精品解析：江苏省盐城市射阳县实验初级中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

二○二五年秋学期期中考试八年级数学试卷 注意事项： 1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分．考试形式为闭卷． 2．本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 3．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 4．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列航天图标，其文字旁的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，用抽样调查 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查 C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件 D. 任意画一个三角形，其内角和是是随机事件 3. 根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A. B. C. D. 4. 中学生培养“强健的体魄、良好的运动习惯和坚韧的意志品质”，才能为学习和生活打下坚实基础．某校为了解初三年级700名学生的每周体育锻炼情况，随机抽取了100名学生的每周体育锻炼时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（ ） A. 700名学生是总体 B. 样本容量是700 C. 此调查为全面调查 D. 100名学生的每周体育锻炼时间是样本 5. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且相等 C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 6. 如图，每个小正方形的边长均为1，在中（其中，为网格格点），，分别为，的中点，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的面积为16，菱形的面积为，则菱形的周长为（ ） A. B. 3 C. D. 12 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 在英文“”中，字母“l”出现的频数为___ ． 10. 若分式的值为零，则x的值为_____________． 11. 事件“画一个三角形，它的任意两边之差小于第三边”是________事件．（选填“随机”“必然”或“不可能”） 12. 如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件 ___________（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形． 13. 在平行四边形中，若，则______． 14. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则________． 15. 小王在WPS软件中编辑图片大小时，勾选了“锁定纵横比”选项，即图片长与宽的比始终为定值．下表给出图片的长（cm）和图片的宽（cm）之间的关系，则与之间的关系式为________． 图片的宽（cm） 3 4.5 6 … 图片的长（cm） 2 4 6 8 … 16. 如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，将绕点B顺时针旋转得到，则当取得最小值时的面积等于____． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 已知与x成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当时，求y的值； （3）当时，直接写出x的取值范围________． 18. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． （1）以点为中心将旋转，得到，画出； （2）将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，画出； （3）连接，作出线段的中点（保留作图痕迹） 19. 为了进一步提升学生的科学素养，某学校计划在七年级开设“人工智能”、“无人机”、“创客”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图1和2所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为__________，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占__________％，所对应的圆心角度数是__________； （3）若该校七年级一共有1200名学生，试估计选择“创客”和“人工智能”课程的学生有多少人？ 20. 如图，四边形是平行四边形，用两种方法作出菱形，使得点、分别在边、上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 21. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 b 295 484 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）求出表中___________，___________． （2）估计当很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到）；此口袋里白球有___________只； （3）若从口袋里再拿出去个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求的值． 22. 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 23. 如图，菱形的对角线与相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为，求的值． 24. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点C．点P为x轴正半轴上一动点，过点P作轴，交直线于点M，交直线于点N． （1）求点C的坐标； （2）当点C到直线的距离为1时，求线段的长； （3）点D在y轴上，若是以为斜边的等腰直角三角形，请求出此时线段的长． 26. 【问题呈现】已知正方形中，点F为对角线上一点，点E在的延长线上，连接． （1）如图1，连接，若，求的最小值； 【类比探究】 （2）如图2，在正方形中，点F为对角线上一点，点G在边上，，若，，求四边形的面积； 【拓展运用】 （3）如图3，将绕点F逆时针旋转得到，连接交于点H，试探索、满足怎样的数量关系时，点H恰为的中点； 27. 法国数学家笛卡尔于1637年发明了现代数学的基础工具——平面直角坐标系．平面直角坐标系的引入，使得我们可以用代数方法研究几何问题． 【初步尝试】如图1，在中，，是的角平分线，，，用你所学的知识求线段的长． 嘉嘉同学的思路如下：建立如图2所示的平面直角坐标系，，是的角平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴，，，． ∴，……． 请你根据嘉嘉同学的思路解决下列问题： （1）直线的函数表达式为 ． （2）的长为 ． 【问题联想】（3）如图3，在矩形中，点E、F分别在边、上，，，和相交于点M．求的面积． 【深度思考】（4）点E在直线上，G为中点，作交直线于H，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二五年秋学期期中考试八年级数学试卷 注意事项： 1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分．考试形式为闭卷． 2．本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 3．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 4．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列航天图标，其文字旁的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转后能与原来的图形重合，据此即可求解．熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，用抽样调查 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查 C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件 D. 任意画一个三角形，其内角和是是随机事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，全面调查，抽样调查等知识，熟练掌事件的分类，全面调查，抽样调查是解题的关键． 根据事件的分类，全面调查，抽样调查对各选项进行判断作答即可， 【详解】解：A、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，适宜采用抽样调查，原项说法正确，符合题意； B、调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查，原说法不正确，不符合题意； C、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，原说法不正确，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，原说法不正确，不符合题意； 故选：A． 3. 根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0的条件等知识，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0条的件解答即可． 【详解】解：当时，分式无意义， ∴分式的分母可能是， 当时，分式的值为0， 分式的分子可能是， ∴分式可能是． 故选：C． 4. 中学生培养“强健的体魄、良好的运动习惯和坚韧的意志品质”，才能为学习和生活打下坚实基础．某校为了解初三年级700名学生的每周体育锻炼情况，随机抽取了100名学生的每周体育锻炼时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（ ） A. 700名学生是总体 B. 样本容量是700 C. 此调查为全面调查 D. 100名学生的每周体育锻炼时间是样本 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查统计学中的基本概念，包括总体、样本、样本容量和调查方式．正确理解总体、样本、样本容量和调查方式的定义是解题关键．注意总体和样本的研究对象是数据（如锻炼时间），而不是个体本身．根据题干描述判断各选项的正误． 【详解】解：∵ 总体是所研究的全体对象，这里研究的是700名学生的每周体育锻炼时间，因此总体是700名学生的每周体育锻炼时间，而不是700名学生本身，故A错误； ∵ 样本容量是样本中个体的数量，本题中样本是100名学生的每周体育锻炼时间，因此样本容量是100，故B错误； ∵ 全面调查是对总体中每一个个体都进行调查，本题只抽取了100名学生，因此是抽样调查，不是全面调查，故C错误； ∵ 样本是从总体中抽取的一部分个体，本题中抽取了100名学生的每周体育锻炼时间，因此这些时间数据是样本，故D正确． 故选：D． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且相等 C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，说法正确，不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，说法正确，不符合题意； 故选B． 6. 如图，每个小正方形的边长均为1，在中（其中，为网格格点），，分别为，的中点，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，运用这两个定理解决问题是关键；由勾股定理求得的长，再由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵，分别为，的中点， ∴， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，根据可判断函数的增减性以及与y轴的交点，从而可得正确选项． 【详解】解：∵， ∴函数y随x的增大而增大，， ∴函数y与y轴交于负半轴， 当时，， 观察各选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 8. 如图，正方形的面积为16，菱形的面积为，则菱形的周长为（ ） A. B. 3 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．根据正方形的面积可求出正方形的边长，利用勾股定理求出，然后根据菱形的面积求出，再根据勾股定理求出菱形的边长即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，则， ∵正方形的面积为16， ∴，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：D． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 在英文“”中，字母“l”出现的频数为___ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查频数的概念，理解频数的概念是解决本题的关键． 频数是指每个对象出现的次数，据此求解即可． 【详解】解：在英文“”中，字母“l”出现了2次， 故频数为2． 故答案为：2． 10. 若分式的值为零，则x的值为_____________． 【答案】3 【解析】 【详解】由分式的值为零的条件得x-3=0且x+2≠0， 由x-3=0，解得x=3 故答案为3 11. 事件“画一个三角形，它的任意两边之差小于第三边”是________事件．（选填“随机”“必然”或“不可能”） 【答案】必然 【解析】 【分析】本题考查事件的分类、三角形的三边关系，根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：“画一个三角形，它的任意两边之差小于第三边”是一个必然事件， 故答案为：必然． 12. 如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件 ___________（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：添加条件为：或或， ①添加， 理由：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ②添加， 理由：∵， ∴是直角三角形，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ③添加， 理由：∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 综上所示，添加的条件有或或， 故答案为：或或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 13. 在平行四边形中，若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据四边形是平行四边形，得出，则，再把代入式子计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，再利用四边形的内角和定理求出，然后求出，根据旋转的性质可得对应边、的夹角即为旋转角． 【详解】解：由旋转可得：， （对顶角相等）， ， ， 旋转角． 故答案为：22． 【点睛】本题考查了旋转的性质，四边形的内角和，对顶角相等，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 15. 小王在WPS软件中编辑图片大小时，勾选了“锁定纵横比”选项，即图片长与宽的比始终为定值．下表给出图片的长（cm）和图片的宽（cm）之间的关系，则与之间的关系式为________． 图片的宽（cm） 3 4.5 6 … 图片的长（cm） 2 4 6 8 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求两个变量间的关系式， 由于锁定纵横比，图片长与宽的比为定值，通过计算表中数据比值，均等于，进而求出与的关系式． 【详解】解：由表中数据：当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 故，即． 故答案为． 16. 如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，将绕点B顺时针旋转得到，则当取得最小值时的面积等于____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质推出和是等边三角形，得到，，连接，证明，得，得到点F在射线上，当时，有最小值，最小值为2，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点F在过点D与成的射线上移动，如图1， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为， 如图2，， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，， 如图2，过点B作于点G， ∴，， ∴ ∴的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 已知与x成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当时，求y的值； （3）当时，直接写出x的取值范围________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可设，再利用待定系数法计算即可得解； （2）将代入（1）中的式子计算即可得解； （3）求出当和时的的值，利用一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵与x成正比例， ∴， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：当时，，解得， 当时，，解得， 故当时，x的取值范围为， 故答案为：． 18. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． （1）以点为中心将旋转，得到，画出； （2）将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，画出； （3）连接，作出线段的中点（保留作图痕迹） 【答案】（1） 即为所求； （2） 即为所求； （3）点是线段的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平移与旋转作图、全等三角形的判定与性质． 作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到即为所求； 分别作出点、、向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； 由网格图可知且，根据平行线的性质可证：，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证点是线段的中点． 【小问1详解】 解：如图所示，作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到， 即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，分别作出点、、向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到， 则即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，连接、，、相交于点，点即为所求， 由网格图可知且， ， 在和中，， ， 点是线段的中点． 19. 为了进一步提升学生的科学素养，某学校计划在七年级开设“人工智能”、“无人机”、“创客”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图1和2所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为__________，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占__________％，所对应的圆心角度数是__________； （3）若该校七年级一共有1200名学生，试估计选择“创客”和“人工智能”课程的学生有多少人？ 【答案】（1）50， 条形统计图，如图所示， （2）10， （3）估计选择“创客”和“人工智能”课程的学生有720人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、用样本估计总体及扇形统计图，熟知条形统计图和扇形统计图的特征及如何利用样本估测总体是解题的关键． （1）根据所抽取的样本内选择“无人机”的人数及所占百分比即可解决问题； （2）根据（1）中计算的结果即可解决问题； （3）先求出样本内选择“创客”和“人工智能”课程的学生所占比例，再结合全校的七年级人数即可解决问题． 【小问1详解】 解：（1）由题知，问卷调查的学生中选择“无人机”课程的学生人数为15，且所占百分比为， 所以（名）， 即问卷调查的学生人数为50名， ∴选择“人工智能”课程的学生人数为：（名）， 【小问2详解】 ， ， 即选择“航模”课程的学生占，所对应的圆心角度数为． 故答案为：10，； 【小问3详解】 人， 人， 选择“创客”和“人工智能”课程的学生有人 20. 如图，四边形是平行四边形，用两种方法作出菱形，使得点、分别在边、上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】 方法1：如图①，连接，作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，， ∴，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 则菱形即为所求； 方法2：如图②，连接，相交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 则菱形即为所求． 【解析】 【分析】方法1：如图①，连接，作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，即可； 方法2：如图②，连接，相交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，连接，即可． 则菱形即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题， 21. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 b 295 484 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）求出表中___________，___________． （2）估计当很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到）；此口袋里白球有___________只； （3）若从口袋里再拿出去个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求的值． 【答案】（1），； （2），； （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，解分式方程，在解题时要注意频率和概率之间的关系． （1）根据频率和频数的定义求解即可； （2）随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在，即可求解； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由数据可知，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由表格可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 此口袋里白球有只， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由题意可得， 解得：， 经检验：为原分式方程的解， 即的值为8． 22. 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】 证明：如图，连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确， ∴和不可能互相平分． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，反证法．熟练掌握平行四边形的判定与性质，反证法是解题的关键． 如图，连接，假设和互相平分，则四边形是平行四边形，，由不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确，进而结论得证． 【详解】略 23. 如图，菱形的对角线与相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为，求的值． 【答案】（1） 证明：在菱形中，． ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键． （1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形即可； （2）根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为菱形，， ， 为等边三角形 ， ， 四边形OCED为矩形， ， 在中，， ， 在中，． 24. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点C．点P为x轴正半轴上一动点，过点P作轴，交直线于点M，交直线于点N． （1）求点C的坐标； （2）当点C到直线的距离为1时，求线段的长； （3）点D在y轴上，若是以为斜边的等腰直角三角形，请求出此时线段的长． 【答案】（1）点C的坐标为 （2）5或3 （3）或6 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确地理解题意是解题的关键． （1）联立与，解方程组即可得到点C的坐标为； （2）如图1，如图2，过C作轴于G，交于E，得到，由点C到直线的距离为1，得到或3，则点的横坐标为或，即或，分别求出点N的坐标，于是得到结论； （3）如图，是以为斜边的等腰直角三角形，过D作于H，得到，设，则，，，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：联立与， 得，解得， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：如图1，如图2，过C作轴于G，交于E， ∵， ∴， ∵点C到直线的距离为1， ∴或3， ∴点的横坐标为或，即或 当时，，，此时，则； 当时，，，此时，则； ∴或3； 【小问3详解】 解：如图， 过D作于H， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， 设，则，，， ， ∴， 解得或， ∴或． 故答案为：或12． 26. 【问题呈现】已知正方形中，点F为对角线上一点，点E在的延长线上，连接． （1）如图1，连接，若，求的最小值； 【类比探究】 （2）如图2，在正方形中，点F为对角线上一点，点G在边上，，若，，求四边形的面积； 【拓展运用】 （3）如图3，将绕点F逆时针旋转得到，连接交于点H，试探索、满足怎样的数量关系时，点H恰为的中点； 【答案】（1）10；（2）16；（3） 【解析】 【分析】（1）延长至点，使，连接，此时最小，根据正方形的性质可得，最后在中运用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，作于点，根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定和性质证明四边形是正方形，利用证明，则，进而可得，在中运用勾股定理求出，进而可得，最后运用等腰直角三角形的性质即可求解； （3）过作于点，交于点，连接，先根据正方形的性质可得，再运用勾股定理可得，进而可得，则可证明，可得，进而可证明，即可得到点恰为的中点． 【详解】解：（1）延长至点，使，连接，此时最小，如图， 四边形是正方形， ，， ， ， 在中，，，， ； （2）过点作于点，作于点，如图， ， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 四边形是正方形， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ． ； （3）当时，点恰为的中点，理由如下： 过作于点，交于点，连接，如图， ， ， ， 四边形是正方形，， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点恰为的中点． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用和等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 27. 法国数学家笛卡尔于1637年发明了现代数学的基础工具——平面直角坐标系．平面直角坐标系的引入，使得我们可以用代数方法研究几何问题． 【初步尝试】如图1，在中，，是的角平分线，，，用你所学的知识求线段的长． 嘉嘉同学的思路如下：建立如图2所示的平面直角坐标系，，是的角平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴，，，． ∴，……． 请你根据嘉嘉同学的思路解决下列问题： （1）直线的函数表达式为 ． （2）的长为 ． 【问题联想】（3）如图3，在矩形中，点E、F分别在边、上，，，和相交于点M．求的面积． 【深度思考】（4）点E在直线上，G为中点，作交直线于H，若，求的长． 【答案】（1）；（2）3；（3）；（4）或 【解析】 【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，得到点A，B的坐标，利用待定系数法解答即可得出结论； （2）求得点C的坐标，利用坐标解答即可得出结论； 问题联想：建立适当的平面直角坐标系，得到，，，，利用待定系数法求得直线，的解析式，将两个解析式联立，求得点M坐标，过点M作，延长交与点N，利用点M坐标求得的高，再利用三角形的面积公式解答即可； 深度思考：利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点E在点B的右侧时，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，利用线段的中点的性质得到，利用平行线的性质设直线的解析式为，利用待定系数法求得a值，则；②当点E在点B的左侧时，建立如图所示的平面直角坐标系，类比①的解法解答即可． 【详解】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系， ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴，，，． ∴，， 设直线的解析式为, ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：； （2）对于，令，则， ∴， ∴． 故答案为：3； 问题联想：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵，， ∴，，，， 同理得：直线的解析式为， 直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 过点M作，延长交于点N， 则，， ∴， ∵， ∴的面积； 深度思考：分以下两种情况讨论： ①当点E在点B的右侧时，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，则， ∵G为中点， ∴， 直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴； ②当点E在点B的左侧时，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，则， ∵G为中点， ∴， 直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，平面直角坐标系，一次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，本题是阅读型，用代数方法研究几何问题，建立适当的坐标系，利用一次函数的性质解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $