专题04 实数（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

该初中数学实数专题知识清单系统整合了实数的分类、概念、运算等8大知识模块，覆盖平方根、立方根、无理数估算等核心内容，构建了从基础概念到题型应用再到易错辨析的阶梯式学习支架。 清单通过“知识清单+题型突破+易错警示”三维架构呈现知识体系，如将“平方根与算术平方根的区别”设为重点，配套15类题型含例题与变式训练，培养学生运算能力与推理意识。特别设计“无理数估算夹逼法”等实用技巧，标注易混概念对比，助力学生自主梳理知识，教师可直接用于专题复习或分层教学。

专题04 实数（8知识&15题型&4易错） 【清单01】实数的分类  1、按定义分类：   2.按性质符号分类： 注：0既不是正数也不是负数. 【清单02】实数的相关概念 1.相反数 (1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0. (2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 (3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0. 2.绝对值 |a|≥0． 3.倒数 （1）0没有倒数  (2)乘积是1的两个数互为倒数． 【清单03】平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 【清单04】立方根 1.如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“” （a称为被开方数）。 2. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 【清单05】实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应． 【清单06】实数大小的比较 1.数轴比较法：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 2.类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小 3.差值比较法：a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a＜b 4.平方比较法：a>⇒a2＞b(b≥0) 【清单07】实数的运算 先乘方，再乘除，后加减；有括号时先计算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序进行运算 【清单08】无理数的估算 一般采用“夹逼法”确定其值所在的范围．先确定无理数的被开方数，找出与被开方数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个无理数在哪两个整数之间． 【题型一】求一个数的算数平方根 【例1】（25-26八年级上·山东济南·月考）5的算术平方根等于（    ） A． B． C． D．25 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，熟悉算术平方根定义是解决问题的关键． 根据算术平方根定义直接求解即可得到答案． 【详解】解：5的算术平方根等于， 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东济南·期中）4的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根定义，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键．根据算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是其正平方根． 【详解】解：4的算术平方根是2． 故选：A． 【变式1-2】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根的计算；先计算乘方运算，再计算算术平方根． 【详解】解：， 故答案为3． 【题型二】算术平方根非负性的应用 【例2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知，则的算术平方根为（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，利用平方项和算术平方根的非负性，令各项为零，求出a和b的值，再计算的算术平方根。 【详解】解：∵且，， ∴且， ∴，即，，即， ∴， ∴的算术平方根为， 故选：A． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东东营·月考）若，则以a、b为边的等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．12或15 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，等腰三角形的定义，以及三角形三边的关系． 根据平方和算术平方根的非负性求出a和b的值，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系确定三边长，最后计算周长． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ ，， ∴ ，． 当腰为3时，三边为3、3、6； ∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴ 不能构成三角形． 当腰为6时，三边为6、6、3； ∵ ，，，均成立， ∴ 可以构成三角形，周长为 ． 故选：C． 【变式2-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）已知，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质和算术平方根，代数式求值，掌握相关知识点是解题关键．根据非负数的性质，平方根和平方项均非负，它们的和为零时，每项必须为零，从而可求出和的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：由， 因为，且， 所以，且， 由，得，即， 由，得，即， 因此， 则的算术平方根为， 故答案为：． 【题型三】算术平方根的规律探究 【例3】（24-25七年级下·云南德宏·期末）以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式规律探索、算术平方根，通过已知式子分析得出单项式系数及次数的变化规律，即可求解． 【详解】解：该组单项式可变形为： 因此第n个单项式的系数为，次数为n， 故第n个单项式是， 故选：B． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．通过观察可知第n行第列：n为偶数时，n为奇数时，由此规律即可求解． 【详解】解：第2行第1列， 第3行第2列， 第4行第3列， 第5行第4列， …… 第n行第列： n为偶数时， n为奇数时， 当时，第101行第100列为． 故选：B． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知，若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 将转化为，再利用平方根的定义解答． 【详解】解：∵， ∴， ， 即x的值等于； 故答案为：； 【题型四】算术平方根的实际应用 【例4】（24-25七年级下·山东济宁·期末）二十五宝玺为清代乾隆皇帝指定的代表国家政权的二十五方御用国宝的总称，其中大清受命之宝，白玉质，面是正方形．已知玉玺面的面积为，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，已知正方形面积为，求边长，根据正方形面积公式，边长等于面积的算术平方根即可得出结论． 【详解】解：设正方形边长为，则面积为， ， 综上，边长为， 故选：B． 【变式4-1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查算术平方根的应用，无理数的估算，根据拼接过程中面积不变，求出正方形的面积，进而求出边长，利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：由题意，正方形的面积为：， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是6； 故答案为：6． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【答案】(1)分米 (2)不需要继续伸长，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 平方分米的正方形， 正方形的边长为分米， “混天绫”的总长度分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是分米． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为分米，宽为分米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为分米，宽为分米， 长方形的周长为， ， ， 围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长． 【题型五】求一个数的平方根 【例5】（25-26七年级上·山东济南·期中）4的平方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据平方根的定义，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根是． 故选D． 【变式5-1】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如果一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ，它的平方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查算术平方根，平方根的定义及计算，掌握平方根的计算是关键． 根据算术平方根的定义，算术平方根为，则这个数为 ；再求这个数的平方根，注意平方根有两个值． 【详解】解：设这个数为 ，则其算术平方根为，由题意得 ， 所以 ， 的平方根为， 故答案为：①，②． 【变式5-2】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）已知：．求： (1)x、y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，求平方根，掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键． （1）根据算术平方根和绝对值的非负性求解即可； （2）先求出的值，即可求出它的平方根． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，． （2）解：当，时， ， ∴的平方根是． 【题型六】已知平方根求这个数 【例6】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）已知的两个平方根是3和，则的值是（   ） A．3 B．49 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键．如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 根据平方根的定义求出的值，进而可知的值． 【详解】解：∵的两个平方根是3和， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-1】（25-26七年级上·山东东营·月考）若与是同一个正数的平方根，则的值为 ． 【答案】4或100/100或4 【分析】本题考查平方根．根据平方根的性质，同一个正数的两个平方根互为相反数或相等，据此列出方程求解． 【详解】解：设与是正数的平方根，则有两种情况： 当时， 解得， ， ． 当时， 解得， ， ． 的值为4或100． 故答案为：4或100． 【变式6-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）如果一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查平方根的定义，利用正数的两个平方根互为相反数，建立方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得， ∴， ∴这个正数是； 故答案为：25． 【题型七】平方根的实际应用 【例7】（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x， 由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有 ， 即 解得 ， ， ， 则阴影部分正方形的边长为． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·山西临汾·月考）在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 【答案】王叔叔没有超速，理由见解析 【分析】本题考查平方根的实际应用，熟练应用平方根的性质计算是解题的关键．根据题意，将代入，求出速度，即可解答． 【详解】解：王叔叔没有超速．理由如下： 将代入，得． ， ， 是正数， ． ， 王叔叔没有超速． 【变式7-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 【答案】(1)长为 ，宽为 (2)不能裁出面积为的正方形，理由见解析 (3)不能裁出面积为的完整圆形，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）设这个纸片的长为，宽为，根据面积的计算方法求出的值，进而确定原长方形的长与宽； （2）根据面积的大小进行判断即可； （3）根据圆面积的计算方法求出圆的半径，进而求出直径，再根据原长方形纸片的长、宽进行判断即可． 【详解】（1）解：设这个纸片的长为，宽为，由题意得： ， 解得：，负值舍去， 即长为，宽为； （2）解：不能裁出想要的正方形纸片， 原长方形纸片的面积为，而要裁出的正方形的面积为， 不能裁出想要的正方形纸片； （3）解：不能裁出想要的圆形纸片，理由如下： 圆形纸片的面积为，即， 半径，负值舍去， 直径为，即， ∵， 不能裁出想要的圆形纸片． 【题型八】求一个数的立方根 【例8】（25-26八年级上·山东青岛·月考）36的平方根 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根等知识点，掌握算术平方根和平方根的关系是解题的关键． 直接根据平方根、算术平方根、立方根的定义求解即可． 【详解】解：36的平方根，的算术平方根是，的立方根是． 故答案为：，3，． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）的算术平方根是 ，的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根和求一个数的立方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：的算术平方根是，的平方根是，的立方根是， 故答案为：；；． 【变式8-2】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）小明是一位电脑爱好者，他设计了一个程序，其流程图如下，当输入的值为64时，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的计算及无理数的判断；根据程序进行计算判断即可． 【详解】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出的值是； 故答案为：． 【题型九】立方根的实际应用 【例9】（25-26八年级上·福建泉州·期中）南安拥有国家二类港口石井港，区位优势得天独厚，对台交流往来频繁，为企业的原料进口、产品出口及技术合作都提供了便利．已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键． 通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 故选：D 【变式9-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）有两个正方体纸盒，第一个纸盒的棱长是，第二个纸盒的体积比第一个纸盒的体积大．求第二个纸盒的棱长． 【答案】第二个纸盒的棱长为． 【分析】本题考查了立方根的应用，先求出第二个纸盒的体积为，然后根据立方根的定义即可求解，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵第一个正方体纸盒的棱长为， ∴其体积为， ∵第二个正方体纸盒的体积比第一个大， ∴第二个纸盒的体积为， ∴第二个纸盒的棱长为， 答：第二个纸盒的棱长为． 【变式9-2】（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． (1)正方体的边长为 cm； (2)求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． (3)若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 【答案】(1)3 (2)蜘蛛爬行的最短路径为 (3)竹签的最大长度为 【分析】本题主要考查了一个数的立方根，勾股定理等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据求一个数的立方根即可得到答案； （2）因为是正方体所以把链接的两个面铺平即可找到最短路径，根据勾股定理求出答案即可； （3）根据题意找到最长的长度，运用两次勾股定理求出答案即可； 【详解】（1）解： ∵ ∴正方体的变成为3， 故答案为：3； （2）解：如图所示，线段AB为蜘蛛爬行的最短路线． 在中， ， ∴蜘蛛爬行的最短路成为 （3）解：在中， ， 在中， ，， 所以竹签的最大长度为 【题型十】平方根与立方根的综合应用 【例10】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．利用算术平方根和立方根的定义列出方程，求出a和b的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意，∵的算术平方根为， ∴， 解得． 又∵的立方根为， ∴， 解得． ∴， ∴的立方根为． 【变式10-1】（24-25七年级下·山东滨州·月考）（1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （2）一个正数x的平方根分别是和，求正数x． 【答案】（1）；（2）9 【分析】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握相关定义列出方程是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的性质求出a，b的值，再估算出的大小，可得c的值，即可求解． （2）根据平方根的性质可得，求出a的值，即可． 【详解】解：（1）∵的立方根是3， ∴， 解得， 又∵的算术平方根是4， ∴， ∵， 解得：， ∵c是的整数部分，而， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）∵正数x的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴正数． 【变式10-2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 【题型十一】无理数的估算 【例11】（25-26八年级上·广东梅州·月考）下列整数中，与的值最接近的是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估值，先计算的近似值，与选项比较找出最接近的整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的值最接近的整数是7． 故选：A． 【变式11-1】（25-26九年级上·重庆·月考）若，则整数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，化简表达式为，再通过估算的值确定其范围即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由 ， 又∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式11-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）若的整数部分是，的小数部分是，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确地估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．只需首先对估算出大小，从而求出其的整数部分与的小数部分，得出a，b的值后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的整数部分是a， 的小数部分是b， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【题型十二】实数的比较大小 【例12】（25-26八年级上·山东青岛·月考）下列各组数的比较中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的比较大小，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键． 利用实数的大小比较，逐个选项分析判断即可． 【详解】解：A、，所以，故此选项正确，不符合题意； B、，所以，故此选项正确，不符合题意； C、，所以，所以，故此选项错误，符合题意； D、，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式12-1】（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 【变式12-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）比较的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的大小比较，利用即可判断． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【题型十三】实数与数轴 【例13】（25-26八年级上·山东青岛·月考）若将，，，四个无理数表示在数轴上，其中能被如下图所示的墨迹覆盖的数有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，无理数的估算，熟练掌握知识点是解题的关键．直接利用夹逼法估算各个无理数的大小，再看是否在墨迹覆盖范围内即可． 【详解】解：由数轴可得，墨迹覆盖区域的范围为大于等于1且小于等于3， ∵， ∴，则，不在墨迹覆盖区域； ∵， ∴在墨迹覆盖区域； ∵， ∴，不在墨迹覆盖区域； ∵， ∴，不在墨迹覆盖区域； 将，，，四个无理数表示在数轴上，其中能被如下图所示的墨迹覆盖的数有1个， 故选：A． 【变式13-1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，立方根和算术平方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式13-2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______ dm； (2)由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为______； (4)若，，求代数式的值，并用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上表示对应的点．保留作图痕迹 【答案】(1) (2)， (3) (4)，见解析 【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据正方形的对角线的长为，再根据数轴表示数的方法进行计算即可； （3）面积为5的正方形的边长为即可； （4）化简代入计算结果为，再在数轴上表示即可． 本题考查实数与数轴，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：边长为1的小正方形的对角线长为， 故答案为：； （2）由题意得，点A所表示的数为，点B所表示的数为， 故答案为：，； （3）由题意可知，正方形的面积为5，因此边长为， 故答案为：； （4），， ∴， 在数轴表示如图所示： 【题型十四】实数的混合运算 【例14】（25-26八年级上·广东佛山·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先计算有理数的乘方、立方根、算术平方根、化简绝对值，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】解： ． 【变式14-1】（2025·山东济南·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是实数的混合运算、求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、立方根，解题关键是熟练掌握相关运算． 先化简算术平方根、立方根、化简绝对值，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解：， ， ． 【变式14-2】（23-24八年级上·山东枣庄·月考）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的运算．熟记运算法则，按照运算顺序进行计算是解题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根，再根据运算法则，先乘方，再乘法最后进行加法运算即可； （2）先计算算术平方根、立方根，零指数幂，负整数指数幂，最后进行加减法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型十五】实数的性质 【例15】（25-26八年级上·全国·随堂练习）的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的绝对值是， 故选：B． 【变式15-1】（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的数是相反数．根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 【变式15-2】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如果和互为相反数，那么的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查实数的性质，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据互为相反数的两个数和为0，结合算术平方根的非负性求出的值，进而求出的立方根即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：2． 【题型一】立方根的概念辨析 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是．其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根和立方根的定义，理解平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义，逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：∵0和正数都有平方根， ∴①错误， ∵是的一个平方根， ∴②正确， ∵平方根等于它本身的数只有， ∴③正确， ∵的立方根是3， ∴④错误， 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东济南·月考）下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据立方根和平方根的定义进行作答即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B.负数没有算术平方根，故本选项不符合题意； C.立方根等于本身的数有、、，故本选项不符合题意； D.的立方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东济宁·期末）下列说法中错误的是（    ） A．是5的算术平方根 B．0的平方根和立方根都是0 C．的平方根是±3 D．是的一个平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根的概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：是5的算术平方根， 算术平方根是非负数，且满足，故A正确； 选项B：0的平方根和立方根都是0， 平方根和立方根的定义中，0的平方根和立方根均为0，故B正确； 选项C：的平方根是， ，而3的平方根应为，而非，的平方是9，属于的平方根混淆错误，故C错误； 选项D：是的一个平方根， ，9的平方根为，因此是9的一个平方根，故D正确； 故选C． 【题型二】无理数的辨析 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·月考）在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的判断，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否无理数即可． 【详解】解：在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数是，，，0.10010001…共4个， 故选：C． 【变式2-1】（22-23七年级下·广西梧州·期末）在实数：，0，，，，，（相邻两个4之间3的个数逐次增加1个）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的定义． 根据无理数的定义逐项进行判断即可，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：根据无理数的定义得， 是无理数的有：，，（相邻两个4之间3的个数逐次增加1个） 共3个， 故选：C． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列各数是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比，据此进行逐项判断即可． 【详解】解：A、是分数，是有理数； B、，6不是完全平方数，为无理数； C、是有限小数，是有理数； D、是分数，是有理数； 故选：B． 【题型三】平方根的辨析 【例3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．17是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．0.9的算术平方根是0.03 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根与算术平方根的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、是16的平方根，故原说法正确，不符合题意； B、17是的算术平方根，故原说法正确，不符合题意； C、的算术平方根是，故原说法正确，不符合题意； D、0.9的算术平方根不是0.03，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．是64的一个平方根 C．的算术平方根是4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键． 依据平方根的定义、算术平方根的定义逐一分析各选项，进行判断即得． 【详解】A. 的平方根是，而选项仅给出，遗漏负根，故错误． B. 64的平方根是±8，−8是其中一个平方根，正确． C. ，4的算术平方根是2，而非4，故错误． D. 表示算术平方根，结果为9，而非，故错误． 故选：B． 【变式3-2】（23-24七年级下·北京西城·月考）下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】依次对每个说法根据平方根、算术平方根的定义进行判断，确定正确说法的个数．本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解： 的平方根是，故①错误； 没有平方根，故②错误； ，故③错误； 是的算术平方根，故④错误； ，的算术平方根是，则的算术平方根是，故⑤错误； 算术平方根是一个非负数，则的算术平方根是，故⑥错误． 综上正确的说法有0个， 故选：A． 【题型四】实数的分类 【例4】（25-26七年级上·山东青岛·月考）把下列各数的序号填入相应的集合中： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦2005，⑧，⑨ 负数集合：___________；整数集合：___________； 负分数集合：___________；非负整数集合：___________． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握实数的分类方法． 根据实数分类方法进行解答即可． 【详解】解：负数集合：①，③，⑤，⑧； 整数集合：②，④，⑤，⑦； 负分数集合：①，③，⑧； 非负整数集合：②，④，⑦． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）将下列对应的序号填入括号里：①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个2之间依次多1个0） 分数：（                  ） 有理数：（                   ） 无理数：（                   ） 【答案】⑤⑥⑦；②③⑤⑥⑦；①④⑧ 【分析】本题主要考查实数的分类，掌握无理数，分数和有理数的概念是解题的关键．根据实数的分类，无理数，分数和有理数的概念，即可得到答案． 【详解】解：， 分数：（⑤⑥⑦） 有理数：（②③⑤⑥⑦） 无理数：（①④⑧） 【变式4-2】（25-26八年级上·山东青岛·月考）把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． (1)有理数集合：{                                            …}． (2)无理数集合：{                                            …}． (3)正实数集合：{                                            …}． (4)负实数集合：{                                            …}． (5)整数集合：{                                                …}． (6)分数集合：{                                                …}． 【答案】(1)，，，，， (2)，（相邻两个之间的个数逐次加） (3)，，，（相邻两个之间的个数逐次加） (4)，， (5) (6)，，，， 【分析】本题考查了实数的分类，有理数和无理数统称实数；实数也分为正实数、0、负实数；整数和分数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数，透彻理解定义是解题的关键．根据实数的分类及定义即可得出答案． 【详解】（1）解：有理数集合：{，，，，，，…}． （2）解：无理数集合：{，（相邻两个之间的个数逐次加） …}． （3）解：正实数集合：{，，，（相邻两个之间的个数逐次加）…}． （4）解：负实数集合：{，，，…}． （5）解：整数集合：{， …}． （6）解：分数集合：{，，，，，…}． 试卷第18页，共30页 网（北京）股份有限公1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 实数（8知识&15题型&4易错） 【清单01】实数的分类  1、按定义分类：   2.按性质符号分类： 注：0既不是正数也不是负数. 【清单02】实数的相关概念 1.相反数 (1)代数意义：只有 的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0. (2)几何意义：在数轴上原点的 ，与原点 的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点 (3)互为相反数的两个数之和等于 .a、b互为相反数 2.绝对值 |a|≥0． 3.倒数 （1）0没有   (2)乘积是1的两个数互为 ． 【清单03】平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有 ，它们互为 ；0的平方根是 ；负数 。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 【清单04】立方根 1.如果x3=a，则x叫做a的 ，记作“ ” （a称为被开方数）。 2. 正数有一个正的立方根； 的立方根是0；负数有一个 。 3. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 【清单05】实数与数轴 实数与数轴上的点一一 ． 【清单06】实数大小的比较 1.数轴比较法：数轴上表示的两个数， 的数总比 的数大 2.类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小， 的反而小 3.差值比较法： ⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b； ⇔a＜b 4.平方比较法：a>⇒a2＞b(b≥0) 【清单07】实数的运算 先乘方，再乘除，后加减；有括号时先计算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序进行运算 【清单08】无理数的估算 一般采用“夹逼法”确定其值所在的范围．先确定无理数的被开方数，找出与被开方数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个无理数在哪两个整数之间． 【题型一】求一个数的算数平方根 【例1】（25-26八年级上·山东济南·月考）5的算术平方根等于（    ） A． B． C． D．25 【变式1-1】（25-26八年级上·山东济南·期中）4的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【题型二】算术平方根非负性的应用 【例2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知，则的算术平方根为（　　） A．1 B．3 C． D． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东东营·月考）若，则以a、b为边的等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．12或15 【变式2-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）已知，则的算术平方根为 ． 【题型三】算术平方根的规律探究 【例3】（24-25七年级下·云南德宏·期末）以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知，若，则的值等于 ． 【题型四】算术平方根的实际应用 【例4】（24-25七年级下·山东济宁·期末）二十五宝玺为清代乾隆皇帝指定的代表国家政权的二十五方御用国宝的总称，其中大清受命之宝，白玉质，面是正方形．已知玉玺面的面积为，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【题型五】求一个数的平方根 【例5】（25-26七年级上·山东济南·期中）4的平方根是（   ） A． B． C．2 D． 【变式5-1】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如果一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ，它的平方根是 ． 【变式5-2】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）已知：．求： (1)x、y的值； (2)求的平方根． 【题型六】已知平方根求这个数 【例6】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）已知的两个平方根是3和，则的值是（   ） A．3 B．49 C．4 D． 【变式6-1】（25-26七年级上·山东东营·月考）若与是同一个正数的平方根，则的值为 ． 【变式6-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）如果一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数是 ． 【题型七】平方根的实际应用 【例7】（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 【变式7-1】（25-26八年级上·山西临汾·月考）在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 【变式7-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 【题型八】求一个数的立方根 【例8】（25-26八年级上·山东青岛·月考）36的平方根 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）的算术平方根是 ，的平方根是 ，的立方根是 ． 【变式8-2】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）小明是一位电脑爱好者，他设计了一个程序，其流程图如下，当输入的值为64时，则输出的值为 ． 【题型九】立方根的实际应用 【例9】（25-26八年级上·福建泉州·期中）南安拥有国家二类港口石井港，区位优势得天独厚，对台交流往来频繁，为企业的原料进口、产品出口及技术合作都提供了便利．已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【变式9-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）有两个正方体纸盒，第一个纸盒的棱长是，第二个纸盒的体积比第一个纸盒的体积大．求第二个纸盒的棱长． 【变式9-2】（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． (1)正方体的边长为 cm； (2)求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． (3)若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 【题型十】平方根与立方根的综合应用 【例10】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 【变式10-1】（24-25七年级下·山东滨州·月考）（1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （2）一个正数x的平方根分别是和，求正数x． 【变式10-2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【题型十一】无理数的估算 【例11】（25-26八年级上·广东梅州·月考）下列整数中，与的值最接近的是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式11-1】（25-26九年级上·重庆·月考）若，则整数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）若的整数部分是，的小数部分是，则 ． 【题型十二】实数的比较大小 【例12】（25-26八年级上·山东青岛·月考）下列各组数的比较中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式12-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）比较的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型十三】实数与数轴 【例13】（25-26八年级上·山东青岛·月考）若将，，，四个无理数表示在数轴上，其中能被如下图所示的墨迹覆盖的数有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式13-1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ． 【变式13-2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______ dm； (2)由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为______； (4)若，，求代数式的值，并用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上表示对应的点．保留作图痕迹 【题型十四】实数的混合运算 【例14】（25-26八年级上·广东佛山·月考）计算：． 【变式14-1】（2025·山东济南·模拟预测）计算：． 【变式14-2】（23-24八年级上·山东枣庄·月考）计算： (1) (2)． 【题型十五】实数的性质 【例15】（25-26八年级上·全国·随堂练习）的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 【变式15-1】（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如果和互为相反数，那么的立方根是 ． 【题型一】立方根的概念辨析 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是．其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【变式1-1】（25-26八年级上·山东济南·月考）下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 【变式1-2】（24-25七年级下·山东济宁·期末）下列说法中错误的是（    ） A．是5的算术平方根 B．0的平方根和立方根都是0 C．的平方根是±3 D．是的一个平方根 【题型二】无理数的辨析 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·月考）在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】（22-23七年级下·广西梧州·期末）在实数：，0，，，，，（相邻两个4之间3的个数逐次增加1个）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列各数是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【题型三】平方根的辨析 【例3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．17是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．0.9的算术平方根是0.03 【变式3-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．是64的一个平方根 C．的算术平方根是4 D． 【变式3-2】（23-24七年级下·北京西城·月考）下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【题型四】实数的分类 【例4】（25-26七年级上·山东青岛·月考）把下列各数的序号填入相应的集合中： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦2005，⑧，⑨ 负数集合：___________；整数集合：___________； 负分数集合：___________；非负整数集合：___________． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）将下列对应的序号填入括号里：①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个2之间依次多1个0） 分数：（                  ） 有理数：（                   ） 无理数：（                   ） 【变式4-2】（25-26八年级上·山东青岛·月考）把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． (1)有理数集合：{                                            …}． (2)无理数集合：{                                            …}． (3)正实数集合：{                                            …}． (4)负实数集合：{                                            …}． (5)整数集合：{                                                …}． (6)分数集合：{                                                …}． 试卷第18页，共30页 网（北京）股份有限公1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $