专题03 线段与角重难点总结（寒假复习讲义）六年级数学新教材沪教版五四制

专题03 线段与角重难点总结 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：线段 一、直线、射线、线段 1.直线 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 细节剖析 ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. ②.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 2.射线 ①直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线.射线可以用表示它的端点和射线上任意一点(端点除外)的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，如图4-1-4(2)中的射线记作“射线AB”. ②.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ③.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l． 要点归纳： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图1中射线OA，射线OB是不同的射线． 图1 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图2中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图2 3.线段 ①直线上任意两点间的部分(包括端点)叫作线段.线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示，如图4-1-4(3)中的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”,也可以用一个小写字母表示，记作“线段a”. ②. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段． 例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 5．三者的区别如下表 二.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 三.画线段的和、差 (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a—b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 四.线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 知识点2：角 一、角的概念 （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点归纳： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 三、角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 四、角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 五、角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 六、余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 【考点1】线段的相关概念 【例1-1】（24-25六年级上·上海·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．射线与射线是同一条射线 B．联结两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，直线最短 D．线段与线段是同一条线段 【例1-2】（24-25六年级上·上海·月考）在所有连接两点的线中， 最短． 【例1-3】（24-25六年级上·上海·月考）用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点 ，则． 【例1-4】（24-25六年级上·上海·月考）经过一个点可作 条直线，经过个点最多可作 条线段； 【例1-5】（24-25六年级上·上海·月考）已知线段，在直线上截取，则 ． 【变式1-1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．经过两点能且只能画一条射线 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线与射线是同一条射线 【变式1-2】（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知线段，在直线上取一点，使，则点应在（   ） A．点、之间 B．点的左边 C．点的左边 D．点、之间或点的右边 【变式1-3】（24-25六年级上·上海·月考）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段． 【变式1-4】（24-25六年级上·上海·月考）已知线段和，如果将移动到的位置，使点与点重合，与叠合，点在线段上，那么 ．（填“”、“”或“”） 【变式1-5】（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知线段，点是线段上一点，且的长度是的倍，点是线段的中点，那么 【考点2】线段中点的有关计算 【例2-1】（24-25六年级上·上海·月考）如图所示，线段被点、分成了三部分，且，、分别为、的中点，求的长 【例2-2】（24-25六年级上·上海·月考）如图，点、是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)求的长． (2)若，求的长． 【例2-3】（25-26六年级上·上海崇明·期中）用数轴上的点表示下列各数． (1)点A表示的倒数，点B表示2的相反数，点C表示，点D表示绝对值最小的数； (2)已知点E与B的距离为线段长的一半，则点E表示的数是_________． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海·月考）点在线段上，，，、分别为线段、的中点，求的长． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海·期末）如图，线段，点是的中点，延长到点，使， (1)求线段的长； (2)线段占线段的几分之几？ 【变式2-3】（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【考点3】作线段(尺规作图) 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段，使它等于． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，已知线段a和线段b． (1)用无刻度直尺和圆规画线段，使；（保留作图痕迹，不用写作图步骤） (2)如果点M是线段的中点，，，求线段b的长度． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海·期末）已知线段a、b（如图）． (1)用直尺和圆规在射线上画出线段，使．（保留画图痕迹、写出结论，不要求写出画法） (2)在（1）的图形中， ①画出线段的中点M（写出结论） ②如果厘米，线段厘米，那么__________厘米． 【考点4】角的相关概念 【例4-1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（2024六年级上·上海·专题练习）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 【例4-3】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，周末小明打算从位于A处的宝山青少年活动中心出发，前往位于B处的上海大学校区参加活动．那么从A观测B处的方向为（　　） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 【例4-4】（24-25六年级上·上海·月考）计算： ． 【例4-5】（24-25六年级上·上海·期末）已知，那么的余角等于 ． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的补角为 ． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 【变式4-3】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知、两个城市的位置如图所示．那么城在城的 方向． 【变式4-4】（24-25六年级上·上海·月考）某人早晨6点多一点点出发，早晨将近回来，出发和回来时，时针和分针的夹角都恰好是100度，此人出去了 分钟 【考点5】角平分线的有关计算 【例5-1】（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【例5-2】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知射线、是钝角内的两条射线，，平分． (1)如果，，求的度数； (2)如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数吗？为什么； (3)作的角平分线，如果现在只给出的度数，是否能确定的度数？请说明理由． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【考点6】与余角、补角有关的计算 【例6-1】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若与互补，，则 ． 【例6-2】（24-25六年级上·上海·期末）如果一个角的余角是，那么它的补角是 ． 【例6-3】如图，点、、在一直线上，是的平分线，，比大． (1)求的度数． (2)求的度数． 【变式6-1】（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【变式6-2】已知点O为直线AB上一点． (1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数； (2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝　 　°，此时图中互余的角有 　 　对，互补的角有 　 　对． (3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由． 【变式6-3】已知，与互余，与互补． (1)如图，当点B在的内，且点B、D在的同侧时． ①若，则________． ②若是的角平分线，则_______．（用含的式子表示） (2)直接写出所有可能的度数是_________． 【变式6-4】（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）下列说法错误的个数有（   ） ①在“线段”中，A、B分别表示这条线段的两个端点． ②连接两点的线段叫做这两点间的距离． ③如果线段等于线段，则点B是线段的中点． ④如果线段，P是线段上一点，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24六年级下·上海·月考）如图，是线段上任意一点，是线段的中点，是线段的中点，下列说法中错误的是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海青浦·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①角的平分线是一条直线        ②连接两点的线段叫做两点之间的距离 ③两点之间，直线最短        ④如果，那么补角的度数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）下列说法错误的是（   ） A．将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点； B．如果一个角等于它的余角，那么这个角和它的补角也相等； C．如果两个角的余角相等，那么这两个角的补角也相等； D．经过一个角的顶点且把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线． 5．（24-25六年级上·上海·月考）下列正确的个数为（    ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．⑤线段上有无数个点；⑥两点之间线段最短； A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 8．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）平面上有一条线段，长度为厘米，点C是线段的中点，点D是线段的中点，如果点E在线段上，且，则 厘米． 9．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）在射线上顺次截取，，在线段上截取，那么线段 就是所要画的段段． 10．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 11．（23-24六年级下·上海虹口·期末）一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 三、解答题 12．（24-25六年级上·上海·月考）如图，点、是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)求的长． (2)若，求的长． 13．（25-26六年级上·上海崇明·期中）用数轴上的点表示下列各数． (1)点A表示的倒数，点B表示2的相反数，点C表示，点D表示绝对值最小的数； (2)已知点E与B的距离为线段长的一半，则点E表示的数是_________． 14．（24-25六年级上·上海·月考）已知关于的方程的解也是关于的方程的解 (1)求，的值 (2)已知线段，在线段所在直线上取一点，恰好使，点是的中点，求线段的长． 15．（23-24六年级下·上海虹口·期末）线段和在数轴上运动，点A开始时与原点重合，且． (1)若，且点B为线段的中点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为4个单位/秒，线段的速度为2个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值． (3)在（1）的条件下，线段和同时开始向左运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是，请直接写出线段的长；若不是，请说明理由． 16．（24-25六年级上·上海·期末）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 线段与角重难点总结 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：线段 一、直线、射线、线段 1.直线 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 细节剖析 ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. ②.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 2.射线 ①直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线.射线可以用表示它的端点和射线上任意一点(端点除外)的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，如图4-1-4(2)中的射线记作“射线AB”. ②.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ③.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l． 要点归纳： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图1中射线OA，射线OB是不同的射线． 图1 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图2中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图2 3.线段 ①直线上任意两点间的部分(包括端点)叫作线段.线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示，如图4-1-4(3)中的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”,也可以用一个小写字母表示，记作“线段a”. ②. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段． 例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 5．三者的区别如下表 二.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 三.画线段的和、差 (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a—b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 四.线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 知识点2：角 一、角的概念 （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点归纳： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 三、角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 四、角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 五、角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 六、余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 【考点1】线段的相关概念 【例1-1】（24-25六年级上·上海·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．射线与射线是同一条射线 B．联结两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，直线最短 D．线段与线段是同一条线段 【答案】D 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、两点之间线段最短、两点间的距离 【分析】本题考查了两点之间线段最短，线段、射线的定义，两点之间的距离，熟练掌握概念是解题的关键． 【详解】解：A、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； B、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意； C、两点之间，线段最短，原说法错误，不符合题意； D、线段与线段是同一条线段，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【例1-2】（24-25六年级上·上海·月考）在所有连接两点的线中， 最短． 【答案】线段 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的基本性质，解题的关键是牢记“两点之间线段最短”这一几何公理． 本题为单一填空题，解题思路是直接运用几何中关于两点连线的基本性质，即所有连接两点的线中，线段的长度最短． 【详解】解：根据几何基本性质，在所有连接两点的线中，线段的长度是最短的． 故答案为：线段． 【例1-3】（24-25六年级上·上海·月考）用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点 ，则． 【答案】在线段延长线上 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了线段大小的比较的方法，熟练掌握叠合法比较线段的大小的前提条件和三种情况是解答的关键． 画出图形，根据叠合法比较线段的方法即可求解． 【详解】解：用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点在线段延长线上，则， 如图： 故答案为：在线段延长线上． 【例1-4】（24-25六年级上·上海·月考）经过一个点可作 条直线，经过个点最多可作 条线段； 【答案】 无数 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了直线，线段定义，根据直线定义可知经过一个点可作无数条直线，根据经过个点最多可作线段（条），经过个点最多可作线段（条），经过个点最多可作线段（条），，找出规律即可求解，掌握直线，线段定义是解题的关键． 【详解】解：经过一个点可作无数条直线， 经过个点最多可作线段（条）， 经过个点最多可作线段（条）， 经过个点最多可作线段（条）， 经过个点最多可作线段（条）， ； ∴经过个点最多可作线段（条）， 故答案为：无数，． 【例1-5】（24-25六年级上·上海·月考）已知线段，在直线上截取，则 ． 【答案】或 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分点C在点A左侧和点C在点A右侧两种情况，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当点C在点A左侧时，则， 当点C在点A右侧时，则； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【变式1-1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．经过两点能且只能画一条射线 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、两点间的距离、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了射线的定义，两点之间的距离，经过两点的射线由于顶点不确定，故有无数条，据此可判断A；连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离且两点之间线段最短，据此可判断B、C；射线与射线的方向不同，据此可判断D． 【详解】解：A、经过两点能画无数条射线，原说法错误，不符合题意； B、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意； C、两点之间，线段最短，原说法正确，符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知线段，在直线上取一点，使，则点应在（   ） A．点、之间 B．点的左边 C．点的左边 D．点、之间或点的右边 【答案】D 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】此题考查两点间的距离，解题关键在于分情况讨论． 根据题意分两种情况，即点在线段上和射线上，分别讨论求解即可． 【详解】∵直线上取一点，使， ∴点应在点、之间或点的右边． 故选：D． 【变式1-3】（24-25六年级上·上海·月考）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段． 【答案】6 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是按照顺序，做到不重不漏． 根据线段有两个端点，写出所有的线段即可得到数量． 【详解】解：如图， 则图中线段有：线段、线段、线段、线段、线段、线段共6条． 故答案为：6． 【变式1-4】（24-25六年级上·上海·月考）已知线段和，如果将移动到的位置，使点与点重合，与叠合，点在线段上，那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段比较长短，根据题意画出图形求解即可．正确理解题意画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，， 故答案为：． 【变式1-5】（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知线段，点是线段上一点，且的长度是的倍，点是线段的中点，那么 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段的和与差，线段的中点．首先根据的长度是的倍得到和的长，然后根据中点的性质得到的长，最后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵的长度是的倍， ∴， ∵，， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点2】线段中点的有关计算 【例2-1】（24-25六年级上·上海·月考）如图所示，线段被点、分成了三部分，且，、分别为、的中点，求的长 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和与差，线段的中点，结合图形，灵活运用线段的和与差求值是解题的关键． 先根据题中条件求出，，的长，再利用中点求出，的长，最后求的长． 【详解】线段被点、分成了三部分，且， ，，， 、分别为、的中点， ，， ． 【例2-2】（24-25六年级上·上海·月考）如图，点、是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． （1）先根据点为线段的中点，得出的长，进而可得出结论； （2）先求出的长，再由得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 【例2-3】（25-26六年级上·上海崇明·期中）用数轴上的点表示下列各数． (1)点A表示的倒数，点B表示2的相反数，点C表示，点D表示绝对值最小的数； (2)已知点E与B的距离为线段长的一半，则点E表示的数是_________． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的定义、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上两点间的距离，于线段中点有关的计算，倒数，相反数等知识点． （1）先确定A、B、C、D各数，再在数轴表示即可； （2）先求出的长，即可求出，即可求出点E表示的数． 【详解】（1）解：点A表示的倒数，即为 点B表示2的相反数，即为 点C表示，即为； 点D表示绝对值最小的数，即为， ∴数轴表示为： （2）解：， ∴， ∵点表示的数为， ∴点E表示的数是为或 ∴点E表示的数是或， 故答案为：或． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海·月考）点在线段上，，，、分别为线段、的中点，求的长． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义可得的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解；∵，，、分别为线段、的中点， ∴， ∴． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海·期末）如图，线段，点是的中点，延长到点，使， (1)求线段的长； (2)线段占线段的几分之几？ 【答案】(1)； (2)线段占线段的五分之二． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算． （1）根据线段中点的定义求得，再利用线段的和与差计算即可求解； （2）先求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴线段占线段的五分之二． 【变式2-3】（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6； (2)①17；②同意，见解析． 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】（1）根据题意，图中共有条线段，解答即可； （2）①根据线段的中点，线段的和差表示解答即可； ②分在线段上运动，点在线段上运动，点C在的延长线上时，都在的延长线上，解答即可． 本题考查了线段条数的计算，线段中点的计算，线段的和差计算，熟练掌握计数方法，线段的中点计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，图中共有条线段， 故答案为：6． （2）解：① ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ②当在线段上运动时，根据①得； 当点在线段上运动，点C在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 当都在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， ∵，， ∴． 综上所述，线段的长度不变． 故同意． 【考点3】作线段(尺规作图) 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段，使它等于． 【答案】见详解 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】本题考查的是作已知线段的和差，熟练掌握作一条线段等于已知线段的基本作图的方法是解本题的关键． 分三步进行作图：①作射线，②在射线上依次截取，再在线段上截取，③线段即为所求作的线段． 【详解】解：如图，线段即为所求作的线段： 【变式3-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，已知线段a和线段b． (1)用无刻度直尺和圆规画线段，使；（保留作图痕迹，不用写作图步骤） (2)如果点M是线段的中点，，，求线段b的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段的尺规作图： （1）根据线段的尺规作图方法结合题意作图即可； （2）先由线段中点的性质得到的长，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵点M是线段的中点，， ∴， ∵， ∴． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海·期末）已知线段a、b（如图）． (1)用直尺和圆规在射线上画出线段，使．（保留画图痕迹、写出结论，不要求写出画法） (2)在（1）的图形中， ①画出线段的中点M（写出结论） ②如果厘米，线段厘米，那么__________厘米． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②7 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查作图—基本作图，线段中点的有关计算，解题的关键是掌握作一线段等于已知线段的尺规作图及线段中点的性质． （1）以点A为圆心，线段a为半径画弧，交于点D，以点D为圆心，线段a为半径画弧，交于点E，以点E为圆心，线段b为半径画弧，交线段于点B即可； （2）①画出线段的中点M即可； ②根据中点的定义得出厘米， 根据，厘米，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作的线段． （2）解：①如图，点M即为所求作的点； ②∵点M为的中点，厘米， ∴厘米， ∵，厘米， ∴， 解得：厘米． 【考点4】角的相关概念 【例4-1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度运算即可求解． 【详解】解：依题意，一副三角板中的角度有、、、， A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不能画出的角度，故选项C符合题意， D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 【例4-2】（2024六年级上·上海·专题练习）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； B、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； C、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； D、图中的，不能用表示，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例4-3】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，周末小明打算从位于A处的宝山青少年活动中心出发，前往位于B处的上海大学校区参加活动．那么从A观测B处的方向为（　　） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方位角，根据方位角的概念即可得答案． 【详解】解：从A观测B处的方向为南偏东， 故选：． 【例4-4】（24-25六年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算 【分析】此题考查了角度的计算，分别计算度、分、秒，单位间进率为60，不够减时借位． 【详解】． 故答案为：． 【例4-5】（24-25六年级上·上海·期末）已知，那么的余角等于 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、角的单位与角度制 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，解题的关键是熟练掌握余角的定义：和为的两个角互为余角．根据余角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的补角为 ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的补角、角的单位与角度制 【分析】本题主要考查了补角的定义，角度的运算，掌握互补两角和等于是关键． 【详解】解：， 则的补角为 故答案为：． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 【答案】 【知识点】角的度数大小比较、角的单位与角度制 【分析】本题考查了角度的换算与比较，掌握角度的换算方法是解题的关键． 根据，将换算成以度为单位的角，再与比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为： ． 【变式4-3】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知、两个城市的位置如图所示．那么城在城的 方向． 【答案】北偏东 【知识点】方向角的表示 【分析】此题主要考查了方向角，正确把握方向角的定义是解题关键． 【详解】解：， 城在城的北偏东 方向， 故答案为：北偏东． 【变式4-4】（24-25六年级上·上海·月考）某人早晨6点多一点点出发，早晨将近回来，出发和回来时，时针和分针的夹角都恰好是100度，此人出去了 分钟 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、钟面角 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角问题的求解，根据分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度来列出方程求解． 先求得分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，设此人出去了分钟，根据题意列出方程求解． 【详解】解：设分针每分钟转度，时针每分钟转度， 则，， 解得，， 分针每分钟转６度时，时针每分钟转0.5度， 设此人出去了分钟， 根据题意得， 解得． 故答案为：． 【考点5】角平分线的有关计算 【例5-1】（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线，角的计算，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可； （2）由（1）的计算过程可得结论； （3）根据角的倍数关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：， ∵射线和射线分别平分和． ， ， 即； （3）解：， ， 又 ∵， ， ． 【例5-2】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知射线、是钝角内的两条射线，，平分． (1)如果，，求的度数； (2)如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数吗？为什么； (3)作的角平分线，如果现在只给出的度数，是否能确定的度数？请说明理由． 【答案】(1) (2)还能求出的度数，理由见详解； (3)能确定的度数，理由见详解． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，正确认识图形，找准角的和差关系是正确解答此题的关键． 能确定的度数？请说明理由． （1）由，先求出，再利用角平分线的定义及角的和差关系即可求出的度数； （2）利用角平分线的定义及角的和差关系即可求出的度数是的度数的； （3）利用角平分线的定义及角的和差关系求出的度数是的度数的即可说明理由． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数， 理由如下： 射线平分， ， ， ， ； 即的度数是的度数的； 所以如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数； （3）解：只给出的度数，能确定的度数，理由如下： ， ， 射线平分， ， 平分， ， 的度数已知， 和已知， 由和得 ， ， ， 已知， 即已知， ， ，， ， ， ， 即已知可以确定． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、与角平分线有关的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解； （2）先求出，再由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 【考点6】与余角、补角有关的计算 【例6-1】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若与互补，，则 ． 【答案】45 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角，根据补角的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 【例6-2】（24-25六年级上·上海·期末）如果一个角的余角是，那么它的补角是 ． 【答案】/146度 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角的定义．先根据题意求出这个角的度数，再根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角为， ∴这个角的补角的度数是． 故答案为：． 【例6-3】如图，点、、在一直线上，是的平分线，，比大． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1)35° (2)55° 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（ 1）根据角平分线的定义求得，再根据与的关系和平角的定义，列方程即可求得的度数； （ 2）根据余角的定义，可求出的度数． 【详解】（1）解：平分， ， 设，则， ， ， 解得， ； （2）解：，， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角和余角的定义等知识，能够根据角与角的和差关系列方程求值是解答问题的关键． 【变式6-1】（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【详解】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 【变式6-2】已知点O为直线AB上一点． (1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数； (2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝　 　°，此时图中互余的角有 　 　对，互补的角有 　 　对． (3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)∠AOC＝180°，∠BOC＝72°． (2)90，4，5． (3)∠AOD＝2∠COE．理由见解析． 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x.然后根据平角180°列方程求得x，进而完成解答； （2）先根据角平分线的定义可得∠COD＝∠AOC、∠COE＝∠BOC，然后再结合∠DOE＝∠COD+∠COE即可求得90°；然后根据余角、补角的定义即可确定余角和补角的对数； （3）根据射线OC是∠BOD的角平分线可得∠BOC＝90°﹣∠AOD，然后再根据∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°即可解答． 【详解】（1）解：设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x， 根据题意得：3x+2x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠AOC＝180°，∠BOC＝72°． （2）解：∵射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线， ∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE ＝（∠AOC+∠BOC） ＝×180° ＝90°； ∵∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°， ∴互余的角有4对； ∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE+∠AOE＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴互补的角有5对． 故答案为：90，4，5． （3）解：∠AOD＝2∠COE．理由如下： ∵射线OC是∠BOD的角平分线， ∴∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD， ∵∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOD+（90°﹣∠COE）+（90°﹣∠AOD）＝180°， ∴∠AOD＝2∠COE． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、补角、余角的定义，灵活运用相关定义成为解答本题的关键． 【变式6-3】已知，与互余，与互补． (1)如图，当点B在的内，且点B、D在的同侧时． ①若，则________． ②若是的角平分线，则_______．（用含的式子表示） (2)直接写出所有可能的度数是_________． 【答案】(1)①；②． (2)或． 【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】（1）①根据与互余，得到，根据角的和差即可算出．②因为，与互补，所以根据角平分线的定义得到，根据角的和差即可求出的度数． （2）注意分情况讨论：如图1：；如图2：；如图3：求出每种情况的角的度数，即为该题的答案． 【详解】（1）解：① ∵，与互余， ∴， ∵， ∴， ． ②∵，与互补 ∴， ∵平分 ∴， ∴ ＝－ ． （2）解：如图1： ，，， ∴． 如图2： 如图3： ∴或． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义；解题的关键是利用了互余的定义，角平分线的定义以及角的和差进行计算． 【变式6-4】（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查的是角的计算，根据的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）设，可得，根据与互补列出方程求出的值即可； （2）根据角平分线的意义求出，即可得出绪论； （3）根据求出，由是的平分线可得出，再分在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵平分， ∴， ∵与互补， ∴ ∵ ∴ 解得，， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵是的平分线， ∴ 又 ∵ ∴； （3）解：∵且 ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵与互余， ∴ ∴ ①若在内部时，如图， 则； ②若在外部时，如图， 则； 综上，或． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）下列说法错误的个数有（   ） ①在“线段”中，A、B分别表示这条线段的两个端点． ②连接两点的线段叫做这两点间的距离． ③如果线段等于线段，则点B是线段的中点． ④如果线段，P是线段上一点，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段的定义，线段长的定义是正确解答的关键． 根据线段的定义，线段长的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①在“线段”中，A、B分别表示这条线段的两个端点．因此①正确； ②连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，因此②不正确； ③如果线段等于线段，点B不一定在线段上，因此③不正确； ④如果线段，P是线段AB上一点，则，因此④不正确； 综上所述，不正确的有②③④，共3个， 故选：C． 2．（23-24六年级下·上海·月考）如图，是线段上任意一点，是线段的中点，是线段的中点，下列说法中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差 【分析】根据是线段的中点，是线段的中点，可得，，而是线段上任意一点，可得与不一定相等，据此判断即可．本题主要考查了两点间的距离以及中点的定义，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解决问题． 【详解】解：是线段的中点， ， ， ，故A选项正确； 是线段的中点， ， ，故B选项正确； 是线段的中点， ， ，故C选项正确； ， ，故D选项错误， 故选：D． 3．（24-25六年级上·上海青浦·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①角的平分线是一条直线        ②连接两点的线段叫做两点之间的距离 ③两点之间，直线最短        ④如果，那么补角的度数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短、两点间的距离、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了角平分线定义，两点之间的距离，线段的性质，互为补角， 根据角平分线的定义判断①，再根据两点之间的距离判断②，然后根据线段的性质判断③，最后根据补角的定义得，再计算判断④． 【详解】解：因为角的平分线是一条射线，所以①不正确； 因为连接两点之间线段的长度叫做两点之间的距离，所以②不正确； 因为两点之间，线段最短，所以③不正确； 因为如果，那么它的补角是，所以④正确． 所以正确的有1个． 故选：A． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）下列说法错误的是（   ） A．将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点； B．如果一个角等于它的余角，那么这个角和它的补角也相等； C．如果两个角的余角相等，那么这两个角的补角也相等； D．经过一个角的顶点且把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线． 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算、线段中点的有关计算、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了线段中点、余角、补角、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段中点、余角、补角、角平分线的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点，故此选项说法正确，不符合题意； B、如果一个角等于它的余角，那么这个角是，它的补角是，所以这个角和它的补角不相等，故此选项说法错误，符合题意； C、如果两个角的余角相等，那么这两个角的补角也相等，故此选项说法正确，不符合题意； D、经过一个角的顶点且把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线，故此选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25六年级上·上海·月考）下列正确的个数为（    ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．⑤线段上有无数个点；⑥两点之间线段最短； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短、角的概念理解 【分析】本题考查了角的定义及性质，线段的性质，紧扣角的定义和线段的性质即可作答． 【详解】解：（1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故①错误； （2）角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形，故②正确； （3）两条射线，它们的端点重合时，可以形成角，故③正确； （4）角的大小与边的长短无关，故④错误； （5）线段上有无数个点，故⑤正确； （6）两点之间线段最短，故⑥正确； 正确的个数为4个， 故选：C． 6．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键．利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、三角形内角和定理即可确定答案． 【详解】解：由图①知，，则，故与不一定相等； 由图②知，根据同角的余角相等得：； 由图③知，根据等角的补角相等得：； 由图④知，，，故与不相等； 综上所述，与一定相等的是②③． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查了角的四则运算，直接根据角的四则运算法则求解即可 【详解】解：， 故答案为：． 8．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）平面上有一条线段，长度为厘米，点C是线段的中点，点D是线段的中点，如果点E在线段上，且，则 厘米． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和与差，与线段中点有关的计算等知识．熟练掌握线段的和与差，与线段中点有关的计算是解题的关键． 由题意知，，，，由点E在线段上，可得，由，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∵点E在线段上， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）在射线上顺次截取，，在线段上截取，那么线段 就是所要画的段段． 【答案】/ 【知识点】线段的和与差 【分析】此题考查了基本作图，画出图形是解题的关键． 根据题意画出图形，由线段的和差关系可得出结论． 【详解】解：由题画出图形如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 即所画的的线段就是的长． 故答案为：． 10．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得，根据中点的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ ∴， 故答案为：． 11．（23-24六年级下·上海虹口·期末）一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 【答案】或或或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． 三、解答题 12．（24-25六年级上·上海·月考）如图，点、是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． （1）先根据点为线段的中点，得出的长，进而可得出结论； （2）先求出的长，再由得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 13．（25-26六年级上·上海崇明·期中）用数轴上的点表示下列各数． (1)点A表示的倒数，点B表示2的相反数，点C表示，点D表示绝对值最小的数； (2)已知点E与B的距离为线段长的一半，则点E表示的数是_________． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的定义、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上两点间的距离，于线段中点有关的计算，倒数，相反数等知识点． （1）先确定A、B、C、D各数，再在数轴表示即可； （2）先求出的长，即可求出，即可求出点E表示的数． 【详解】（1）解：点A表示的倒数，即为 点B表示2的相反数，即为 点C表示，即为； 点D表示绝对值最小的数，即为， ∴数轴表示为： （2）解：， ∴， ∵点表示的数为， ∴点E表示的数是为或 ∴点E表示的数是或， 故答案为：或． 14．（24-25六年级上·上海·月考）已知关于的方程的解也是关于的方程的解 (1)求，的值 (2)已知线段，在线段所在直线上取一点，恰好使，点是的中点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)线段的长为7或10 【知识点】线段的和与差、解一元一次方程（二）——去括号、线段中点的有关计算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了同解方程以及线段的中点的定义，熟练掌握同解方程性质，线段中点性质，线段的和差，分类讨论，是解题的关键． （1）先求出第一个方程的解，然后根据方程同解把第二个方程中的x换成m的值，求解即可得到n的值； （2）可得，，分当点P在线段上时，，得，再根据中点定义得的长度，即可求出；当点P在线段的延长线上时，，得，再根据中点定义得，即可得． 【详解】（1）解：解方程， 得， ∵方程的解也是的方程的解， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P在线段上时， ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 当点P在延长线上时， ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 故线段的长为7或10． 15．（23-24六年级下·上海虹口·期末）线段和在数轴上运动，点A开始时与原点重合，且． (1)若，且点B为线段的中点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为4个单位/秒，线段的速度为2个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值． (3)在（1）的条件下，线段和同时开始向左运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是，请直接写出线段的长；若不是，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)14.5或20.5 (3)是定值；17.5 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离及中点的计算，一元一次方程的应用，理解题意，熟练运用数轴上两点之间的距离是解题关键． （1）根据线段的和差求解； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）设运动时间为t，再用t表示M，N表示的数，再利用中点公式求解． 【详解】（1）解：∵B为线段的中点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：B点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：， 解得：或； （3）解：设运动时间为t， 由题意得：A点表示的数为：，B点表示对数为：，C点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：M点表示的数为：，N点表示的数为：， ∴， ∴线段的长为定值，定值为17.5． 16．（24-25六年级上·上海·期末）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或时，；（3）或 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）利用分类思想解答即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）或． 理由：如答图① ， ∵， ∴； 如答图②，∵， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $