳定三角结构体系，将三根塔柱紧密相连，确保它们协同受力，共同支撑起桥梁的稳固与美观．其蕴含的数学道理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 4．（24-25八年级上·河南安阳·期末）安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 二、填空题 5．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是 ． 考点03 三角形的中线 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，、分为、的中点，过点作，垂足为，若，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）若四边形的面积是12，点M，N，P，Q分别为，，，的中点，与相交于点O，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（24-25七年级下·北京·期末）如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是 ． 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为 ． 考点04 三角形的高 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B．C． D． 2．（24-25八年级上·山西晋中榆次·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，中边上的高画法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．5 5．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，．把沿着直线向右平移后得到，连接，有以下结论：①；②；③最小值是；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 考点05三角形的内角 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，P，C分别为两条边上的点，，P为垂足，且．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·北京·期末）如图．正方形网格中，点，，都在格点上，则 ．    3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线，点A在直线a上，在中，，，，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，已知，点E在上，平分，平分．若，则的度数为 ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，将沿方向平移到的位置 ． (1)若，，求的度数． (2)若，平移的距离为6，求的长． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、． (1)，，求的度数； (2)求证：． 考点06 三角形的外角 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为 ． 4．（23-24八年级上·广东·期末）在古代中国，弓箭是战争中的武器之一，“弓箭”文化也是中国最古老的文化之一．如图①是一种弓箭的箭头实物图，图②是其示意图，已知，，， 则的度数为 ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·北京东城·期末）在四边形中，，平分交于点，延长交于点．点为线段上的动点，连接，过点作交于点． (1)当点与点重合时， ①依题意补全图； ②若，则___________； (2)当点运动到某个位置时，恰好使得． ①猜想与的位置关系，并证明； ②平分交于点．用等式表示的数量关系，并证明． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，的平分线交于点D，E为边上一点，连接． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，中，D为边上一点，过D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 考点07三角形角平分线 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，平分．若，，则的度数为 ． 三、解答题 3．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在中，是的角平分线，点在上，且，求的度数． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图的图形我们把它称为“字形”，请说理证明． （2）如图，、分别平分、，和为任意角时，其他条件不变，试写出与、之间数量关系． （3）在图中，若设，，试问与、之间的数量关系为______用、的代数式表示． （4）在图中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论． 5．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，垂足为，，． (1)求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 考点08三角形中的折叠 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点C落在边上的点处．若是等腰三角形，则的度数为（        ） A．36° B．38° C．48° D．84° 3．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 3．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 4．已知一个等腰三角形的两边长分别是5和，则它的周长是（   ） A． B． C．或 D．或 5．如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．在物理学光的反射现象中，如图，入射光线，法线，反射光线在同一平面内，且入射角（）等于反射角（）．若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，，点分别在两条平行线之间，，若， ．则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在三角形中，点在上，连接，平分交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图1是指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，未使用指甲剪时，杠杆与上臂重合；使用时，下压点至时，刚好至点，当时，两刀片咬合，恰好平分，若，则的度数为（    ）       A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．在中，，则的度数为 ． 12．如图，中，，两锐角的平分线，交于点F．的度数为 ． 13．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 14．如图，，，，则的度数为 ． 15．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，，连接，，，交于点，且平分． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 17．（9分）如图，在直角中，，平分交于，且． (1)求的度数； (2)过点作交于，若，则是的平分线吗？请说明理由． 18．（8分）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 19．（8分）如图， 中，是角平分线，点E，F分别在边，上，，相交于点G，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．(9分)如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． 21．(8分)阅读证明过程，在横线处将其补充完整，并在括号内填写推理依据． 已知：如图，在中，，直线分别交，和的延长线于点D，E，F． 求证：． 证明：在中， ，（             ） 所以，（         ） 在中，， 所以， 因为， 所以________________， 所以．（               ） 22．（12分）问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图①，直线，直线分别交于点的平分线交于点．试判断和的数量关系，并说明理由． (1)数学思考：请你解答上边的问题； (2)深入探究：有点是射线上不与、重合的一点，过点作交于点，连接． ①当点在点右侧时（如图②），为探究与之间的数量关系，小飞过点作，请根据他的思路，写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，的平分线交于点所在直线与直线交于点，若，试求的度数． 23．（13分）【知识回顾】 1．小学知识：三角形三个角的度数和是． 2．课本再现：如图Ⅰ，光线射向水平镜面， 在O处反射得到光线，此时． 【问题探究】 将可折叠的水平镜面沿O处弯折，锐角的度数记为m，光线在E，F处经过两次反射得到光线． （1）如图Ⅱ，光线与能否平行？为什么？ （2）如图Ⅲ，光线与交于点C，若，求m的值． 典型考题解析 高频考点归纳 单元过关检测 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题01 三角形（高频考点归纳+解析+单元检测）（解析版） 考点01 三角形的三边关系 考点02 三角形的稳定性 考点03 三角形的中线 考点04 三角形的高 考点05三角形的内角 考点06 三角形的外角 考点07三角形角平分线 考点08三角形中的折叠 考点01 三角形的三边关系 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西平遥·期末）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即 ∴ ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）若是的三边，试化简（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系定理，确定绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值表达式即可． 【详解】解：∵是的三边， ∴， 即 ∴ ． 故选：A． 二、填空题 3．（24-25八年级上·北京·期末）已知一个三角形的两边长分别是和，若第三边的长为（是整数），则最大为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据题意得出的范围，进而根据是整数，求得最大整数解，即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是和，若第三边的长为， ∴， ∴， ∵是整数， ∴最大为， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角新三边数量关系，掌握等腰三角形的定义，分类讨论是关键． 根据等腰三角形的定义分类讨论即可． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和10， 当腰长是，底边长为时， ∵， ∴不能构成等腰三角形； 当腰长是，底边长是时， ∵， ∴符合等腰三角形的定义， ∴这个等腰三角形的周长为， 故答案为：24 ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）在中，，，且的长为奇数，求的长． 【答案】或7或9 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据为奇数确定的值． 【详解】解：由题意得：， 即：， ∵为奇数， ∴或7或9． 考点02 三角形的稳定性 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）下列物品中，主要利用三角形稳定性设计的是（    ） A．伸缩式雨棚 B．可折叠的购物车 C．照相机的三脚 D．校门口的自动伸缩门 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，由三角形具有稳定性，即可得到答案． 【详解】解：A、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故A不符合题意； B、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故B不符合题意； C、选项中的物品是应用了三角形的稳定性，故C符合题意； D、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图是跨越太原汾河的现代交通动脉——祥云桥，在设计上大胆创新，融入了国际桥梁设计的最新理念．由两根撑杆和一根拉索精心构成的稳定三角结构体系，将三根塔柱紧密相连，确保它们协同受力，共同支撑起桥梁的稳固与美观．其蕴含的数学道理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键． 根据图示，三角形的性质即可求解， 【详解】解：根据题意可得，蕴含了一个数学道理是三角形具有稳定性， 故选：A． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一个“拉杆”是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：B． 4．（24-25八年级上·河南安阳·期末）安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：根据题意得：这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故选：B 二、填空题 5．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性．三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【详解】解：高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是：三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 考点03 三角形的中线 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，、分为、的中点，过点作，垂足为，若，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线的性质．根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形可求出，进而根据三角形的面积公式求出，根据中点即可解答． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵． 故选：B 二、填空题 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）若四边形的面积是12，点M，N，P，Q分别为，，，的中点，与相交于点O，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：连接， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴， ， ， ， ，得 ， ∴ ． 故答案为；6． 3．（24-25七年级下·北京·期末）如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键；根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是的高时， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积，中线的性质．掌握“中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”是解题的关键．根据中线的性质计算即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， ∵是的边上的中线， ， ， ∵是的边上的中线， ， ， ， 故答案为：6． 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，连接，根据，得到，设，则，，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为4， 故答案为：4． 考点04 三角形的高 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西晋中榆次·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高，根据高的定义，从三角形的一个顶点向对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高． 【详解】解：由图可知，所对顶点为或， 在中，并没有由点向引垂线，所以排除点， 在中，由于为钝角三角形，所以边上的高在三角形外部，也就是过点向的延长线上引垂线，即线段． 故答案选：D． 3．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，中边上的高画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形高的定义和画法，明确三角形高的定义是关键； 根据三角形的高的定义进行判断即可. 【详解】解：中边上的高为： 故选：B. 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是利用垂线段最短解决问题．连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，根据题意可得：，，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是， ，，， ，， ， ， ， 故选：A． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，．把沿着直线向右平移后得到，连接，有以下结论：①；②；③最小值是；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，垂线段最短，熟练掌握平移的性质，是解题的关键，利用平移的性质，判断①，②，④，垂线段最短结合等积法判断③． 【详解】解：∵把沿着直线向右平移后得到， ∴，故①②正确； ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵， ∴，即：， ∴，即：最小值是；故③错误； 故选C． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形角平分线、中线和高的定义，逐一判断即可． 【详解】解：∵分别是的高线、角平分线、中线， ∴，，，，不一定相等， 故选项A，B，C正确，选项D错误． 故选：D． 考点05三角形的内角 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，P，C分别为两条边上的点，，P为垂足，且．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线性质的应用；根据平行线得到，结合题意得出，再根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·北京·期末）如图．正方形网格中，点，，都在格点上，则 ．    【答案】45 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据网格特点得，利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据网格特点，， ∵， ∴， 故答案为：45． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线，点A在直线a上，在中，，，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据三角形的内角和定理可得的度数，进一步可得的度数，根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图所示： ，， ， ， ， 直线， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，已知，点E在上，平分，平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理及其方程的思想求解是解答的关键． 设，根据三角形的内角和定理可得， 利用角平分线的定义和平行线的性质推导出，再根据的内角和定理得到，进而列方程求得x值即可解答． 【详解】解：设， ， 平分， ， ， ，平分 ， 在中，， ， 解得， ． 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，将沿方向平移到的位置 ． (1)若，，求的度数． (2)若，平移的距离为6，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数即可； （2）根据平移的性质得出，利用即可解决问题． 【详解】（1）解：由平移的定义知：， 在中，，， ； （2）解：由平移的定义知： ， ． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、． (1)，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是． （1）由三角形内角和定理求出，得到； （2）由三角形内角和定理得到，，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ； （2）证明：， ， ， ． 考点06 三角形的外角 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质． 由平行线的性质得，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，三角板与直尺分别交于点F、H． ∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及对顶角相等、外角性质等知识，由平行线的性质可表示出，结合对顶角相等可表示出，再利用外角的性质可求得的度数．解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 【详解】解：如图所示： 由题意可知， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质．连接，根据三角形内角和定理可得的度数，再由折叠的性质可得，从而得到，，然后根据三角形外角的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴ 由折叠的性质得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．（23-24八年级上·广东·期末）在古代中国，弓箭是战争中的武器之一，“弓箭”文化也是中国最古老的文化之一．如图①是一种弓箭的箭头实物图，图②是其示意图，已知，，， 则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，三角形的外角的性质，如图，延长交于，延长交于，过作，证明，再进一步利用平行线的性质与三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为： 三、解答题 5．（24-25八年级上·北京东城·期末）在四边形中，，平分交于点，延长交于点．点为线段上的动点，连接，过点作交于点． (1)当点与点重合时， ①依题意补全图； ②若，则___________； (2)当点运动到某个位置时，恰好使得． ①猜想与的位置关系，并证明； ②平分交于点．用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】(1)①补图见解析；② (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（）①根据题意补全图形即可；②由角平分线的定义得，由平行线的性质得，进而根据角的和差即可求解； （）①由垂直可得，进而根据平行线的判定即可求证；②由角平分线的定义和平行线的性质可得，即得，由根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形的外角性质即可求证； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①补图如下： ②∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①． 证明：如图，∵，， ∴， ∴； ②． 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，的平分线交于点D，E为边上一点，连接． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的判定，三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟练掌握这些知识是关键； （1）由角平分线的定义得，结合得，由平行线的判定即可证明； （2）在中，由，可得，结合，可求得的度数，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， 即， ∵， 解得：． ∵是的外角， ∴． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，中，D为边上一点，过D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，，，等量代换可得，即可得解； （2）根据三角形的内角和求出，即得，根据对顶角相等得到，再根据三角形的外角定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 考点07三角形角平分线 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． 分别求出，，再找到可以去掉的式子即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵的平分线与的平分线的交于点， ∴ ， ∵， ∴， ∴ 即． 故选：A． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，平分．若，，则的度数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的定义，先求解，，，再进一步求解即可. 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题 3．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在中，是的角平分线，点在上，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质得到，由角平分线的定义可得的度数，据此根据三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：， ． 是的角平分线， ． 在中，， ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图的图形我们把它称为“字形”，请说理证明． （2）如图，、分别平分、，和为任意角时，其他条件不变，试写出与、之间数量关系． （3）在图中，若设，，试问与、之间的数量关系为______用、的代数式表示． （4）在图中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．（4） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，“字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． （1）利用三角形内角和定理解决问题即可． （2）设，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （3）如图中，设，，则，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （4）如图中，延长交于，设利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题． 【详解】解：（1）如图中， ，，， ； （2）如图中， 设， 则有， ， ； ； （3）如图中，设，，则，设，， 则有， ， ， 故答案为：． （4）如图中，延长交于，设． 则有， ， ， ． 5．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，垂足为，，． (1)求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵是的平分线， ∴ 在中， ∴ 考点08三角形中的折叠 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（22-23八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点C落在边上的点处．若是等腰三角形，则的度数为（        ） A．36° B．38° C．48° D．84° 【答案】C 【分析】由在中可得，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 由折叠可知， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关的性质和定理是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 由由折叠的性质和平行线的性质即可解答题目． 【详解】解：，， ，， 由折叠可得，， ， 故答案为：60． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °． 【答案】68 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，对顶角，熟练掌握折叠的性质解题的关键．由折叠的性质得，，，根据三角形内角和，，求得，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， 根据对顶角相等，， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：68． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 2．在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 3．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 【答案】A 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故选：A． 4．已知一个等腰三角形的两边长分别是5和，则它的周长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 需要分情况讨论腰和底边，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断． 【详解】解：∵等腰三角形两边长为5和， ∴可分两种情况讨论： ①当腰为5时，三边为5、5、， 但， 不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形， 故不成立； ②当腰为时，三边为、、5， ∵，，满足三角形三边关系， ∴周长为， ∴周长为， 故选：B． 5．如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．在物理学光的反射现象中，如图，入射光线，法线，反射光线在同一平面内，且入射角（）等于反射角（）．若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得，然后再利用三角形内角和定理，求得，从而得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：A． 7．如图，已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，连接，根据三角形内角和定理可知，因为，可得：，即可求出． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， 在中，， ， 知，，， ， ， ． 故选： C． 8．如图，，点分别在两条平行线之间，，若， ．则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和为． 依据三角形的内角和定理，即可得到，依据，，可得，再根据三角形内角和定理，即可得出的度数． 【详解】解：连接， ，， ，， ， 又，， ， ， ， 的度数为， 故选：B． 9．如图，在三角形中，点在上，连接，平分交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据题意易证，推出，由得到，求出，结合，利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图1是指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，未使用指甲剪时，杠杆与上臂重合；使用时，下压点至时，刚好至点，当时，两刀片咬合，恰好平分，若，则的度数为（    ）       A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握这些定理与性质是解题的关键．延长交于点H，利用平行线的性质和角平分线的定义以及三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：延长交于点H，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．在中，，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．由三角形内角和定理可得，结合已知，即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，中，，两锐角的平分线，交于点F．的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了三角形内角和性质，角平分线的定义，先根据，求出，因为两锐角的平分线，交于点F．则，再根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵中，， ∴ ∵两锐角的平分线，交于点F． ∴ ∴ 在中，， 故答案为： 13．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理即可得解． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 14．如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，垂线，先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 15．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，，连接，，，交于点，且平分． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线定义、三角形内角和定理的应用． ()利用平行线的性质找到内错角关系结合角平分线定义推导角相等；通过三角形外角定理建立等量关系； ()结合垂直条件确定直角三角形，利用内错角相等求出相关角，再通过角平分线定义和第()题结论计算目标角． 【详解】（1）解：与相等 理由： ∵， ∴， 又∵平分， ∴. ∴ （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 由()知， ∴． 17．（9分）如图，在直角中，，平分交于，且． (1)求的度数； (2)过点作交于，若，则是的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的判定以及计算，三角形内角和定理以及三角形外角的定义和性质． （1）根据角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理即可得出． （2）根据三角形外角的定义和性质得出，再根据角的和差可得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）解：是的平分线，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． 18．（8分）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查三角形中线的相关计算，理解图示，掌握周长的计算是关键． （1）根据中线得到，由周长的计算公式及周长的计算得到周长差为，代入计算即可； （2）根据周长的计算，结合题意得到，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵的周长为，的周长为，是中线， ∴ ； （2）解：的周长为，四边形的周长为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）如图， 中，是角平分线，点E，F分别在边，上，，相交于点G，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义是解本题的关键． （1）首先根据，，等量代换可得，进而得到，最后利用平行线的性质即可得证 （2）根据三角形的内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，又因为，所以，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， ， ． （2）解：，， ， 是角平分线， ， ， ， ． 20．(9分)如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、与中线有关的三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形外角的定义及性质计算即可得出答案； （2）连接，则，求出，结合，，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：是的一个外角，则， 又， ； （2）解：如图：连接，则， 又为的中线， ， 同理， ， ，， ， 解得， 故的长为． 21．(8分)阅读证明过程，在横线处将其补充完整，并在括号内填写推理依据． 已知：如图，在中，，直线分别交，和的延长线于点D，E，F． 求证：． 证明：在中， ，（             ） 所以，（         ） 在中，， 所以， 因为， 所以________________， 所以．（               ） 【答案】三角形内角和定理；等式的性质；；等量代换 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等式的性质等知识点，灵活运用三角形内角和定理成为解题的关键． 由三角形内角和定理、，结合可得，然后再运用等量代换即可解答． 【详解】证明：在中，，（三角形内角和定理） 所以，（等式的性质） 在中，， 所以， 因为， 所以， 所以．（等量代换）． 故答案为：三角形内角和定理；等式的性质；；等量代换． 22．（12分）问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图①，直线，直线分别交于点的平分线交于点．试判断和的数量关系，并说明理由． (1)数学思考：请你解答上边的问题； (2)深入探究：有点是射线上不与、重合的一点，过点作交于点，连接． ①当点在点右侧时（如图②），为探究与之间的数量关系，小飞过点作，请根据他的思路，写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，的平分线交于点所在直线与直线交于点，若，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键； 对于（1），根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，然后根据等量代换得出答案； 对于（2），分两种情况：当点在点右侧时，先根据平行线的性质得，进而得出，及，然后根据三角形外角的性质得，可得答案；当点在点和A之间时，仿照上述解答过程，最后根据解答即可． 【详解】（1）解：． 理由：因为， 所以. 因为平分， 所以， 所以； （2）①解：． 理由：因为， 所以， 所以， 所以． ②解：当点在点右侧时因为， 所以，， 所以. 因为平分， 所以. 因为， 所以； 当点在点和A之间时， 因为， 所以， 所以. 因为平分， 所以， 因为， 所以． 23．（13分）【知识回顾】 1．小学知识：三角形三个角的度数和是． 2．课本再现：如图Ⅰ，光线射向水平镜面， 在O处反射得到光线，此时． 【问题探究】 将可折叠的水平镜面沿O处弯折，锐角的度数记为m，光线在E，F处经过两次反射得到光线． （1）如图Ⅱ，光线与能否平行？为什么？ （2）如图Ⅲ，光线与交于点C，若，求m的值． 【答案】（1）不平行，理由见解析；（2） 【分析】（1）首先表示出，然后得到，进而得到，进而求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后根据，列方程求解即可． 【详解】解：（1）不平行．如图所示， 由题意可得，． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是锐角， ∴m小于， ∴小于， ∴与的和不等于， ∴与不平行； （2）如图所示， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴ 解得． 【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，垂直的定义，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 典型考题解析 单元过关检测 高频考点归纳 学科网（北京）股份有限公司 $