专题06 等差数列与等比数列（考点+二级结论+10题型+易错，期末复习知识清单）高二数学上学期人教A版选择性必修第二册

该高中数学知识清单系统梳理了等差数列与等比数列专题内容，涵盖数列概念、等差等比数列的定义公式性质及二级结论，构建了从基础概念到性质应用再到题型训练的递进式学习支架。 清单以12个知识清单、10类题型示例及2个易错点专题构建完整体系，通过“定义-公式-性质-应用”分级呈现，如标注等差数列与一次函数关系培养数学眼光，题型含例题与变式训练数学思维。易错点专题如“忽视公比q讨论”提示实用，助力学生分层突破，教师可精准设计教学提升效率。

专题06 等差数列与等比数列（12知识&10题型&2易错） 【清单01】数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列的第项 通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系能用公式表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列中，叫做数列的前项和 【清单02】 数列的表示方法 （1）列表法 列出表格来表示序号与项的关系． （2）图象法 数列的图象是一系列孤立的点． （3）公式法 ①通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如． ②递推公式法：使用初始值和或，和来表示数列的方法． 【清单03】数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中 递减数列 常数列 【清单04】与的关系 若数列的前项和为，则． 【清单05】等差数列的概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数． (2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且. 注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者） ②等差中项法： 【清单06】等差数列的有关公式 (1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)． (2)等差数列的前项和公式(其中)． 【清单07】等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． (1)等差数列中，当时， ()． 特别地，若，则()． (2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()． (3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为. (4)，，…也成等差数列，公差为. （5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则 【清单08】等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系 可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列． (2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)． 【清单09】等比数列的概念 (1)等比数列的定义 一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，. (2)等比中项 如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔. 【清单10】等比数列的有关公式 1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为. (2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 【清单11】等比数列的性质 设数列是等比数列，是其前项和． (1)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()． (3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 【清单12】等比数列前项和的常用性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为． （2）对，有． （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和． （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）． 【二级结论1】数列函数属性 1．等比数列的函数特殊属性 定理一：，则是等比数列 证明：是等比数列，其前项的和为， 则，． 根据可以确定等比数列的通项公式． 若，则是从第二项为首项的等比数列． 定理二：，当仅当时，是等比数列；当仅当时，是从第二项为首项的等比数列． 2．对于“求一个数列的最大、最小项或项的取值范围”的相关问题，我们常采用以下步骤处理： 第一步：将数列看成定义域为的特殊函数． 第二步：利用作差法或作商法得出数列的单调性． 第三步：根据其单调性求出最大、最小项或项的取值范围． 【二级结论2】周期数列 1．周期数列的定义 如果数列满足，则数列是周期为T的周期数列． 2．周期数列在数列求和中的应用 如果数列满足，其中数列是周期为T的周期数列，则在求数列的前n项和时，把每T项并项后再求和比较快． 3．周期数列在递推式为的数列求和中的应用 如果数列满足， 则，， 即在求数列的前n项和时，把每4项并项后再求和比较快． 证明：因为， 所以，． 4．周期数列在递推式为的数列求和中的应用 如果数列满足，则，， 即在求数列的前n项和时，把每4项并项后再求和比较快． 证明：因为，所以， 所以 ， 所以，． 5.与周期数列有关的常见递推式： （1）已知． ①当时，周期为2，即； ②当时，周期为3，即； ③当时，周期为4，即； （2）若数列满足，或者，则数列是周期为6的数列． 证明：因为， 所以． 因为，所以． 题型1 等差数列的基本量运算 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 【例1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知等差数列的公差为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知等差数列中，，，则其公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（25-26高三上·上海青浦·期末）设等差数列的前项和为，若，则 . 【变式1-3】（24-25高二下·北京·期末）若等差数列满足，，则（   ） A．5 B．7 C． D． 题型2 等差数列性质的应用 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 【例2】（24-25高二下·海南海口·期末）在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式2-1】（24-25高二下·广东潮州·期末）已知等差数列中，，则 ． 【变式2-2】（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列满足，则 ． 【变式2-3】（24-25高一下·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则 ． 题型3 等差数列前n项和性质的应用 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【例3】（24-25高二下·四川甘孜·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 【变式3-1】（24-25高二下·四川乐山·期末）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则 . 【变式3-2】（24-25高二下·云南昆明·月考）设等差数列的前项和分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 题型4 等差数列前n项和的最值问题 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题， 但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【例4】（24-25高二下·北京大兴·期末）设等差数列的前项和为，，，当 时，最小． 【变式4-1】（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南京·期末）设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为 . 【变式4-3】【多选】（24-25高二上·海南·期末）设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的最大值为 D．的最小值为 题型5 含绝对值的等差数列求和 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和： ①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)； ②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【例5】（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 【变式5-1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【变式5-2】（24-25高二上·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求的前项和． 【变式5-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 题型6 等差数列的判定与证明 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 【例6】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前2n项和. 【变式6-1】（24-25高二下·重庆·月考）已知数列满足，. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： (2)记，求数列的前n项和. 【变式6-2】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知正项数列的前项和为，且满足，． (1)证明数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)求的值． 【变式6-3】（24-25高三上·重庆·月考）已知非零数列满足：，． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 题型7 等比数列的基本量运算 1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体． 【例7】（22-23高二下·广西玉林·期中）在等比数列中，，，则公比q是 . 【变式7-1】（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【变式7-2】（24-25高二下·广东江门·期末）已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【变式7-3】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 题型8 等比数列性质的应用 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）． 【例8】（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式8-1】（24-25高一下·上海金山·期末）已知是等比数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【变式8-2】（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则 . 【变式8-3】（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 题型9 等比数列的判定与证明 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 【例9】（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 【变式9-1】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中，， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明： 【变式9-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，证明：. 【变式9-3】（23-24高三上·江苏南通·月考）已知数列的首项，且满足，记. (1)证明：是等比数列； (2)记，证明；数列的前项和. 题型10 等差数列与等比数列综合应用 解决等差数列与等比数列综合问题： 根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和． 【例10】（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若是与的等差中项，2是与的等比中项，则 ． 【变式10-1】（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知，，若为a，c的等差中项，d为a，c的等比中项，则的值为（    ） A．3 B．4 C．2或 D．2或4 【变式10-2】（22-23高二下·北京延庆·期末）在等差数列中，已知，与的等差中项为，等比中项为，则通项公式 ；前项和 . 【变式10-3】（23-24高二上·广东东莞·期末）已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项. (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【题型一】对等比数列“中项”理解错误致错 【例1】（2025·湖北·模拟预测）1与2025的等比中项为 . 【变式1-1】（2025·山东济宁·二模）已知为等比数列，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型二】忽视对公比q的讨论致错 【例2】（24-25高三上·山东淄博·月考）等比数列的前项和为，若，则 . 【变式2-1】（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 等差数列与等比数列（12知识&10题型&2易错） 【清单01】数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列的第项 通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系能用公式表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列中，叫做数列的前项和 【清单02】 数列的表示方法 （1）列表法 列出表格来表示序号与项的关系． （2）图象法 数列的图象是一系列孤立的点． （3）公式法 ①通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如． ②递推公式法：使用初始值和或，和来表示数列的方法． 【清单03】数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中 递减数列 常数列 【清单04】与的关系 若数列的前项和为，则． 【清单05】等差数列的概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数． (2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且. 注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者） ②等差中项法： 【清单06】等差数列的有关公式 (1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)． (2)等差数列的前项和公式(其中)． 【清单07】等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． (1)等差数列中，当时， ()． 特别地，若，则()． (2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()． (3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为. (4)，，…也成等差数列，公差为. （5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则 【清单08】等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系 可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列． (2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)． 【清单09】等比数列的概念 (1)等比数列的定义 一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，. (2)等比中项 如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔. 【清单10】等比数列的有关公式 1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为. (2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 【清单11】等比数列的性质 设数列是等比数列，是其前项和． (1)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()． (3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 【清单12】等比数列前项和的常用性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为． （2）对，有． （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和． （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）． 【二级结论1】数列函数属性 1．等比数列的函数特殊属性 定理一：，则是等比数列 证明：是等比数列，其前项的和为， 则，． 根据可以确定等比数列的通项公式． 若，则是从第二项为首项的等比数列． 定理二：，当仅当时，是等比数列；当仅当时，是从第二项为首项的等比数列． 2．对于“求一个数列的最大、最小项或项的取值范围”的相关问题，我们常采用以下步骤处理： 第一步：将数列看成定义域为的特殊函数． 第二步：利用作差法或作商法得出数列的单调性． 第三步：根据其单调性求出最大、最小项或项的取值范围． 【二级结论2】周期数列 1．周期数列的定义 如果数列满足，则数列是周期为T的周期数列． 2．周期数列在数列求和中的应用 如果数列满足，其中数列是周期为T的周期数列，则在求数列的前n项和时，把每T项并项后再求和比较快． 3．周期数列在递推式为的数列求和中的应用 如果数列满足， 则，， 即在求数列的前n项和时，把每4项并项后再求和比较快． 证明：因为， 所以，． 4．周期数列在递推式为的数列求和中的应用 如果数列满足，则，， 即在求数列的前n项和时，把每4项并项后再求和比较快． 证明：因为，所以， 所以 ， 所以，． 5.与周期数列有关的常见递推式： （1）已知． ①当时，周期为2，即； ②当时，周期为3，即； ③当时，周期为4，即； （2）若数列满足，或者，则数列是周期为6的数列． 证明：因为， 所以． 因为，所以． 题型1 等差数列的基本量运算 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 【例1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知等差数列的公差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的定义求解即可. 【详解】因为等差数列的公差为，所以. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知等差数列中，，，则其公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列的性质运算求解即可. 【详解】因为在等差数列中，，， 所以公差． 故选：B. 【变式1-2】（25-26高三上·上海青浦·期末）设等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】6 【分析】设公差为，由条件，根据等差数列的项与前项和的基本量运算，求出，即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由，可得，解得， 则. 故答案为：6. 【变式1-3】（24-25高二下·北京·期末）若等差数列满足，，则（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】先由由求得，再由即可求解. 【详解】设等差数列公差为d，则由得即， 所以由得. 故选：C 题型2 等差数列性质的应用 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 【例2】（24-25高二下·海南海口·期末）在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二下·广东潮州·期末）已知等差数列中，，则 ． 【答案】6 【分析】根据题意与等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，. 又∵，∴. 故答案为：6. 【变式2-2】（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列满足，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列性质结合题意可得答案. 【详解】，则. 故答案为：4 【变式2-3】（24-25高一下·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则 ． 【答案】4 【分析】根据等差数列的性质有，即可求出，又，进而求解. 【详解】由题意有，又，， 所以. 故答案为：4. 题型3 等差数列前n项和性质的应用 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【例3】（24-25高二下·四川甘孜·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 【答案】B 【分析】利用等差数列的片段和性质计算即可. 【详解】由等差数列的性质可知：成等差数列，即成等差数列， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高二下·四川乐山·期末）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列性质，可得数列为等差数列，求出其公差和首项，利用等差数列前项和公式求解. 【详解】根据等差数列性质，数列为等差数列，设其公差为. 因为，， ，又，， . 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高二下·云南昆明·月考）设等差数列的前项和分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式可得答案. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别是， 所以. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 题型4 等差数列前n项和的最值问题 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题， 但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【例4】（24-25高二下·北京大兴·期末）设等差数列的前项和为，，，当 时，最小． 【答案】3 【分析】由已知条件先求公差，再根据等差数列求和公式写出结合二次函数求出时最小. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为，所以，所以， 由等差数列的求和公式可知，，易知当时最小. 故答案为：3 【变式4-1】（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解. 【详解】为等差数列，且， 则前项和，是关于的二次函数，且， 因为仅当时，最大，所以对称轴在区间， 即，解得：， 则公差的取值范围是. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南京·期末）设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为 . 【答案】 【分析】由可得，则得，再由，可得当取最大值时的值. 【详解】等差数列中， ∵，∴，解得， 则 ， 因为，所以当取最大值时，. 故答案为：. 【变式4-3】【多选】（24-25高二上·海南·期末）设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用等差数列的求和公式推导出、，结合不等式的基本性质可判断A选项；根据A选项可得出关于的不等式组，解出的范围，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；分析数列的单调性，可判断D选项. 【详解】等差数列的公差为，前项和为，，，， 对于A选项，，可得， ，可得，则，A对； 对于B选项，，解得， ，解得， 因此，的取值范围是，B错； 对于C选项，因为，所以，数列为单调递减数列，且， 当且时，， 当且时，， 所以，的最大值为，C错； 对于D选项，因为数列为单调递减数列， 且当且时，，此时，，则， 当且时，，此时，数列单调递减， 当且时，，此时，， 当且时，，此时，， 所以，要考虑的最小值，只需考虑即可， 当时， ，即，此时数列单调递增， 所以，的最小值为，D对. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项要考查的最小值，最好是确定的符号，锁定取负值时的取值，再结合数列的单调性分析即可. 题型5 含绝对值的等差数列求和 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和： ①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)； ②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【例5】（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 【答案】(1) (2)52 【分析】（1）设公差为，然后由等差数列的通项公式与前项和公式求解； （2）由（1）判断出前6项为正，然后由前项和公式计算. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； （2）由（1）知，所以， . 【变式5-1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系即可求解； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 【变式5-2】（24-25高二上·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求的前项和． 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为， (3) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可根据等差通项的公式求解， （2）根据单调性即可求解， （3）根据的正负，即可分类求解. 【详解】（1）由可得，故，设公差为d，， 由可得，， 故， 由于，所以，因此，因此， 故， （2）， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值，为最小值， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值1，此时无最小值， 综上可得的最大值为1，最小值为， （3）由可得当且时，， 当且时，， 所以当且时，， 当且时， ， 故 【变式5-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据可得，结合列方程组可求得，由此可得和. （2）讨论和可得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，∴，即， 由等差数列的性质得，， 由得，，即，   由得，， 联立方程可得，，    ∴，. （2）由得，时，，时，. 当时，，     当时，， ∴. 题型6 等差数列的判定与证明 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 【例6】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前2n项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题意得到，由，化简得到，求得，结合等差数列的定义推理得证. （2）由（1）可得，得到，结合裂项法，即可求解. 【详解】（1）依题意，，当时，得，则， 由，得，则，即， 当时，，于是，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）得， 则， 所以 . 【变式6-1】（24-25高二下·重庆·月考）已知数列满足，. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： (2)记，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)递推关系式左右两边同时减一，通分，取到数整理可得根据等差数列的定义即可证明数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式求出的通项公式进而求出数列的通项公式. (2)现根据的通项公式求出进而求出的通项公式，再用裂项相消法求出. 【详解】（1）因为， 所以， 对上式两边同时取倒数有： 所以，又因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 因为数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）因为，所以，所以， 所以， 【变式6-2】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知正项数列的前项和为，且满足，． (1)证明数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用可得，然后整理得，即可证明数列为等差数列，然后求通项即可； （2）利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）由可得， 相减可得， 所以，可得， 因为为正项数列，所以，， 则，数列为等差数列，且公差为2， 故． （2）因为， 所以． 【变式6-3】（24-25高三上·重庆·月考）已知非零数列满足：，． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设有，且，即可证结论； （2）由（1）得即可求，再应用裂项相消求和即可. 【详解】（1）由题设，不为0， 则，且， 所以是首项为1、公差为2的等差数列. （2）由（1）知：，所以， 所以， 数列的前n项和为 ， 所以. 题型7 等比数列的基本量运算 1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体． 【例7】（22-23高二下·广西玉林·期中）在等比数列中，，，则公比q是 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用等比数列通项公式列式求解. 【详解】在等比数列中，，，则， 所以. 故答案为：2 【变式7-1】（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】B 【分析】根据已知及等比数列的通项公式列方程求基本量，进而求项. 【详解】设数列的公比为，则， 由题意得：，，且， 所以，，则， 整理得，解得，舍去）， 所以，则. 故选：B 【变式7-2】（24-25高二下·广东江门·期末）已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【分析】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【详解】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 【变式7-3】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】设出公比，从而根据题目条件得到方程组，求出，再利用求出答案. 【详解】设公比为，，，故， ， 两式相除得，故. 故选：D 题型8 等比数列性质的应用 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）． 【例8】（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由对数的运算性质可得，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【详解】解：等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：． 【变式8-1】（24-25高一下·上海金山·期末）已知是等比数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【答案】 【分析】由题意及根与系数的关系可判断符号，再由等比数列的性质求，判断其符号即可得解. 【详解】分别是函数的两个零点， 则，所以， 又， 由知，， 所以， 故答案为： 【变式8-2】（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则 . 【答案】21 【分析】根据等比数列的性质进行计算求值. 【详解】因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以. 故答案为：21 【变式8-3】（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【分析】设数列共有项，根据等比数列的性质得出奇偶项的和之间的关系，即可求得答案. 【详解】设数列共有项， 由题意得，， 则， 解得， 故答案为： 题型9 等比数列的判定与证明 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 【例9】（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解； （3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明. 【详解】（1）由题意知，所以， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）可知是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （3）由（2）知． 所以， 故 ， 由于，故， 又， 故，所以 【变式9-1】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中，， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列. （2）根据（1）的结论可求数列的通项公式. （3）分析数列的单调性，即可证明. 【详解】（1）因为，且. 所以是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得：，所以. （3）， 因为，故. 而， 所以数列为递增数列，所以. 所以成立. 【变式9-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据数列递推式，可得，结合等比数列定义，即可证明结论； （2）利用（1）的结论求出，可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得，继而证明结论. 【详解】（1）证明：由题意知数列的首项，且满足， 故， 由于，故，故， 故数列是以为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）可得，故， 故， 故 ， 由于，故. 【变式9-3】（23-24高三上·江苏南通·月考）已知数列的首项，且满足，记. (1)证明：是等比数列； (2)记，证明；数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的定义，要证是等比数列，即证为常数； （2）由（1）可知数列的通项公式，利用裂项相消法求和，整理变形即可证得. 【详解】（1）因为， 所以，，所以， 因为，，所以， 因为， 因为， 又因为当时，所以，所以， 所以是以5为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 因为， 所以 . 题型10 等差数列与等比数列综合应用 解决等差数列与等比数列综合问题： 根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和． 【例10】（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若是与的等差中项，2是与的等比中项，则 ． 【答案】17 【分析】利用等比中项和等差中项的性质结合完全平方公式求解即可. 【详解】因为是与的等差中项，所以， 因为2是与的等比中项，所以，而. 故答案为：17 【变式10-1】（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知，，若为a，c的等差中项，d为a，c的等比中项，则的值为（    ） A．3 B．4 C．2或 D．2或4 【答案】D 【分析】由等差中项和等比中项的性质计算即可； 【详解】由题意可得， ， 所以的值为2或4. 故选：D. 【变式10-2】（22-23高二下·北京延庆·期末）在等差数列中，已知，与的等差中项为，等比中项为，则通项公式 ；前项和 . 【答案】 【分析】（1）根据等差等比中项的性质求得，再根据等差数列的基本量关系求解即可； （2）根据等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】由题意，，，又，故， 设公差为则，解得，故. 则. 故答案为：； 【变式10-3】（23-24高二上·广东东莞·期末）已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项. (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算求解数列的通项公式，结合等差中项和等比中项的性质，根据等比数列基本量的运算即可求解数列的通项公式； （2）结合等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，正项等比数列的公比为q（）， 由题意，和，得，则， 故数列的通项公式为． 由题意是和的等差中项，是和的等比中项，得， 由，，，得，则， 由且，得，故数列的通项公式为. （2）由题意和（1），得，，…，构成了首项为，公差为的等差数列， ，，…，构成了首项为，公比为的等比数列， 记数列的前n项和为， 则 . 【题型一】对等比数列“中项”理解错误致错 【例1】（2025·湖北·模拟预测）1与2025的等比中项为 . 【答案】. 【解析】设1与2025的等比中项为为，所以，所以. 【变式1-1】（2025·山东济宁·二模）已知为等比数列，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意知，为等比数列， 当时，得，所以，故充分性成立； 当时，，解得， 又同号，所以，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件.故选：C. 【题型二】忽视对公比q的讨论致错 【例2】（24-25高三上·山东淄博·月考）等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】2 【解析】设等比数列的公比为， 当时，，不符合题意； 当时，则， 且，则，解得. 【变式2-1】（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 【答案】 【解析】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $