6.5正态分布（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦正态分布，涵盖概念、密度函数、曲线性质及3σ原则。通过旧知回顾离散与连续型随机变量的区别，结合产品寿命实例引出分布密度曲线，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以实例驱动探究，通过追问引导学生自主发现正态曲线性质，培养数学思维。典例分析和课堂练习结合设备质量检查等实际问题，用数学语言解决，体现应用意识。课堂小结结构化梳理知识、方法与思想，助力学生系统掌握，也为教师提供清晰教学流程。

6.5 正态分布 第六章 概率 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 理解连续型随机变量的分布密度曲线，掌握正态分布的概念与密度函数形式. 熟悉正态曲线的性质，掌握“3σ原则”及其概率意义. 能运用正态分布（尤其是 3σ 原则）解决实际问题，体会正态分布的广泛应用. 旧知回顾 取值可以一一列举，用分布列描述其概率规律. 不能一一列举（取值充满某一区间），称为连续型随机变量. 问题2：实际问题中，如 “设备无故障运转时间”“产品寿命” 等随机变量，取值能否一一列举？这类变量叫什么？ 问题1：离散型随机变量的核心特点是什么？ 问题3：如何描述连续型随机变量的概率分布？ 实例：设X表示某产品的寿命(单位: h)，X可以取内的所有值． 新知探究 分析可以用直方图表示概率分布, 寿命 <500 h 500 h～800 h 800h～1000 h 概率 0.71 0.22 0.07 人们对该产品有如下的了解： 如何用直观的方式呈现其概率分布? 但此图比较粗糙. 要了解得更多,区间应分得更细， 为了完全了解产品寿命的分布情况，需要将区间无限细分，最终得到一条曲线， 这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函 数称为X的分布密度函数，记为f(x). 新知探究 为了完全了解产品寿命的分布情况，需要将区间无限细分，最终得到一条曲线， 这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函 数称为X的分布密度函数，记为f(x). 追问1：如果知道了随机变量X的分布密度曲线，如何求X取值于区间(a,b]的概率呢? X取值于区间(a,b]的概率是该曲线下相应“曲边梯形”(如右图中的阴影部分)的面积． 探究1：正态分布 新知探究 追问2：这种平滑的钟形曲线能用解析式表示吗？ 如图的连续型随机变量X的分布密度函数图象对应的分布密度函数解析式为： 一般地，误差在0附近的概率大， 人们把具有分布密度函数的随机变量称为连续型随机变量， 最常见的一类连续型随机变量是由误差引起的. 远离0的概率小， 误差大于0的概率与小于0的概率相同， 即误差的分布具有对称性. 因此，这一类连续型随机变量X的分布密度曲线一般是形状像“钟”的光滑曲线. ，. 探究1：正态分布 新知探究 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ,σ(σ>0)确定，记为X~N(μ,σ).其中EX=μ,DX=σ2. 如图的连续型随机变量X的分布密度函数图象对应的分布密度函数解析式为： ，. 其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 探究1：正态分布 a b 新知探究 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ,σ(σ>0)确定，记为X~N(μ,σ).其中EX=μ,DX=σ2. 探究1：正态分布 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型. 追问3：如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a,b(a<b)，如何表示X在区间(a,b]的概率？ 可以用P(a<X≤b)来表示. 它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a,b]对应的曲边梯形面积的值. 典例分析 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ,σ(σ>0)确定，记为X~N(μ,σ).其中EX=μ,DX=σ2. 探究1：正态分布 例1 根据正态曲线的函数解析式，找出其均值u和标准差σ. (1), ；(2), ； 解 将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得 (1) μ=0,σ=1; (2) μ=1,σ=. 典例分析 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ,σ(σ>0)确定，记为X~N(μ,σ).其中EX=μ,DX=σ2. 探究2：正态曲线的性质 追问4：观察图象，可以发现正态曲线有哪些特点和性质？ (1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，关于直线 x=μ对称； (3)曲线的最高点位于 x=μ 处； (4)当 x<μ 时，曲线上升；当x>μ 时，曲线下降； 当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线． 正态曲线的性质 典例分析 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ,σ(σ>0)确定，记为X~N(μ,σ).其中EX=μ,DX=σ2. 探究2：正态曲线的性质 追问4：观察图象，可以发现正态曲线有哪些特点和性质？ (1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定． σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中． 正态曲线的特点 典例分析 探究3：正态分布的3σ原则 如图，正态分布随机变量X~N(μ,σ). μ μ-σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ-2σ μ-3σ X在区间(μ−σ，μ+σ]的概率≈0.6826； 在区间(μ−2σ，μ+2σ]的概率≈0.9544； 在区间(μ−3σ，μ+3σ]的概率≈0.9974. 小概率事件及3σ原则： 正态分布随机变量X在(μ−3σ，μ+3σ]外取值的概率大约只有0.3%，通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件．因此，在实际应用中通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ−3σ，μ+3σ]之间的值，称之为3σ原则． 例2  某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为：μ=500g，σ=1g．为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504g时，他立即要求停止生产，检查设备，他的决定是否有道理? 典例分析 解 检查员的决定是有道理的，理由如下： 而产品的质量超出这个范围的概率只有0.3%， 即(497，503]之间的概率约为99.7%， 所以根据正态分布的性质可知产品的质量在区间(μ−3σ，μ+3σ]， 当该设备正常运行时,产品质量服从正态分布,其参数分别为μ=500g，σ=1g， 这是一个几乎不可能发生的事件．但是，检查员随机抽取的产品为504g， 这说明设备的运行可能不正常，因此检查员的决定是有道理的． 课堂练习 1.已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)=0.6，则P(0<ξ<1)= ． 课堂练习 2.某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100，102)，已知P(90⩽ξ⩽100)=0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 ． 3.商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(100，0.12)(单位: kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是多少? 课堂练习 1.已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)=0.6，则P(0<ξ<1)= ． 课堂练习 解 ∵随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)， ∴曲线关于直线x=1对称， ∵P(ξ<2)=0.6， ∴P(0<ξ<1)=0.6−0.5=0.1， 故答案为0.1． 课堂练习 课堂练习 2.某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100，102)，已知P(90⩽ξ⩽100)=0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 ． 解 由ξ～N(100，102)知，μ=100，σ=10， 又P(90⩽ξ⩽100)=0.3， ∴P(ξ>110)=P(ξ<90)===0.2 故该班学生成绩在110分以上的人数为0.2×50=10人． 课堂练习 3.商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(100，0.12)(单位: kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是多少? 课堂练习 解 由正态分布N(100，0.12)知，μ=10，σ=0.1， 所以质量在9.8~10.2kg的概率为 P(10−2×0.1<X⩽10+2×0.1)=0.9544． 课堂小结 基本知识： 正态分布： 正态曲线性质： 基本方法： 基本思想： 3σ 原则： 3σ 原则的应用： 计算 3σ 区间，判断取值是否在区间内，分析实际问题. 数形结合思想 小概率事件思想 X~N(μ,σ) 取值集中在(μ-3σ, μ+3σ)内（概率≈99.7%） 关于x=μ对称，μ定位置、σ定形状； 基础作业： 课本习题6-5A组第1，2，3，4题 拓展练习： 阅读信息技术应用，利用信息技术验证3σ原则 布置作业 感谢聆听! $