第3章 一次方程（组） 同步训练 2025-2026学年湘教版（2024）数学七年级上册

第3章 一次方程（组） 一、单选题 1．若与是同类项，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D．4 2．如果是方程的解，是正整数，则的最大值是（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形（空白部分），则图中阴影部分的面积为（   ） A．60 B．55 C．58 D．62 4．由方程组可得出与的关系是（   ） A． B． C． D． 5．若x与2的差的是1的相反数，则x的值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．已知是以为未知数的一元一次方程，且，那么的值为（    ） A．1 B．或1 C．5 D．或5 7．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　） A．5秒 B．5秒或4秒 C．5秒或秒 D．秒 二、填空题 8．某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需 元． 9．若方程是关于的二元一次方程，则 ． 10．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 11．点M，N在数轴上，我们规定点M，N之间的距离用表示，在数轴上，点A，B，C分别表示数，4，x，若，则满足条件的整数是 ． 12．在数轴上，点，表示的数分别是和9，点是数轴上点右边的一个点，点到这两个点的距离之比是，则点表示的数是 ． 三、解答题 13．解下列方程： (1)； (2)； 14． 一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？ 15．今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？选自《张丘建算经》 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙的钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多倍；如果乙得到甲的钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？ 16．如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 17．年月日，某市为表彰“最美乡村教师”，组织中小学代表队参加文艺汇演，甲、乙两校共名学生（其中甲校人数大于人且低于人），准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 每套服装的价格 元 元 元 已知两所学校单独购买服装，一共应付元． (1)若甲、乙两校联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？ (2)甲、乙两所学校各有多少名学生准备参加演出？ (3)如果甲校有名同学被抽调去参加书法绘画比赛，不能参加演出，请你为这两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据同类项的定义，即所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类型，来确定的值．本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握同类项中相同字母的指数相同是解题的关键． 【详解】解：与是同类项 故选：． 2．C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题关键把方程的解代入原方程，得到关于和的二元一次方程，再求解． 把方程的解代入，则可得到一个关于和的二元一次方程，解答即可． 【详解】解：是方程的解， ， ∴ ，是正整数， 或或， 的最大值是． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 4．A 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把②代入①，方程组消去m即可得到x与y的关系式． 【详解】解：， 把②代入①得：， 整理得：， 故选A． 5．A 【分析】本题考查了一元一次方程和相反数的相关知识，需要牢记相反数的定义，并能熟练运用相关知识，列出方程计算即可． 【详解】解：∵x与2的差的是1的相反数， ∴， 解得：， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，正确求出m的值是解题的关键． 由题得出，，即可求出m的值，再根据绝对值的性质即可求出a的值． 【详解】解：∵方程为一元一次方程， ∴， 解得或， 且， ∴， 代入， 即， ∴或， 解得或， 综上，的值为或5， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离，一元一次方程与行程问题，根据题意，分别求出点表示的数，及运动时间，设运动时间为秒，分类讨论，第一种情况，点在原点左边，点在原地右边；第二种情况，点都在原点左边；第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在；图形结合，列式求解即可． 【详解】解：点表示的数为， ∴， ∵，则， ∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）， ∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）； 根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且 ∴， 解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且， ∴， 解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等， 故选：C ． 8．32 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，根据题意，列出三元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，由题意，得： ， ，得：， ∴； ∴购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需32元； 故答案为：32． 9． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据二元一次方程的定义，据此得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的二元一次方程， ∴， 解①得：， 解②得：， ∴， 故答案为：； 10． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据方程组的解法得出，再根据得到，求出k的值即可． 【详解】解： 得，， 即， 又， ， ， 故答案为：3． 11．和5 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 根据数轴上两点距离计算公式得到，则可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时， ，矛盾，x不存在； 当时，， ∴，解得． ∴满足条件的整数是和5． 故答案为：和5． 12．1 【分析】本题涉及数轴上两点间的距离概念．设点C表示的数为x，根据点C到点A、B的距离之比为来建立方程求解． 【详解】解∶ 设点C表示的数为x，则点C到点A的距离为， 点C到点B的距离为， 点到这两个点的距离之比是， 点C到点B的距离是点C到点A的距离的4倍，即． 点是数轴上点右边的一个点， ，即． 此时分两种情况讨论： 当，即时， 方程为，解得，与矛盾，舍去； 当，即时， 方程为，解得． 故答案为：1． 13．(1) (2) 【分析】（1）按照去括号、移项，合并同类项、化系数为1的步骤解答即可； （2）按照去括号、移项，合并同类项、化系数为1的步骤解答即可； 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得； （2）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得； 14．用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成台仪器． 【分析】要制作尽可能多的仪器，需根据A、B部件的配套关系（1个A部件和3个B部件构成一台仪器 ），设用钢材做A部件，钢材做B部件，通过部件数量的配套比例列方程求解．本题主要考查一元一次方程在配套问题中的应用，熟练掌握根据部件配套比例建立方程是解题的关键． 【详解】解：设用钢材做A部件，则用钢材做B部件．则， 解得， ∴做B部件的钢材为，做A部件数量：（个），做B部件数量：（个）， 可制作仪器数量： 台（此时A部件和B部件数量恰好配套 ）， 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成台仪器． 15．甲带了钱，乙带了钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲带的钱数为，乙带的钱数为， 根据题意，得， 解方程组，得， 所以，甲带了钱，乙带了钱． 16．用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设用木料做桌面，木料做桌腿，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设用木料做桌面，木料做桌腿，由题意，得： 解得． （张）． 答：用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌． 17．(1)元； (2)甲学校有名学生准备参加演出，乙学校有名学生准备参加演出； (3)最省钱的购买服装方案是两校联合购买套服装（即比实际人数多购套）． 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，一元一次方程的应用，读懂题意，列出算式和方程是解题的关键． （）由题意列出算式，然后利用运算法则即可求解； （）设甲学校有名学生准备参加演出，乙学校有名学生参加，由题意得，然后解方程即可； （）由题意得甲校有人参加演出，然后进行分情况讨论，最后比较即可． 【详解】（1）解：由题意得：（元）； 故两所学校联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省元； （2）解：设甲学校有名学生准备参加演出，乙学校有名学生参加． 由题意，，故甲校单价为元， 若乙校单价也为元，则总费用为元，与题设元不符， 由题意得：， 解得：，则， 答：甲学校有名学生准备参加演出，乙学校有名学生准备参加演出； （3）解：∵甲校有人不能参加演出， ∴甲校有（人）参加演出， 若两校联合购买服装，则需要（元）， 若两校分别单独购买：（元）， 若两校分别单独购买，甲校需套，可选择购买套，费用为（元），乙校需套，可选择购买套，费用为（元），总费用为（元）， 若甲校为获得更低单价而单独购买套，乙校单独购买套，其花费（元）， 若两校联合购买套服装，需（元）， ∵， ∴最省钱的购买服装方案是两校联合购买套服装（即比实际人数多购套）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$