精品解析：陕西榆林市府谷县2025- 2026学年度第二学期期中质量抽样监测 九年级数学

2025～2026学年度第二学期期中质量抽样监测九年级数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 16的算术平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四棱柱 D. 五棱柱 3. 如图，已知；射线交于点，点在上，交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中， 是的中线，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点和点在一次函数（k为常数，且）的图象上，若，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，四边形内接于，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（为常数，且）的部分与的对应值如下表： … 1 … … 7 0 … 则下列关于二次函数的说法不正确的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象的对称轴为直线 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 当时， 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：________． 10. 将如图所示的图形绕其中心点旋转一定角度后会与原图形重合，则这个角度可以是_____．（写出一个符合题意的角度即可） 11. 我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．如图，由边长分别为、的两个正方形和两个长、宽分别为、的矩形无缝隙、无重叠地拼成边长为的正方形，若，则的值为_____． 12. 如图，在菱形中，连接，若，则菱形的面积为_____． 13. 如图，点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，轴于点，点是的中点，点在轴上，连接，若四边形的面积为3，则的值为_____． 14. 如图，在矩形中，，点是矩形内的动点，连接、、，且与始终互余，则的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： ． 16. 解不等式组： 17. 化简：． 18. 如图，已知四边形，利用尺规作图法在边上求作一点，连接、，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在正方形中，对角线、交于点，点、分别在、上，连接、，且，求证：． 20. 中国四大传统节日指春节、清明节、端午节、中秋节．某班举办传统节日手抄报展览，共有春节、清明节、端午节、中秋节四个主题，要求每名学生选择主题进行手抄报创作．班长将正面分别印有．春节，．清明节，．端午节，．中秋节的四张不透明卡片背面朝上放在桌子上洗匀，这四张卡片背面完全相同． （1）该班小明同学从这四张卡片中随机抽取一张，则他抽到．春节的概率为_____； （2）若该班班长准备制作两个主题的手抄报，他从这四张卡片中同时随机抽取两张，创作对应主题的手抄报，请用列表或画树状图的方法，求该班班长创作的手抄报主题恰好是．端午节和．中秋节的概率． 21. 文元塔位于府谷香炉山森林公园内，登塔可观赏香炉山景点及府谷、保德两县景观．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量文元塔的高度，活动报告如下： 活动主题 测量文元塔的高度 测量过程及示意图 如图，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上． 测量数据 图形说明 ，点在同一水平线上，图中所有点在同一平面内 请你根据以上活动报告，求出文元塔的高度． 22. 随着环保意识的增强和科技的进步，新能源汽车逐渐成为了人们出行的新选择，为了满足新能源汽车的充电需求，某充电站计划购进甲、乙两种充电桩共50台，已知甲充电桩的价格为1500元/台，乙充电桩的价格为1000元/台．设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该充电站管理员要求购进甲充电桩的数量不少于乙充电桩数量的4倍，求购买这两种充电桩所需的最少费用． 23. 每年的4月24日为“中国航天日”，近年来我国航空事业取得重大突破，大大激发了国民对航天的热情和兴趣，某学校积极开展了航空航天知识竞赛，并从参加竞赛的学生中随机抽取了40名学生的竞赛成绩（满分100分），进行统计后，绘制出如下不完整的统计表和频数分布直方图： 分组 成绩/分 频数 组内平均成绩/分 6 65 8 74 83 10 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中_____，所抽取学生竞赛成绩的中位数位于_____组，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的学生竞赛成绩的平均数； （3）若该校共有880名学生参加了此次航空航天知识竞赛，请你估计成绩高于80分的学生人数． 24. 如图，在中，以的中点为圆心，为直径作，与交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 25. 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等．如图是某数学兴趣小组设计的一款抛物线形状的校门正面示意图，该校门由抛物线和左右对称的矩形门房、及中间的电动推拉门（完全拉开时，为图中阴影部分，即矩形）构成，点与点都在抛物线上，且两点关于抛物线的对称轴对称．已知，抛物线的最高点到地面的距离为．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点在轴上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知电动推拉门的高度为（即），求点到抛物线的竖直距离． 26. 【问题探究】 （1）如图1，点是四边形内一点，连接、、，，，．若，则的长为_____； （2）如图2，在四边形中，，点是四边形内一点，连接、、、，，，，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某开发商要在所建小区留出一块形如四边形的绿地，为了美观，计划沿对角线铺设一条鹅卵石小路（宽度忽略不计），已知铺设成本为150元/，现要估计铺设这条鹅卵石小路的预算，需要求出的长．已知，，，，， 求铺设这条鹅卵石小路所需的费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期中质量抽样监测九年级数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 16的算术平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，“如果一个非负数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的算术平方根”． 【详解】解：16的算术平方根4． 故选：A． 2. 如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四棱柱 D. 五棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：由题意知， 上下底面是五边形， 故该几何体是五棱柱． 3. 如图，已知；射线交于点，点在上，交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和求出，然后利用平行线的性质即可求得的度数. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照单项式乘单项式的运算法则，分别计算系数乘积和同底数幂的乘积，即可得到结果． 【详解】解：． 5. 如图，在中，是的中线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是的中线得，在中利用勾股定理得，最后在中求的正切值即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 已知点和点在一次函数（k为常数，且）的图象上，若，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次函数的增减性判断的符号，再结合一次函数与轴的交点位置，判断函数图象经过的象限，从而得到答案． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，且时，，即随的增大而增大， ∴， 又∵一次函数中，常数项，说明函数图象与轴交于负半轴， ∴该一次函数的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限． 7. 如图，四边形内接于，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，根据圆周角定理得出，求出，根据圆内接四边形的性质得出，即可求解． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， 故选：A． 8. 已知二次函数（为常数，且）的部分与的对应值如下表： … 1 … … 7 0 … 则下列关于二次函数的说法不正确的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象的对称轴为直线 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再化为顶点式，然后根据二次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，将表格中和代入解析式得 ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴ 函数图象开口向上，选项A正确； 函数图象的对称轴为直线，选项B正确； ∵函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，因此选项C错误； 当时， ，因此选项D正确． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】观察原式，可将化为，原式符合平方差公式的形式，可利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 10. 将如图所示的图形绕其中心点旋转一定角度后会与原图形重合，则这个角度可以是_____．（写出一个符合题意的角度即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：将如图所示的图形绕其中心点旋转一定角度后会与原图形重合，则这个角度可以是． 11. 我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．如图，由边长分别为、的两个正方形和两个长、宽分别为、的矩形无缝隙、无重叠地拼成边长为的正方形，若，则的值为_____． 【答案】13 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， ， ． 12. 如图，在菱形中，连接，若，则菱形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，根据勾股定理求出，进而可得，最后求出菱形面积. 【详解】解：连接交于点， ∵菱形中， ∴ ， ∴， ∴ . 13. 如图，点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，轴于点，点是的中点，点在轴上，连接，若四边形的面积为3，则的值为_____． 【答案】－6 【解析】 【分析】先根据点是的中点，点在轴上，轴，得出，，， 再根据可得四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质得出，进而可求出，即，进一步得出，最后根据反比例函数系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：如图： ∵点是的中点，点在轴上， ∴轴，， 又∵轴， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵点在反比例函数（为常数，且，）的图象上， ∴ ． 14. 如图，在矩形中，，点是矩形内的动点，连接、、，且与始终互余，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】以中点为圆心，为半径作，连接 ，与交于点，则点在矩形内部的上运动，根据当点与点重合时最小求解即可. 【详解】解：∵与始终互余， ∴， 以中点为圆心，为半径作，连接 ，与交于点，则点在矩形内部的上运动， ∴ ， ∵在中， ，又， ∴当点与点重合时最小为 ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算乘方、开方、锐角三角函数，最后算加减即可. 【详解】解：原式， ． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解即可. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，已知四边形，利用尺规作图法在边上求作一点，连接、，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线即可. 【详解】解：如图所示，作线段的垂直平分线交于点，连接， 点即为所求． 19. 如图，在正方形中，对角线、交于点，点、分别在、上，连接、，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据正方形的性质，利用证明，即可证得结论． 【详解】证明：四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ． 20. 中国四大传统节日指春节、清明节、端午节、中秋节．某班举办传统节日手抄报展览，共有春节、清明节、端午节、中秋节四个主题，要求每名学生选择主题进行手抄报创作．班长将正面分别印有．春节，．清明节，．端午节，．中秋节的四张不透明卡片背面朝上放在桌子上洗匀，这四张卡片背面完全相同． （1）该班小明同学从这四张卡片中随机抽取一张，则他抽到．春节的概率为_____； （2）若该班班长准备制作两个主题的手抄报，他从这四张卡片中同时随机抽取两张，创作对应主题的手抄报，请用列表或画树状图的方法，求该班班长创作的手抄报主题恰好是．端午节和．中秋节的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式解答即可； （2）根据题意画出树状图，再根据概率公式解答即可． 【小问1详解】 解：∵小明同学从这四张卡片中随机抽取一张， ∴他抽到．春节的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可知共有种等可能的结果，其中该班班长创作的手抄报主题恰好是．端午节和．中秋节的结果有种， （该班班长创作的手抄报主题恰好是．端午节和．中秋节）． 21. 文元塔位于府谷香炉山森林公园内，登塔可观赏香炉山景点及府谷、保德两县景观．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量文元塔的高度，活动报告如下： 活动主题 测量文元塔的高度 测量过程及示意图 如图，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上． 测量数据 图形说明 ，点在同一水平线上，图中所有点在同一平面内 请你根据以上活动报告，求出文元塔的高度． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件得出，根据相似三角形的性质可得，再由，可求出，最后根据可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 解得， 文元塔的高度为． 22. 随着环保意识的增强和科技的进步，新能源汽车逐渐成为了人们出行的新选择，为了满足新能源汽车的充电需求，某充电站计划购进甲、乙两种充电桩共50台，已知甲充电桩的价格为1500元/台，乙充电桩的价格为1000元/台．设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该充电站管理员要求购进甲充电桩的数量不少于乙充电桩数量的4倍，求购买这两种充电桩所需的最少费用． 【答案】（1） （2）70000元 【解析】 【分析】（1）设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元，根据计划购进甲、乙两种充电桩共50台，甲充电桩的价格为1500元/台，乙充电桩的价格为1000元/台列出关系式即可； （2）先根据计划购进甲、乙两种充电桩共50台，购进甲充电桩的数量不少于乙充电桩数量的4倍，得出，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元， 根据题意，得 ， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意可得， 解得， 在中，， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为（元）， 购买这两种充电桩所需的最少费用为70000元． 23. 每年的4月24日为“中国航天日”，近年来我国航空事业取得重大突破，大大激发了国民对航天的热情和兴趣，某学校积极开展了航空航天知识竞赛，并从参加竞赛的学生中随机抽取了40名学生的竞赛成绩（满分100分），进行统计后，绘制出如下不完整的统计表和频数分布直方图： 分组 成绩/分 频数 组内平均成绩/分 6 65 8 74 83 10 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中_____，所抽取学生竞赛成绩的中位数位于_____组，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的学生竞赛成绩的平均数； （3）若该校共有880名学生参加了此次航空航天知识竞赛，请你估计成绩高于80分的学生人数． 【答案】（1）16，，见解析 （2）82分 （3）572名 【解析】 【分析】（1）根据抽取的总学生人数减去A、B、D组的人数即可得a的值；根据中位数的定义和抽取学生人数可知中位数是成绩从小到大排序后的第20和21位的成绩的平均数，结合各分组的人数即可判断； （2）根据平均数的定义列式计算即可； （3）利用该校参加了此次竞赛的总学生人数乘以成绩高于80分的学生人数的占比，即可解答． 【小问1详解】 解： ， ∵随机抽取了40名学生，即中位数是成绩从小到大排序后的第20和21位的成绩的平均数， ∴中位数位于组（或）； 补全频数直方图如下： 【小问2详解】 解： （分）， 答：所抽取的学生竞赛成绩的平均数为82分． 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计成绩高于80分的学生人数为572名． 24. 如图，在中，以的中点为圆心，为直径作，与交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，再由可得，根据是的直径，可得，进而可得，进一步可得，即，即可得证； （2）先由，可得，根据相似三角形的性质得，即，再根据，可得，最后根据勾股定理求得，即的半径为． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ． 是的直径， ， ， ， ，即， 是的切线． 【小问2详解】 解：， ， ，即． ， ， ，则． 在中，， 的半径为． 25. 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等．如图是某数学兴趣小组设计的一款抛物线形状的校门正面示意图，该校门由抛物线和左右对称的矩形门房、及中间的电动推拉门（完全拉开时，为图中阴影部分，即矩形）构成，点与点都在抛物线上，且两点关于抛物线的对称轴对称．已知，抛物线的最高点到地面的距离为．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点在轴上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知电动推拉门的高度为（即），求点到抛物线的竖直距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知抛物线的顶点坐标为，则设抛物线的函数表达式为，代入点O坐标即可解答； （2）根据题意可知点的坐标为，代入（1）中所求抛物线的函数表达式，即可得此时抛物线到的距离，进而求得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为（或）． 【小问2详解】 解：， 点的坐标为． 当时，， 答：点到抛物线的竖直距离为． 26. 【问题探究】 （1）如图1，点是四边形内一点，连接、、，，，．若，则的长为_____； （2）如图2，在四边形中，，点是四边形内一点，连接、、、，，，，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某开发商要在所建小区留出一块形如四边形的绿地，为了美观，计划沿对角线铺设一条鹅卵石小路（宽度忽略不计），已知铺设成本为150元/，现要估计铺设这条鹅卵石小路的预算，需要求出的长．已知，，，，， 求铺设这条鹅卵石小路所需的费用． 【答案】（1）3 （2） （3）元 【解析】 【分析】（1）通过，，即可证明，然后利用对应成比例求得答案； （2）先证明，，，得到，利用三角形内角和可得，过点作交的延长线于点，可证为等腰直角三角形，然后利用勾股定理可求得答案； （3）在左侧作，且，连接，先证明，得到，接着算得， 过点作交的延长线于点，则，那么，接着利用勾股定理求得，，过点作于点，则，可得与重合，最后利用，求得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴ ， 过点作交的延长线于点，如图所示： ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在左侧作，且，连接， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 过点作交的延长线于点，则， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∵， ∴，即与重合， ∴， ∴， ∵铺设成本为150元/， ∴（元）， ∴铺设这条鹅卵石小路所需的费用为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $