第14讲 合并同类项与整式的加减（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试

第14讲 合并同类项与整式的加减（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.同类项 2.合并同类项 3.去括号法则 4.整式的加减 题型巩固 一、同类项的判断 二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 三、合并同类项 四、去括号 五、整式的加减运算 六、整式加减中的无关型问题 七、整式的加减中的化简求值 八、整式加减的应用 九、数字类规律探索 十、图形类规律探索 十一、带有字母的绝对值化简问题 强化训练 单选题（9） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.同类项 同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项。所有常数项也看作同类项。 知识点2.合并同类项 1.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 2.合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3.合并同类项的一般步骤： 知识点3.去括号法则 1.去括号法则： 括号前的符号 方法 括号前是“+ ”号 把括号和它前面的“+ ”号去掉,括号里各项都不变号。 括号前是“-”号 把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变符号。 注意：去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉。 教材延伸 添括号法则 （1）当所添括号前面是“+ ”号时，括到括号里的各项都不改变 符号。 （2）当所添括号前面是“-”号时，括到括号里的各项都改变符号 2.去多重括号的方法： 去多重括号时，一般由内向外,即先去小括号，再去中括号，最后去大括号;也可由外向内，即先去大括号,再去中括号,最后去小括号,且去大括号时,要将中括号看成一个整体,去中括号时,要将小括号看成一个整体。 知识点4.整式的加减 整式加减的应用类型： 应用类型 方法 直接的整式加减 实质是合并同类项，若有括号，则先去括号再合并同类项。 间接的整式加减 求整式的和差时，先用括号将每一个整式括起来，再用加减运算符号连接。 化简求值 求多项式的值时，一般先化简，再把字母的值代入化简后的式子求值。 整式加减的结果仍是整式，一般按某个字母的降幂（或升幂）排列。结果中不能含有同类项。 题型巩固 题型一、同类项的判断 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列选项中的两个代数式，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（22-23七年级上·浙江金华·期中）写出的一个同类项 ． 3．下列各组中的两项是不是同类项?为什么? (1)与 (2)与 (3)与. (4)与 (5)与 (6)与 题型二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 4．（22-23七年级上·浙江·期末）若与是同类项，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）代数式与是同类项，则 ． 6．已知与是同类项，求代数式的值． 题型三、合并同类项 7．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各式中，正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·浙江·期中）合并同类项： ． 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）合并同类项： (1)； (2)． 题型四、去括号 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）代数式，添上一个括号后值不变的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·浙江温州·期末）去括号： ． 12．（2024七年级上·浙江·专题练习）去括号，并合并同类项： (1)； (2)； (3) 题型五、整式的加减运算 13．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将图1中周长为24的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 ． 15．（2025七年级上·浙江·专题练习）已知两个多项式A和B，其中，小虎同学计算时，把误看成，结果求出答案． (1)求多项式A． (2)求出的正确答案． 题型六、整式加减中的无关型问题 16．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）若多项式（m是常数）中不含xy项，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知多项式与的值无关，则的值为 ． 18．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】（1）已知，． ①用含m，x的式子表示；②若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【知识拓展】（2）年末，商场计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件利润为300元．购进羽绒服后，商场决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． 题型七、整式的加减中的化简求值 19．当，时，代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．3 20．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若字母 表示有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或 ，所以 的最小值为 ．当 有最小值时，的值为 ． 21．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）合并同类项：； （2）先化简，再求值：，其中，． 题型八、整式加减的应用 22．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学课上，老师让同学们任意写一个三位数，然后把它的个位数字与百位数字对调，计算对调后的三位数与原三位数的差．有四位同学给出下列四个计算结果，其中正确的是（   ） A．891 B．694 C． D． 23．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）王老师报出一个五位数，学生们将它顺序倒排后得到的五位数减去原数后，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567、34056、23456、34956．王老师判定4个结果中有一个是正确的，答对的是 ． 24．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将张相同的小长方形纸片，（如图所示），按图所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，，已知小长方形纸片的长为，宽为，且． (1)当，，时，求：长方形的面积；的值； (2)当时，请用含，的式子表示的值． (3)若长度不变，变长，将这张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，而的值总保持不变，请探究，满足的关系． 题型九、数字类规律探索 25．（25-26七年级上·浙江温州·期中）一列数，，，…，，其中，并且后一个数等于1与前一个数的倒数的差，例如，以此类推……，则的值是（    ） A． B．3 C． D． 26．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知大于1的正整数的三次幂可以“分裂”成若干个连续奇数的和，例如：将写成45个连续奇数的和，则最大的奇数是 ． 27．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，，…，． 将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：____ ____； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)思考并计算：的值． 题型十、图形类规律探索 28．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）用木棒按如图所示的规律摆放图形，第100个图形需要木棒根数是（    ） A．500 B．501 C．502 D．503 29．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）如图，将一张长方形的纸对折，可以得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕都与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕．如果对折n次，那么可以得到 条折痕． 30．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）完成下列填空： (1)已知，，，……，依据上述规律，则___________=___________． (2)有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ___________；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ___________． (3)下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：； 第2个数：； 第3个数： ； …… 则第n个数为：___________． 题型十一、带有字母的绝对值化简问题 31．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A．3或 B．3或1 C．1 D． 32．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）若，，为整数，，则的值为 ． 33．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）已知，，根据下列条件，求式子的值． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； 强化训练 一、单选题 1．下列各组式子中是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若单项式与是同类项，则的值为（    ） A． B．8 C． D．0 4．若，则的值为（    ） A．或0 B．或0 C．或 D．或0 5．多项式与多项式的和不含的二次项，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 6．如图，为庆祝国庆76周年，李明用棋子摆出一组形如小彩旗的图形，按照这种方法摆下去，当要摆第76个图形时需要棋子的枚数是（   ） A．227 B．228 C．229 D．230 7．在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 8．对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，8进行“非负差值运算”的结果是29； ②、、5的“非负差值运算”的最小值是7.5； ③、、的“非负差值运算”化简结果可能存在不同的表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．有三个代数式：，，，其中，从M、N、P中分别取其中一项（一个字母且连同前面的符号），求和后再取绝对值，称为一次“加绝操作”，记“加绝操作”的结果为T．例如，分别从M、N、P中取，“加绝操作”的结果．则下列说法中，正确的个数是（   ） ①一定存在某种“加绝操作”，使得； ②一共只有四种“加绝操作”，使其结果； ③所有“加绝操作”的不同结果T可能有15种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 10．如果单项式与是同类项，那么的值为 ． 11．已知，，，则的值为 ． 12．若多项式不含项，则 ． 13．已知，且，则 ． 14．某实验室设计了一种“自动复制的微型机器人”．第一天只有一个新制造的机器人，这种机器人需要1天时间完成能量充能，从制造出来的第二天起具备复制能力；每个完成充能的机器人，每天会复制出2个新的机器人，且所有机器人均可永久运作．则该实验室第二天有3个机器人，请问第三天时实验室里共有 个机器人，第天时实验室中共有 个机器人． 15．规定“*”是一种新的运算，表示：．如：． （1） ； （2）若代数式的取值与无关，则代数式的值为 ． 16．若一个四位正整数满足各数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个数为“和谐数”，最小的“和谐数”是 ；一个“和谐数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记．若能被3整除，则满足条件的的最大值与最小值的和是 ． 三、解答题 17．化简： (1) (2) 18．已知与是同类项． (1)求的值． (2)在中，哪些是同类项？ 19．（1）求多项式的值，其中； （2）求多项式的值，其中． 20．观察下面两行数： 第①行：1，3，5，7，9，11，13，…； 第②行：，，，，，，，…； 根据以上规律解答下列问题： (1)第①行的第8个数是__________，第②行的第9个数是__________； (2)第①行的第个数是__________，第②行的第个数是__________； (3)记第①行前100个数的和是，第②行前100个数的和是，求的值． 21．下表为某快餐店的菜单价格及优惠活动： 种类 配餐 价格（元） 优惠活动 A餐 1份盖饭 20 消费满200元，减24元 消费满320元，减40元 … B餐 1份盖饭+1杯饮料 28 C餐 1份盖饭+1杯饮料+1份小菜 32 (1)某公司一次性订购了10份B餐作为工作餐，需付款多少元？请计算说明： (2)几位朋友在快餐店吃饭，小明记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，杯饮料和5份小菜． ①他们共点了______份C餐，______份B餐． ②若他们至少需要8杯饮料，要使所花费的钱数最少，需要点几份B餐呢？ 22．我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 23．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，学习以上内容解决问题： (1)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、1，若A、B两点之间的距离为5，那么x的值为______； (2)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y． ①的最小值为______； ②且x为整数，求的最大值； (3)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y，O为原点，当，时，动点P、Q分别从点A、点B出发，动点R从原点O同时出发，均沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点R速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为，设运动时间为t秒，请问，是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出n的值和这个定值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 合并同类项与整式的加减（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.同类项 2.合并同类项 3.去括号法则 4.整式的加减 题型巩固 一、同类项的判断 二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 三、合并同类项 四、去括号 五、整式的加减运算 六、整式加减中的无关型问题 七、整式的加减中的化简求值 八、整式加减的应用 九、数字类规律探索 十、图形类规律探索 十一、带有字母的绝对值化简问题 强化训练 单选题（9） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.同类项 同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项。所有常数项也看作同类项。 知识点2.合并同类项 1.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 2.合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3.合并同类项的一般步骤： 知识点3.去括号法则 1.去括号法则： 括号前的符号 方法 括号前是“+ ”号 把括号和它前面的“+ ”号去掉,括号里各项都不变号。 括号前是“-”号 把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变符号。 注意：去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉。 教材延伸 添括号法则 （1）当所添括号前面是“+ ”号时，括到括号里的各项都不改变 符号。 （2）当所添括号前面是“-”号时，括到括号里的各项都改变符号 2.去多重括号的方法： 去多重括号时，一般由内向外,即先去小括号，再去中括号，最后去大括号;也可由外向内，即先去大括号,再去中括号,最后去小括号,且去大括号时,要将中括号看成一个整体,去中括号时,要将小括号看成一个整体。 知识点4.整式的加减 整式加减的应用类型： 应用类型 方法 直接的整式加减 实质是合并同类项，若有括号，则先去括号再合并同类项。 间接的整式加减 求整式的和差时，先用括号将每一个整式括起来，再用加减运算符号连接。 化简求值 求多项式的值时，一般先化简，再把字母的值代入化简后的式子求值。 整式加减的结果仍是整式，一般按某个字母的降幂（或升幂）排列。结果中不能含有同类项。 题型巩固 题型一、同类项的判断 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列选项中的两个代数式，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的判断，解题的关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，注意：两个单独的数是同类项． 【详解】解：A．与是同类项，故此选项不符合题意； B．与是同类项，故此选项不符合题意； C．与是同类项，故此选项不符合题意； D．与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（22-23七年级上·浙江金华·期中）写出的一个同类项 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类项的判断 【分析】写出一个与题干中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式即可． 【详解】根据同类项的定义可知的同类项可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查同类项的定义，其要点为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同． 3．下列各组中的两项是不是同类项?为什么? (1)与 (2)与 (3)与. (4)与 (5)与 (6)与 【答案】(1)不是同类项，理由见分析 (2)不是同类项，理由见分析 (3)是同类项，理由见分析 (4)是同类项，理由见分析 (5)不是同类项，理由见分析 (6)是同类项，理由见分析 【知识点】同类项的判断 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项）． 【详解】（1）与中两项所含相同的字母的指数不同，不是同类项. （2）与中两项所含的字母不同，不是同类项. （3）与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项. （4）与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项. （5）与中两项不含相同字母，不是同类项. （6）与中两项是常数项，是同类项 【点睛】本题主要考点是同类项的定义，根据同类项的定义逐个判断即可，应当熟练掌握． 题型二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 4．（22-23七年级上·浙江·期末）若与是同类项，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】A 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念可求，的值，从而求出代数式的值，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】∵与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）代数式与是同类项，则 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键；根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，由此列出方程求解和，再计算即可． 【详解】解：因为代数式与是同类项，所以相同字母的指数相等， 对于字母，指数需满足，解得； 对于字母，指数需满足 ； 因此，； 故答案为． 6．已知与是同类项，求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】先根据同类项的定义求得m、n，然后代入求值即可． 【详解】解：∵与是同类项 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同类项的定义，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项． 题型三、合并同类项 7．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各式中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了同类项的定义与合并同类项，熟练掌握同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项）是解题的关键． 根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项），判断每个选项中的项是否为同类项，进而判断合并是否正确． 【详解】解：与所含字母不同，不是同类项，不能合并，选项A错误． 与所含字母不同，不是同类项，不能合并，选项B错误． 与是同类项，合并同类项时系数相减，，即，选项C正确． 与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，选项D错误． 故选：C． 8．（24-25七年级上·浙江·期中）合并同类项： ． 【答案】/ 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项的法则， 根据合并同类项法则计算即可，合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则． （1）直接合并同类项即可； （2）直接合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 题型四、去括号 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）代数式，添上一个括号后值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】去括号 【分析】本题考查了添加括号和去括号，分别根据去括号的性质化简各个选项，再与代数式进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 11．（24-25七年级上·浙江温州·期末）去括号： ． 【答案】/ 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号法则，根据去括号的法则进行求解即可，去括号法则为：括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（2024七年级上·浙江·专题练习）去括号，并合并同类项： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】此题主要考查了去括号法则以及合并同类项，正确掌握去括号法则是解题关键． （1）首先利用去括号法则化简，进而合并同类项得出答案； （2）首先利用去括号法则化简，进而合并同类项得出答案； （3）首先将，看作整体合并同类项，进而利用去括号法则求出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 题型五、整式的加减运算 13．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．依题意，得，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将图1中周长为24的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 ． 【答案】34 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为24，求得，根据图中长方形的周长为40，求得，而没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为24，可得，， ∴， ∵图2中长方形的周长为40， ∴， ∴， ∴ ∵没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为 故答案为：． 15．（2025七年级上·浙江·专题练习）已知两个多项式A和B，其中，小虎同学计算时，把误看成，结果求出答案． (1)求多项式A． (2)求出的正确答案． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据，即可解答； （2）根据整式的加减法则，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ∴ ； （2）解：由（1）可得，， ∴ ． 题型六、整式加减中的无关型问题 16．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）若多项式（m是常数）中不含xy项，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的加减是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵多项式（m是常数）中不含xy项， ∴， 解得：； 故选A． 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知多项式与的值无关，则的值为 ． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减无关型问题，先合并同类项，再根据多项式的值与的值无关，得到项的系数为，解方程即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式与的值无关， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】（1）已知，． ①用含m，x的式子表示；②若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【知识拓展】（2）年末，商场计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件利润为300元．购进羽绒服后，商场决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． 【答案】（1）①；②10；（2）20 【知识点】列代数式、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了代数式表示式，整式加减中的无关型问题等知识． （1）①把，代入，展开去括号合并合并同类项即可． ②根据的值与字母m的取值无关，结合①可知，进而可得出x的值． （2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件，销售完这30件羽绒服的利润为：，展开得出，再根据销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，即可得出，进而可得出a的值． 【详解】解：（1）①，， ∴ ， ②若的值与字母m的取值无关， 则， ∴． （2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件， 销售完这30件羽绒服的利润为：， 当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时， ∴ ∴ 题型七、整式的加减中的化简求值 19．当，时，代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】先把代数式进行化简，然后把，代入计算，即可得到答案． 【详解】解： = =； 当，时， 原式=； 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，整式的加减运算，以及求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 20．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若字母 表示有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或 ，所以 的最小值为 ．当 有最小值时，的值为 ． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减、绝对值的性质，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．根据绝对值的性质得到，根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】解：当有最小值时，， 解得，， 故答案为：． 21．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）合并同类项：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式加减运算及代入求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）按照合并同类项法则进行运算即可； （2）先去括号，然后合并同类项，再将，代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式． 题型八、整式加减的应用 22．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学课上，老师让同学们任意写一个三位数，然后把它的个位数字与百位数字对调，计算对调后的三位数与原三位数的差．有四位同学给出下列四个计算结果，其中正确的是（   ） A．891 B．694 C． D． 【答案】D 【知识点】整式加减的应用 【分析】此题考查了整式的加减法计算，设这个三位数为，然后把它的个位数字与百位数字对调，变为，且a、b、c为1至9的整数，即可得：，且，据此即可作答． 【详解】解：设这个三位数为，然后把它的个位数字与百位数字对调，变为，且a、b、c为1至9的整数， ∴，， ∴， ∵a、b、c为1至9的整数， ∴， 又∵，，，， ∴符合要求， 即正确的是D， 故选：D． 23．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）王老师报出一个五位数，学生们将它顺序倒排后得到的五位数减去原数后，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567、34056、23456、34956．王老师判定4个结果中有一个是正确的，答对的是 ． 【答案】乙 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，数的整除，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 原五位数与倒排后五位数的差是11的倍数，因此正确的差应能被11整除，通过计算各结果除以11的余数，判断是否被11整除． 【详解】解：设原五位数为 ，则倒排后为 ， ∴ 因此差是11的倍数, ∵，余数不为0； ，余数为0； ，余数不为0； ，余数不为0。 故只有34056是11的倍数， 故答对的是乙同学， 故答案为：乙． 24．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将张相同的小长方形纸片，（如图所示），按图所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，，已知小长方形纸片的长为，宽为，且． (1)当，，时，求：长方形的面积；的值； (2)当时，请用含，的式子表示的值． (3)若长度不变，变长，将这张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，而的值总保持不变，请探究，满足的关系． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据长方形的面积公式，直接计算即可；求出和的面积，相减即可； 用含、的式子表示出和的面积，即可求得结论； 用含、、的式子表示出，根据的值总保持不变，即与的值无关，整理后，让的系数为即可． 【详解】（1）解：①长方形的面积为； ； （2）解： ； （3）解：， 整理，得：， 若长度不变，变长，而的值总保持不变， ， 解得：． 即，满足的关系是． 题型九、数字类规律探索 25．（25-26七年级上·浙江温州·期中）一列数，，，…，，其中，并且后一个数等于1与前一个数的倒数的差，例如，以此类推……，则的值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、倒数 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算，发现数据的规律，利用规律进一步解决问题． 通过计算前几项，发现数列呈现周期性变化，周期为3，计算一个周期内的乘积为，总项数2026项，包含675个完整周期和一项余项，完整周期乘积为，余项为，总乘积为3． 【详解】解：， ， ， ， 可知数列周期为3． 一个周期内乘积：． 总项数2026，， ∴前2025项为675个完整周期，乘积为， 第2026项， ∴． 故选：B． 26．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知大于1的正整数的三次幂可以“分裂”成若干个连续奇数的和，例如：将写成45个连续奇数的和，则最大的奇数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字变化的规律，根据题意找出规律是解题的关键． 找出变化的规律解答即可． 【详解】根据已知规律，大于的正整数的三次幂可以分裂成个连续奇数的和，且这些奇数是连续的，起始奇数为，最大奇数为， 因此当时，最大的奇数为， 故答案为：． 27．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，，…，． 将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：____ ____； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)思考并计算：的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的运算-裂项相消法，解题的关键是发现拆分规律，将复杂的式子转化为可抵消的数的差，进而简化计算． （1）根据已知等式的结构特征，猜想其拆分形式； （2）利用裂项相消法，抵消中间项后计算求和结果，注意②中分母形式的变化对拆分的影响； （3）先将分母为相差2的两数乘积的分式，通过提取转化为可裂项的形式，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：由已知规律可得， 故答案为：，； （2）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （3）解： ， 答：该式的值为． 题型十、图形类规律探索 28．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）用木棒按如图所示的规律摆放图形，第100个图形需要木棒根数是（    ） A．500 B．501 C．502 D．503 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的变化规律，不难看出，后一个图形比前一个图形多了5根木棒，据此可表示出第n个图形中木棒的根数，从而可求第100个图形需要的木棒根数． 【详解】解：∵第1个图形需要的木棒根数为：6， 第2个图形需要的木棒根数为：， 第3个图形需要的木棒根数为：， ...， ∴第n个图形需要的木棒根数为：， ∴第100个图形需要的木棒根数为：（根）， 故选：B． 29．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）如图，将一张长方形的纸对折，可以得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕都与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕．如果对折n次，那么可以得到 条折痕． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键． 根据题意求出连续对折1次，2次，3次得到的折痕的数量，可得到规律，即可求解． 【详解】解：连续对折1次后，可以得到条折痕； 连续对折2次后，可以得到条折痕； 连续对折3次后，可以得到条折痕； …… 连续对折n次，可以得到条折痕． 故答案为： 30．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）完成下列填空： (1)已知，，，……，依据上述规律，则___________=___________． (2)有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ___________；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ___________． (3)下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：； 第2个数：； 第3个数： ； …… 则第n个数为：___________． 【答案】(1)， (2)20，或 (3) 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】（1）找到规律，根据规律填空即可； （2）第1张纸片的周长为8，由2张纸片所组成的图形的周长比第1张纸片的周长增加了2．由3张纸片所组成的图形的周长比前2张纸片所组成的图形的周长增加了4，按此规律可求解； （3）找到规律，根据规律填空即可． 【详解】（1）解：∵，，，……， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：解：从图形可推断： 纸张张数为5，图片周长为； 当n为奇数时， 组成的大平行四边形或梯形的周长为：； 当n为偶数时， 组成的大平行四边形或梯形的周长为：． 综上，组成的大平行四边形或梯形的周长为或． 故答案为：20，或． （3）解：∵第1个数：； 第2个数：； 第3个数： ； …… ∴第n个数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化以及数字的变化，解第(2)题的关键是将纸片的张数分奇偶两种情况进行讨论，得出组成的大平行四边形或梯形的周长． 题型十一、带有字母的绝对值化简问题 31．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A．3或 B．3或1 C．1 D． 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，解决此题的关键是要注意分类讨论；根据分类讨论进而对绝对值进行化简得到结果即可； 【详解】解：∵ ， ∴ a， b， c 同正或两负一正； ∵ ， ∴ a， b， c 不能同正（否则和 > 0）， ∴ a， b， c 中两负一正． 不失一般性，可设，，， ∴ ． 故选D． 32．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）若，，为整数，，则的值为 ． 【答案】或/或 【知识点】整式的加减运算、绝对值非负性、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查的知识点是绝对值的性质以及整数的幂运算性质．因为绝对值具有非负性，且为整数，，所以需要分析和都是非负整数，可能的取值情况，进而求出 的值． 【详解】解：∵是整数，且， ∵绝对值具有非负性， ∴和都是非负整数， 又∵任何整数的正整数次幂都是整数，且绝对值最小的非负整数是， 的任何正整数次幂都是，的正整数次幂大于， 若，则，此时无整数解，反之亦然， 故只能且， 当时，所以， 当时，所以， ∵，， ∴，， 由可得， 由可得， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时， ； 综上可得或； 当时， ； 当时， ； 故答案为：或． 33．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）已知，，根据下列条件，求式子的值． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； 【答案】(1) (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的意义，熟悉掌握绝对值的化简是解题的关键． （1）化简和的绝对值，再根据和的取值范围确定和的值，代入运算即可； （2）化简和的绝对值，再根据和的取值情况确定和的值，代入运算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵，与异号， ∴当时，，则； 当时，，则； 综上的值为：． 强化训练 一、单选题 1．下列各组式子中是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项，解题的关键是掌握同类项的定义． 根据同类项的定义逐项进行判断即可，同类项需满足所含字母相同，且相同字母的指数相同，与系数无关． 【详解】解：∵ 同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项， 选项A：与，字母a和b不同，不是同类项，不符合题意； 选项B：与，a的指数分别为1和2，b的指数分别为2和1，指数不同，不是同类项，不符合题意； 选项C：与，前者字母为a、，后者多字母c，字母不同，不是同类项，不符合题意； 选项D：与是同类项，符合题意； 故选：D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，根据同类项的合并法则逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 3．若单项式与是同类项，则的值为（    ） A． B．8 C． D．0 【答案】C 【分析】此题考查了同类项的定义．同类项：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同，那么就称这两个单项式为同类项．根据同类项的定义可得且，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴且， 解得，， ∴． 故选：C． 4．若，则的值为（    ） A．或0 B．或0 C．或 D．或0 【答案】D 【分析】此题考查带有字母的绝对值化简问题，求代数式的值，根据绝对值的性质，分四种情况，分别计算式子、、和的值，再计算所有可能组合的值． 【详解】 解：分情况讨论： ①三个数都是正数时，即时，，故原式； ②两个正数一个负数时，假设，，故原式； ③一个正数两个负数时，假设，，故原式； ④三个负数时，即，，故原式； ∴原式可能的值为或； 故选：D． 5．多项式与多项式的和不含的二次项，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，将两个多项式相加，合并同类项后，根据和不含二次项，令二次项的系数为零，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵和不含二次项， ∴ 解得： 故选：C． 6．如图，为庆祝国庆76周年，李明用棋子摆出一组形如小彩旗的图形，按照这种方法摆下去，当要摆第76个图形时需要棋子的枚数是（   ） A．227 B．228 C．229 D．230 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，根据图形变化寻找规律是解题的关键． 根据图形点的个数变化推出变化的规律即可求解． 【详解】解：∵第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， ∴第个图形点的个数为： ， ∴第76个图形点的个数为：， 故选：C． 7．在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算和代数式求值，本题先将化简为，然后再逐一核对选项，即可求解． 【详解】解： ， A、甲说：“当时，原式”，错误，原式应该，符合题意； B、 乙说：“当时，原式”，正确，不符合题意； C、丙说：“当时，原式”， 正确，不符合题意； D、丁说：“当取1或时，原式的值都是”，正确，不符合题意； 故选：A． 8．对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，8进行“非负差值运算”的结果是29； ②、、5的“非负差值运算”的最小值是7.5； ③、、的“非负差值运算”化简结果可能存在不同的表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查新定义“非负差值运算”的理解与应用，整式的加减运算． ①直接计算四个数的所有两两差之和验证； ②利用绝对值几何意义求最小值； ③根据三个数的大小关系分类得出表达式种类． 【详解】①∵所有两两差为：， ， ， ， ， ， ∴和为，故①正确； ②， ∵可以表示为数轴上x到的距离加上x到5的距离 ∴当时，有最小值，即， ∴的最小值为，故②错误． ③当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴、、的“非负差值运算”化简结果可能存在不同的表达式一共有6种，故③正确． 综上，正确个数为2． 故选：B． 9．有三个代数式：，，，其中，从M、N、P中分别取其中一项（一个字母且连同前面的符号），求和后再取绝对值，称为一次“加绝操作”，记“加绝操作”的结果为T．例如，分别从M、N、P中取，“加绝操作”的结果．则下列说法中，正确的个数是（   ） ①一定存在某种“加绝操作”，使得； ②一共只有四种“加绝操作”，使其结果； ③所有“加绝操作”的不同结果T可能有15种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减，绝对值化简，根据“加绝操作”求出所有的种情况结果，再判断即可． 【详解】解：从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； ∴①从M、N、P中取，“加绝操作”的结果，故①正确； ②一共有五种“加绝操作”，使其结果，故原说法错误； ③所有“加绝操作”的不同结果T可能有13种，故原说法错误； 故选：B． 二、填空题 10．如果单项式与是同类项，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的定义是解决本题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项的定义解决此题． 【详解】解：因为单项式与是同类项， 所以，， 解得，， 所以． 故答案为：． 11．已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号，已知式子求代数式的值的知识，先去括号再对照已知的式子进行变形是解答本题的关键．原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：，， 原式 ． 故答案为：． 12．若多项式不含项，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式的概念、合并同类项，熟练掌握多项式中不含某一项即合并同类项后某项的系数为零是解答此题的关键．先合并同类项，然后令该项的系数为0，即可求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ， 解得：． 故答案为：． 13．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，整式的化简，代数式求值，解题的关键是掌握非负性． 根据平方和绝对值的非负性求出的值，然后进行整式的化简，最后求代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ， 将，，代入上式得， 原式， 故答案为：． 14．某实验室设计了一种“自动复制的微型机器人”．第一天只有一个新制造的机器人，这种机器人需要1天时间完成能量充能，从制造出来的第二天起具备复制能力；每个完成充能的机器人，每天会复制出2个新的机器人，且所有机器人均可永久运作．则该实验室第二天有3个机器人，请问第三天时实验室里共有 个机器人，第天时实验室中共有 个机器人． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了数字规律探索，找到数量关系是解题的关键．由第1天有1个机器人，根据“每个完成充能的机器人，每天会复制出2个新的机器人，且所有机器人均可永久运作”，则第2天有3个机器人，第3天有9个机器人，，据此推出每天机器人的数量变化规律，即可解答． 【详解】解：由题意得，第1天有机器人1个， 第2天有机器人个， 第3天有机器人个， 第4天有机器人个， 因此第天机器人的数量为． 故答案为：9；． 15．规定“*”是一种新的运算，表示：．如：． （1） ； （2）若代数式的取值与无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的混合运算，整式加减中的无关型问题，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新运算定义，先计算括号内的运算，再计算外层运算； （2）先将新运算转化为代数式，根据与x无关的条件求出y的值，再代入求值． 【详解】解：（1）， ． 故答案为：； （2）根据新运算定义，得 ． 由于该代数式的取值与x无关，则x的系数必须为零，则， 解得． 将代入代数式，得 ． 故答案为：． 16．若一个四位正整数满足各数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个数为“和谐数”，最小的“和谐数”是 ；一个“和谐数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记．若能被3整除，则满足条件的的最大值与最小值的和是 ． 【答案】 1234 11121 【分析】本题考查的是整式加减的应用，首先，根据“和谐数”的定义，千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且各数位数字互不相同且均不为0；最小的“和谐数”需满足此条件且数值最小，因此千位取最小可能值1，随后调整其他数位，得到1234；对于第二部分，定义，其中是千位与个位调换、百位与十位调换后的数，计算得，其中设，能被3整除当且仅当S能被3整除，S的可能取值为3的倍数，但无法满足数字互异，因此最小对应最小，最大对应最大，它们的和为11121． 【详解】解：最小的“和谐数”需满足，且数字互不相同且不为0， 取，则，为最小化数值， 取，得，且，满足条件， 故最小“和谐数”为1234； 对于能被3整除的条件：，， 则， 设，得， 故， ∵能被3整除需S能被3整除， 为a与d之和，且互不相同且为整数， 可能为， 时无法满足数字互异，故不考虑；   求最小M：时，取，得，数字互异且满足条件．   求最大M：时，取，得，数字互异且满足条件；   故满足条件的M最小值为1245，最大值为9876，它们的和为．   故答案为：1234，11121． 三、解答题 17．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照合并同类项法则：把系数相加减，字母和字母的指数不变进行合并即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 本题考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 18．已知与是同类项． (1)求的值． (2)在中，哪些是同类项？ 【答案】(1) (2)是同类项 【分析】（1）根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值； （2）先把、的值代入计算，再根据同类项的定义判断即可. 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由（1）知，， 所以， ， ， 所以是同类项． 【点睛】本题考查了同类项，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 19．（1）求多项式的值，其中； （2）求多项式的值，其中． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，平方和绝对值的非负性，解题的关键是掌握整式的运算法则． （1）对整式进行合并同类项化简，然后代数求值即可； （2）对多项式进行化简，合并同类项，根据平方和绝对值的非负性求出的值，代入代数式中求值即可． 【详解】解：（1） ； 将代入上式得， 原式； （2）∵， ∴， ∴， 解得； 将代入上式得， 原式． 20．观察下面两行数： 第①行：1，3，5，7，9，11，13，…； 第②行：，，，，，，，…； 根据以上规律解答下列问题： (1)第①行的第8个数是__________，第②行的第9个数是__________； (2)第①行的第个数是__________，第②行的第个数是__________； (3)记第①行前100个数的和是，第②行前100个数的和是，求的值． 【答案】(1)15， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，发现每行数的变化规律是解题的关键． （1）分别计算得出即可； （2）根据（1）的结论，找到规律即可； （3）根据规律计算即可求解． 【详解】（1）解：∵第①行：1，3，5，7，9，11，13，…； 第②行：，，，，，，，…； ∴第①行的第8个数是15，第②行的第9个数是； 故答案为：15，； （2）解：由（1）得到规律： 第①行的第个数是，第②行的第个数是； 故答案为：，； （3）解：当时，，； 由题意得，， ， ∴． 21．下表为某快餐店的菜单价格及优惠活动： 种类 配餐 价格（元） 优惠活动 A餐 1份盖饭 20 消费满200元，减24元 消费满320元，减40元 … B餐 1份盖饭+1杯饮料 28 C餐 1份盖饭+1杯饮料+1份小菜 32 (1)某公司一次性订购了10份B餐作为工作餐，需付款多少元？请计算说明： (2)几位朋友在快餐店吃饭，小明记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，杯饮料和5份小菜． ①他们共点了______份C餐，______份B餐． ②若他们至少需要8杯饮料，要使所花费的钱数最少，需要点几份B餐呢？ 【答案】(1)；理由见解析 (2)①；；②或 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用，根据各量之间的关系，正确列出所点的餐的原价是解题的关键． （1）根据套餐中满元减元，计算即可得解； （2）①设餐数量为份，餐数量为份，根据小菜数量得，再根据盖浇饭的数量判断即可；②至少需要杯饮料，因为餐和餐均包含杯饮料，所以，已知，则，解得，进而即可求解 【详解】（1）（元）， 满元减元， （元）； 答：需付款元． （2）由题意可知，共点了份小菜，因为只有餐包含小菜，所以餐的数量为份，由于点了杯饮料，份小菜，所以餐有份； ②由题意可知，至少需要杯饮料，因为餐和餐均包含杯饮料，所以，已知，则，解得；结合，可知的取值可能为，，，，设最终花费为元，原价为元，则： ， 当时，，元，消费满元减元，元； 当时，，元，消费满元减元，元； 当时，，元，消费满元减元，元； 当时，，元，消费满元减元，元； 综上，花费最少为元，此时需要点份或份餐． 22．我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键． （1）根据阅读提供的解法解答即可． （2）把看成整体，利用整体代入计算，求代数式的值即可． （3）根据题意，，，先求出的值，然后整体代入计算代数式的值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴ ． （3）解：，，， ， ， ． 23．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，学习以上内容解决问题： (1)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、1，若A、B两点之间的距离为5，那么x的值为______； (2)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y． ①的最小值为______； ②且x为整数，求的最大值； (3)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y，O为原点，当，时，动点P、Q分别从点A、点B出发，动点R从原点O同时出发，均沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点R速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为，设运动时间为t秒，请问，是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出n的值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)①；②； (3)不存在n的值，使得在运动过程中的值是定值． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①表示数到和的距离之和，当数在和之间时，有最小值，即可求解； ②由①可知，当时，的最小值为，同理可得，当时，的最小值为，再分两种情况讨论：若，则，此时，求出的值，再代入计算最大值；若，则，不符合题意，即可得解； （3）设运动时间为t秒，由题意可知，动点P、Q、R表示的数分别为、，，则，，再分两种情况求解：当时，点在点右侧，此时；当时，点在点左侧，此时，分别代入合并化简，再结合题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：或， 故答案为：或； （2）解：①表示数到和的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； ②由①可知，当时，的最小值为， 同理可得，当时，的最小值为， ，且x为整数， 若，则，此时， 的最小值为， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 此时，的最大值为； 若，则，不符合题意， 综上可知，的最大值为； （3）解：存在n的值，使得在运动过程中的值是定值， 设运动时间为t秒， 由题意可知，动点P、Q、R表示的数分别为、，， ，， 当时，点在点右侧，此时， ， 的值是定值， ， 解得：， 对于所有，不成立，不符合题意； 当时，点在点左侧，此时， ， 的值是定值， ， 解得：， 当，时，不成立，舍去， 综上可知，不存在n的值，使得在运动过程中的值是定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，整式的无关型问题等，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键. 学科网（北京）股份有限公司 $