精品解析：浙江省金华市东阳吴宁联考2025-2026学年九年级上学期第三次独立作业数学试题卷

2025年下学期九年级（上）第三次独立作业 数学试题卷 本卷考试范围：九上、九下全册 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须填写在答题纸的相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ι 说明：本卷共有一大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，均不为，则下列比例式中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质，由已知等式推导出与的比值． 【详解】解：，且， 两边同除以，得， 故选：B． 2. 下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 瓮中捉鳖 D. 缘木求鱼 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件，理解题意是解决本题的关键． 不可能事件指绝对不可能发生的事件，据此求解即可． 【详解】解：A、旭日东升必然发生，不符合题意； B、守株待兔可能发生，不符合题意； C、瓮中捉鳖可能发生，不符合题意； D、缘木求鱼绝对不可能发生，符合题意． 故选：D． 3. 已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆相离的条件：圆心到直线的距离大于圆的半径． 根据直线与圆相离的条件，结合已知的圆心到直线的距离，确定半径的取值范围，再判断选项． 【详解】解：∵直线l与相离， ∴圆心到直线的距离半径， 已知， ∴． 观察选项中只有A．，满足条件． 故选：A． 4. 如图，几何体是由一个圆锥和一个长方体组成，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据从正面看长方体和圆锥得到的图形，可得答案． 【详解】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，且等腰三角形的底边长度小于矩形的边长， 因此选项B的图形符合题意， 故选B． 5. 下列说法中不在同一直线上的三点确定一个圆； 长度相等的两条弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；正确的说法有 （ ）个 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理推论，根据垂径定理的推论，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系判断即可，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法正确； 能够重合的弧是等弧，原说法不正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法不正确； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原说法不正确． 综上所述，正确的说法有1个． 故选：． 6. 如图，四边形内接于，＝，那么它的外角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形对角互补的性质和圆周角定理，解题关键是得出的大小． 先根据圆周角定理得出的大小，然后利用圆内接四边形对角互补的性质，得出的大小，从而得出的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，且相交于点F，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的面积之比为相似比的平方是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，易证，结合可得，再根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 故选D． 8. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移：将坐标轴的平移转换为函数图象的平移：轴向上平移2个单位相当于图象向下平移2个单位，轴向左平移3个单位相当于图象向右平移3个单位． 【详解】解：∵轴向上平移2个单位，相当于函数图象向下平移2个单位； ∵轴向左平移3个单位，相当于函数图象向右平移3个单位； ∴原函数向右平移3个单位得； 再向下平移2个单位得． 故选：C． 9. 如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据圆的性质可知，根据平行线的性质可知，从而可知，根据三角形内角和定理可以求出，，根据角之间的关系可得：，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则，由切线的性质，得到，故当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，等积法求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上， ∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即， 解得， ∴的最小值为，的最小值为， ∴的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆外一点到圆上一点的最值，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 卷II 说明：本卷共有两大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与y轴的交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征． 求二次函数图像与y轴的交点坐标，需令，计算对应的y值即可． 【详解】解：时，， ∴二次函数的图像与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知概率求数量、以及解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．根据概率公式列出分式方程求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， ， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：． 13. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为， ∴底面周长， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 14. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 在如图所示的小正方形网格中，，，，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，明确“等角的三角函数值相等”是解题的关键，如图标记格点，连接，，则，由此可得，所以，根据外角定理可得． 【详解】解：如图标记格点，连接，， 设小正方形的边长均为， 由勾股定理可知，， ， 中，， 中，， ， ， ，， ． 故答案为：． 16. 如图，正方形中，，点E为的中点，点P为边上一动点，连接，作，交于点M．点N为线段上一点，且，连接，取的中点H，连接，则线段的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接和，由题意容易判断出是等边三角形，结合正方形的性质，可得，从而得出P，C，M，H四点共圆．由圆周角定理可得，，所以动点H的轨迹是一条线段，则当时，线段取最小值，结合题干数据计算即可． 【详解】解：如图，连接和，作，垂足为I， ∵，， ∴是等边三角形， ∵点H是的中点， ∴，且平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴P，C，M，H四点共圆， 由圆周角定理可得，， ∵为定值， ∴动点H的轨迹是一条线段， 由垂线段最短可知，当点H和I点重合时，取最小值， ∵点E为的中点， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆的判定，圆周角定理，直角三角形的性质和线段最值问题，由对角互补判断四点共圆，进而确定点H的运动轨迹是解题关键． 三．解答题（本题共8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算法则． 根据乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算法则进行计算，然后进行加减即可． 【详解】解： ． 18. 2025年11月16日，2025横店马拉松在浙江省东阳市横店影视城鸣枪起跑．参赛选手通过比赛，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神，比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”两种不同项目，甲、乙、丙三人分别参加了其中一个项目． （1）甲恰好参加的是：“半程马拉松”的概率是_______； （2）请画树状图求“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，概率=所求情况数与总情况数之比，注意此题是放回试验还是不放回试验是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可： （2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目的结果有2种，再利用概率公式求解即可 【小问1详解】 解：比赛设置全程马拉松”半程马拉松”两种不同项目， 甲恰好参加的是半程马拉松”的概率是, 故答案为：; 【小问2详解】 解：将全程马拉松”半程马拉松”两种不同项目分别记为, 画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目的结果有2种， 甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率为. 19. 如图，抛物线与直线相交于点和点B． （1）求b和k的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2），或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把分别代入两个函数解析式，进行求解即可； （2）联立解析式求出点坐标，图象法求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得． 把代入得，， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）知：，， 联立，解得，， ∴， 由图象可知：的解集为或． 20. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，顶点在网格上，点D在边上，且．请你仅用无刻度的直尺在边上找点E，使得与相似．（要求画出两种情形） 【答案】 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-相似变换，如图1中，取格点P，Q，连接交于点E，连接即可（利用三角形的相似比即可证明）；图2中，取格点T，K，连接，交于点E即可（可以证明）． 【详解】略 21. 如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（）由题意得，，，即得，，再解直角即可求解； （）如图，过点作于，则米，米，，解直角可得，即得，进而根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，则米，米，， 在中，， ∴， ∴米， ∴米， ∴米． 22. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：． （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在上， ∴是的切线； （2） 证明：由题意知，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可知，得，进而可证得，证明，进而可证得结论； （2）根据切线的性质得出，根据已知得出，又，则，证明，进而可证得结论； （3）由（1）得，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∵，， ∴， ∴， 设， 由（2）可得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定及性质，相似三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 已知抛物线（为常数）． （1）若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①把点坐标代入解析式，利用待定系数法求解析式；②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）根据对于任意实数，都有，得出对于任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：①把代入得： ，解得， ∴； ②抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； 【小问2详解】 解：∵对于任意实数，都有， ∴对于任意实数都成立， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得，， ∴交点、横坐标分别是和， ∴． 24. 如图，在边长为4的正方形中，是对角线上的一个动点（点与、不重合），连接，将绕点顺时针旋转到，连接，与交于点，延长，与（或延长线）交于点，连接． （1）求证：； （2）在点的运动过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时线段的长度；若不存在，请说明理由； （3）猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵绕点顺时针旋转到， ，． ∵四边形是正方形， ，． ． ，即． ． ． （2）线段的长度的最大值为2，此时线段的长度为 （3） ． 证明：如图，当在边上时，过作，交于，则， ， ． ． ，， ． ． ， 、、、四点共圆． 连接， ． 是等腰直角三角形． ． ． 如图，当在的延长线上时， 同理可得：． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆的性质和判定、相似三角形的判定与性质等知识． （1）证出，由证明可得结论； （2）设，，证明，列比例式可得与的关系式，根据二次函数的性质即可得的最大值，以及此时线段的长度； （3）作辅助线，构建全等三角形，证明，得，由、、、四点共圆，得，所以是等腰直角三角形，可得结论；当在的延长线上时，同理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， ∵四边形是正方形， ，． ． ， 由勾股定理得：． ，． 是等腰直角三角形， ． ． ． ， ． ， 即， ． ． ∴当时，有最大值2， 即线段的长度的最大值为2，此时线段的长度为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级（上）第三次独立作业 数学试题卷 本卷考试范围：九上、九下全册 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须填写在答题纸的相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ι 说明：本卷共有一大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，均不为，则下列比例式中正确的是( ) A. B. C. D. 2. 下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 瓮中捉鳖 D. 缘木求鱼 3. 已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，几何体是由一个圆锥和一个长方体组成，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法中不在同一直线上的三点确定一个圆； 长度相等的两条弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；正确的说法有 （ ）个 A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，＝，那么它的外角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，且相交于点F，，则（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长等于（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 卷II 说明：本卷共有两大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与y轴的交点坐标是________． 12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则________． 13. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 14. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则______． 15. 在如图所示的小正方形网格中，，，，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的度数为________． 16. 如图，正方形中，，点E为的中点，点P为边上一动点，连接，作，交于点M．点N为线段上一点，且，连接，取的中点H，连接，则线段的最小值为________． 三．解答题（本题共8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 计算：． 18. 2025年11月16日，2025横店马拉松在浙江省东阳市横店影视城鸣枪起跑．参赛选手通过比赛，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神，比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”两种不同项目，甲、乙、丙三人分别参加了其中一个项目． （1）甲恰好参加的是：“半程马拉松”的概率是_______； （2）请画树状图求“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率． 19. 如图，抛物线与直线相交于点和点B． （1）求b和k的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 20. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，顶点在网格上，点D在边上，且．请你仅用无刻度的直尺在边上找点E，使得与相似．（要求画出两种情形） 21. 如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果保留根号） 22. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：． （3）若，，求的长． 23. 已知抛物线（为常数）． （1）若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 24. 如图，在边长为4的正方形中，是对角线上的一个动点（点与、不重合），连接，将绕点顺时针旋转到，连接，与交于点，延长，与（或延长线）交于点，连接． （1）求证：； （2）在点的运动过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时线段的长度；若不存在，请说明理由； （3）猜想与的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $