精品解析：河南省郑州市学森实验学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年郑州学森实验学校高一数学12月月考卷 考试范围：必修一（第1-5.1章）；考试时间：120分钟；命题人：高一数学组 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知a＝，b＝，c＝，则 A. c＜b＜a B. c＜a＜b C. a＜b＜c D. a＜c＜b 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：) A. 2026年； B. 2027 年； C. 2028年； D. 2029 年． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若a， b均为正数，且满足，则（ ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 10. 已知函数（且）恒过定点，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 化成弧度是 B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为 C. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一元二次不等式的解集为，不等式的解集为____________. 13. 函数的单调增区间为______． 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. (1) (2) 17. 某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度与时间成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为且是常数），如图所示： （1）根据图象写出关于的函数表达式； （2）据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长. 18. 已知函数，，设． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）若，求的取值范围． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年郑州学森实验学校高一数学12月月考卷 考试范围：必修一（第1-5.1章）；考试时间：120分钟；命题人：高一数学组 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集. 【详解】由得，所以. 故选：B 【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查指数不等式的解法. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 3. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，可排除B；由时，可排除选项CD，可得出正确答案 【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B， 又，排除选项CD， 故选：A 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式列出所满足的条件，计算可得定义域. 【详解】要使函数有意义， 则且， 解得． 故选：D. 5. 已知a＝，b＝，c＝，则 A. c＜b＜a B. c＜a＜b C. a＜b＜c D. a＜c＜b 【答案】C 【解析】 【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案． 【详解】∵a＝log0.22.1＜log0.21＝0， 0＜b＝0.22.1＜0.20＝1 c＝2.10.2＞2.10＝1． ∴a＜b＜c． 故选C． 【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点存在性定理判断即可 【详解】函数 是上的连续增函数, , 可得, 所以函数 的零点所在的区间是. 故选：C 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：) A. 2026年； B. 2027 年； C. 2028年； D. 2029 年． 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据指数函数建立拟合的函数模型，再求解不等式. 【详解】设研发资金开始超过200万元的年份是，则第年投入的研发资金为， 则，即， 所以， 所以. 所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若a， b均为正数，且满足，则（ ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式对A，B，C选项分析判断，利用二次函数的性质对D选项分析判断即可得答案． 【详解】对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均为正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：ACD. 10. 已知函数（且）恒过定点，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】确定函数过定点，得到，根据函数的平移得到答案. 【详解】函数，当时，，故函数过定点， 故，， 函数可以由向上平移2个单位得到，不经过第三象限和第四象限. 故选：CD 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 化成弧度是 B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为 C. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，对于选项C，先求出角的范围，再求出的范围，即可判断，由扇形面积公式可判断D. 【详解】对A，根据角度制与弧度制的转化得，即A正确； 对B，易知终边在直线上的角的取值集合可表示为，即B错误； 选项C，因为是第二象限角，所以，故， 当时，，此时，是第一象限角， 当时，，此时，是第三象限角，故选项C正确； 选项D，，由，可得,由扇形面积公式，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一元二次不等式的解集为，不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集. 【详解】根据一元二次不等式的解集为， 可得的根为， 则，所以， 不等式为， 解集为或， 故答案为：. 13. 函数的单调增区间为______． 【答案】（也对） 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数的单调性同增异减来求得单调增区间. 【详解】由得， 解得，所以的定义域是. 函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为：（也对） 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得的图象关于直线对称，且在上单调递增，结合函数性质化简不等式，求其解集. 【详解】为偶函数，其图象关于轴对称， 的图象关于直线对称. 又当时，， 在上单调递增， 故不等式可等价为， 即， 当时，不等式可化为，即，无解， 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式，将代入集合，再根据交集的定义计算即可； （2）根据题意得集合和的包含关系，列不等式，求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得，则， 当时，， 所以． 【小问2详解】 由，得， 若，则，解得，此时符合题意； 若，则，解得； 综上所述，，故的取值范围为. 16. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】利用指对数运算性质求出结果即可. 【详解】； . 17. 某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度与时间成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为且是常数），如图所示： （1）根据图象写出关于的函数表达式； （2）据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求分段函数的解析式； （2）由解不等式，根据不等式的解即可得出药物有效时长. 【小问1详解】 因为当时，血液中的药物浓度与时间成正比，且过点，所以， 当时，与的函数关系式为且是常数）， 且过点和， 所以，所以，所以， 所以 【小问2详解】 当时，令，得； 当时，令，得． 因此当时，药物有效，有效时长为． 18. 已知函数，，设． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）为奇函数，理由如下： 由（1）知，函数的定义域关于原点对称． ∵， ∴， ∴，故为奇函数． （3） 【解析】 【分析】（1）由函数特征得到不等式，求出定义域； （2）由函数奇偶性定义作出判断； （3）结合函数单调性得到不等式，求出解集. 【小问1详解】 ， 由，得，即的定义域为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 得， 解得，故的取值范围是． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）， （2） 由（1）可得，此时为奇函数，满足题意. 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，所以， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合，列方程求解即可； （2）先得函数的解析式，再根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性化简不等式，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数， 可知，即，则. 由，解得， 则满足题意，故，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以，解得. 则关于的不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $