精品解析：山东省名校考试联盟2025-2026学年高一上学期12月选科指导调研考试数学试题

山东名校考试联盟 高一年级选科指导调研考试 数学试题 2025.12 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】集合， ,结合，得或, 所以或， 所以. 故选：B 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：“，”. 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由得，从而可得成立；由，取，则不成立，即可得答案． 【详解】由得，即， 故“”是“”的充分条件； 而由，取，则不成立， 故“”不是“”的必要条件． 故选：A 4. 已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质求解. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，是奇函数，符合题意； 当时，是偶函数，不符合题意；所以，， 因为在上单调递增，， 所以，解得， 即实数的取值范围为， 故选：C. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排除C，判断函数的奇偶性可排除D；再根据时，可排除A. 【详解】由，可得，排除C， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D； 当时，，则，排除A，则B符合题意. 故选：B 6. 设，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数函数的单调性判断出与的符号，从而可判断出的符号，利用换底公式计算出与的大小，由此可得出、、三个数的大小关系. 【详解】对数函数为上的减函数，则，即. 又对数函数为上的增函数，则， 由换底公式得. 函数为上的减函数，，即，因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查与对数相关的不等式的判断，考查了对数函数的单调性与换底公式的应用，考查推理能力，属于中等题. 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃.若将64℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为31℃所需要的冷却时间为（ ） A. 3min B. 4min C. 5min D. 6min 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，求出即得确定的公式，再代入目标数据求解. 【详解】由85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃， 得，解得， 当，，时，需要的冷却时间为， 则，解得，因此，解得， 所以物体温度降为31℃所需要的冷却时间为6min. 故选：D 8. 设函数若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知方程在时恒有一个负根，故原方程有三个不同实根的充要条件是方程在时有两个不等的正根，由此可列出关于的不等式组求解. 【详解】当时，由方程，可得，即， 因为，设两根为，则，即方程有一正一负根， 所以在上只有一个实数根， 因为方程有三个不同的实根， 所以当时，方程有两个正实数根，设两根为 当时，由方程，可得，即， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 存在，，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式、重要不等式及完全平方公式逐项分析判断即可. 【详解】选项A：因为，， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立，A正确； 选项B：因为，，所以，则，当且仅当时等号成立，B正确； 选项C：，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立，C正确； 选项D：，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故不存在，，使得，D错误. 故选：ABC. 10. 已知，其中且，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象经过原点 C. 函数有两个零点 D. 当时，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用偶函数的定义即可判断；对于B，由可判断；对于C，令，解方程即可判断；对于D，令解方程求出，结合对数运算及对数函数的性质即可判断. 【详解】函数的定义域为，与不恒相等，故不是偶函数，故A错误； ，所以的图象经过原点，故B正确； 令，即，即，所以或， 当时，因为，故无解， 当时，解得， 所以函数只有一个零点，故C错误； 设，则， 不妨设，令，解得，， 所以， 因为，所以，又因为，所以，即，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 是增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可得，再令，可判断A；令，可判断B；令求出的解析式可判断C；根据C求出的解析式可判断D. 【详解】令得，所以，令，得，把代入可得，因为，所以，故A正确； 令，得， 故B错误； 令得，在上是奇函数，故C正确； 因为，令，则，代入得，即， 则，该函数在R上是增函数，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得命题“，”是真命题，进而得到对于恒成立，结合基本不等式求解即可. 【详解】由命题“，”是假命题， 则命题“，”是真命题， 由，则， 则对于恒成立， 而，当且仅当，即时等号成立， 则，即，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知为偶函数，为奇函数，且满足，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，利用方程组法求出，将代入结合对数恒等式即可求出答案. 【详解】因为为偶函数，为奇函数， 所以，， 因为， 所以，与联立，解得， . 故答案为：. 14. 已知关于的不等式恒成立，则的最大值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】不等式为两个因式积的形式，所以可以用穿针引线法解不等式，因为恒成立，所以，得到，代入可得二次函数，最终得到的最大值. 【详解】利用穿针引线法解不等式， 令，解得， ①当时，不等式的解为，，不满足恒成立，所以不成立； ②当时，不等式的解为，，不满足恒成立，所以不成立； ③当时，不等式的解为，满足恒成立，所以成立； 将代入得：， 当，时取等号；所以的最大值为； 故答案为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若集合中恰有5个整数元素，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求得，根据并集运算求解即可； （2）根据集合中恰有5个整数元素，对进行分析，列不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，包含共5个整数， 要使集合中恰有5个整数元素，则集合至少包含这5个整数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 某高科技公司计划投资生产某款设备.经过调研得知，初期需投入固定成本100万元，除此之外，生产台该款设备需另投入成本万元，且其中.已知每台设备的售价为50万元，且生产的设备均能全部售出. （1）求公司生产该款设备的利润（万元）关于产量的函数关系式； （2）生产多少台该款设备，能给公司带来最大利润? 【答案】（1），其中 （2）18 【解析】 【分析】（1）根据投入成本函数分段计算利润函数，再表示成分段函数即可； （2）利用基本不等式和二次函数的性质，对利润函数分段计算最值，比较即得最大利润. 【小问1详解】 当时， ； 当时， ； 所以，其中. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 当时，利润最大，此时利润是125万元； 当时， ， 当且仅当时，即时，利润最大，此时利润是140万元. 因为，所以当生产18台该款设备时，利润最大，是140万元. 17. 已知函数. （1）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （2）证明：为偶函数； （3）证明：. 【答案】（1） （2） 已知， 则， ， 所以，所以为偶函数. （3） 已知，则，， ， 所以 ， 因为，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）二次函数在定区间内不单调，只需对称轴在该区间内即可； （2）求出、，并根据存在的关系判断即可； （3）利用作差法化简即可证明. 【小问1详解】 函数的对称轴为. 若在区间上不单调，则对称轴必在区间内，即. 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知函数. （1）若函数的图像经过点，求不等式的解集； （2）设，若，证明：； （3）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 由，可得， 画出函数的图像，如图所示， 要使得，可得， 由，可得，则， 即，可得， 所以，且， 由， 因为，所以等号不成立，所以，可得. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，利用的单调性，列出不等式组，即可求解； （2）画出函数的图像，结合图像，得到，再由，化简得到，求得，结合基本不等式，即可得证； （3）由，利用对数的运算法则，得，求得，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的图像过点，可得，解得， 所以，且函数在为单调递增函数， 则不等式，即为，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由方程，可得， 由对数的运算法则，可得， 所以，且满足，因为，所以， 由，可得， 令，可得，则， 又由函数在上单调递增，所以， 所以，因为且，所以，所以实数的取值范围为. 19. 已知数集（其中，，）具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于. （1）分别判断数集与是否具有性质； （2）证明：； （3）已知数集具有性质，若，，求数集. 【答案】（1）不具有性质，具有性质； （2） 由已知， 若，则，，所以， 又，所以数集不具有性质，不符合题意， 所以； （3）. 【解析】 【分析】（1）数集中任取元素验证性质判断； （2）由性质证不成立，则成立； （3）由性质从小到大逐个构造数集中的元素. 【小问1详解】 对于集合：取，则， 所以数集不具有性质； 对于数集：， 即对中任意，与中至少有一个属于， 所以数集具有性质. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，， 因为， 所以，所以， 因为数集具有性质，所以， 所以， 所以，即， 因为，则，所以， 由，又，所以， 所以，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东名校考试联盟 高一年级选科指导调研考试 数学试题 2025.12 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃.若将64℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为31℃所需要的冷却时间为（ ） A. 3min B. 4min C. 5min D. 6min 8. 设函数若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 存在，，使得 10. 已知，其中且，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象经过原点 C. 函数有两个零点 D. 当时，若，则 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为_____. 13. 已知为偶函数，为奇函数，且满足，则的值为_____. 14. 已知关于的不等式恒成立，则的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若集合中恰有5个整数元素，求实数的取值范围. 16. 某高科技公司计划投资生产某款设备.经过调研得知，初期需投入固定成本100万元，除此之外，生产台该款设备需另投入成本万元，且其中.已知每台设备的售价为50万元，且生产的设备均能全部售出. （1）求公司生产该款设备的利润（万元）关于产量的函数关系式； （2）生产多少台该款设备，能给公司带来最大利润? 17. 已知函数. （1）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （2）证明：为偶函数； （3）证明：. 18. 已知函数. （1）若函数的图像经过点，求不等式的解集； （2）设，若，证明：； （3）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 19. 已知数集（其中，，）具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于. （1）分别判断数集与是否具有性质； （2）证明：； （3）已知数集具有性质，若，，求数集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $