第3章 一次方程（组） 期末复习综合练习题 2025-2026学年湘教版七年级数学上册

2025-2026学年湘教版七年级数学上册《第3章一次方程（组）》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．如果关于x的方程的解，那么k的值是（ ） A． B．10 C．2 D． 2．根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 4．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 5．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．《算法统宗》中记载了这样一个问题，其大意是：个和尚分个馒头，大和尚人分个馒头，小和尚人分个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．如图，宽为的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 9．若方程的解与方程的解相同，则的值为 ． 10．一件毛衣先按成本提高标价，再以8折出售，获利70元，那么这件毛衣的成本是 元． 11．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 12．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．若关于x的方程与方程互为“成双方程”，m的值为 ． 13．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为 ． 14．①若，则；②若，且，则；③若关于x的方程有无数解，则的值为8；④若无论k为何值，关于x的方程的解总是，则代数式；⑤关于x的绝对值方程有三个不相同的解，则．正确的序号是： ． 三、解答题 15．解方程； (1)； (2) 16．解方程组： (1)； (2)． 17．已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 18．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 19．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 20．【问题背景】已知数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足，．动点P从点A出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动，同时动点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动． 【问题再现】（1）求A、B两点之间的距离； 【问题推广】（2）经过几秒后，P、Q两点相距4个单位长度，并求此时点Q所表示的数； 【拓展提升】（3）设点P运动的时间为t秒（），若在运动过程中，动点P始终保持原速度原方向；当Q到达原点O时，立即返回，以原速度沿数轴向正半轴运动，当t为何值时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍． 参考答案 1．B 【分析】把解代入方程，解方程求得k值即可． 本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程的解， ∴， 解得， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了等式的性质．性质1：等式两边加同一个数或式子，结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质进行判断． 【详解】解：A．当时不成立，故本选项错误； B．在等式的两边同时乘以2，等式仍成立，即，故本选项错误； C．等式的左边减5，右边加5，等式不成立，故本选项错误； D．在等式的两边同时乘以，等式仍成立，故本选项正确； 故选D． 3．B 【分析】本题考查一元一次方程的去分母步骤，关键是正确乘以最小公倍数．根据一元一次方程的去分母的方法，等式两边同时乘以分母的最小公倍数6，以消除分母． 【详解】解：∵ 方程 ，分母的最小公倍数为6， ∴ 两边同时乘以6，得 ， 即， ∴ 去分母后为 ，对应选项B． 故选：B 4．C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法逐一排除即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，能消去，符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 故选：． 5．A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能根据已知得出关于、的方程组是解此题的关键． 根据已知得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 关于、的二元一次方程组中， 解得：， 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意，总和尚数为100，总馒头数为100．大和尚每人分3个馒头，小和尚每3人分1个馒头，即每人分1/3个馒头．因此，可列出方程组． 【详解】解：设大和尚有x人，小和尚有y人． ∵总人数为100， ∴； ∵大和尚共分个馒头，小和尚共分个馒头，总馒头数为100， ∴ ． 故方程组为 ， 故选A 7．A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设一个小长方形的长为，则宽为，根据题意列出方程，求出的值，再利用长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：设一个小长方形的长为，则宽为， 由题意得，， 解得， 则， ∴一个小长方形的长为，宽为， ∴一个小长方形的面积为． 故选：A． 8．0 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，由此列出条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 由得或， 当时，，不符合系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故． 故答案为：0． 9． 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解以及同解方程的概念．一元一次方程的求解是基础，同解方程即两个方程的解相同，通过求解其中一个方程得到解，再将其代入另一个方程来确定未知参数的值．解题的关键在于理解同解方程的含义，准确求出第一个方程的解，并将其正确代入第二个方程，从而将第二个方程转化为只含有一个未知数的方程进行求解．首先求解方程，得到的值．因为两个方程的解相同，所以将求得的的值代入方程．此时方程就变成了关于的一元一次方程，求解该方程即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ； ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程 ， ， ， ． 故答案为：． 10．350 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设成本为x元，根据标价和折扣表示出售价，再根据获利列方程求解． 【详解】解：设这件毛衣的成本是x元， 按成本提高标价，标价为元， 再以8折出售，售价为元， 获利70元，即售价减去成本等于70元， 所以， 解得． 故答案为：350． 11． 【分析】本题考查了整体的数学思想，把关于y的一元一次方程中看作关于x的一元一次方程中的x，即可得到，即可求出﹒本题也可以把代入方程，求出，再解方程即可﹒ 【详解】解：解法1∵关于的一元一次方程的解为，关于y的一元一次方程为， ∴， ∴﹒ 解法2：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴关于y的一元一次方程为， 解得 故答案为： 12．18 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2，分别求出两个方程的解，再列方程求解m． 【详解】解： ， ， ， ， ， ； ， ， ； 由题意，方程的解之和为2， 即， 整理，得， 移项，得， 解得 ； 故答案为：18． 13． 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图．根据题意和图，找出合适的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：由题意和图可得， ． 故答案为：． 14．②④⑤ 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，根据，满足，可判断①；根据题意可得，据此可判断②；根据题意可得，据此求出a、b的值即可判断③；根据题意可推出，进而得到，则，据此求出a、b的值即可判断④；根据题意可得或，讨论a的取值范围，确定方程和的解的个数即可得到答案． 【详解】解：①当时，满足，但无意义，原说法错误； ②∵，且， ∴， ∴， ∴，原说法正确； ③∵， ∴， ∵关于x的方程有无数解， ∴， ∴， ∴，原说法错误； ④∵， ∴， ∵关于x的方程的解总是， ∴， ∴， ∵方程的解总是，与k的取值无关， ∴， ∴， ∴，原说法正确； ⑤∵， ∴， ∴或， 当时，，此时方程和方程都无解，不符合题意； 当时，方程无解，方程有1个解或2个解，不符合题意； 当时，方程的解为或，方程的解为，符合题意； 当时，方程的解为或，方程的解为或，此时原方程有4个不同的解，不符合题意； 综上所述，，原说法正确； 故答案为：②④⑤． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． （1）去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解； （2）先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解． 【详解】（1）解： （2）解： 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可． （2）设，，利用换元法解出m，n的值，进而即可求出x，y的值． 【详解】（1）解： 由得： 解得， 把代入①得：， 解得， 则方程组的解为： （2）解： 设，， 则原方程组可化为： 由得：， 解得 把代入①得：， 解得， ∴，， 则， 则方程组的解为． 17． 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据题意，解出方程的解，再解出方程的解，根据题意，将两个解相减得5，即可解题． 【详解】解：由 由 ∵的解比方程的解大5 ∴ 解得： . 18．(1) (2) 【分析】本题考查了同解方程组，代数式求值，理解题意正确计算是解题的关键． （1）根据题意联立得，即可求出两个方程组的相同的解； （2）把方程组的解分别代入方程和中，得到关于、的方程组求解，然后代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 即这两个方程组的相同解是； （2）解：把分别代入方程和中，得， 解得， ． 19．(1)A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元 (2)方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆；方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆；方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆 (3)购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程组是解题的关键． （1）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设购买A型汽车辆，B型汽车辆，根据题意列出方程，得出，结合是整数，得出是5的倍数，且，再列举出所有符合题意的值，即可解答； （3）结合（2）中的购买方案，计算每一种方案的获利，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元， 由题意得，， 解得：， 答：A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元； （2）解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆， 由题意得，， 整理得，， 是整数， 是5的倍数，且， ， 当，， 当，， 当，， 购买方案有3种，分别是： 方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆； 方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆； 方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆； （3）解：方案一获利：（元）， 方案二获利：（元）， 方案三获利：（元）， ， 购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元． 20．（1）16；（2）经过12秒或20秒后，P、Q两点相距4个单位长度．点Q所表示的数为或；（3）当s或s时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用， （1）先求出a，b，再根据两点之间的距离得出答案； （2）先表示出点P，Q表示的数，再根据P、Q两点相距4个单位长度得出两个方程，求出解； （3）先分两种情况：当时，当时，可得点Q表示的数，再根据点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍得出方程，再求出解． 【详解】解：（1）根据题意，，解得， 又因为，即， 解得． 所以A、B两点之间的距离为； （2）设运动时间为秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 又因为P、Q两点相距4个单位长度， 所以或， 解得或． 所以经过12秒或20秒后，P、Q两点相距4个单位长度． 当时，点Q所表示的数为， 当时，点Q所表示的数为， 所以此时点Q所表示的数为或； （3）根据题意可知，点P表示的数为，且点Q运动到原点O的时间为． 当时，点Q表示的数为， 当时，点Q表示的数为， 又因为点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍， 所以或， 解得或． 综上所述，当s或s时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍． 学科网（北京）股份有限公司 $