精品解析：江苏省无锡市祝塘第二中学2025-2026学年九年级数学上学期第十六周周练试卷

初三数学上学期第十六周周练试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. ∠A为锐角，若cosA＝，则∠A的度数为（　　） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：∵∠A为锐角，cosA=， ∴∠A＝60°． 故选B． 【点睛】考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴或， 解得， 故选C． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，正确配方是解题的关键．通过移项和添加一次项系数一半的平方完成配方． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 4. 二次函数的图象经过点，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】把（-1，0）代入y=ax2+bx+2，即可得出代数式a-b的值． 【详解】解：把（-1，0）代入y=ax2+bx+2， 得a-b+2=0， 即a-b=-2， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键． 5. 如图，一艘客船从码头点出发，沿北偏东方向航行，速度为海里时，小时后一艘快艇也从同一码头出发，向正北方向航行小时后，此时客船在快艇的正东方向，则快艇航行的速度为（ ） A. 海里时 B. 海里时 C. 海里时 D. 海里时 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，连接，由题意可得，，海里，即得海里，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，，，海里， ∴海里， ∴快艇航行的速度为海里时， 故选：． 6. 如图，中，弦相交于点，则的大小是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 7. 如图，在中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得AD∥BC，AD=BC，则有△ADF∽△CEF，AD=BC=2EC，进而根据相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△ADF∽△CEF， ∵E为BC的中点， ∴AD=BC=2EC， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 8. 如图，⊙O与正方形ABCD两边AB．AD都相切，且DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为4，，则OD的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设⊙O与AB、AD相切于点M、N．连接OM、ON，证明四边形AMON是正方形．根据切线长定理，可得DE=DN=3，从而求解 再根据勾股定理计算即可； 【详解】解：设⊙O与AB、AD相切于点M、N．连接OM、ON， 正方形ABCD, 四边形AMON是正方形． ∵DE、DA是⊙O的切线， ∴DE=DN=3， ∵ ∴ 在Rt△OND中， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理的应用，切线的性质，切线长定理，掌握以上知识是解题的关键． 9. 已知，，的面积为1，则的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴． 故选：C ． 10. 如图，点D在等腰的斜边上，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转到线段处，连接交于点F．若，，下列结论：①点E，C，D，A在同一个圆上；②，③；④．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆周角定理可判断①；过点作于点，证明，利用相似三角形的性质求得，，故可判断③；再证明，可判断④；由的性质求得，，据此求解即可判断②． 【详解】解：∵等腰， ∴， ∵以点C为旋转中心将线段逆时针旋转到线段处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴点E，C，D，A在同一个圆上，故①说法正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 过点作于点， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故③说法错误； ∵，， ∴， ∴， ∴，故④说法正确； 即， ∴，， ∴，故②说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转性质，圆内接四边形，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，第18题第1空1分，第2空2分．共24分） 11. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质得出，即可得，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故答案为：． 12. 一组数据，，，，的众数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，通过比较各数据出现次数即可确定众数． 【详解】解：数据，，，，中，出现次，出现次，出现次，出现次， 因此出现次数最多，故众数为． 故答案为． 13. 如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅，现在乙建筑物的顶部测得条幅顶端A的仰角为，条幅底端B的俯角为，已知街道宽，则广告条幅AB的长是______．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，根据，得出，即可得出，根据等腰三角形的判定，得出，在中，根据正切函数，得出，即可得出结果． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义，记住特殊角的三角函数值，是解题的关键． 14. 如图，中，，是角平分线．若，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质得到DC=DE，利用勾股定理求出AB，根据面积法得到，求出DC即可求出答案． 【详解】解：过点D作DE⊥AB于E， ∵是角平分线，， ∴DC=DE， 中，，，， ∴， ∵=， ∴DC=， ∴， 故答案：． ． 【点睛】此题考查了角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数，正确掌握角平分线的性质定理得到DC=DE是解题的关键． 15. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动，则砝码被提起了__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；因此此题可直接根据弧长公式及题意进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 16. 设，是抛物线上的两点，则的大小关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，通过求抛物线的对称轴和开口方向，利用二次函数的性质比较两点纵坐标的大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为，且开口向下． 点关于对称轴的对称点为． 由于抛物线在对称轴右侧随的增大而减小，且， 因此，即． 故答案为：． 17. 在中，，，．以所在直线为轴，把旋转周，得到的圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积．利用勾股定理求斜边，再根据圆锥侧面积公式计算，其中为底面半径，为母线长． 【详解】解：在中，，，，由勾股定理得． 以所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的底面半径为，母线长为， 因此圆锥的侧面积为． 故答案为． 18. 如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则__________；若，，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①取平行四边形边长的中点，连接对角线，通过两条平行线之间距离处处相等对三角形作等面积转换，将拆成三个小三角形，每一个小三角形都占总面积的，即可求出面积比；②根据，结合平行四边形的性质与外角和定理，得出，通过导比例，求得，再根据与，通过勾股定理即可计算出． 【详解】解：如图，取中点N，中点M，连接、、、、， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， ； ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形对角互补， 如图，作四边形外接圆， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 如图，在上取点M使得，过点D作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 解得， 在中， ， 解得， ， ， ， 解得． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，一线三等角构造，相似三角形的判定与性质，四点共圆与圆周角定理，勾股定理的运用等知识点，通过推导角与平行四边形性质运用找到相似三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19 （1）解方程 （2）计算； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算． （1）通过直接开平方法解方程； （2）代入特殊角的三角函数值计算即可求解． 【详解】解：（1） ∴或 解得： （2） ． 20. 已知一元二次方程． （1）当时，试判断该方程根的情况； （2）若方程的一个根是，求另一个根及的值． 【答案】（1）当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根 （2）另一个根为，的值为 【解析】 【分析】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，根据，判断根的判别式的符号，进而判断方程根的情况； （2）设方程另一个根为，由根与系数的关系可求得和的值． 【小问1详解】 解： ∴ ∵， ∴， 当时，，方程有两个相等的实数根；当时，，方程有两个不相等的实数根 ∴当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：设方程另一个根为， ∵方程的一个根是，由根与系数的关系得两根之积为， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴另一个根为，的值为． 21. 如图，在中，，点D、E在直线BC上，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，结合平角的定义，得到，再结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22. 小张同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图： 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）小张同学共调查了 名居民的年龄，扇形统计图中 ； （2）补全条形统计图，并注明人数； （3）若在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是岁及以上的概率为 ； （4）若该辖区年龄在岁的居民约有人，请估计该辖区居民有多少人？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合，用样本估计总体，概率的计算等知识； （1）岁的有人，所占百分比为%，则调查总人数可求；岁的有人，所占百分比为； （2）岁的人数所占百分比为%，则可求出人数并补全条形图； （3）年龄是岁及以上人数为人，除以总人数即可得出其概率； （4）用除以中求得的即可． 【小问1详解】 ，; 故答案为：，． 【小问2详解】 岁的人数为人； 【小问3详解】 【小问4详解】 人， 所以估计该辖区居民有人 23. 如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂直平分线的性质，勾股定理，余弦函数： （1）由直径所对的圆周角为90度，可证，进而可得垂直平分，即可证明； （2）连接，则，结合可得，进而可得，再由勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 又， 垂直平分， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 由（1）得， ， ． 24. 小明和小丽在一次综合实践活动中，尝试用一张矩形纸条测量马克杯杯口的直径．他们的方法是：将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点． （1）小明利用尺规作图找到圆心，进而度量出直径大小，请你用尺规作图在图1中确定圆心； （2）小丽利用刻度尺测量纸条的宽为，请你根据上述数据计算纸杯的直径（请利用图2解答）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，垂直平分线的性质，关键是通过作辅助线构造直角三角形； （1）连接，分别作与的垂直平分线，交于一点，即可求解； （2）连接，过圆心作，得，设，那么，根据在与中，，可知，即可求解. 【小问1详解】 解：如图：连接，分别作与的垂直平分线，交于一点，即是圆心， 下图即为所求： 【小问2详解】 解：连接，过圆心作， ∵， ∴， 设，那么， ∵，， ∴在与中，， ∴， 解得：； ∴ ， ∴纸杯的直径为. 25. 某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学上学期第十六周周练试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. ∠A为锐角，若cosA＝，则∠A的度数为（　　） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 2. 一元二次方程根是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象经过点，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 5. 如图，一艘客船从码头点出发，沿北偏东方向航行，速度为海里时，小时后一艘快艇也从同一码头出发，向正北方向航行小时后，此时客船在快艇的正东方向，则快艇航行的速度为（ ） A. 海里时 B. 海里时 C. 海里时 D. 海里时 6. 如图，中，弦相交于点，则的大小是( ) A. B. C. D. 7. 如图，在中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB．AD都相切，且DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为4，，则OD的长为（ ） A. B. C. D. 4 9. 已知，，的面积为1，则的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 81 10. 如图，点D在等腰的斜边上，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转到线段处，连接交于点F．若，，下列结论：①点E，C，D，A在同一个圆上；②，③；④．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，第18题第1空1分，第2空2分．共24分） 11. 若，则__________． 12. 一组数据，，，，的众数为__________． 13. 如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅，现在乙建筑物的顶部测得条幅顶端A的仰角为，条幅底端B的俯角为，已知街道宽，则广告条幅AB的长是______．（结果保留根号） 14. 如图，中，，是角平分线．若，，则的值为_______． 15. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动，则砝码被提起了__________．（结果保留） 16. 设，是抛物线上的两点，则的大小关系为__________． 17. 在中，，，．以所在直线为轴，把旋转周，得到的圆锥的侧面积为__________． 18. 如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则__________；若，，则__________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. （1）解方程 （2）计算； 20. 已知一元二次方程． （1）当时，试判断该方程根的情况； （2）若方程的一个根是，求另一个根及的值． 21. 如图，在中，，点D、E在直线BC上，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 小张同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图： 请根据以上不完整统计图提供的信息，解答下列问题： （1）小张同学共调查了 名居民的年龄，扇形统计图中 ； （2）补全条形统计图，并注明人数； （3）若在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是岁及以上的概率为 ； （4）若该辖区年龄在岁的居民约有人，请估计该辖区居民有多少人？ 23. 如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 小明和小丽在一次综合实践活动中，尝试用一张矩形纸条测量马克杯杯口的直径．他们的方法是：将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点． （1）小明利用尺规作图找到圆心，进而度量出直径大小，请你用尺规作图图1中确定圆心； （2）小丽利用刻度尺测量纸条宽为，请你根据上述数据计算纸杯的直径（请利用图2解答）． 25. 某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $