专题05 椭圆、双曲线、抛物线（选填）（考点清单+知识导图+ 15个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单05 椭圆、双曲线、抛物线（选填） （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【清单02】椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 【清单03】双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【清单04】双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【清单05】抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 【清单06】抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【考点题型一】椭圆,双曲线，抛物线定义辨析 【例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】轨迹问题——圆、轨迹问题——椭圆、双曲线定义的理解、抛物线定义的理解 【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、直线和圆的知识对四个说法进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，所以点轨迹是两点间的线段，①错误. ②，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误. ③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1， 当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等，则P的轨迹是抛物线； 当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确. ④，动点满足， 则或， 表示的是直线在圆外和圆上的部分； 表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误. 所以正确的有0个. 故选：A 【变式1-1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆 【分析】先把两圆方程化成标准方程，得出圆心和半径，设出动圆圆心坐标，根据两圆相切的性质推导出满足的关系式后即可求解. 【详解】由可得，，圆心为，半径； 由可得，圆心为，半径. 设动圆的圆心为，半径为， 由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，， 由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，， 于是， 即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离， 根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆. 故选：B 【变式1-2】（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】利用基本不等式求出的范围，根据椭圆的定义可得答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆． 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D. 【考点题型二】利用圆锥曲线定义求轨迹方程 【例2】（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为. 故选：B 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用双曲线定义求方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据中为定值，故先化简再分析满足的距离关系即可. 【详解】设，因为， 故，即. 故点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支， 且，故. 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式2-2】（22-23高三·全国·课后作业）已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是 . 【答案】 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】根据抛物线的定义，结合焦点坐标，直接求轨迹方程. 【详解】根据抛物线定义可知，点在以为焦点，直线为准线的抛物线上， 所以，，抛物线方程为. 故答案为：. 【考点题型三】圆锥曲线上点到焦点距离及最值 【例3】（2023·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值. 【详解】由双曲线定义得, 故 如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值， ，故方程为， 联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)， 故 故选：A 【变式3-1】（24-25高二上·吉林·期中）已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】由得，，问题转化为求，结合图象可知当点为椭圆的右顶点时，有最小值，计算，得到. 【详解】椭圆中，.    如图，由得， ∴， ∴当取最小值时，最小. 由题意得，点A为椭圆右焦点，当点为椭圆的右顶点时，， ∴. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·上海·期末）设，为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，点，当取最小值时，的值为 . 【答案】/ 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】结合双曲线定义数形结合判断出取最小值时，、、三点共线，且点在点、之间，后续计算即可得. 【详解】由双曲线为，则，为双曲线右支上一点， 则，即 故， 当且仅当点、、三点共线，且点在点、之间时，等号成立， 由题意可得，又，则，即， 代入得，，化简得， 故或，由，故舍去， 则，即点，则. 故答案为：. 【考点题型四】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（周长问题） 核心方法：圆锥曲线定义+余弦定理 【例4-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（    ） A．8 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长． 【详解】 为椭圆的两个焦点， ， 的周长为． 故选：D． 【例4-2】（24-25高二上·广东江门）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得 ，由离心率可求出，同理结合代入余弦定理可求，进而得解. 【详解】由题可知，，求得， 对由余弦定理可得 ，即， 即，因为，解得， 又， 即，解得，， 所以的周长为. 故选：A 【变式4-1】（23-24高二上·河南周口·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，.若点在上，则的周长为 . 【答案】6 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据条件得出，再利用椭圆的定义即可求出结果. 【详解】因为在椭圆：上，所以，得到， 又，所以，又，所以， 由椭圆的定义知，，所以的周长为， 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切. (1)求圆心C的轨迹E的方程； (2)过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长. 【答案】(1) (2)10 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用双曲线定义求方程 【分析】（1）根据几何意义即可求得轨迹方程； （2）求出直线l的方程，结合双曲线的几何性质即可得解. 【详解】（1）圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切， 则， 所以的轨迹是以为焦点，2为实轴长的双曲线， 其标准方程 （2）过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l， 其方程，恰好经过， N在线段上，， ， 即， 所以的周长 【考点题型五】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（面积问题） 核心方法：圆锥曲线定义+正、余弦定理+面积公式+基本不等式 【例5-1】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 【答案】3 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】利用双曲线定理结合勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式即可. 【详解】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标， 根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限， 设，其中， 因为，则， 根据勾股定理知， 即，解得（负舍）， 则，则面积为. 故答案为：3. 【例5-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆定义及辨析 【分析】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论； （2）由角平分线定理可得，，解得，代入可求得面积. 【详解】（1）由椭圆的定义得， 因为直线与x轴垂直，所以， 即， 故. （2）因为平分，所以，即，如下图所示： 由和，解得，， 代入得，解得； 故的面积为. 【变式5-1】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知点在椭圆上，是椭圆的左､右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、椭圆中焦点三角形的面积问题、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意由向量数量积和三角形面积公式可得，再利用椭圆定义和基本不等式即可求出. 【详解】如图所示：    不妨设， 则可知，， 两式相除可得，所以， 又，所以， 可得， 由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立）， 所以. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高二上·四川达州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，点为双曲线上一点，若到原点的距离，则的面积是 . 【答案】 【知识点】轨迹问题——圆、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由可得点在圆上，且，利用双曲线定义和勾股定理可得，即可知的面积为. 【详解】如下图所示： 不妨取点在双曲线的右支上，由可得点在圆上， 又易知，所以即为圆的直径， 所以， 利用双曲线定义可得，利用勾股定理可得， 所以，可得， 因此的面积为. 故答案为： 【考点题型六】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（其他问题） 【例6】（多选）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．使得为直角三角形的点共6个 C．若为钝角三角形，则 D．的最大值是9 【答案】AC 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】对于A，利用椭圆的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可求得结果，对于B，利用余弦定理求出，结合椭圆的性质进行判断，对于C，当时，为钝角三角形，从而可求出三角形面积的范围，对于D，利用基本不等式结合椭圆的定义求解. 【详解】对于A，由，得，则， 设，则由椭圆的定义， 在中，，则余弦定理得， ，所以，，得， 所以的面积为，所以A正确， 对于B，当时，为直角三角形的点有2个，当时，为直角三角形的点有2个， 设椭圆的上顶点为，则，在中， ， 所以为锐角，所以在中不可能为是直角， 综上，使得为直角三角形的点共4个，所以B错误， 对于C，设，由选项B可知，当时，为钝角三角形， 当时，，得， 所以时，， 所以，即，所以C正确， 对于D，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为16，所以D错误， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质，考查余弦定理的应用，解题的关键是利用椭圆的定义结合其性质求解，考查计算能力，属于较难题. 【变式6-1】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 【答案】BCD 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】 根据椭圆的标准方程，椭圆的定义式，三角形的周长，以及三角形的周长与三角形的内切圆半径的关系，正余弦定理，即可依次得出答案. 【详解】由题意知，，，则，. 对于A选项，因为，解得，又， 则，，故A错误； 对于B选项，的周长为，故B正确； 对于C选项，设的内切圆的半径， 则， 又，， 解得，故C正确； 对于D选项，在中， 由， 解得， 又， 即， 整理得：， 即， 即， 又， 解得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理知： ，即，解得，故D正确. 故选：BCD. 【变式6-2】（多选）（24-25高二上·山东·期中）已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（   ） A．椭圆的方程为 B． C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点， 【答案】ABC 【知识点】椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据椭圆的关系可求解选项A；利用椭圆和双曲线的定义求解选项B、C；利用向量数量积的坐标表示求解选项D. 【详解】 由双曲线：的方程可知，双曲线的焦点，， 离心率为， 所以椭圆的焦点为，，离心率为， 所以椭圆中，， 所以椭圆的方程为，A正确； 因为点是与的一个公共点， 所以点在双曲线上， 所以根据双曲线的定义可知， ，且， 所以，B正确； 根据对称性，不妨设，则， 又根据椭圆的定义可知，， 所以联立，解得 ，所以，所以为等腰三角形，C正确； 设，则，， 所以， 解得，此时， 所以存在点的坐标为或或或， 使得，D错误； 故选：ABC. 【考点题型七】圆锥曲线中线段和差最值问题 【例7】（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆中的最值问题 【分析】运用椭圆定义对长度进行转化计算即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知， 所以. 当三点共线时，， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【详解】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到得距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】利用双曲线定义可将转化为，结合三角形三边关系可确定最小值为三点共线时的取值，由此可计算得到结果. 【详解】    由双曲线方程知：，，，则，， 由双曲线定义知：， （当且仅当在线段上时取等号）， 又，. 故答案为：. 【考点题型八】求圆锥曲线方程 【例8】（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 【变式8-1】（24-25高二上·江苏常州）在直角坐标平面内，已知，若，则点所在曲线的方程为 . 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解、利用双曲线定义求方程 【分析】由题意判断满足双曲线的定义，通过双曲线的定义求出所求的方程即可． 【详解】因为在直角坐标平面内，已知，， 所以点满足双曲线的定义，到与到的距离的差是常数2，轨迹是双曲线的一支． 由题意可知，，所以， 所求的点所在曲线的方程为：，即． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25高二上·云南大理·期中）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点； (2)经过两点、. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用椭圆定义求方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）法：根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可知；法：根据椭圆定义求解出的值，根据求出的值，则椭圆标准方程可知； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【详解】（1）法：由题意可知椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为， 由已知得， 又因为，所以， 因为点在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或（舍去）， 因此， 从而所求椭圆的标准方程为. 法：由题意可知椭圆的焦点在轴上，且， 所以， 故， 从而所求椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点、， 所以，解得，， 即椭圆方程为， 故椭圆的标准方程为：. 【考点题型九】判断方程为椭圆、双曲线的条件 【例9】（23-24高二下·广西柳州·阶段练习）已知曲线.下列正确的是（   ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【答案】A 【知识点】判断方程是否表示双曲线、判断方程是否表示椭圆、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据给定条件，结合椭圆、圆、双曲线的标准方程逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，若，则化为，由，得， 因此曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，A正确； 对于B，若，则化为， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，B错误； 对于C，若，则化为，此时曲线C表示双曲线， 由得渐近线方程为，C错误； 对于D，，方程，若，方程不表示任何曲线，D错误． 故选：A 【变式9-1】（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若方程所表示的曲线为C，则（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C不一定是椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则 【答案】ABC 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、判断方程是否表示双曲线、根据方程表示椭圆求参数的范围、判断方程是否表示椭圆 【分析】令即可判断AB；由方程表示椭圆、双曲线的条件即可判断CD. 【详解】对于AB，当时，曲线C的方程为，所以曲线C可能是圆，不一定是椭圆故AB正确； 对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故C正确； 对于D，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D错误. 故选：ABC. 【变式9-2】.（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期中）若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．若为椭圆，则焦距为定值 D．若为双曲线，则焦距为定值 【答案】ACD 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、判断方程是否表示双曲线、根据方程表示双曲线求参数的范围、求双曲线的焦距 【分析】根据椭圆以及双曲线的标准方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】方程，由，解得,,，此时曲线是椭圆，所以A不正确．   由得或，此时表示的曲线是双曲线，所以B正确， 当，解得，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆， 故焦距为，不为定值，故C错误， 当，解得时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线， 则焦距为，不为定值，故D错误， 故选：ACD． 【考点题型十】圆锥曲线中的离心率（定值） 【例10】（24-25高二上·江苏扬州·期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点，若点关于的对称点恰好在双曲线右支上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据已知结合双曲线的定义可推得，.然后根据，可推得.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率. 【详解】 设， 由已知可得，， 根据双曲线的定义有. 又，所以. 在中，由余弦定理可得，， 即， 整理可得， 等式两边同时除以可得，， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 【变式10-1】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为 . 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得，求得，由角平分线定理，结合离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】如图，由题意可知， 所以， 所以， 因为平分，所以， 解得，所以，所以离心率， 故答案为：. 【变式10-2】（24-25高二上·湖南·期中）已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出，结合双曲线定义得到方程，求出离心率. 【详解】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.    因为，所以也是的中点.设， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由，得，所以， 在中，由，得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，求解；（2）变用公式，整体求出；（3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出的关系；（4）构造的齐次式，解出. 【考点题型十一】圆锥曲线中的离心率（最值+范围） 【例11】（24-25高二上·安徽·期中）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点．若椭圆上存在两点满足，且关于原点对称，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆C的右焦点为，连接．由椭圆的性质分析出以为直径的圆与椭圆有公共点，得到，消去，即可求出离心率的取值范围. 【详解】设椭圆C的右焦点为，连接． 由椭圆的性质得，，，即椭圆上存在点A，满足，即以为直径的圆与椭圆有公共点． 设椭圆C的半焦距为，所以只需，所以，即，所以椭圆C的离心率的取值范围为． 故选：C 【变式11-1】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）设分别是椭圆的左、右焦点，且，若在直线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先由题意得，设直线与x轴交于点D，从而得，再结合离心率公式和范围解该不等式即可得解. 【详解】由题意可得， 设直线与x轴交于点D，则， 所以即，即，故， 又，所以.， 所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：D. 【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，若双曲线右支上存在点满足（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，则，然后由函数单调性及题意可得，即可得答案. 【详解】设，则， 则， 令， 则在上单调递增，所以当时，， 要使双曲线右支上存在点满足，则. 故，即，又因为，所以双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为： 【考点题型十二】抛物线中的和差最值问题 【例12】（24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 【变式12-1】（2024·湖南·模拟预测）已知点，抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】 利用抛物线的定义结合三点共线即可解决. 【详解】 由抛物线的定义可知，， 所以，所以抛物线的方程为， 过点作垂直抛物线的准线，垂足为， 则， 当且仅当和三点共线时等号成立. 故选：A.    【变式12-2】（23-24高二下·河南安阳·阶段练习）已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解. 【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则， 当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”， 所以的最大值为. 故选：A 【考点题型十三】抛物线中焦半径问题 【例13】（24-25高二上·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据重心坐标公式，焦半径公式求解． 【详解】由题意，， 设，，， 是的重心，则， ， 故选：A． 【变式13-1】（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【分析】设，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由可得为的重心，从而可求出，再根据抛物线的定义可求得结果. 【详解】设， 由，得，所以，准线方程为， 因为，所以为的重心， 所以，所以， 所以 ， 故选：C 【考点题型十四】抛物线的标准方程 【例14】（23-24高二上·全国·课后作业）以为焦点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】由题意设抛物线方程为，结合焦点坐标求得，即可得出答案. 【详解】因为抛物线焦点为，所以可设抛物线方程为， 且，则，所以抛物线方程为． 故选：D． 【变式14-1】（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】设抛物线的方程为，设焦点关于准线的对称点为，求得，得到，进而得抛物线的方程. 【详解】由题意，设抛物线的方程为， 可得焦点坐标，准线方程为， 设焦点关于准线的对称点为，可得，解得， 因为点关于其准线的对称点为，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：A. 【变式14-2】（24-25高三上·云南昆明·开学考试）已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求抛物线的轨迹方程 【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，进而可求得点的轨迹方程. 【详解】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离， 则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为， 故选：B . 【变式14-3】（2024高二·全国·专题练习）到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求抛物线的轨迹方程 【分析】分析可知点的轨迹是抛物线，确定该抛物线的焦点坐标和准线方程，即可得出点的轨迹方程. 【详解】由题意可知，动点到点的距离等于到直线的距离， 故点的轨迹为以点为焦点，以直线为准线的抛物线，其轨迹方程为. 故选：C. 【考点题型十五】圆锥曲线中新定义题（小题） 【例15】（24-25高二上·上海·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：①已知点，直线，则；②定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（k为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的选项是（   ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、求平面轨迹方程 【分析】对于①，设是直线上一点，且，可得 ，讨论与的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；对于②，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断. 【详解】设点是直线上一点，且，可得 由，解得，即有， 由，解得或，， 所以故①正确； 对于②，定点、，动点满足， 则：，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称， 故不妨设， 当时，有，得：； 当时，有，此时无解； 当时，有，； 则点的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线. 结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点，因此②正确. 故选：C. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础知识，以不变应万变才是制胜法宝, 【变式15-1】（24-25高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在.，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】解法一：利用参数方程，代入计算向量数量积得，再结合以及和的关系得到关于的齐次不等式，解出即可；方法二：利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围. 【详解】 （解法1）设， 因为，所以. ，所以. 因为，所以. 因为，所以，即，解得. （解法2）设， 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因为存在.，所以在上有解. 因为，且， 所以在上有解， 即在上有解. 因为，所以，即解得. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，再代入计算相关向量数量积，转化为在上有解，从而得到不等式组，解出即可. 【变式15-2】（24-25高二上·浙江台州·期中）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．给出下列三个结论： ①曲线C关于直线对称； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2； ③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）． 其中，正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】由方程研究曲线的性质、求两曲线的交点、求平面两点间的距离 【分析】对于①，只需任取曲线上一点，证明点也在曲线上即可；对于②，在曲线的第一象限部分上任取点，利用基本不等式，推理得到，即可分析得到，再利用图形对称性即可判断；对于③，联立得四个交点，满足条件的最小正方形是各边以为中点，边长为4的正方形，即得③错误. 【详解】对于①，设点是曲线上任一点，则有， 易得也成立，即点也在曲线上，故曲线C关于直线对称，①正确； 对于②，不妨设点为曲线上的任一点， 则，化简得，当且仅当时取等号， 于是即得，故可得曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2，故②正确； 对于③，联立，解得， 从而可得四个交点坐标分别为， 依题意满足条件的最小正方形是各边以为中点，边长为4的正方形（如图）， 故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界），即③错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题主要考查由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识和求曲线交点坐标，属于较难题. 解题思路即是判断最远距离点时，常在曲线上任取一点，计算距离，运用基本不等式或函数的值域求出其最值；对于区域覆盖问题，要结合图形的对称性，通过计算关键点，求得其面积再判断. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·山东济宁·期中）设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据条件，利用椭圆的定义，即可求解. 【详解】如图，的周长为 又椭圆，得到，所以的周长为， 故选：B. 2．（福建省龙岩市非一级达标校联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷）已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据题设写出焦点坐标、渐近线方程，应用点线距离公式求距离. 【详解】由题设，渐近线为，则点到的渐近线的距离. 故选：A 3．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】设点，用焦半径公式代入化简成二次函数，求其最值即得. 【详解】由，可得， 设点，则， 于是 ， 因，故当时，取得最大值为4. 故选：C. 4．（2024·陕西商洛·一模）已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据韦达定理求参数、垂直关系的向量表示 【分析】联立抛物线与直线方程可得，，进而可得，由可得，进而可得的值. 【详解】如图所示， 设，，联立整理得， 则，解得且， ，， 所以， 因为，所以，即，解得． 故选：C. 5．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形 【分析】设，由双曲线定义表达各边，且，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，设， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，故， 由双曲线定义知，，故， ， 其中， 解得，则，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ， 解得， 故双曲线C的离心率为. 故选：A 6．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数 【分析】设直线l的方程为，直曲联立，由韦达定理表示弦长求出斜率即可； 【详解】根据题意可得抛物线的焦点，根据题意可得直线的斜率存在，（显然当斜率不存在时，不符合题意） 设直线l的方程为，联立， 得，所以， 因为，解得， 则直线l的方程为或. 故选：B. 7．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】 过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 8．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设，，，则， 然后利用，得到点，然后代入即可求解. 【详解】设，，，则， 由题意可知，即， 将点代入， 得，即 故选：D. 9．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程. 【详解】设，代入双曲线方程， 可得，作差， 因为点为线段的中点，所以 所以，即， 所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意. 故选：A. 10．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的定义， 可求得的长，根据三角形的几何性质，即可求得答案， 【详解】由椭圆的定义可得，又， 所以， 在椭圆中，， 所以，即， 又，所以， 所以该椭圆离心率的取值范围是. 故选：B 二、多选题 11．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．的周长为 B．存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】AB 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据焦点三角形的周长为判断A的真假；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的形状判断B的真假；结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积，判断C的真假；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点，判断D的真假. 【详解】对于，由题意，，，故周长为，所以A正确； 对于B，当点位于上下顶点时，为直角，所以B正确. 对于C，当时，如图： 设，，则. 所以，所以C错误； 对于D，若是以为顶点的等腰三角形，点位于上下顶点；若是以为顶点的等腰三角形，则，此时满足条件的点有两个；同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有两个；故使得为等腰三角形的点共六个，所以D错误. 故选：AB 12．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（   ） A．始终垂直于轴 B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】二倍角的正弦公式、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由与的内切圆性质可得和点的横坐标判断AB；设出直线的倾斜角，求出的表达式并求出其范围判断CD. 【详解】由双曲线的离心率为2，得半焦距， 对于A，记的内切圆在边，，上的切点分别为， 则，， 令点，则，解得，而轴，则点的横坐标为， 同理点的横坐标为，因此始终垂直于轴，A正确； 对于B，由分别平分，得， 因此，B正确； 对于CD，设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点）， 在中，， 双曲线的渐近线为，其倾斜角分别为和 由直线与双曲线的右支交于两点，得直线与双曲线的两条渐近线在轴右侧部分都相交， 因此，即，从而，C正确，D错误. 故选：ABC    三、填空题 13．（2024高二·全国·专题练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为 【答案】 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义可知，则，则要求的最小值，即求得最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线最短距离是过定点到直线的垂线段长， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高二上·山西·期中）已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则 . 【答案】2 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，根据勾股定理化简可得，结合离心率定义即可得结果. 【详解】由题意可知，， 所以. 因为，所以，即， 所以， 故答案为：2. 15．（24-25高二上·安徽·期中）已知定直线，点分别是上的动点，且，则的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设，设线段中点，由中点坐标公式得，再利用两点间距离公式，代入化简即可. 【详解】由题：， 设，设线段中点， 则，即， 而 ， 所以，化简为. 故答案为： 16．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，，点满足直线的斜率之积为，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、轨迹问题——椭圆 【分析】先求出的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标形式可求最小值. 【详解】设，则，故， 整理得到：，而 故， 而，故， 故答案为： 17．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.若透明窗所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为 . 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】由椭圆定义，根据，结合勾股定理可得可得的值，则即可求的面积． 【详解】由，，，得， 则椭圆长轴长，由点在椭圆上，得，又， 则， 因此，所以的面积为. 故答案为： 18．（24-25高二上·山东德州·期中）已知直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），则 ；的面积为 . 【答案】 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出，结合韦达定理可求得的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设点、，联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以，，解得， 所以，，，则， 直线交轴于点， 所以，. 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 椭圆、双曲线、抛物线（选填） （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【清单02】椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 【清单03】双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【清单04】双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【清单05】抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 【清单06】抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【考点题型一】椭圆,双曲线，抛物线定义辨析 【例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1-2】（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【考点题型二】利用圆锥曲线定义求轨迹方程 【例2】（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高三·全国·课后作业）已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是 . 【考点题型三】圆锥曲线上点到焦点距离及最值 【例3】（2023·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·吉林·期中）已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·上海·期末）设，为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，点，当取最小值时，的值为 . 【考点题型四】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（周长问题） 核心方法：圆锥曲线定义+余弦定理 【例4-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（    ） A．8 B．9 C．10 D．20 【例4-2】（24-25高二上·广东江门）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·河南周口·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，.若点在上，则的周长为 . 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切. (1)求圆心C的轨迹E的方程； (2)过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长. 【考点题型五】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（面积问题） 核心方法：圆锥曲线定义+正、余弦定理+面积公式+基本不等式 【例5-1】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 【例5-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【变式5-1】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知点在椭圆上，是椭圆的左､右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（23-24高二上·四川达州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，点为双曲线上一点，若到原点的距离，则的面积是 . 【考点题型六】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（其他问题） 【例6】（多选）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．使得为直角三角形的点共6个 C．若为钝角三角形，则 D．的最大值是9 【变式6-1】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 【变式6-2】（多选）（24-25高二上·山东·期中）已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（   ） A．椭圆的方程为 B． C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点， 【考点题型七】圆锥曲线中线段和差最值问题 【例7】（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【变式7-2】（24-25高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 【考点题型八】求圆锥曲线方程 【例8】（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【变式8-1】（24-25高二上·江苏常州）在直角坐标平面内，已知，若，则点所在曲线的方程为 . 【变式8-2】（24-25高二上·云南大理·期中）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点； (2)经过两点、. 【考点题型九】判断方程为椭圆、双曲线的条件 【例9】（23-24高二下·广西柳州·阶段练习）已知曲线.下列正确的是（   ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【变式9-1】（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若方程所表示的曲线为C，则（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C不一定是椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则 【变式9-2】.（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期中）若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．若为椭圆，则焦距为定值 D．若为双曲线，则焦距为定值 【考点题型十】圆锥曲线中的离心率（定值） 【例10】（24-25高二上·江苏扬州·期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点，若点关于的对称点恰好在双曲线右支上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式10-1】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为 . 【变式10-2】（24-25高二上·湖南·期中）已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 【考点题型十一】圆锥曲线中的离心率（最值+范围） 【例11】（24-25高二上·安徽·期中）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点．若椭圆上存在两点满足，且关于原点对称，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）设分别是椭圆的左、右焦点，且，若在直线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，若双曲线右支上存在点满足（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【考点题型十二】抛物线中的和差最值问题 【例12】（24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式12-1】（2024·湖南·模拟预测）已知点，抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式12-2】（23-24高二下·河南安阳·阶段练习）已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【考点题型十三】抛物线中焦半径问题 【例13】（24-25高二上·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【考点题型十四】抛物线的标准方程 【例14】（23-24高二上·全国·课后作业）以为焦点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高三上·云南昆明·开学考试）已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（2024高二·全国·专题练习）到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十五】圆锥曲线中新定义题（小题） 【例15】（24-25高二上·上海·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：①已知点，直线，则；②定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（k为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的选项是（   ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 【变式15-1】（24-25高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在.，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25高二上·浙江台州·期中）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．给出下列三个结论： ①曲线C关于直线对称； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2； ③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）． 其中，正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·山东济宁·期中）设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（福建省龙岩市非一级达标校联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷）已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 4．（2024·陕西商洛·一模）已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（    ） A． B．2 C． D．5 6．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．的周长为 B．存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有4个 12．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（   ） A．始终垂直于轴 B． C． D． 三、填空题 13．（2024高二·全国·专题练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为 14．（24-25高二上·山西·期中）已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则 . 15．（24-25高二上·安徽·期中）已知定直线，点分别是上的动点，且，则的中点的轨迹方程为 . 16．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，，点满足直线的斜率之积为，则的最小值为 ． 17．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.若透明窗所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为 . 18．（24-25高二上·山东德州·期中）已知直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），则 ；的面积为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$