精品解析：江苏省丹阳高级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段训练（三） 初三数学A卷 考试时间：120分钟 分值：120分 一、填空题（每题2分，共24分） 1. 函数是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键．由二次函数的定义可知且然后可求得m的取值． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， 且， 解得， 故答案为：． 2. 如图，在中，，则的度数为______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理直接计算即可，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3. 二次函数（m、c 是常数，且m≠0）的图像过点 A(3，0)，则方程mx2＋2mx＋c＝0的根为______． 【答案】3或-5##-5或3 【解析】 【分析】将A点坐标代入得，解得，原方程变为，因式分解法解方程即可． 【详解】解：将A点坐标代入得 解得 ∴原方程变为 ∴ ∴或 解得的值为3或 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键在于理解二次函数与一元二次方程的关系． 4. 在中，，，，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据锐角三角函数定义，得出，然后把代入，求出的长，再根据勾股定理，计算即可得出的长． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握锐角三角函数定义． 5. 设、是一元二次方程的两个根，且，则m的值为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用根与系数的关系构建方程求解． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， ， 整理得， 或， 解得，， 当时，方程， ，方程无解， 故舍去． 当时，方程为，方程有解，则符合． 所以． 故答案为：． 6. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为， ∴底面周长， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 7. 如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是___________． 【答案】##米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和勾股定理，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】迎水坡的坡比是，坝高， ， 解得， ， 故答案为：． 8. 如图，为半圆O的直径，是半圆O的切线，B是切点，交半圆O于点D，已知，，那么的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关系是由相似得到． 设圆的半径为r，即，则由为直径，可得；由为切线，可得，在中，，根据相似三角形得到，又在中，根据勾股定理，，联立方程求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵是半圆O的切线，B为切点， ∴， 又， 在中，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，即， 在中，，由勾股定理得， 设的半径为r，则， ∴， ∴，即， 解得（负值舍掉）， 故答案为：． 9. 在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，理解题意是解题的关键．以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线m上，圆与直线l的位置关系是相交，据此即可判断． 【详解】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线l上． 则直线l到圆心O的距离是：或． 圆O与直线l相交，因而该圆的半径r的取值范围是． 故答案为：． 10. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】∵是圆的直径， ∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， ∵、、、所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 11. 如图，三个正六边形如图摆放，则＝________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外接圆、锐角三角函数以及直角三角形的边角关系等知识，根据正六边形的性质构造直角三角形，再根据正六边形的性质用正六边形的边长，表示、，由勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可，掌握正六边形的性质、直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 【详解】解：如图，取的中点，则点为正六边形的外接圆的圆心，为半径 正六边形的一个中心角为 所以正六边形的边长等于其外接圆的半径 过作 则可得 由多边形内角和得 设正六边形的边长为，则 即 在直角中，， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，是边上的高，将绕点C旋转到（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段上，连接，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作于点G，结合旋转的性质可求，进而可证是等边三角形，可求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点G， 将绕点C旋转，点B落在线段上的点F处， ，，，， ， ； ，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中 ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形“三线合一”，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数等，掌握相关性质及定理，构建直角三角形是解题的关键． 二、单选题（每小题3分，共15分） 13. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断； 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 故选：B． 14. 已知，，，，若的最长边为16，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得到和的相似比，即可得出答案，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，的最长边为16， ∴和的相似比， ∴， 故选：B． 15. 下列说法中，正确的有（ ） （1）长度相等的弧是等弧；（2）三点确定一个圆；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）三角形的内心到三角形三边的距离相等；（5）各边相等的多边形为正多边形；（6）弧分为优弧和劣弧． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理、三角形内心的性质、正多边形的定义等知识点，熟练掌握相关定义以及性质是解本题的关键． 根据等弧的定义：能够完全重合的弧为等弧；确定圆的条件；垂径定理；三角形内心的性质；正多边形的定义：各边相等且各内角相等的多边形为正多边形；弧的分类判断即可． 【详解】解：（1）∵等弧需能够完全重合，仅长度相等不一定重合， ∴（1）错误； （2）∵不共线的三点确定一个圆，三点共线时不能确定圆， ∴（2）错误； （3）∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，若弦为直径则不一定垂直， ∴（3）错误； （4）∵三角形的内心是角平分线交点，到三边距离相等， ∴（4）正确； （5）∵正多边形需各边相等且各角相等，仅各边相等不一定， ∴（5）错误； （6）∵弧分为优弧、劣弧和半圆，仅说优弧和劣弧不完整， ∴（6）错误； 综上，只有（4）正确，正确个数为1． 故选：D． 16. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线平移，涉及抛物线平移法则：左加右减、上加下减，按照平移法则直接求解即可得到答案，熟记函数图像的平移法则是解决问题的关键． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为，即， 故选：D． 17. 已知点，，在抛物线上，且点A到y轴距离小于2，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的点坐标特征、不等式的求解；解题关键是利用抛物线过点B、C求出参数b，再结合点A的条件分析k的范围． 利用点B和C的纵坐标相同，求出抛物线的对称轴，从而确定b的值，得到抛物线解析式． 根据点A到y轴的距离小于2，得到t的取值范围，再结合二次函数的性质求出k的取值范围． 【详解】抛物线上， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 点到轴的距离小于2， ， 当时，， 当时，， ． 故选A． 三、解答下列各题（共8大题，总分81分．写出必要的文字说明） 18. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，换元法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零指数幂以及特殊角的三角函数值，再运算乘方，化简绝对值，然后运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先整理原方程，得，再，故，然后运算因式分解法解方程，又因为，故，解得，，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴ 令， 则， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得，． 19. 如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． （1）连接，由与相切于点，得，可证明，得，即可证明是的切线； （2）由，得，由勾股定理得，则，即可求得，，由，且，得，可求得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：， ． ． ． ． ， ，解得． 的长是． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； 若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； 由，；代入，建立关于m的方程，据此即可求得m的值． 小问1详解】 解：由题意有， 整理得， 解得， 实数m的取值范围是； 【小问2详解】 解：由两根关系，得，， ， ， ， ， 解得或， ， ． 21. 某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确进行计算是解题关键．设点B到的距离为，由题意可知，米，，米，，，在中，利用求出的长，设米，则米，然后在，利用求出x的值，进而求出结果即可． 【详解】解：如图，设点B到的距离为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意可知，米，，米， 在中，（米）， 米， 设米， ∵米， ∴米， 在中，， 米， ∵， ∴在中，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 米． 答：的长为米． 22. 某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件144元，进货价每件74元． （1）若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件81元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件，经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件，物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】（1） （2）24元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据两次降价后商品的价格从144元变为81元建立方程求解即可； （2）设每件降价m元，每天的利润为W元，根据每天的利润等于每件商品的利润乘以销售量列出W关于m的二次函数关系式，再求出m的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每件降价m元，每天的利润为W元， 由题意得， ， ∵该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随m增大而增大， ∴当时，W有最大值， 答：每件应降价24元才能使每天获得的利润最大． 23. 如图，矩形中，，，点M以每秒1个单位长度的速度沿从点A向点B运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿从点B向点C运动，点P以每秒2个单位长度的速度沿从点C向点D运动，三动点同时出发，设运动时间为t秒，当点N到达点C时，三点同时停止运动．点B关于的对称点为点Q，连接，，，． （1）当t为何值时，四边形为正方形？并说明理由； （2）若以点M，N，B为顶点的三角形与以点N，P，C为顶点的三角形相似，求t的值． 【答案】（1）2 （2）或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定，轴对称的性质． （1）由轴对称的性质得到，，由矩形的性质得到，当时，四边形是正方形，得到，即可求出t的值； （2）分两种情况，由相似三角形的性质，即可解决问题． 【小问1详解】 当时，四边形为正方形，理由如下： ∵点B关于的对称点为点Q， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴当时，，此时四边形是正方形， 当运动t秒时，，，， ∴， ∴， ∴当时，四边形为正方形． 【小问2详解】 运动t秒时，，，，，， ∵四边形是矩形， ∴， 分两种情况讨论： ①当时，得到， ∴， ∴， ②当时，得到， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， 综上所述，t的值为或． 24. 如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线的一个动点（点与、均不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点坐标； （3）如图2，直线，分别与轴交于点，，在点运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）为定值； 【解析】 【分析】解题思路为：（1）代入 、坐标用待定系数法求抛物线解析式； （2）通过角度互余构造相似三角形，结合坐标列方程求 点； （3）设点坐标为，求直线， 与轴交点，利用面积公式计算比值并判断是否为定值． 【小问1详解】 解：因为抛物线经过点和点， 所以， 解得 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时代入得， 故，，， ①过点作的平行线，分别过点 、作直线 的垂线，垂足分别为点、， 依题意得， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，（） ， 解得 ∴； ②作点关于轴的对称点，连接， ∵，， 则直线的解析式为， 由题可知， ∴， 又∵， ∴， 延长，与抛物线相交的另一个点即为点， 则 解得（舍去）， ∴ 所以点的坐标为或 【小问3详解】 由 (1) 可知，，， ∵点是抛物线上的一个动点， 设， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在轴上， ∴， 设直线的解析式为， 则 解得 ∴直线的解析式为， ∵点在轴上， ∴， ∴，， ∴ ∵,为定值。 【点睛】本题考查二次函数的综合应用（解析式求解、角度关系、面积比值定值问题），解题时利用待定系数法求解析式，通过构造相似三角形处理角度关系，结合函数表达式与直线方程分析面积比值，关键是将几何条件转化为代数关系，易错点是角度转化或直线方程推导错误． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段训练（三） 初三数学A卷 考试时间：120分钟 分值：120分 一、填空题（每题2分，共24分） 1. 函数是关于x的二次函数，则m的值为______． 2. 如图，在中，，则的度数为______． 3. 二次函数（m、c 是常数，且m≠0）的图像过点 A(3，0)，则方程mx2＋2mx＋c＝0的根为______． 4. 中，，，，则__________________． 5. 设、是一元二次方程的两个根，且，则m的值为_______ ． 6. 已知圆锥底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 7. 如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是___________． 8. 如图，为半圆O的直径，是半圆O的切线，B是切点，交半圆O于点D，已知，，那么的半径为______． 9. 在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 10. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 11. 如图，三个正六边形如图摆放，则＝________． 12. 如图，在中，，，是边上的高，将绕点C旋转到（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段上，连接，则_____． 二、单选题（每小题3分，共15分） 13. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A B. C. D. 14. 已知，，，，若的最长边为16，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. 下列说法中，正确的有（ ） （1）长度相等的弧是等弧；（2）三点确定一个圆；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）三角形的内心到三角形三边的距离相等；（5）各边相等的多边形为正多边形；（6）弧分为优弧和劣弧． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 16. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 17. 已知点，，在抛物线上，且点A到y轴距离小于2，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答下列各题（共8大题，总分81分．写出必要的文字说明） 18. （1）计算：； （2）解方程：． 19. 如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有实数根，求实数m取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 21. 某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 22. 某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件144元，进货价每件74元． （1）若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件81元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件，经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件，物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 23. 如图，矩形中，，，点M以每秒1个单位长度的速度沿从点A向点B运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿从点B向点C运动，点P以每秒2个单位长度的速度沿从点C向点D运动，三动点同时出发，设运动时间为t秒，当点N到达点C时，三点同时停止运动．点B关于的对称点为点Q，连接，，，． （1）当t为何值时，四边形为正方形？并说明理由； （2）若以点M，N，B为顶点的三角形与以点N，P，C为顶点的三角形相似，求t的值． 24. 如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线的一个动点（点与、均不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点坐标； （3）如图2，直线，分别与轴交于点，，在点运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $