专题05 抛物线及其应用（考点+二级结论+13题型+易错，期末复习知识清单）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

该高中数学抛物线知识清单系统整合了抛物线的定义、标准方程与几何性质、直线与抛物线位置关系三大核心知识点，配套13类典型题型及2大易错专题，搭建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单采用表格对比呈现四种标准方程的图象与性质，提炼中点弦点差法、切线方程等二级结论，题型涵盖定义应用、距离最值、定点定值等，易错点标注定义混淆、斜率遗漏等典型错误。通过“知识清单+题型示例+易错警示”的结构设计，培养学生数学思维与运算能力，既便于学生自主梳理知识体系，也为教师精准教学提供清晰框架。

专题05 抛物线及其应用（3知识&13题型&2易错） 【清单01】抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 【清单02】抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图象 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 【清单03】直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 2.直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 3.抛物线的焦点弦问题 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ① 焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。 【二级结论1】抛物线弦中点问题 若直线与抛物线交于，两点， 且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在抛物线上， 所以（点在抛物线上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，所以． 注：这里给出的都是焦点在x轴上的情形，焦点在y轴上时需要再根据点差法推导，不能直接套结论．点差法得到的结论在小题中可以直接用，在大题中要有推导过程． 【二级结论2】抛物线的切线 1．抛物线的切线 先将抛物线转化为函数的图象，然后直接求导得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以切线方程为．如图． 综上，抛物线在点处的切线方程为． 2．抛物线的切线 如图，先将抛物线的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，原点处单独讨论． ①易得抛物线在原点处的切线方程为． ②抛物线在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导，详见层数部分大招）．进而得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，切线方程也为． 结合①②③可得，抛物线在点处的切线方程为． 【二级结论3】抛物线的硬解定理 1．抛物线的硬解定理 如果与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得到 于是有， 从而． 2．抛物线的硬解定理 如果直线与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得 于是有， 从而． （实际上与抛物线的硬解定理的区别就是把A，B对调了一下） 题型1 对抛物线定义的理解及应用 紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆 1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件； 2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即； 3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化． 【例1】（24-25高二下·广东广州·期末）抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 ． 【变式1-1】（24-25高二上·广东惠州·期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为3，则等于 ． 【变式1-2】（24-25高二下·上海闵行·期末）抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1-3】（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为 ． 题型2 抛物线中距离和差的最值问题 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 【例2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式2-1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·福建泉州·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为6，则 ，该抛物线上一点（非顶点）处的切线与圆相切，则 ． 【变式2-3】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 题型3 与抛物线有关的轨迹问题 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 【例3】（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【变式3-1】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式3-2】（24-25高二上·河南开封·期末）已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 (1)求点M的轨迹方程; (2)若经过点的直线l与点M的轨迹相交于C，D两点，，O为坐标原点，求线段CD的长. 【变式3-3】（24-25高二上·河北沧州·期中）已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 题型4 由抛物线方程研究几何性质 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 【例4】（25-26高三上·上海松江·期末）抛物线的焦点到其准线的距离为 ． 【变式4-1】（24-25高三上·北京海淀·期末）设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-2】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 【变式4-3】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型5 求抛物线的标准方程 求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 【例5】（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·山西·二模）若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型6 直线与抛物线的位置关系 解题的通用流程 1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式． 2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）． 3、判断方程类型： （1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）； （2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断． 【例6】（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切 【变式6-1】（9-10高一下·辽宁大连·期末）对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【变式6-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式6-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 题型7 直线与抛物线相交弦长问题 按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解． 【例7】（24-25高二上·河南许昌·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（   ） A．5 B． C． D． 【变式7-1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线过点，过且与．(为坐标原点)垂直的直线与抛物线交于另一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【变式7-3】（24-25高二上·江苏泰州·期末）点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 题型8 抛物线的中点弦问题 1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景． 2、分类讨论斜率存在性： （1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况； （2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线． 3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解． 【例8】（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 题型9 抛物线中的定点问题 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 【例9】（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 【变式9-1】（24-25高二下·云南保山·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【变式9-2】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【变式9-3】（24-25高二下·浙江·期末）已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 题型10 抛物线中的定值问题 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【例10】（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【变式10-1】（24-25高二上·陕西西安·期末）如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 【变式10-2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式10-3】（24-25高三上·河北邢台·期末）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，且． (1)求抛物线的方程． (2)直线与抛物线交于两点，轴上是否存在定点，使得直线经过点，且为定值？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型11 抛物线中的最值或范围问题 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【例11】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于1，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【变式11-3】（24-25高二上·云南昭通·期末）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型12 抛物线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 【例12】（2025·浙江·一模）已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. (1)求抛物线C的方程； (2)设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 【变式12-1】（24-25高二上·河南周口·期末）已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 【变式12-2】（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点． (1)若，求实数的值； (2)设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，． ①过点作的垂线AM，点为直线AM与轴的交点，证明：； ②求的值． 【变式12-3】（24-25高三上·河北邢台·期末）已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，. (1)求抛物线的方程. (2)设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：轴平分. （ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围. 题型13 抛物线中的探究性问题 “肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)． 【例13】（24-25高二下·江西九江·期末）如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． (1)求p的值； (2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 【变式13-1】（2023·四川雅安·一模）已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点． (1)求； (2)在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点． (1)证明：是常数； (2)过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． ①求的值； ②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【题型一】对抛物线定义认识不清 【例1】（25-26高二上·河南·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【变式1-1】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 【变式1-3】【多选】（24-25高二下·重庆·期末）已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（    ） A． B．点B到D的准线的距离为2 C．直线AB与抛物线D相交 D．若点，则的最小值为3 【题型二】焦点弦问题性质掌握不清 【例2】【多选】（24-25高二下·云南曲靖·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，自两点向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．以为直径的圆与直线相切 C． D．若，则 【变式2-1】【多选】（24-25高二下·广东深圳·期末）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 【变式2-2】【多选】（24-25高二下·湖南郴州·期末）过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线，的斜率分别为，，则（   ） A．以为直径的圆与x轴相切 B． C．的最小值为 D．过A，B两点分别作抛物线的切线，，两切线，相交于点P，则的面积最小值为 【变式2-3】【多选】（24-25高二下·重庆·期末）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（   ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 【题型三】遗漏斜率不存在的情况致错 【例3】（25-26高二上·云南曲靖·期中）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点．当直线垂直于轴时，．    (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率为，求的值； (3)记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线的方程． 【变式3-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为 (1)求轨迹C的方程； (2)设是线段AB的从左至右的两个三等分点. （）试比较与的大小，并说明理由； （）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线及其应用（3知识&13题型&2易错） 【清单01】抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 【清单02】抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图象 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 【清单03】直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 2.直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 3.抛物线的焦点弦问题 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ① 焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。 【二级结论1】抛物线弦中点问题 若直线与抛物线交于，两点， 且是线段AB的中点，如图，则． 证明 因为点，都在抛物线上， 所以（点在抛物线上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，所以． 注：这里给出的都是焦点在x轴上的情形，焦点在y轴上时需要再根据点差法推导，不能直接套结论．点差法得到的结论在小题中可以直接用，在大题中要有推导过程． 【二级结论2】抛物线的切线 1．抛物线的切线 先将抛物线转化为函数的图象，然后直接求导得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以切线方程为．如图． 综上，抛物线在点处的切线方程为． 2．抛物线的切线 如图，先将抛物线的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，原点处单独讨论． ①易得抛物线在原点处的切线方程为． ②抛物线在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导，详见层数部分大招）．进而得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，切线方程也为． 结合①②③可得，抛物线在点处的切线方程为． 【二级结论3】抛物线的硬解定理 1．抛物线的硬解定理 如果与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得到 于是有， 从而． 2．抛物线的硬解定理 如果直线与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得 于是有， 从而． （实际上与抛物线的硬解定理的区别就是把A，B对调了一下） 题型1 对抛物线定义的理解及应用 紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆 1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件； 2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即； 3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化． 【例1】（24-25高二下·广东广州·期末）抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】通过抛物线方程可知其准线方程，设点在抛物线上，且与焦点的距离等于3，进而利用定义即得结论． 【详解】由题意，抛物线的准线方程为：，焦点坐标为， 设点在抛物线上，且与焦点的距离等于3， 由抛物线定义可得：，即， 所以，则，所以点的坐标是或. 故答案为：或. 【变式1-1】（24-25高二上·广东惠州·期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为3，则等于 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义即可得到答案. 【详解】根据抛物线的定义得. 故答案为：4. 【变式1-2】（24-25高二下·上海闵行·期末）抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以的最小值也即是到准线的距离的最小值， 当与原点重合时，到准线的距离最小为， 也即是的最小值为. 故选：A 【变式1-3】（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设出点的坐标，根据给定条件及抛物线定义建立方程，求出点的纵坐标即可. 【详解】抛物线的焦点，设，则， 由，得，则， 整理得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， 所以的面积为. 故答案为：    题型2 抛物线中距离和差的最值问题 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 【例2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. |   故选：C 【变式2-1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A 【变式2-2】（24-25高二下·福建泉州·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为6，则 ，该抛物线上一点（非顶点）处的切线与圆相切，则 ． 【答案】 4 8 【分析】根据抛物线的定义，求抛物线上的点到的距离和的最小值，确定的值；利用导数，写出抛物线的切线方程，再根据直线与圆的位置关系，确定点纵坐标，结合抛物线的定义，求. 【详解】如图： 设点在的准线上的射影为，则， 要使得取得最小值，即取得最小值， 当三点共线时，取得最小值， 由4，得． 因为，所以. 设，则切线的方程为，即． 因为切线与圆相切， 所以，化简得，解得（舍去）或， 因为，所以． 故答案为：4；8 【变式2-3】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，求出抛物线的标准方程，根据抛物线的定义，判断出线段和的最小值，求出结果. 【详解】 抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得， 在抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方. 过点作准线于，交抛物线于点，连接，过作准线于，连接，如图，显然， 当且仅当点与点重合时取等号，所以. 故选：B. 题型3 与抛物线有关的轨迹问题 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 【例3】（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得. 【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 【变式3-1】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设圆心坐标为，得到圆的方程为，再分别令和求得点P的坐标求解. 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 【变式3-2】（24-25高二上·河南开封·期末）已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 (1)求点M的轨迹方程; (2)若经过点的直线l与点M的轨迹相交于C，D两点，，O为坐标原点，求线段CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设点，再求出斜率，列方程求值. （2）设直线l的方程为：联立，根据垂直得到所以即，整理带入得到答案. 【详解】（1）设，则，，所以，化简得 （2）易知直线l的斜率存在，记为k，设直线l的方程为：，，， 联立得，所以① 因为，所以即，即， 整理可得，将①代入，得，即， 所以 【变式3-3】（24-25高二上·河北沧州·期中）已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得. （2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值. 【详解】（1）设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 题型4 由抛物线方程研究几何性质 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 【例4】（25-26高三上·上海松江·期末）抛物线的焦点到其准线的距离为 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以所求距离为. 故答案为：4 【变式4-1】（24-25高三上·北京海淀·期末）设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先将点代入抛物线得出，再应用抛物线定义得出即可求解. 【详解】因为点A满足，又，代入抛物线方程得， 因为，可得， 故选：C． 【变式4-2】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为，所以点A到抛物线焦点的距离为. 故选：A 【变式4-3】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解. 【详解】由抛物线，则焦点，准线：， 又因为直线的斜率为，则直线的方程为：， 因，所以可得点， 又，所以，即得点， 则. 故选：C. 题型5 求抛物线的标准方程 求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 【例5】（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 【变式5-1】（2025·山西·二模）若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程，代入可得结果. 【详解】由题意可知，抛物线C的方程为， 将代入，可得，故抛物线C的方程为. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到圆心为，可得，再利用标准方程的形式，即可求解. 【详解】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线，根据点在上，代入抛物线方程，求出的值，即可得解. 【详解】由题意，设抛物线， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 题型6 直线与抛物线的位置关系 解题的通用流程 1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式． 2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）． 3、判断方程类型： （1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）； （2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断． 【例6】（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切 【答案】C 【分析】对于A，利用抛物线的焦点的定义及截距式即可判断；对于B，联立方程组求解方程组即可判断；对于C，利用抛物的性质即可判断；对于D，根据已知条件及直线与抛物线的位置关系即可判断. 【详解】由题意可知的焦点为，的焦点为， 过与焦点的直线方程为，即，A错误； 由，解得或， 所以与有，2个公共点，B错误； 由抛物线：知，开口向右，对称轴为轴， 所以与x轴平行的直线与有1个交点， 由抛物线：知，开口向上，对称轴为轴， 所以与最多有2个交点，C正确； 与关于直线对称，若存在直线与和都相切，则该切线也关于直线对称，不妨设为，与联立得，由得， 所以直线与和都相切，D错误． 故选：C． 【变式6-1】（9-10高一下·辽宁大连·期末）对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【答案】D 【分析】联立直线和抛物线的方程，消元后利用的符号判断交点个数. 【详解】联立， 消去得：， 所以， 因为， 所以，故直线与抛物线无公共点， 故选：D. 【变式6-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 【变式6-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 题型7 直线与抛物线相交弦长问题 按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解． 【例7】（24-25高二上·河南许昌·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. 【详解】   如图作垂直于准线，垂足为，可知设， 直线的斜率为得，， 则，由勾股定理得：， 即，化简得：， 解得或， 当直线斜率存在时，设为，与抛物线联立消元得： ，设交点，则， 而， 当直线斜率不存在时，， 综上，， 由得，此时. 由得，此时. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线过点，过且与．(为坐标原点)垂直的直线与抛物线交于另一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程及直线的方程，再联立两个方程求出弦长. 【详解】由抛物线过点，得，抛物线的方程为， 直线的斜率为，则直线的方程为，即， 由消去得，解得，， 所以. 故选：A 【变式7-2】（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线焦半径公式先确定点坐标，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立求弦长. 【详解】易知的斜率存在，设， 则，得， 因为点在上，所以， 又点在第一象限，故，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 由抛物线的定义，得． 故选：A 【变式7-3】（24-25高二上·江苏泰州·期末）点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】令且，进而求得，应用两点距离公式并整理得，应用换元法、二次函数性质求最值即可. 【详解】令且，则，联立抛物线准线，可得， 令，故，故， 所以， 令，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增， 所以的最小值为. 故选：B 题型8 抛物线的中点弦问题 1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景． 2、分类讨论斜率存在性： （1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况； （2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线． 3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解． 【例8】（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 【变式8-1】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 【变式8-2】（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 【变式8-3】（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D 题型9 抛物线中的定点问题 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 【例9】（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出焦点坐标，再利用点到直线距离公式求出值. （2）联立直线与抛物线方程，求出交点的横坐标，进而求出弦长. （3）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求出即可. 【详解】（1）抛物线：的焦点， 由到直线的距离为，得，而，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）由消去得，设， 解得，所以. （3）设直线l的方程为，点， 由消去得，当时，， 由垂直于，得，而，解得， 则直线的方程为，所以直线过定点. 【变式9-1】（24-25高二下·云南保山·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【变式9-2】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）将代入，结合，则，得到C的方程为； （2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，求出的面积，进而利用求出半径； （3）由角平分线得到，设，，结合，得到方程，联立与得两根之和，两根之积，代入上式，求出，从而求出直线AB过定点． 【详解】（1）因为抛物线C：经过点，所以， 解得或， 又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为． （2）设，． 由得，，则 ， ． 因为点到直线AB的距离， 所以的面积， 所以． （3）是，定点坐标为， 因为EF平分，所以， 设，， 则， 因为，，所以， 整理得， 则， 即．① 将代入，得， 则 代入①可得， 因为，所以，即， 所以直线方程为， 所以直线AB过定点． 【变式9-3】（24-25高二下·浙江·期末）已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 【答案】(1) (2)直线经过定点 【分析】（1）利用直线与抛物线相交来求弦长的最小值即可求解抛物线方程； （2）利用直线与抛物线联立方程组借助韦达定理，研究坐标关系，可求直线参数，从而可得直线过的定点. 【详解】（1）因为抛物线，所以焦点坐标为：， 过该焦点的直线方程为：，与抛物线的交点为：，， 与抛物线方程联立得：，则， 而由抛物线的定义可知， 因为，所以当时，有最小值，所以， 所以抛物线方程为. （2） 由（1）得，直线方程为，且① 设直线方程为， 与抛物线方程联立得：，则② 设直线方程为，，同理可得③ 联立①②③可得 设直线方程为 与抛物线方程联立得：，则 因为，所以，所以直线经过定点 题型10 抛物线中的定值问题 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【例10】（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 【变式10-1】（24-25高二上·陕西西安·期末）如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线：，代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得为定值. （2）根据（1）的结论，通过求证得. 【详解】（1）由题可设直线l的方程为（）， 与抛物线方程联立得 消去y可得， 其中， 由根与系数的关系得，即为定值． （2）因为，，所以． 又因为，所以． 设，的斜率分别为，， 则，，有，则． 【变式10-2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程； （2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值. 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 【变式10-3】（24-25高三上·河北邢台·期末）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，且． (1)求抛物线的方程． (2)直线与抛物线交于两点，轴上是否存在定点，使得直线经过点，且为定值？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)定点的坐标为，的定值为 【分析】（1）由题意可得，，计算可求得，可求得抛物线方程； （2）假设轴上存在定点，设直线的方程为，，联立方程组，利用根与系数的关系可求得，可求定点坐标与定值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 又是抛物线上的一点，且，所以，， 所以，所以，所以，解得． 所以抛物线的方程为． （2）假设轴上存在定点，使得直线经过点，且为定值， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去，可得， 所以， ，， 所以 ， 当时，为定值， 此时定点的坐标为，的定值为. 题型11 抛物线中的最值或范围问题 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【例11】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，其中，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最小值，求出对应的值，即可得出点的坐标. 【详解】不妨设点，其中， 则点到直线的距离为， 故当时，取最小值，此时点的坐标为. 故选：C. 【变式11-1】（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于1，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答. 【详解】双曲线的渐近线，右焦点， 依题意，解得，因此抛物线的焦点也为， 所以，解得，所以抛物线的方程为，其准线为， 由，消去并整理得：，， 即直线与抛物线相离， 过点作于点交抛物线于点， 过作于点，交直线于点， 则有 ， 在抛物线上任取点，过作于点，作于点， 交准线于点，连，如图， 显然，， 当且仅当点与点重合时取等号， 所以抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可. 【变式11-2】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】如图，利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解. 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 故选：A． 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是利用余弦定理的应用得出，结合分析即可求解. 【变式11-3】（24-25高二上·云南昭通·期末）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相切的性质可得，利用二倍角公式可得，利用两点距离，结合二次函数的性质可得的最小值求解. 【详解】设圆心为，由题意作图如图，由与圆相切， 则，且， 故. 设，则，可得 故当取最小值，且最小值为， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用和将问题转化成求的最小值. 题型12 抛物线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 【例12】（2025·浙江·一模）已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. (1)求抛物线C的方程； (2)设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得； （2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，和抛物线方程联立，根据韦达定理可得，即直线与直线的倾斜角互补，得证. 【详解】（1）由，可得， 所以抛物线C的方程为. （2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，，， 由得，由，可得：或， 由韦达定理得：，. 则 ，即直线与直线的倾斜角互补， 所以是的角平分线. 【变式12-1】（24-25高二上·河南周口·期末）已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取，计算可求得抛物线的焦点坐标； （2）设直线的方程为，求得点，求得直线的方程，进而求得点的坐标，设切线方程为，利用可求得，进而可得结论. 【详解】（1）当时，， 不妨取， 则，， 由的周长为得， ，解得， 故抛物线的焦点坐标为. （2）由（1）可知，抛物线， 设直线的方程为， 则直线与直线交于点， 所以的方程为， 联立，解得，则， 所以， 易知过点与抛物线相切的直线的斜率存在，设其方程为， 代入得，整理得， 则， 整理得， 则，所以， 故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为， 故过点与抛物线的相切的直线平行于直线. 【变式12-2】（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点． (1)若，求实数的值； (2)设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，． ①过点作的垂线AM，点为直线AM与轴的交点，证明：； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）利用韦达定理和弦长公式列方程可得； （2）①联立直线和抛物线方程消元，利用判别式求得，求出坐标，结合抛物线定义可得，得证；②同理求得，利用韦达定理可得. 【详解】（1）由得， 显然，， 设，，则，， ，，，． （2）设， 由得， 由得，    又，，； ①设直线AM的方程为：， 取，得，则， 而，． ②同理可得，， 而，． 【变式12-3】（24-25高三上·河北邢台·期末）已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，. (1)求抛物线的方程. (2)设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：轴平分. （ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）设切线方程，代入抛物线方程，由可求的值，再结合焦半径公式，可求的值，得抛物线的标准方程. （2）（i）欲证轴平分，只需证即可. 设的方程为，与抛物线方程联立，借助韦达定理得到，，再表示处，整理化简即可. （ii）表示出，利用导数分析函数的单调性，求函数值域即可. 【详解】（1）由题可知，，，由已知得直线的斜率恒不为0，故可设：. 联立，可得， 因为直线与相切于点，所以，解得， 则，. 因为，所以，解得，即抛物线的方程为. （2）如图：    （i）由已知得直线的斜率恒不为0，故设的方程为，，， 由（1）得. 联立方程组，可得，则，， 所以. 故轴平分. （ii）由（i）可知直线与关于轴对称，所以点，关于轴对称，则. 不妨设，因为点在与之间，所以，， ，， 则，令，则， 令，则，解得；由，则，解得. 则在上单调递增，在上单调递减，， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解析几何中求求值范围的问题，通常有以下方法： （1）转化成二次函数的值域问题求解； （2）利用基本不等式求最值； （3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）利用导数，分析函数的单调性，求函数的最值. 题型13 抛物线中的探究性问题 “肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)． 【例13】（24-25高二下·江西九江·期末）如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． (1)求p的值； (2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）存在，. 【分析】（1）设，，，联立抛物线并应用韦达定理，结合已知求参数值； （2）（ⅰ）设，，，，联立抛物线并应用韦达定理及（1）结果，求得，即可证；（ⅱ）由分析得，则，进而得，应用导数几何意义求抛物线在点C处切线方程，进而得、，可证EG的中点为P，并求得，易得到直线的距离是到直线的距离和的一半，即可得. 【详解】（1）由题意，直线AB斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，，解得或（舍）， 所以； （2）（ⅰ）直线AC斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，同理，又，所以， 直线CD斜率必存在，设， 联立，得，， 所以，解得，满足， 所以直线CD过定点，即P的坐标为； （ⅱ）由，且，，， 得， 所以直线CD的方程为，由直线CD与直线AB相交，可得， 联立，解得， 因为抛物线方程为，所以， 抛物线在点C处切线方程为， 所以，同理， 又，所以EG的中点为P， 联立，得， 由及，所以， 综上，在线段的同一侧，又是的中点， 所以到直线的距离是到直线的距离和的一半， 所以，即. 【变式13-1】（2023·四川雅安·一模）已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点． (1)求； (2)在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合数量积的坐标表示计算即得. （2）利用（1）中信息，结合斜率坐标公式列式求解即得. 【详解】（1）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，， 由消去x并整理得，显然，于是， 所以. （2）由（1）知， 假定存在不同于点的定点，使得恒成立，由抛物线对称性知，点在x轴上，设， 则直线的斜率互为相反数，即，即， 整理得，即，亦即，而不恒为0，则， 所以存在不同于点的定点，使得恒成立，点的坐标为. 【变式13-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点． (1)证明：是常数； (2)过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． ①求的值； ②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系证得. （2）①求得直线的方程，点的坐标，利用根与系数关系求得. ②根据抛物线的定义求得，然后求得的表达式，再利用不基本不等式求得最小值.或：假设直线的倾斜角为，将表示为含有的三角函数的形式，利用换元法、函数的单调性等知识来求得最小值. 【详解】（1）由已知，点的坐标为，且可设直线的方程为， 联立方程组，消去， 得（*）， 因为， 所以，为方程（*）的两个实根，且， 因为点，在抛物线上， 所以，为常数． （2）在题设条件下，直线，都不与坐标轴平行且， 由（1）可知直线的方程为：， ①因为抛物线的准线方程为， 代入的方程可得点的坐标为， 由（1）可知，，， ，， 因此，， ， 即的值为． ②存在最小值， 设点，的坐标分别为，， 因为点均在抛物线上， 所以，，，， 由，有，即， 变形可得， 则（**）， 同理，， 根据抛物线的定义可知，，， ，， 所以 ． 由（**）知，， 即，当且仅当时取“＝”， 同理，，当且仅当时取“＝”， 由题设，， 所以，， 所以， ， 由题意可知，，同时成立， 此时，取得最小值， 故存在最小值，最小值为． 另解： 存在最小值， 假设直线的倾斜角为，根据题意可设， 如图，设点在轴上的射影为点， 抛物线的准线与轴相交于点， 根据抛物线的定义，由题设点的位置可知 ， 所以，， 同理可得，，，， 所以 ， 令，， 则， 由，可得， 易知函数为增函数， 所以， 上式中，当且仅当，即时（此时）等号成立， 所以，， 所以，存在最小值，该最小值当且仅当时取得. 【点睛】关键点睛： 这道题涉及了多种数学工具，如抛物线的几何性质、直线方程、向量运算和不等式技巧. 解决最小值问题时，利用函数的单调性和几何对称性是非常有效的，解题时，要充分理解题目中抛物线和直线的几何关系，并使用适当的几何工具（如根与系数关系、向量积等）来简化计算. 【题型一】对抛物线定义认识不清 【例1】（25-26高二上·河南·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由抛物线定义和方程即可得解. 【详解】由题意知，所以焦点到准线的距离为3. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线定义，可得进而求得点的坐标，得点坐标，利用斜率公式得解. 【详解】由题，，则，代入抛物线方程得， ，又， . 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 【答案】D 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则. 当垂直于抛物线准线时，最小， 此时记线段与圆的交点为，因为，准线为， 则的最小值为.    故选：D 【变式1-3】【多选】（24-25高二下·重庆·期末）已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（    ） A． B．点B到D的准线的距离为2 C．直线AB与抛物线D相交 D．若点，则的最小值为3 【答案】ABD 【分析】由抛物线的性质求得判断A，根据抛物线的定义判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，根据抛物线的定义与圆的性质判断D． 【详解】对于A选项，因为D的准线与圆C相切，则，即，A正确； 对于B选项，由A可知抛物线焦点即为圆心，则由抛物线定义知点B到D的准线的距离等于，B正确； 对于C选项，点，设，则由B选项知，，可得，， 抛物线方程，对应函数为，导函数为， 则点B处的切线斜率为，则直线AB与抛物线相切，C错误； 对于D选项，点位于抛物线内，的最小值等价于的最小值， 过点M作准线的垂线，垂足为，则，的最小值为点E到准线的距离，即为5， 则最小值为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：定点到圆上点的距离的最值利用定点到圆心的距离加减半径可得，抛物线上的动点定点的距离与到焦点的距离之和的最小值可根据抛物线的定义转化为定点到准线的距离． 【题型二】焦点弦问题性质掌握不清 【例2】【多选】（24-25高二下·云南曲靖·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，自两点向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．以为直径的圆与直线相切 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据题目条件和抛物线的性质，逐一判断选项，即可得出结果. 【详解】根据题意抛物线为开口向右的抛物线，，焦点，准线为，设. 对于A，直线过最短的弦为通径，所以A错误； 对于B，以为直径的圆，圆心为的中点，半径， 圆心到准线的距离，又，即， 故圆与直线相切，所以B正确； 设直线的方程为，且有， ，联立得， 则， ，所以，所以C正确； 设直线的倾斜角为，若， 因为，所以，所以， 同理若，则， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 【变式2-1】【多选】（24-25高二下·广东深圳·期末）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 【答案】ACD 【分析】对于A，设出直线方程，联立结合韦达定理证明；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用利用三角形相似证得，，判断C，对于D，联立直线方程和抛物线方程，分别表示即可证明. 【详解】 对于A，当直线的斜率不存在时，为中点，满足； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立，消去，得， ，则， 因为，， 所以， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， 所以， 过垂直于的直线方程为 当时，代入，， 所以， 所以， 因为， 所以，故A正确； 对于B，由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 所以存在直线，使得，故C正确； 对于D，，，所以， 所以， 因为，，所以，因为，所以， ，所以， 同理， 令，则，因为，则，所以， 所以， 所以，其中， 所以， 其中 ， 同理， 所以，故D正确， 故选：ACD. 【变式2-2】【多选】（24-25高二下·湖南郴州·期末）过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线，的斜率分别为，，则（   ） A．以为直径的圆与x轴相切 B． C．的最小值为 D．过A，B两点分别作抛物线的切线，，两切线，相交于点P，则的面积最小值为 【答案】ACD 【分析】根据题意，设直线的方程为，联立方程组求得，得到，根据物线的性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，可判定A正确；由斜率公式，求得，可判定B不正确；由抛物线的焦半径公式，得到，结合基本不等式，可判定C正确；求得切线方程，联立方程组求得，利用点到直线的距离公式和弦长公式，得到面积的面积为，可判定D正确. 【详解】由题意得，抛物线的焦点为，准线方程为， 显然直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程组，可得，， 设，则， 则， 对于A中，由抛物线的性质，可得， 则以为直径的圆，其圆心为，半径为， 则圆心到轴的距离，所以以为直径的圆与轴相切，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，因为，可得 由抛物线的焦半径公式，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由抛物线，可得， 所以过点和的切线方程分别为和， 联立方程组，可得，即， 又由直线方程，即， 则点到直线的距离为， 又由， 所以的面积为， 设，可得，所以的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 【变式2-3】【多选】（24-25高二下·重庆·期末）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（   ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，过焦点的直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计算出；B选项，由焦点弦长公式得到方程，得到，不妨设，解得，，求出，，；C选项，求出的中点坐标为，计算出到准线的距离为，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，设过焦点的直线方程为， 联立，可得，， ，，则，故A正确； B选项，，故， 当时，，解得， 由对称性，不妨设，则，， 解得，，此时， ，显然，故B错误； C选项，，，的中点坐标为， 到准线的距离为， 所以，以为直径的圆与准线相切，C正确；    D选项，， ， ，故D正确. 故选：ACD. 【题型三】遗漏斜率不存在的情况致错 【例3】（25-26高二上·云南曲靖·期中）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点．当直线垂直于轴时，．    (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率为，求的值； (3)记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当直线垂直于轴时，求得，根据，结合抛物线的定义，求得，即可求解； （2）设，设直线，直线，联立方程组，求得和，化简得到，再由抛物线的几何性质，得到，即可求解； （3）当直线的斜率不存在时，求得；当的斜率存在时，得到，且，求得，结合基本不等式，求得当时，取得最大值，进而求得直线的方程. 【详解】（1）解：当直线垂直于轴时，由点点，可得， 因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：设， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 联立方程组，整理得，可得， 又由直线的斜率为， 且直线的斜率为， 所以， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，则； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得，则， 综上可得，的值为. （3）解：设， 当直线的斜率不存在时，由对称性可知，直线的斜率也不存在， 此时，则； 当直线的斜率存在时，由（2）知：， 则，且， 所以与的正负相同，所以， 所以当最大时，取得最大值， 又由， 要使得取得最大值，显然， 由时，，当且仅当时，等号成立， 所以，此时取得最大值， 又由的方程为，即， 由（2）知：，，且， 可得，则，， 所以直线的方程为，即.    【变式3-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为 (1)求轨迹C的方程； (2)设是线段AB的从左至右的两个三等分点. （）试比较与的大小，并说明理由； （）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点. 【答案】(1) (2)（），理由见解析；（）证明见解析 【分析】（1）根据已知条件中直线斜率之积的关系，通过设点坐标，利用斜率公式列出等式，再进行化简得到一个方程. （2）（）先根据已知点的坐标确定线段三等分点坐标，再由椭圆方程求出焦点坐标，进而判断出相关点与焦点的关系，最后利用均值不等式等知识来比较式子的大小.（）通过设点坐标和直线方程，联立方程求解交点坐标，再利用斜率等知识来证明三点共线，从而确定直线所过的定点. 【详解】（1）设因为直线AM，BM的斜率之积是 所以 化简得 （2）因为P，Q是线段AB的从左至右的两个三等分点， 所以 设的焦点坐标为所以即 所以为C的焦点， 因为所以 所以； 设 ①当斜率存在时，不妨令直线 联立化简得 因为与C的另一个交点为E， 所以 因为 所以式可以化为 所以所以点同理点 当轴,即时 所以直线EG过x轴上点 下证：三点共线， 因为 同理 因为三点共线，所以所以 即三点共线,所以直线经过一定点 ②当轴时，即所以 此时联立解得 所以直线交C于所以 综上,直线经过定点 【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $