精品解析：江苏省无锡市祝塘第二中学2025-2026学年九年级数学上学期第十九周周练试卷

初三数学上学期第十九周周练试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. 的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接写出的值即可 【详解】解：， 故选：B 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 2. 数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（ ） A. 0和6 B. 0和8 C. 5和6 D. 5和8 【答案】C 【解析】 【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决． 【详解】将2、5、6、0、6、1、8按照从小到大排列是：0，1，2，5，6，6，8， 位于中间位置的数为5，故中位数为5， 数据6出现了2次，最多，故这组数据的众数是6，中位数是5， 故选C． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴的公式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数对称轴的公式是解决问题的关键． 4. 若的半径为6，圆心到直线的距离为4，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离小于半径，得到直线与的位置关系是相交，即可得解，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 【详解】解：的半径为6，圆心到直线的距离为4， ，即， 直线与的位置关系是相交， 故选：B． 5. 在比例尺是的地图上，延陵西路的长度约为，该路段的实际长度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先设它的实际长度是然后根据比例尺的定义，即可得方程，解此方程即可求得答案，注意统一单位． 【详解】解：设它的实际长度为， 根据题意得： 解得：， ∵ ∴该路段实际长度约为 故选：D． 【点睛】此题考查了比例线段．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位． 6. 一路人行走在如图所示每个格子都是正方形的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【详解】图中所有小方块有9个，其中阴影部分共有3个， ∴停在阴影部分的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查概率的计算，熟记概率公式是解题关键． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合，解题关键是结合二次函数图像和一次函数图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的取值范围，再根据另一函数图像确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A．根据图像可知两个函数图像与y轴交点坐标为，同时也可得，故选项正确，符合题意； B．根据一次函数图像可知，而根据二次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； C．根据二次函数的图像可知，根据一次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； D．二次函数图像与y轴的交点不是，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 8. 如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（ ） A. 180° B. 120° C. 100° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】连接AB，先求得∠ABE=30°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，即可求得∠EBC+∠D=150°． 【详解】解：如图，连接AB， ∵为60° ∴∠ABE=30° ∵点A，B，C，D在⊙O上 ∴四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠ABC+∠ADC=180° ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180° ∴∠EBC+∠D=180°-∠ABE=180°-30°=150° 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键． 9. 如图，王同学将一长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点位置变化为→→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点A翻滚到位置时共走过的路径长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，由于，，，，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接、，由题意，点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到， ∵，，，， ∴点A翻滚到位置时共走过的路径长， 故选：D． 【点睛】本题考查了轨迹，旋转变换，解决本题的关键是掌握弧长公式和旋转的性质． 10. 如图，在正方形中，F是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，E为的外心；④若点F在上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论为（　　） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，由此即可证明，即可判断①；根据是等腰直角三角形，可得，所以，所以，进而可以判断②；证明，进而可得，可得分别平分，得点E是角平分线的交点，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，点E的运动轨迹为线段，点F的运动轨迹是线段，，且点F与点E的运动时间相同，进而可以判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； 是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴分别平分， ∵， ∴平分， ∴点E是角平分线的交点， ∴E为的内心，故③错误； 如图，连接交于点O， ∵， ∴当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合， ∴点E的运动轨迹为线段，点F的运动轨迹是线段， ∵，且点F与点E的运动时间相同， ∴， ∴点F与点E的运动速度不相同，故④错误． 综上所述：正确的结论是①②，共2个． 故选：A． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，勾股定理，点的运动轨迹，解决本题的关键是确定点E的运动轨迹． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，第18题第1空1分，第2空2分．共24分） 11. 甲、乙两名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.8（单位：环）及方差分别是1.6和1.8（单位：环）要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 【详解】解：由题意知甲、乙两名射击成绩的平均数相等， ∴甲的方差较小， ∴甲发挥最稳定， ∴选择甲参加比赛． 故答案为：甲． 12. 请写出一个函数表达式，使其当时，随增大而增大：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数的图象和性质，可以考虑一次函数，当 时， 随的增大而增大；或反比例函数，当 时，在时 随的增大而增大． 【详解】解：∵在时， 随的增大而增大． ∴该函数的解析式可以是，其中比例系数，满足条件， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知圆锥的底面圆的半径是2cm，高为3cm，则圆锥的侧面积是 ________________cm2． 【答案】2π 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长＝，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积． 【详解】解：圆锥的母线长＝ 底面圆周长＝ 圆锥的侧面积＝母线底面圆周长＝ 故答案为：2π 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆锥的侧面积运算，熟悉掌握侧面积的运算公式是解题的关键． 14. 如图，是的直径，弦，垂足为点E，，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．根据得，进而根据垂径定理得出，连接，设，则，根据勾股定理得方程解答． 【详解】解：连接，设，则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 解得， 即的长为10． 故答案为：10． 15. 我们可以把较短边与较长边的比值是黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那相邻一条较短边的边长______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．据此列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设相邻一条较短边的边长等于厘米， ， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，，．若的半径为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，求出和，求出边长，分别求出三角形的面积和扇形的面积，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， 在中，，，， ∴， ∴阴影部分的面积是 故答案为： 【点睛】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 17. 已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b2＞4ac；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是 _____.（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确； ②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b＝﹣4a，即4a+b＝0，结论②正确； ③根据抛物线的对称性结合当x＝1时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误； ④根据抛物线与x轴有两个交点，所以 ，即有b2＞4ac，结论④正确； ⑤观察函数图象可知，当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误． 综上即可得出结论． 【详解】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0）， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确； ②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且抛物线过原点， ∴ ＝2，c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝0， ∴4a+b＝0，结论②正确； ③∵当x＝﹣1时，y值为正， ∴a﹣b+c＞0，结论③错误； ④根据抛物线与x轴有两个交点，即 有两个不等的实数根，所以 ，即有b2＞4ac，结论④正确； ⑤当x＜2时，y随x的增大而减小，结论⑤错误． 综上所述，正确的结论有：①②④． 故答案是：①②④． 【点睛】主要考查抛物线与x轴的交点，图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 18. 如图，是的外接圆，，如果，则圆的半径为________，点P是外一点，，则线段的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，过点O作于F，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，则可求出，解直角三角形可得；将绕点O顺时针旋转120度得到，连接，过点O作于E，则，由三线合一定理得到，，则，进而得到；根据，得到当B、P、H三点共线时，有最大值，最大值为9，则的最大值为． 【详解】解：如图所示，过点O作于F， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴圆的半径为； 如图所示，将绕点O顺时针旋转120度得到，连接，过点O作于E， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴当B、P、H三点共线时，有最大值，最大值为9， ∴的最大值为； 故答案为：；． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1）； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握解方程步骤和三角函数值是解题的关键． （）利用特殊角的三角函数值化简求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 20. 已知关于x一元二次方程． （1）若方程的其中一个根是1，求k的值及方程的另一个根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】（1），方程另一个根为 （2）且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，根与系数关系等知识．熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值，再根据根与系数关系求出方程的另一个根即可； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于k的一元一次不等式，求出，然后根据一元二次方程的定义得到，进而可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， ； ∴方程为， 设方程的另一个根为，则， ∴， 即方程另一个根为； 【小问2详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， ∴， ∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴k的取值范围为且． 21. 为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中名男生，名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团． （1）若只能从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为______； （2）若从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的名学生中恰好是男女的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式用男生人数除以总人数即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，其中被选中的人恰好是男女的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有种可能的结果，其中恰为男女的结果出现次， 则选取的名学生恰为男女的概率为． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线； （2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点D作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长，解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以； 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以． 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为． 24. 为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用棚栏围成．已知栅栏的总长度为，设矩形场地中垂直于墙的一边长为（如图）． （1）若矩形种植场地的总面积为，求此时的值； （2）当为多少时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）6 （2），矩形种植场地的面积最大为 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和二次函数的性质， 根据矩形面积列出关于x的一元二次方程，结合靠墙的长度排除不符合的解即可； 首先求得x取值范围，再根据二次函数得性质求得在范围内的最值即可． 【小问1详解】 解：矩形场地中垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∵矩形种植场地的总面积为， ∴，解得，， ∵墙的长度为， 若，则，不符合题意， 则． 【小问2详解】 解：矩形种植场地的面积， ∵， ∴， ∵，， ∴时，， 则时，矩形种植场地的面积最大为． 25. 如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点（）在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； （3）在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）当时，最大，且最大值为 （3），， 【解析】 【分析】本题考查二次函数，待定系数法求解析式，面积问题，平行四边的性质与判定； （1）根据待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交于点，过点作，得，从而得到，根据为等腰直角三角形，再结合二次函数的解析式，得到，最后结合二次函数的图形性质即可得到面积的最大值； （3）根据不同的情况展开讨论，通过全等三角形的性质计算出点的横坐标，再根据二次函数的解析式计算出纵坐标即可． 小问1详解】 解：∵过点，， ∴ ， 解方程组得， ∴该抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点，过点作，垂足为， ∵，，， ∴ ∵， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大，且最大值为； 【小问3详解】 解：∵当时，， ∴点， ∵， ∴抛物线的对称轴为， 当时，， 解得， ∴点， ∴， 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 由题意得， ∵， ∴、、、构成的四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 综上所述，符合条件的点N的坐标为：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学上学期第十九周周练试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. 的值等于( ) A. B. C. D. 2. 数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（ ） A. 0和6 B. 0和8 C. 5和6 D. 5和8 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 4. 若的半径为6，圆心到直线的距离为4，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定 5. 在比例尺是的地图上，延陵西路的长度约为，该路段的实际长度约为（ ） A. B. C. D. 6. 一路人行走在如图所示每个格子都是正方形地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（ ） A. 180° B. 120° C. 100° D. 150° 9. 如图，王同学将一长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点位置变化为→→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点A翻滚到位置时共走过的路径长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，F是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，E为的外心；④若点F在上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论为（　　） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，第18题第1空1分，第2空2分．共24分） 11. 甲、乙两名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.8（单位：环）及方差分别是1.6和1.8（单位：环）要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______． 12. 请写出一个函数表达式，使其当时，随增大而增大：________． 13. 已知圆锥的底面圆的半径是2cm，高为3cm，则圆锥的侧面积是 ________________cm2． 14. 如图，是的直径，弦，垂足为点E，，则_______． 15. 我们可以把较短边与较长边的比值是黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那相邻一条较短边的边长______厘米． 16. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，，．若的半径为，则图中阴影部分的面积为______． 17. 已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b2＞4ac；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是 _____.（填序号） 18. 如图，是的外接圆，，如果，则圆的半径为________，点P是外一点，，则线段的最大值为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1）； （2）解方程：． 20. 已知关于x一元二次方程． （1）若方程其中一个根是1，求k的值及方程的另一个根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 21. 为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中名男生，名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团． （1）若只能从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为______； （2）若从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的名学生中恰好是男女的概率． 22. 如图，在四边形中，．以为直径经过点D，且与边交于点E，连接． （1）求证：为切线； （2）若，求的长． 23. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 24. 为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用棚栏围成．已知栅栏的总长度为，设矩形场地中垂直于墙的一边长为（如图）． （1）若矩形种植场地的总面积为，求此时的值； （2）当为多少时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ 25. 如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点（）在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； （3）在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $