精品解析：浙江省金华市兰溪市聚仁中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

聚仁中学2025学年第一学期期中测试（二） 九年级数学试题卷2025.12 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值． 将所求分式拆分为已知比例与1的和，代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2. 一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式解答即可. 【详解】袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率为：． 故选A. 【点睛】本题考查了随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ． 3. 已知，求作，那么下列作图正确的是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．利用得比例式，与已知图形作对比，可以得出结论． 【详解】解：∵， ∴或． 第一个图作出的为，故符合题意； 第二个图作出的为，但x是所求线段，所以图形不能画出，故不符合题意； 第三个图作出的为，但x是所求线段，所以图形不能画出，故不符合题意； 第四个图作出的为，即，故不符合题意； 综上所述，列作图正确的有1个． 故选：A． 4. 在中，，，，则外接圆的半径为（ ） A. 10 B. 5 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 5. 如图，⊙O是的外接圆，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理． 根据等边对等角得到，根据三角形内角和定理得到，根据圆周角定理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6. 下列命题正确的是（    ） A. 平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B. 垂直于弦的直线平分弦 C. 平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D. 平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意； C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，坡比为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了坡度问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）＝垂直高度∶水平宽度． 利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：∵坡比为的斜坡上两树间的水平距离为， ∴． ∴． 故选C. 8. 某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用：设矩形的面积为垂直于墙的矩形的饲养室的边长为，平行于墙的矩形的饲养室的边长则，根据矩形的面积公式列式，即可作答． 【详解】解：依题意，设矩形的面积为垂直于墙的矩形的饲养室的边长为，平行于墙的矩形的饲养室的边长则， 则， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 则能建成的饲养室最大总占地面积为， 故选：B． 9. 如图，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ） A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张． 【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是2cm， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为xcm， 则，解得x=2， 所以另一段长为12-2=10， 因为10÷2=5，所以是第5张． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键． 10. 如图，是以为直径的半圆周上一点，点在的平分线上，且于，交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，圆的相关知识，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容； 先根据题中已知条件推出，从而得到，再证明，得到，设，则，，最后根据勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵点在的平分线上， ∴， ∵是以为直径的半圆周上一点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 解得，，（舍去）， ∴的长为， 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知线段，则线段a和b的比例中项为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，掌握比例中项的定义是解题关键．根据比例中项的定义列比例式即可得解，注意线段不能为负． 【详解】解：设线段a和b的比例中项为c， ∴， 解得：，（舍）， 故答案为：6． 12. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立平面直角坐标系求出函数式子是解题的关键． 建立平面直角坐标系求出函数式子，再代入数据运算求解即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过水面，纵轴通过中点且通过点， 如图所示： 则通过画图可得知为原点，则抛物线以轴为对称轴，且经过，两点,可知， ∴，， 由图可得：抛物线顶点坐标为， ∴设二次函数的顶点式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴此时水面宽度为， ∴比原先的宽度增加了， 故答案为：． 13. 一个扇形的面积是，圆心角是，则这个扇形的弧长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积和弧长的计算，熟记扇形的面积和弧长公式是解答此题的关键．设扇形的半径为r，由扇形的面积公式求出r的值，再由弧长公式即可得出结论． 【详解】解：设扇形的半径为r， ∵扇形的面积是，圆心角是， ∴， 解得， ∴扇形的弧长． 故答案为：． 14. 如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，余弦值的计算，根据题意，运用网格与勾股定理，等面积法求值点到的距离（即垂线），构造出直角三角形，再根据余弦值的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作与点， ∴，且点到的距离（高）为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 把一个矩形按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，若，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．根据题意得小长方形的宽为3，设，相似图形的对应边相等即可得到关于x的方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得小长方形的宽为3， 设， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， 解得（负值舍去）， 故原长方形的宽为． 故答案为： ． 16. 如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若，则PB+PC＝_____． 【答案】1+ 【解析】 【分析】作CH⊥AB于H,首先证明AB＝BC,再证明△PAB∽△PBC,可得 ,即可求出PB、PC. 【详解】解：作CH⊥AB于H． ∵CA＝CB,CH⊥AB,∠ACB＝120°, ∴AH＝BH,∠ACH＝∠BCH＝60°,∠CAB＝∠CBA＝30°, ∴AB＝2BH＝2•BC•cos30°＝BC, ∵∠PAC＝∠PCB＝∠PBA, ∴∠PAB＝∠PBC, ∴△PAB∽△PBC, ∴, ∴PA＝, ∴PB＝1,PC＝, ∴PB+PC＝1+, 故答案为1+. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角函数等,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角函数. 三、解答题（第17，18，19，20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知：抛物线，经过 （1）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标 （2）x取何值时，y随x增大而减小 【答案】（1）抛物线与x轴的交点坐标为和；与y轴的交点坐标为 （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴、y轴的交点坐标． （1）将代入得到抛物线解析式为，然后分别令和即可求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标； （2）根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：将代入 得， 解得； ∴ 当时， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 当时， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； 【小问2详解】 解：∵二次项系数为， ∴在对称轴直线左侧，y随x增大而减小， 即时，y随x增大而减小． 18. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是________________． （2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式的应用，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有三种可能，小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图： 共有9种等可能结果，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的结果有5种， ∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是． 答：小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是． 19. 如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：连接OC，如图， ∵， ∴∠FAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FAC=∠OCA， ∴OC//AF， ∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接OC，由根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC//AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）连接BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接BC，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵， ∴∠BOC=×180°=60°， ∴∠BAC=30°， ∴∠DAC=30°， 在Rt△ADC中，CD=， ∴AC=2CD=， 在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2， 即（）2+（AB）2=AB2， ∴AB=8， ∴⊙O的半径为4． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系，熟练掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 20. 如图，E为上一点，，连接． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， 又， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）根据三角形外角的性质可得，即可求证； （2）根据角平分线的定义可得，由（1）知，，从而得到，可证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ， 由（1）知，， ． 又， ， ， 即， ． 21. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得教学楼窗户处的仰角为(、、、在同一直线上)．然后，小明沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行． (1)求点到直线的距离(结果保留根号)； (2)若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度(结果精确到0.1米，，)． 【答案】(1)点到地面的距离为米；(2)宣传牌的高度约为4.3米． 【解析】 【分析】(1)过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论； (2)解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：(1)过点作于， 依题意知，，； ∴四边形是矩形； ∴； 在中， ； (米)； ∴点到地面的距离为米； (2)∵斜坡：． ∴中，， ∴． 在中， ． ∴． (米)． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨元，每个月的销售量为件． （1）则与的函数关系式为：______，自变量的取值范围是：______； （2）每件商品的售价定为多少元时（为正整数），每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若在销售过程中每一件商品都有元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，请直接写出的取值范围：______． 【答案】（1）， （2）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元 （3） 【解析】 【分析】（1）设每件商品的售价上涨元，则每个月销量在210件的基础上减少，由此可得与的函数关系式，根据每件售价不能高于65元可确定自变量的取值范围； （2）月利润等于销量乘以单件利润，据此列出二次函数，化为顶点式即可求出最值； （3）月利润，函数图象的对称轴为，根据“售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小”列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，与的函数关系式为， 每件售价不能高于65元， ， 解得， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设月利润为w， ，（且为正整数）， ， 当时，w有最大值， 且为正整数， 当时，，（元）， 当时，，（元）， 当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 函数图象的对称轴为：， 售价每件不低于58元时，即，又且为整数， ，且为整数，w随的增大而减小， ， 解得， 的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的在实际生活中的应用．最大销售利润的问题利用函数的增减性来解答，吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案是解题关键． 23. 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组的学生在科技节上制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 0 2 4 6 … 飞行高度 0 6 8 6 … 【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质是解题的关键． 任务1，先分析出顶点坐标，再利用待定系数法求解； 任务2，令，求出t的值，再根据，即可求解； 任务3，设长度为c米，且，得到水火箭的二次函数解析式为，再分别求出函数经过点A、B时，c的取值，即可求解． 【详解】解： 任务1：二次函数经过点， 函数顶点坐标为， 设函数解析式为， 二次函数经过点， ，解得， 关于的函数表达式为； 任务2：令，得 ， 解得（不合题意，舍去）， ； 任务3：设长度为c米，且， 水火箭的二次函数解析式为， 当函数经过点A时，， 点A坐标为， ，解得， 当函数经过点B时，，， 点B坐标为， ，解得， ， ． 答：发射台高度的取值范围为． 24. 圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． （1）如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，请求出的度数； （2）如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长． （3）如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，求与的关系式，并求出的最大值 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，二次函数的应用等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）利用圆周角定理可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案； （2）首先利用勾股定理求出和、的长，过点A作于H，则，解即可． （3）连接、交于点H，过点O作于G，利用三角函数表示出的长，进而得出，再根据三角形中位线定理可得的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解： 故答案为： 【小问2详解】 解：连接，过点作，交于点．如图： 在中， ，， ， 此时为等腰直角三角形，， 在中， ，， ， ． 【小问3详解】 解：如图，连接， ，， 垂直平分， 为中点， 为的中位线，有，， 设，则，，， 在中，， 在中，， 于是有：，整理得，， ， 当时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聚仁中学2025学年第一学期期中测试（二） 九年级数学试题卷2025.12 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，求作，那么下列作图正确的是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 在中，，，，则外接圆的半径为（ ） A. 10 B. 5 C. 6 D. 4 5. 如图，⊙O是的外接圆，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（    ） A. 平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B. 垂直于弦的直线平分弦 C. 平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D. 平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 7. 如图，坡比为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 8. 某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ） A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张 10. 如图，是以为直径的半圆周上一点，点在的平分线上，且于，交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知线段，则线段a和b的比例中项为_____． 12. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 13. 一个扇形的面积是，圆心角是，则这个扇形的弧长是______． 14. 如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为______． 15. 把一个矩形按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，若，则的长为___． 16. 如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若，则PB+PC＝_____． 三、解答题（第17，18，19，20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知：抛物线，经过 （1）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标 （2）x取何值时，y随x增大而减小 18. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是________________． （2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 19. 如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝，求⊙O的半径． 20. 如图，E为上一点，，连接． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 21. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得教学楼窗户处的仰角为(、、、在同一直线上)．然后，小明沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行． (1)求点到直线的距离(结果保留根号)； (2)若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度(结果精确到0.1米，，)． 22. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨元，每个月的销售量为件． （1）则与的函数关系式为：______，自变量的取值范围是：______； （2）每件商品的售价定为多少元时（为正整数），每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若在销售过程中每一件商品都有元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，请直接写出的取值范围：______． 23. 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组的学生在科技节上制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 0 2 4 6 … 飞行高度 0 6 8 6 … 【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 24. 圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． （1）如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，请求出的度数； （2）如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长． （3）如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，求与的关系式，并求出的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $