4.2 等比数列（第1课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

4.2等比数列（第1课时） 等比数列的概念 等比数列的性质及应用 第4章 数列 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 等比数列的概念 等比数列与指数函数的关系 等比中项 01 03 02 CONTANTS 目 录 04 等比数列的性质及应用 等比数列的概念 01 将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。 1 看一看 纸的厚度的变化 2 想一想 你能折到30次吗？ 当折到30次时（纸的厚度为0.01毫米），估算纸的厚度。 提示： 折1次 折2次 折3次 折4次 … 折30次 厚度 2 4 8 16 … 提示： 30次后，纸厚度为 （米） 这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度。 如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了。 等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 思考 请看下面几个问题中的数列. 1. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列： ； ① ； ② . ③ 2.《庄子•天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 . ④ 3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数是 2，4，8，16，32，64，… ⑤ 4. 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 ⑥ 探究 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 提示：通过除法运算研究以上数列的取值规律. 如果用表示数列①，那么有 ，，…， . 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项比都等于9. 其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律. 等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（显然） 即 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 思考 注： (1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； (2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”； (3) 任意一项 (4)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即或 . 特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为非零常数列，非零常数列是特殊的等比数列． 数列①~⑥的公比依次是 9，100，5，，2，1+r . ； ① ； ② . ③ . ④ 2，4，8，16，32，64，… ⑤ ⑥ 下面数列的公比是？ 等比中项 02 如果在 a 和 b 中间插入一个数G，使 a，G，b 成等比数列，那么G叫做 a 与 b 的等比中项. 此时 . 注： (1) G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项 ，即等比中项有两个，且互为相反数． (2) 当时，G不一定是a与b的等比中项．例如 ，但0,0,5不是等比数列． 探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等比数列 的公比为 q，根据等比数列的定义，可得 . 所以 , , …… 由此可得 . 又，这就是说，当n=1时上式也成立. 首项为，公比为q 的等比数列的通项公式为 过关测试 1.判断正误 (1)等比数列中至少含有三项． (　　) (2)等比数列每相邻两项的比都相同． (　　) (3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　) (4)任何两个数都有等比中项． (　　) (5)若G2＝ab，则G一定是a，b的等比中项． (　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 4．若数