精品解析：河北保定市新秀学校2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

2026-2027学年第一学期九年级10月素养提升训练 数学 本试题分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试题满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将答题卡收回． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列判断中正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 4. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 6. 根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 无法判定 7. 如图，E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，下列说法不正确的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若四边形是矩形，则四边形是正方形 8. 2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，经过点O作与边都垂直的线段，分别与边相交于点E，F，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. C. D. 12 10. 已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 12. 如图，一张大正方形纸片，E，F，G，H分别为四边上的点，且，现将大正方形的四个角分别沿，，，翻折．四边形的面积与图中每个三角形的面积均相等，则等于（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为__________． 14. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为__________． 15. 如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为________． 16. 如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，第17题12分，第18题8分，第19题6分，第20题6分，第21题8分，第22题12分，第23题10分，第24题10分） 17. 解方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 18. 如图，在四边形中，，，与交于点，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长和四边形的面积． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求： （1）的取值范围； （2）若方程的两根满足，求的值． 20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上，下列要求所画的图形的顶点都在格点上． （1）在图1中以为边，画一个面积为6的平行四边形． （2）在图2中以为边，画一个面积为4的菱形． （3）在图3中以为边，画一个正方形． 21. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值． 例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：__________． （2）求的最小值． （3）若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由． 23. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，则每天的销售量为______件，销售利润为______元； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 24. 运用定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决下列问题． （1）如图1，在中，，点是边的中点．若，，则__________． （2）如图2，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，，猜想四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，点是的中点．若，则__________． （4）如图4，在四边形中，若，，，，为中点，则的最大值为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级10月素养提升训练 数学 本试题分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试题满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将答题卡收回． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误． 故选：C． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解方程的方法和步骤解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3. 下列判断中正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：Ａ、四边相等的四边形是菱形，∴A错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，∴B错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴C错误； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D正确． 4. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】用根的判别式进行判断，，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：在方程中，，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 6. 根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 无法判定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：A． 7. 如图，E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，下列说法不正确的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若四边形是矩形，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当时，，则平行四边形是矩形， 若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故选：D. 8. 2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 9. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，经过点O作与边都垂直的线段，分别与边相交于点E，F，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形中，，可得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得，，同理可得的长，进而即可求得四边形的周长． 【详解】解：四边形是菱形，． ，． ． ． 线段与边都垂直， ． 中，， 同理可得． ． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 10. 已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 11. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，当时取得最小值，利用等腰直角三角形性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ， ∴当有最小值时，有最小值． 是边上的动点， ∴当时，取得最小值， ∵四边形是菱形，，， ∴当时，是等腰直角三角形， ， ， 有最小值为． 12. 如图，一张大正方形纸片，E，F，G，H分别为四边上的点，且，现将大正方形的四个角分别沿，，，翻折．四边形的面积与图中每个三角形的面积均相等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，又可得，设，，则可得，则可得等式，可求得，则，即可求解． 【详解】∵四边形的面积与图中每个三角形的面积均相等， ∴， ∵，正方形中， ∴， 设，， ∴ ， ∴， 化简得 ， 解得  或 ， ∵， ∴，得， ∴， ∴， ∴． 卷Ⅱ（选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根为2，根据方程根的定义，将根代入原方程即可建立关于a的一元一次方程求解． 【详解】解：∵ 是方程 的根 ∴ 将 代入原方程，等式成立 即 解得：． 14. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解给定一元二次方程得到两个边长的可能取值，再结合等腰三角形的边长特征分类讨论，依据三角形三边关系排除无法构成三角形的组合，最终计算符合要求的三角形周长． 【详解】解：， ， 方程的两个根为，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长组合， 当腰长为3，底边长为7时，，不满足三角形任意两边之和大于第三边的三边关系， 所以，该组合无法构成三角形，舍去， 当腰长为7，底边长为3时，，满足三角形三边关系， 所以，该组合可构成三角形，此时三角形的周长为． 15. 如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，先利用菱形的性质和勾股定理，求得，接着利用菱形的面积，即可算得答案． 【详解】解：连接交于，如图所示： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， ∵， ∴菱形的面积， 即， 解得：． 16. 如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，利用矩形对角线将矩形分成面积相等的两个三角形，得出，进而求解． 【详解】过点作，交于点，交于点， 四边形是矩形，且， ，，， 四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， ，，， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，第17题12分，第18题8分，第19题6分，第20题6分，第21题8分，第22题12分，第23题10分，第24题10分） 17. 解方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ，， ． 18. 如图，在四边形中，，，与交于点，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长和四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2），四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明得到，则四边形是菱形． （2）根据菱形的性质得到，，，，再根据四边形的面积为计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求： （1）的取值范围； （2）若方程的两根满足，求的值． 【答案】（1） 的取值范围是 （2） 的值为0 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，结合判别式列不等式求解的取值范围； （2）利用根与系数的关系将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件列方程求解，再结合（1）的取值范围舍去不符合题意的解．  【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵ ， ∴， 解得．  【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，，， ∵ ，且， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为0． 20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上，下列要求所画的图形的顶点都在格点上． （1）在图1中以为边，画一个面积为6的平行四边形． （2）在图2中以为边，画一个面积为4的菱形． （3）在图3中以为边，画一个正方形． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要画面积为6的平行四边形，因为平行四边形的面积等于底高，所以可以画一个底边长为3，高为2，以为边的格点平行四边形即可； （2）要画面积为4的菱形，因为菱形的面积等于对角线乘积的一半，又因为菱形的对角线互相垂直平分，所以可以画一个以为边，对角线互相垂直且长度分别为2和4的格点菱形即可； （3）要画正方形，因为正方形的四条边长相等，邻边互相垂直，所以画一个以为边（长度为），邻边互相垂直的格点正方形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合已知条件，即可证明四边形是菱形； （2）根据题意可得是等边三角形，勾股定理求得的长，进而求得的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 答：的长为． 22. 将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值． 例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：__________． （2）求的最小值． （3）若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）36；6 （2） （3）解：，，，理由如下： 由题意得，， ， ∴ ， ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可； （3）根据长方形的面积公式表示出，再求出的结果即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一次项系数为， ∴常数项为， ∴； 【小问2详解】 解： ， ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为． 【小问3详解】 略 23. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，则每天的销售量为______件，销售利润为______元； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 【答案】（1）80；1600 （2）每件工艺品售价应为55元 （3）利润不能到2000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“销售单价每提高1元，每天就减少售出2件”可求出销售量，再根据“利润=每件的利润×每天的销售量”计算即可得解； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． （3）同（2），利润=每件的利润×每天的销售量，判断该方程是否有解，且小于65，若存在，则能，否则则不能． 【小问1详解】 解：依题意得：销售量为：（件）， 销售利润为：（元）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为55元． 【小问3详解】 解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， ， ∴无解， 答：利润不能到2000元． 24. 运用定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决下列问题． （1）如图1，在中，，点是边的中点．若，，则__________． （2）如图2，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，，猜想四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，点是的中点．若，则__________． （4）如图4，在四边形中，若，，，，为中点，则的最大值为__________． 【答案】（1） （2）四边形是菱形，理由如下： ∵，为的中线， ∴， ∵过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再结合得到四边形是菱形； （3）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，，，即可得到，； （4）连接，取中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再证明是的中位线，得到，最后根据，得到当点在线段上时，最大． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：连接，取中点，连接，， ∵，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到， ∵为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵中， ∴当点在线段上时，最大， 即的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $