第18讲 线段（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试

本讲义聚焦线段核心知识点，系统梳理线段、射线、直线的概念与区别，直线和线段的基本事实，比较与作线段的方法，以及线段的和差、中点等计算。知识点从概念辨析到操作应用，层层递进，构建完整学习支架。 该资料亮点在于题型覆盖全面，从基础辨析到动点问题，结合隧道、晾衣杆等生活实例培养几何直观与应用意识。强化训练分层设计，助力提升推理能力与运算能力，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺。

第18讲 线段（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.线段、射线和直线 2.直线的基本事实 3.比较线段的长短 4.作一条线段等于已知线段 5.线段的基本事实 6.线段的和与差 7.线段的中点 题型巩固 一、直线、射线、线段的联系与区别 二、直线、线段、射线的数量问题 三、直线相交的交点个数问题 四、画出直线、射线、线段 五、点与线的位置关系 六、两点确定一条直线 七、两点之间线段最短 八、两点间的距离 九、作线段(尺规作图) 十、线段的和与差 十一、线段中点的有关计算 十二、线段n等分点的有关计算 十三、线段之间的数量关系 十四、与线段有关的动点问题 强化训练 单选题（9） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.线段、射线和直线 1.概念 概念 特征 线段 连结两个点之间的笔直的线。 ①有两个端点；②可以度量；③可以比较长短。 射线 将线段向一个方向无限延长就形成了射线。 ①有一个端点，只向一方无限延长；②不能度量；③不能比较大小。 直线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线。 ①无端点，向两方无限延长；②不能度量； ③不能比较大小。 2.表示方法 （1）线段的表示方法： ①用表示线段的两个端点的大写字母表示（与字母顺序无关）； （线段延长线的表示： 反向延长线段AB至点C或延长线段BA至点C ） ②用一个小写字母表示。 （2）射线的表示方法： 用表示射线的端点和射线上另外任意一点的两个大写字母表示（表示端点的字母必须写在前面）。（端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线，两条射线为同一条射线必须满足：①端点相同；②延长的方向相同） （3）直线的表示方法： ①用表示直线上面任意两个点的大写字母表示（与字母顺序无关）； ②用一个小写字母表示。 3.点与直线的位置关系： 点与直线的位置关系 图示 记作 点在直线上 点A在直线l上或直线l 经过点A 。 点在直线外 点B在直线l外或直线l 不经过点B 。 辨析：线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示方法 线段AB或线段a 射线OM 直线AB或直线l 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一个方向无限延伸 向两个方向无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 线段向一个方向无限延长就成为射线,向两个方向无限延长就成为直线；射线向反方向无限延长就成为直线。 知识点2.直线的基本事实 基本事实：经过两点有一条而且只有一条（两层含义：（1）存在性，两点能确定一条直线；（2）唯一性，经过这两点的直线是“独一无二”的）直线。可以简单地说成：两点确定一条直线。 知识点3.比较线段的长短 1.度量法（数的比较）： 利用刻度尺量出两条线段的长度，然后比较它们的长短。 2.叠合法（形的比较）： 如图，用圆规把两条线段（如线段AB,CD ）叠在一起进行比较，步骤如下： （1）用圆规量取线段AB ； （2）将圆规上表示点A的尖与线段CD的端点C 重合； （3）若端点B落在线段CD的延长线上，则线段AB大于线段CD ，可记为AB>CD ；若端点B与端点D重合，则线段AB等于线段CD，可记为AB=CD ；若端点B落在线段CD上（不含点D），则线段AB小于线段CD ，可记为AB<CD 。 知识点4.作一条线段等于已知线段 1.尺规作图：在数学中,限定用无刻度的直尺和圆规作图，即是尺规作图。 2.作一条线段等于已知线段a （图1）的方法作法：如图2，（1）任意画一条射线AC ；（2）用圆规量取已知线段a 的长度；（3）在射线AC上截取AB=a 。线段AB 就是所求作的线段。（作图完毕后，必须写上结论） 图 2 图 1 知识点5.线段的基本事实 1.线段的基本事实：在所有连结两点的线中，线段最短。简单地说，两点之间线段最短。 2.两点间的距离：连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离。 注意： 线段是图形，两点间的距离是线段的长度，两者不同。 知识点6.线段的和与差 两条线段的和 两条线段的差（两条线段的和或差仍是一条线段） 概念 如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和。 如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。 条件 图形 作法 1.作射线AD 。 2.在射线AD 上截取AB=a 。 3.在射线BD 上截取BC=b 。 1.作线段AB=b 。 2.在线段AB上截取AC=a 。 结论 线段AC=AB+BC=a+b，线段AC 就是所求作的线段。 线段BC=AB−AC=b−a ，线段BC 就是所求作的线段。 知识点7.线段的中点 概念 点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C 叫作线段AB 的中点。 几何表述 因为点C是线段AB的中点，所以AB=2AC=2BC 或AC=BC=AB 。 图示 说明：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB 上。 教材延伸 线段的三等分点、四等分点。将线段AB分成相等的三条线段AM,MN,NB，点M，N即线段AB 的三等分点。同样还可以得到线段的四等分点等。如图所示。 类似地，还有线段的五等分点、六等分点等。 题型巩固 题型一、直线、射线、线段的联系与区别 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，点M，P，N是直线l上从左至右的三个点，下列说法错误的是（  ） A．点P在直线上 B．点P在线段上 C．点N在线段上 D．点N在射线上 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A．点P在直线上，正确，故选项A不符合题意； B．点P在线段上，正确，故选项B不符合题意； C．点N在线段的延长线上，故选项C错误，符合题意； D．点N在射线上，正确，故选项D不符合题意． 故选：C． 2．下列图示中，直线表示方法正确的有 （填序号）    【答案】①④/④① 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】根据直线的表示方法进行判断即可． 【详解】解：用两个点表示直线时，这两个点必须是大写字母，故②③错误，①正确； 用一个字母表示直线时，这个字母必须是小写，且不要在直线上标点，故④正确． 【点睛】本题考查直线的表示方法：用一个小写字母或一条直线上的两个点来表示直线，但前面必须加“直线”两字，掌握直线的表示法是解题的关键． 3．如图所示，共有多少条直线、射线、线段？请依次指出．    【答案】见解析 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】根据直线、射线和线段的定义进行判断即可得到答案． 【详解】题图中共有2条直线，即直线，； 13条射线，即射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线，还有6条不可以表示的； 6条线段，即线段，线段，线段，线段，线段，线段． 【点睛】本题考查直线、线段和射线的定义，直线：能够向两端无限延伸的线；射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点；线段：直线上两点和中间的部分叫做线段，这两个点叫线段的端点． 题型二、直线、线段、射线的数量问题 4．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）如图，C是线段上的一点，则图中的线段数量是（   ）    A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟练掌握线段的定义是解题的关键．根据线段的定义，即可解答． 【详解】解：图中的线段有：线段，线段，线段，共有3条， 故选：C． 5．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）墙上挂着一幅中国地图，北京、杭州、成都三个城市用三个点表示，过其中任意两个点画直线，共有 条直线． 【答案】3 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题主要考查了直线、射线和线段的定义，解题的关键是熟练掌握两点确定一条直线，根据北京、杭州、成都三个城市不在同一直线上，得出过其中任意两个城市画直线，可以画出3条直线． 【详解】解：∵两点确定一条直线，北京、杭州、成都三个城市不在同一直线上， ∴过其中任意两个城市画直线，可以画出3条直线． 故答案为：3． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图： (1)图中有几条直线？ (2)图中有几条射线？能用图中字母表示的射线有几条？写出可以用字母表示的射线； (3)图中有几条线段？有哪些线段可用图中字母表示？ (4)如果一条直线上标注了n个点，那么有几条射线？ 【答案】(1)有1条直线 (2)有8条射线，能用字母表示的射线有6条，分别是射线，射线，射线，射线，射线，射线 (3)有6条线段，分别是线段，线段，线段，线段，线段，线段 (4)一条直线上标注了n个点时，有条射线 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查的是射线，直线，线段的含义； （1）根据直线的定义可得答案； （2）根据每个端点处有2条射线，可得射线的总数量，根据射线的表示方法可得有6条射线可表示； （3）根据线段有两个端点，把线段都表示出来即可； （4）根据每个端点处有2条射线，从而额度答案． 【详解】（1）解：图中有1条直线； （2）解：以，，，为端点的射线共有8条， 能用字母表示的射线有6条，分别是射线，射线，射线，射线，射线，射线； （3）解：图中有6条线段，分别是线段，线段，线段，线段，线段，线段． （4）解：如果一条直线上标注了n个点，以每个点为端点的射线有2条， ∴有条射线． 题型三、直线相交的交点个数问题 7．（22-23七年级下·浙江嘉兴·月考）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（    ）个部分． A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】根据题意画出图形即可． 【详解】如图，    所以，平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了或个部分， 故选：． 【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题． 8．如图，直线、相交于点P，在这平面内，如果再画一条直线，那么它们的交点个数共有为 ． 【答案】1个或2个或3个 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】在同一平面内，两条直线平行，第三条直线与它相交，有2个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点． 【详解】当平行于或时，交点的个数为2个； 当与和都不平行，交于P点时，交点的个数为1个；不交于同一点时，交点的个数为3个． 故答案为：1个或2个或3个． 【点睛】本题考查了直线的交点个数问题，分类讨论是解题的关键． 9．用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【答案】5050个交点，见解析 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律． 根据两直线“两两相交”有1个交点，三直线“两两相交”有个交点，四条直线“两两相交”有个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可 【详解】解：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 题型四、画出直线、射线、线段 10．（24-25七年级上·浙江宁波·月考）下面各图中，表示线段、直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】此题主要考查了线段，射线，直线的表示方法，准确识图，熟练掌握线段，射线，直线的表示方法是解决问题的关键． 根据线段，射线，直线的表示方法对各个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、图中是直线，射线，故此选项不符合题意； B、图中是线段，点P、点Q，故此选项不符合题意； C、图中是射线，线段，故此选项不符合题意； D、图中是线段，直线，故此选项符合题意； 故选：D． 11．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是 【答案】线段a 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解：如图， ∴线段a与挡板另一侧的线段在同一直线上， 故答案为：线段a． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如图，已知点A，B，C，请画出下列图形： (1)直线； (2)射线； (3)线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了画图题，两点确定一条直线，直线、射线、线段的定义，正确理解定义是解题的关键． （1）根据直线的定义画图即可． （2）根据射线的定义画图即可． （3）根据线段的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图，直线为所求的直线； （2）解：如图，射线为所求的射线； （3）解：如图，线段为所求的线段． 题型五、点与线的位置关系 13．如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【知识点】点与线的位置关系 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 14．直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号） 【答案】①③④ 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题主要考查了点与直线的位置关系，熟练掌握点经过直线，说明点在直线上和点不经过直线，说明点在直线外是解题的关键．依据点与直线的位置关系进行判断，即可得到正确结论． 【详解】 由图可得，①点B在直线上，正确； ②直线不经过点C，错误； ③直线两两相交，正确； ④点B是直线的交点，正确； 故答案为：①③④． 15．用适当的语句表述图中点与直线的关系．（至少写3句） 【答案】见解析 【知识点】点与线的位置关系 【分析】根据点与直线的位置关系即可解答 【详解】解：（1）点在直线上； （2）点在直线上； （3）点在直线外； （4）点不在直线上； （5）直线经过点； （6）直线经过点； （7）直线经过点和点； （8）直线不经过点． 【点睛】本题主要考查了几何作图，注意叙述要准确． 题型六、两点确定一条直线 16．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）跑步比赛时，标记冲刺终点线的拉绳，只需要两个支点，其中蕴含的数学基本事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离 D．两点间的距离就是两点间的路程 【答案】A 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质，根据两点确定一条直线进行解答即可． 【详解】解：跑步比赛时，标记冲刺终点线的拉绳，只需要两个支点，其中蕴含的数学基本事实是两点确定一条直线． 故选：A． 17．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是 ． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，即两点确定一条直线．熟练掌握性质是解题的关键； 根据公理“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：因为“两点确定一条直线”，所以跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆． 故答案为：两点确定一条直线． 18．举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例． 【答案】见解析． 【知识点】两点确定一条直线 【分析】结合实例证明“经过两点有且只有一条直线”即可． 【详解】解：例如，在正常情况下，射击时要保证目标在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标；栽树时只要确定两个树坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线； 建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳，沿这根绳就可以砌出直的墙． 【点睛】本题考查了“经过两点有且只有一条直线”，熟知定义是解题的关键． 题型七、两点之间线段最短 19．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，从甲地到乙地已有一条环山公路a，现又花费人力物力修建隧道b，能解释这一现象最合理的数学知识是（　　） A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．点动成线 D．过一点可以作无数条直线 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键． 根据线段的性质可得答案． 【详解】解：能解释这一现象最合理的数学知识是两点之间线段最短． 故选：B． 20．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）新昌挂岩岭隧道和上角坪隧道（示意图如图）通过把部分道路取直以缩短路程，其中蕴含的数学原理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】此题主要考查了两点之间线段最短的性质，为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题的关键． 【详解】解：从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，使两点处于同一条线段上． 这样做包含的数学道理是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点（如图），请利用没有刻度的直尺和圆规按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)画线段，射线； (2)在射线上找一点（不与重合），使得； (3)在线段上找到一点，使点到、两点距离之和最小，请在图中标出点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题考查作图一复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键． （1）根据线段、射线的定义画图即可； （2）以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则点即为所求； （3）结合线段的性质，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段、射线即为所求， （2）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则点即为所求， （3）解：如图，连接交于点，则点即为所求， 题型八、两点间的距离 22．（2024七年级上·浙江·专题练习）在直线上顺次取不重合的，，，四点，则下列不一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两点间的距离 【分析】此题考查的是比较线段的长短，根据题意，画出图形，根据线段的比较大小可得答案． 【详解】解：如图： 根据图形可知：，，不一定小于，， 故选：C． 23．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是 ． 【答案】12 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了两点之间的距离．由题意得，，求得，，，，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 当，时，，， 符合题意，此时； 当，时，，， 不符合题意， 综上，k的值是12； 故答案为：12． 24．如图，M是线段AB的中点，点C在线段AB上，且AC=8cm，N是AC的中点，MN=6cm，求线段AB的长． 【答案】20cm． 【知识点】两点间的距离 【分析】根据线段中点的性质，可得AN的长，根据线段的和差，可得AM的长，根据线段中点的性质，可得答案． 【详解】解：由AC=8cm，N是AC的中点，得 AN= AC=4cm． 由线段的和差，得 AM=AN+MN=4+6=10cm． 由M是线段AB的中点，得 AB=2AM=20cm， 线段AB的长是20cm． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出AM的长是解题关键． 题型九、作线段(尺规作图) 25．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查利用圆规比较两条线段的大小，熟练掌握利用圆规比较两条线段的大小是解题的关键，根据圆规张口的大小即可判断，从而得到答案． 【详解】解：如图可知，用圆规的两个脚分别对准线段，的两个端点， ∵对准线段的圆规张口大于对准线段的圆规张口， ∴， 故选：C． 26．已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 【答案】①③⑤④② 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b． 【详解】解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，⑤在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b； ∴正确的顺序是①③⑤④② 故答案为：①③⑤④②． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 27．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面内有线段，和点，且，请按下列要求作图： (1)作射线，并在射线上取点，使得（请用无刻度的直尺和圆规作图，并保留作图痕迹，不写作法）： (2)在上取一点，使得最短，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析；两点之间，线段最短 【知识点】作线段(尺规作图)、两点之间线段最短、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则点即为所求． （2）结合线段的性质：两点之间线段最短，连接交于点，则点即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点， 则点即为所求； （2）解：如图，连接交于点， 则点即为所求． 理由：两点之间，线段最短． 题型十、线段的和与差 28．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，C是线段中点，点D在线段上，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． 根据题意，点是线段的中点，，由线段的中点定义可得：，再根据，则2 ，由此可求出的长，进而得出的长，最后由进行计算，即可得出答案． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 29．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知，点是线段的“巧分点”，则 ． 【答案】2或6 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．由已知条件不能确定点在直线上的位置，故要分情况讨论：当在线段上时及当要线段的延长线上时，然后进行求解即可． 【详解】解：本题有两种情况： 当点在线段上时，如图， ，， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ，， ； 故答案为2或6． 30．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图 1 为某款家用可伸缩晾衣杆，晾衣杆由三部分组成，分别是长度固定的 和 两段以及可伸缩的 段， 最短可缩到比 短 ，最长可伸长到比 短 ， ． (1)求该款晾衣杆可达到的最大长度和最短长度． (2)如图 2，在 段伸缩的过程中，是否存在 “ ” 的情况？如果存在， 请求出此时 的长； 如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)最大长度，最短长度 (2)存在， 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查的是线段的和差运算； （1）先求解，结合最长为，最短为，再进一步解答即可； （2）由可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ∵最长为，最短为， 最大长度； 最短长度； （2）解：， ，此时 ，符合题意． 当 伸缩到 时满足条件． 题型十一、线段中点的有关计算 31．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，，为线段上一点，为线段的中点，为的中点，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式、线段中点的有关计算 【分析】此题考查了线段中点的相关计算，弄清楚线段之间的关系是解题的关键．根据中点的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：∵为线段的中点，为的中点， ∴， 即， ∴， 即的值是定值， 故选：D 32．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知点C是线段的三等分点，点D是线段的中点．若，则的长为 ．（结果用含a的代数式表示） 【答案】或/或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差计算，解决本题的关键是分两种情况画图计算．根据点C是线段上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵点C是线段上的三等分点， ∴， ∵D是线段的中点，， ∴， ∴； 如图， ∵D是线段的中点，， ∴， ∵点C是线段上的三等分点， ∴， ∴， 则的长为或． 故答案为：或． 33．（2023七年级上·浙江·专题练习）已知，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． (1)如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点是直线上一点，且满足，，求线段的长度． 【答案】(1)5 (2)线段的长度为或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查线段中点的定义、两点间的距离，学会利用数形结合和分类讨论思想是解题关键． （1）由线段中点的定义可得，再由求得，于是； （2）分三种情况讨论：点在线段上，分别求得，，则；点在点的右侧，分别求得，，则；点在点的左侧，此种情况不满足题意． 【详解】（1）解：，点是线段的中点， ， 又，， ， ； （2）解：①当点在线段上时，如图， ，， ， ； ②当点在点的右侧时，如图， ，， ， ； ③当点在点的左侧时，此时，不存在符合题意的点． 综上，线段的长度为或． 题型十二、线段n等分点的有关计算 34．定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作． 甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则． 乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则 关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题根据题目所给的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意进行分类讨论． 【详解】解：甲同学： 点C在线段AB上，且， ， ， 甲同学正确． 乙同学： 点C在线段AB上，且点C是线段AB的三等分点， 有两种情况， ①当时，， ②当时，， 乙同学错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可． 35．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 【详解】解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 36．已知AB＝5cm，延长AB至C，使AC＝2AB，反向延长AB至E，使AE＝CE， 计算：（1）线段CE的长； （2）线段AC是线段CE的几分之几？ （3）线段CE是线段BC的几倍？ 【答案】（1）15cm；（2）；（3）3倍 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】（1）先根据AE＝CE得出AC=2AE，再根据AC＝2AB，AB=5，即可得出CE的长 （2）分别用AB表示AC和CD，即可得出结论 （3）先根据AC＝2AB和AC＝AB+BC得出，从而得出线段CE是线段BC的关系 【详解】解：（1）∵AE＝CE， ∴CE=3AE， ∴AC=2AE， ∵AB=5，AC=2AB ∴AC=10（厘米）， ∴AE=5（厘米）， ∴CE=15（厘米）； （2） AC=2AB， CE=3AE=3AB , 是的； （3）， ， ， ∴ 是的3倍 答：线段CE的长15厘米；线段AC是线段CE的；线段CE是线段BC的3倍． 【点睛】本题考查了线段的倍分关系，借助图形来计算是解题的关键． 题型十三、线段之间的数量关系 37．点为线段的延长线上的一点，则下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】根据题意，作出图形，进行分类讨论，即可解答． 【详解】解：A、如图：，故A不成立；    B、如图：，故B不成立，    C、如图：，故C不成立，    D、∵， ∴，故D成立． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了线段的和差关系，解题的关键是正确画出图形，根据图形，得出线段之间的数量关系． 38．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，已知点在线段上，已知，点为线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算 【分析】根据线段中点的定义可以得到的长度，再根据线段的和即可求得的长度． 【详解】解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，掌握线段中点的定义是解题的关键． 39．（23-24七年级上·浙江·期末）有一无弹性细线，拉直时测得细线长为，现进行如下操作：1．在细线上任取一点；2．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点；3．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点． (1)如图，的长为 　 　cm； (2)继续进行折叠，使点与点重合，并把点和与其重叠的点处的细线剪开，使细线分成长为的三段，当，则细线未剪开时的长为 　 　． 【答案】(1)4 (2)2或6 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段中点的计算，根据条件得出线段之间的关系式是解题的关键． （1）根据点与是线段的中点即可得到答案； （2）根据条件得到，分两种情况：当时以及当时讨论即可． 【详解】（1）解：点为的中点，点为的中点， ∴，， ∴； （2）解：，细线剪开后分成三段， ， 当时，， ， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， ． 故答案为：或． 题型十四、与线段有关的动点问题 40．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 41．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】与线段有关的动点问题、线段的和与差 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 强化训练 一、单选题 1．下列直线的表示方法正确的是（   ） A．直线Ab B．直线AB C．直线aB D．直线bA 【答案】B 【分析】本题考查直线的定义，解题的关键是掌握其定义． 根据直线有两种表示方法： ①可以用一个小写字母表示，如直线； ②用直线上任意两点的大写字母表示，如直线或直线，根据直线的表示方法作答即可． 【详解】解：由题意知，用直线上两个点、表示直线，写作直线，符合直线表示规则，B选项符合题意； 直线不能用一个大写字母和一个小写字母表示，所以直线，直线，直线这种表示方法错误，A、C、D选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点间距离的概念 D．以上都不是 【答案】B 【分析】由两点确定一条直线可直接得出答案． 此题主要考查了两点确定一条直线，理解题意是解题关键． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，这样做蕴含的数学原理是：两点确定一条直线． 故选：B． 3．下列四个语句中，正确的是（   ） A．如果，那么点是的中点 B．两点间的距离就是两点间的线段 C．经过两点有且只有一条直线 D．比较线段的长短只能用度量法 【答案】C 【分析】根据线段的中点和线段的性质进行判断即可． 【详解】A、如果AP=BP，且AP+BP=AB，那么点P是AB的中点，故本选项不符合题意； B、两点间的距离就是两点间的线段的长度，故本选项不符合题意； C、经过两点有且只有一条直线，故本选项符合题意； D、比较线段的长短可以用度量法，但不是只能用度量法，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是两点之间的距离，根据线段的性质和线段的中点的定义是解答此题的关键． 4．如图，点D是线段的中点，若，，则的长度为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查线段中点以及线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点把线段分成两个相等的线段． 根据线段中点的定义求出的长，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．如图，由临沂始发终点至淄博的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，根据线段条数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：高铁列车在运行途中，停靠的车站依次是临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，要为这次列车制作的单程火车票的种类为（种）， 故选：C． 6．有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 【答案】A 【分析】根据作图的方法以及线段的中点，三等分点的定义，即可求解． 【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确； ②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误． 故选：A．           【点睛】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，画线段，分类讨论是解题的关键 7．已知线段AB，延长AB至C，使，D是AC的中点，如果，则AB的长为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据，则，由D是AC的中点及DC=2可得AC=4，则可求得BC，从而可得AB的长． 【详解】∵ ∴ ∵D是AC的中点，DC=2 ∴AC=2DC=4 ∴BC=1 ∴AB=3BC=3 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点，掌握线段的运算是解题的关键． 8．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离的应用，解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个解． 根据比例设，则，分为两种情况：①当含有线段的绳子最长时，，②当含有线段的绳子最长时，，求出每个方程的解，代入求出即可． 【详解】解：根据题意，设，则， ①∵将一根绳子对折后得到线段，从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴当含有线段的绳子最长时，， 解得：， 即绳子的原长是 ； ②当含有线段的绳子最长时，， 解得：， 即绳子的原长是； 故答案为或． 故选：C. 9．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，中点的性质，根据图形，找到线段之间的关系，即可求解，根据图形找到线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 故选：． 二、填空题 10．如图，某景区从景点A到景点B有两条路线，游客为了缩短行走距离选择了路线①，其依据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的定义，掌握两点之间线段最短是解题的关键．根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：游客为了缩短行走距离选择了路线①，其依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 11．如图，已知线段，延长到点，使，点为线段的中点，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系是正确解答的关键．根据图形中线段之间的和差关系求出，再由线段中点的定义求出，进而求出即可． 【详解】解：，， ， ， 点为线段的中点， ， ， 故答案为：． 12．点C在直线AB上，若AB＝3，BC＝2，则AC为 ． 【答案】1或5 【分析】分为两种情况，画出图形，根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：当C在线段AB上时， AC=AB-BC=3-2=1， 当C在线段AB的延长线时， AC=AB+BC=3+2=5， 即AC=1或5， 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查了线段的和差，能求出符合的所有情况是解此题的关键，注意要进行分类讨论． 13．定义：数轴上给定两点A、B以及一条线段PQ，当线段AB的中点在线段PQ上时（包含点P、Q），就称点A与点B关于线段PQ径向对称，若A、P、Q三点在数轴上的位置如图所示，点A与点B关于线段PQ径向对称．则点B表示的数x的取值范围是 ． 【答案】1≤x≤5/ 【分析】设点A和点B的中点为C，根据题意分点C与点P重合和点C与点Q重合两种情况讨论，分别求出点B表示的数即可求解． 【详解】解：设点A和点B的中点为C，由题意得： ①当点C刚好与点P重合时， 则AC＝BC＝0﹣（﹣1）＝1， 故点B表示的数为：x＝1； ②当点C刚好与点Q重合时， 则AC＝BC＝2﹣（﹣1）＝3， 故点B表示的数为：x＝5， 综上所述，点B表示的数的取值范围是：1≤x≤5． 故答案为：1≤x≤5． 【点睛】此题考查了数轴上点的表示方法以及线段中点的知识，解题的关键是熟练掌握数轴上点的表示方法以及线段中点的知识点． 14．已知线段，延长至点，使得，点是线段上一点，且，则的值为 ． 【答案】6或2 【分析】本题考查线段的和差关系；根据延长至，使，求出与的关系，再根据点在或上，分别求出与的关系，再求两线段的比． 【详解】解：线段，延长至，使， ， 是线段上一点，且， 当点在上，， ∴， 当点在上， ， ． 故答案为：6或2． 15．平面上有6个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，若经过每两点画一条直线，则一共可以画出的直线条数是 ． 【答案】15条 【分析】根据两点确定一条直线，则通过画图发现每个点都可以和其他5个点画一条直线，共可以画6×5=30（条）直线，排除重合的条数，即可求得结果． 【详解】解：因为每个点都可以和其他5个点画一条直线，共可以画6×5=30（条）直线，但互相之间又有重合的直线，所在实际条数为30÷2=15（条）． 故答案为：15条． 【点睛】此题考查了两点确定一条直线，读懂题意，找出规律是解题的关键． 16．长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】2或4或6 【分析】本题考查了数轴、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，根据题意列出方程，求出，得到三条线段的长分别是4，4，8，再分3种情况讨论：①；②；③，画出示意图，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵这三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， 由题意得，， 解得， ∴三条线段的长分别是4，4，8， ①当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ②当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ③当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ∴综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是2或4或6． 故答案为：2或4或6． 三、解答题 17．如图所示，已知线段a，作一条线段，使它的长度等于线段a的长度． 【答案】见解析 【分析】在射线上截取AB=a，则线段AB满足条件． 【详解】如图： 【点睛】本题考查了尺规作图，解决本题的关键是掌握基本作图过程． 18．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长； （2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长． 【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 19．如图，已知平面上有A，B，C，D四点，按下列要求画图： (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线相交于点E； (3)连接，并延长线段与射线交于点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了线段、射线、直线的定义以及其画法，熟练掌握定义是解题关键． （1）根据线段、射线、直线的定义分别画出即可； （2）根据连接两点即为线段得出即可； （3）根据延长线段的方法得出即可． 【详解】（1）解：线段，射线，直线即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，点F即为所求． 20．已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点． (1)点D在线段AB上，且AB=6，，求线段CD的长度； (2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)线段CD的长度为2； (2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析 【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可； （2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系． 【详解】（1）解：如图1， ∵点C是线段AB的中点，AB=6， ∴BC=AB=3， ∵BD=BC， ∴BD=1， ∴CD=BC-BD=2； （2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下： 当点D在线段AB上，如图2， 设AD=2x，则BD=3x， ∴AB=AD+BD=5x， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC=AB=， ∴CD=AC-AD=x， ∵AE=2BE， ∴AE=AB=x， CE=AE-AC=x， ∴=，即5CD=3CE； 当点D在BA延长线上时，如图3， 设AD=2a，则BD=3a， ∴AB=BD-AD=a， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC=AB=， ∴CD=AC+AD=a， ∵AE=2BE， ∴AE=AB=a， CE=AE-AC=a， ∴=，即CD=15CE． 综上，5CD=3CE或CD=15CE． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．解第2问注意分类讨论． 21．如图，已知线段AB=10，点O在线段AB上，点C，D分别是AO，BO的中点． (1)AO＝_____CO；BO＝______DO； (2)求线段CD的长度； (3)小明在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长线上，点C，D分别是AO，BO的中点，请帮小明画出图形分析，并求线段CD的长度． 【答案】(1)2，2 (2)CD=5 (3)图见解析；CD=5 【分析】（1）根据线段中点的性质，可得答案； （2）根据线段中点的性质，可得 ， 的长，根据线段的和差，可得答案； （3） 是 延长线上的一点，由 、 分别是线段 ， 的中点可得出 ， 分别是 ， 的一半，因此， ， 的差的一半就等于 ， 差的一半，因为， ， ，根据上面的分析可得出 ．因此结论是成立的． 【详解】（1）解：（1）点、分别是、的中点 ，； 故答案为：； ． （2）解：点、分别是、的中点 ，， ， ； （3）解：仍然成立， 如图： 理由： 点、分别是、的中点 ， ． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用了线段中点的性质，线段的和差得出答案． 22． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 23．【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或或或或12，理由见详解 【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解； （2）由“巧点”的定义，按的位置进行分类讨论①，②，③，即可求解； （3）分当P为A、Q的巧点，Q为A、P的巧点时列方程求解即可． 【详解】（1）解：C是线段的中点， ， C是线段的“巧点”； 故答案：是； （2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ②如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ③如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； 故答案：或或； （3）解：t为或或或或12，理由如下： ①当是、的“巧点”， （ⅰ）如图，   ， ，， ， ， 解得：， （ⅱ）如图，   ， ，， ， ， 解得：； （iii）当，即时， ∴， 解得：； ②当是、的“巧点”， （ⅰ）图，   ， ，， ， ， ， ， 解得：； （ⅱ）如图，   ， 同理可得： ， 解得：； 此种情况不合题意，舍去； （iii）当，即时， ∴， 解得：； 综上所示：当t为或或或或12时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”． 【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方程进行求解是解题关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 线段（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.线段、射线和直线 2.直线的基本事实 3.比较线段的长短 4.作一条线段等于已知线段 5.线段的基本事实 6.线段的和与差 7.线段的中点 题型巩固 一、直线、射线、线段的联系与区别 二、直线、线段、射线的数量问题 三、直线相交的交点个数问题 四、画出直线、射线、线段 五、点与线的位置关系 六、两点确定一条直线 七、两点之间线段最短 八、两点间的距离 九、作线段(尺规作图) 十、线段的和与差 十一、线段中点的有关计算 十二、线段n等分点的有关计算 十三、线段之间的数量关系 十四、与线段有关的动点问题 强化训练 单选题（9） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.线段、射线和直线 1.概念 概念 特征 线段 连结两个点之间的笔直的线。 ①有两个端点；②可以度量；③可以比较长短。 射线 将线段向一个方向无限延长就形成了射线。 ①有一个端点，只向一方无限延长；②不能度量；③不能比较大小。 直线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线。 ①无端点，向两方无限延长；②不能度量； ③不能比较大小。 2.表示方法 （1）线段的表示方法： ①用表示线段的两个端点的大写字母表示（与字母顺序无关）； （线段延长线的表示： 反向延长线段AB至点C或延长线段BA至点C ） ②用一个小写字母表示。 （2）射线的表示方法： 用表示射线的端点和射线上另外任意一点的两个大写字母表示（表示端点的字母必须写在前面）。（端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线，两条射线为同一条射线必须满足：①端点相同；②延长的方向相同） （3）直线的表示方法： ①用表示直线上面任意两个点的大写字母表示（与字母顺序无关）； ②用一个小写字母表示。 3.点与直线的位置关系： 点与直线的位置关系 图示 记作 点在直线上 点A在直线l上或直线l 经过点A 。 点在直线外 点B在直线l外或直线l 不经过点B 。 辨析：线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示方法 线段AB或线段a 射线OM 直线AB或直线l 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一个方向无限延伸 向两个方向无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 线段向一个方向无限延长就成为射线,向两个方向无限延长就成为直线；射线向反方向无限延长就成为直线。 知识点2.直线的基本事实 基本事实：经过两点有一条而且只有一条（两层含义：（1）存在性，两点能确定一条直线；（2）唯一性，经过这两点的直线是“独一无二”的）直线。可以简单地说成：两点确定一条直线。 知识点3.比较线段的长短 1.度量法（数的比较）： 利用刻度尺量出两条线段的长度，然后比较它们的长短。 2.叠合法（形的比较）： 如图，用圆规把两条线段（如线段AB,CD ）叠在一起进行比较，步骤如下： （1）用圆规量取线段AB ； （2）将圆规上表示点A的尖与线段CD的端点C 重合； （3）若端点B落在线段CD的延长线上，则线段AB大于线段CD ，可记为AB>CD ；若端点B与端点D重合，则线段AB等于线段CD，可记为AB=CD ；若端点B落在线段CD上（不含点D），则线段AB小于线段CD ，可记为AB<CD 。 知识点4.作一条线段等于已知线段 1.尺规作图：在数学中,限定用无刻度的直尺和圆规作图，即是尺规作图。 2.作一条线段等于已知线段a （图1）的方法作法：如图2，（1）任意画一条射线AC ；（2）用圆规量取已知线段a 的长度；（3）在射线AC上截取AB=a 。线段AB 就是所求作的线段。（作图完毕后，必须写上结论） 图 2 图 1 知识点5.线段的基本事实 1.线段的基本事实：在所有连结两点的线中，线段最短。简单地说，两点之间线段最短。 2.两点间的距离：连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离。 注意： 线段是图形，两点间的距离是线段的长度，两者不同。 知识点6.线段的和与差 两条线段的和 两条线段的差（两条线段的和或差仍是一条线段） 概念 如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和。 如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。 条件 图形 作法 1.作射线AD 。 2.在射线AD 上截取AB=a 。 3.在射线BD 上截取BC=b 。 1.作线段AB=b 。 2.在线段AB上截取AC=a 。 结论 线段AC=AB+BC=a+b，线段AC 就是所求作的线段。 线段BC=AB−AC=b−a ，线段BC 就是所求作的线段。 知识点7.线段的中点 概念 点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C 叫作线段AB 的中点。 几何表述 因为点C是线段AB的中点，所以AB=2AC=2BC 或AC=BC=AB 。 图示 说明：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB 上。 教材延伸 线段的三等分点、四等分点。将线段AB分成相等的三条线段AM,MN,NB，点M，N即线段AB 的三等分点。同样还可以得到线段的四等分点等。如图所示。 类似地，还有线段的五等分点、六等分点等。 题型巩固 题型一、直线、射线、线段的联系与区别 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，点M，P，N是直线l上从左至右的三个点，下列说法错误的是（  ） A．点P在直线上 B．点P在线段上 C．点N在线段上 D．点N在射线上 2．下列图示中，直线表示方法正确的有 （填序号）    3．如图所示，共有多少条直线、射线、线段？请依次指出．    题型二、直线、线段、射线的数量问题 4．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）如图，C是线段上的一点，则图中的线段数量是（   ）    A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）墙上挂着一幅中国地图，北京、杭州、成都三个城市用三个点表示，过其中任意两个点画直线，共有 条直线． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图： (1)图中有几条直线？ (2)图中有几条射线？能用图中字母表示的射线有几条？写出可以用字母表示的射线； (3)图中有几条线段？有哪些线段可用图中字母表示？ (4)如果一条直线上标注了n个点，那么有几条射线？ 题型三、直线相交的交点个数问题 7．（22-23七年级下·浙江嘉兴·月考）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（    ）个部分． A．或 B． C．或 D． 8．如图，直线、相交于点P，在这平面内，如果再画一条直线，那么它们的交点个数共有为 ． 9．用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 题型四、画出直线、射线、线段 10．（24-25七年级上·浙江宁波·月考）下面各图中，表示线段、直线的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是 12．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如图，已知点A，B，C，请画出下列图形： (1)直线； (2)射线； (3)线段． 题型五、点与线的位置关系 13．如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 14．直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号） 15．用适当的语句表述图中点与直线的关系．（至少写3句） 题型六、两点确定一条直线 16．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）跑步比赛时，标记冲刺终点线的拉绳，只需要两个支点，其中蕴含的数学基本事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离 D．两点间的距离就是两点间的路程 17．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是 ． 18．举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例． 题型七、两点之间线段最短 19．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，从甲地到乙地已有一条环山公路a，现又花费人力物力修建隧道b，能解释这一现象最合理的数学知识是（　　） A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．点动成线 D．过一点可以作无数条直线 20．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）新昌挂岩岭隧道和上角坪隧道（示意图如图）通过把部分道路取直以缩短路程，其中蕴含的数学原理是 ． 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点（如图），请利用没有刻度的直尺和圆规按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)画线段，射线； (2)在射线上找一点（不与重合），使得； (3)在线段上找到一点，使点到、两点距离之和最小，请在图中标出点． 题型八、两点间的距离 22．（2024七年级上·浙江·专题练习）在直线上顺次取不重合的，，，四点，则下列不一定正确的是(  ) A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是 ． 24．如图，M是线段AB的中点，点C在线段AB上，且AC=8cm，N是AC的中点，MN=6cm，求线段AB的长． 题型九、作线段(尺规作图) 25．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 26．已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 27．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面内有线段，和点，且，请按下列要求作图： (1)作射线，并在射线上取点，使得（请用无刻度的直尺和圆规作图，并保留作图痕迹，不写作法）： (2)在上取一点，使得最短，并说明理由． 题型十、线段的和与差 28．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，C是线段中点，点D在线段上，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 29．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知，点是线段的“巧分点”，则 ． 30．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图 1 为某款家用可伸缩晾衣杆，晾衣杆由三部分组成，分别是长度固定的 和 两段以及可伸缩的 段， 最短可缩到比 短 ，最长可伸长到比 短 ， ． (1)求该款晾衣杆可达到的最大长度和最短长度． (2)如图 2，在 段伸缩的过程中，是否存在 “ ” 的情况？如果存在， 请求出此时 的长； 如果不存在，请说明理由． 题型十一、线段中点的有关计算 31．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，，为线段上一点，为线段的中点，为的中点，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知点C是线段的三等分点，点D是线段的中点．若，则的长为 ．（结果用含a的代数式表示） 33．（2023七年级上·浙江·专题练习）已知，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． (1)如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点是直线上一点，且满足，，求线段的长度． 题型十二、线段n等分点的有关计算 34．定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作． 甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则． 乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则 关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 35．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 36．已知AB＝5cm，延长AB至C，使AC＝2AB，反向延长AB至E，使AE＝CE， 计算：（1）线段CE的长； （2）线段AC是线段CE的几分之几？ （3）线段CE是线段BC的几倍？ 题型十三、线段之间的数量关系 37．点为线段的延长线上的一点，则下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 38．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，已知点在线段上，已知，点为线段的中点，则线段的长为 ． 39．（23-24七年级上·浙江·期末）有一无弹性细线，拉直时测得细线长为，现进行如下操作：1．在细线上任取一点；2．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点；3．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点． (1)如图，的长为 　 　cm； (2)继续进行折叠，使点与点重合，并把点和与其重叠的点处的细线剪开，使细线分成长为的三段，当，则细线未剪开时的长为 　 　． 题型十四、与线段有关的动点问题 40．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 41．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 强化训练 一、单选题 1．下列直线的表示方法正确的是（   ） A．直线Ab B．直线AB C．直线aB D．直线bA 2．如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点间距离的概念 D．以上都不是 3．下列四个语句中，正确的是（   ） A．如果，那么点是的中点 B．两点间的距离就是两点间的线段 C．经过两点有且只有一条直线 D．比较线段的长短只能用度量法 4．如图，点D是线段的中点，若，，则的长度为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 5．如图，由临沂始发终点至淄博的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 6．有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 7．已知线段AB，延长AB至C，使，D是AC的中点，如果，则AB的长为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（    ） A． B． C．或 D．或 9．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，某景区从景点A到景点B有两条路线，游客为了缩短行走距离选择了路线①，其依据是 ． 11．如图，已知线段，延长到点，使，点为线段的中点，线段的长为 ． 12．点C在直线AB上，若AB＝3，BC＝2，则AC为 ． 13．定义：数轴上给定两点A、B以及一条线段PQ，当线段AB的中点在线段PQ上时（包含点P、Q），就称点A与点B关于线段PQ径向对称，若A、P、Q三点在数轴上的位置如图所示，点A与点B关于线段PQ径向对称．则点B表示的数x的取值范围是 ． 14．已知线段，延长至点，使得，点是线段上一点，且，则的值为 ． 15．平面上有6个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，若经过每两点画一条直线，则一共可以画出的直线条数是 ． 16．长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 三、解答题 17．如图所示，已知线段a，作一条线段，使它的长度等于线段a的长度． 18．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 19．如图，已知平面上有A，B，C，D四点，按下列要求画图： (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线相交于点E； (3)连接，并延长线段与射线交于点F． 20．已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点． (1)点D在线段AB上，且AB=6，，求线段CD的长度； (2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由． 21．如图，已知线段AB=10，点O在线段AB上，点C，D分别是AO，BO的中点． (1)AO＝_____CO；BO＝______DO； (2)求线段CD的长度； (3)小明在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长线上，点C，D分别是AO，BO的中点，请帮小明画出图形分析，并求线段CD的长度． 22． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 23．【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    学科网（北京）股份有限公司 $