精品解析：广东省广州市花都区2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷

2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，，在二次函数图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，下列说法中正确的是（　　） A. 抛物线的开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 对称轴是直线 D. 当时，y有最小值为5 7. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8. 两个相邻奇数的积是143，求这两个奇数，设较小的奇数为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是二次函数与一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 10. 如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，与交于点，连接，那么点的坐标为（　 　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 12. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式是_______． 13. 如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是______． 14. 已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 15. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 16. 如图，已知二次函数（）与轴的一个交点为，其对称轴为直线，下列四个结论：①，②；③；④直线与该二次函数一定有交点．其中正确的结论有_______（写序号）． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：x2﹣6x﹣7=0． 18. 如图，在中，，将绕点O逆时针旋转得到，求线段的长． 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点O对称的； （2）若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标 ． 20. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某档案馆开展“抗战胜利80周年图片展”．该档案馆8月份的参观人数为10万人，10月份的参观人数增加到万人．求参观人数的月平均增长率． 21. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 22. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，，且，求的值． 23. 匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 高度 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 （1）当时， ，这个值表示的实际意义是 ； （2）求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； （3）匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点B． （1） ； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）若点M是直线上一动点（点M不与A、B重合），过点M作线段（点N在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 25. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）下列四边形一定是勾股四边形的有 ；（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形 （2）如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连接、、，，请判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由； （3）如图，在四边形中，为等边三角形，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是整式方程，只含一个未知数x，且x的最高次数为2，是一元二次方程． 选项B：中未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 选项C：含有两个未知数，是二元一次方程，不是一元二次方程． 选项D：的分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程． 故选A． 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念；根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程；通过直接开平方求解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：A． 4. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，然后用线段和差即可求解． 【详解】解：由旋转性质可知：，， ∴， 故选：． 5. 已知，，在二次函数图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，通过直接计算各点的函数值，比较大小即可. 【详解】解：∵二次函数为， ∴对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴，，， ∴， 故选：D． 6. 已知二次函数，下列说法中正确的是（　　） A. 抛物线的开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 对称轴是直线 D. 当时，y有最小值为5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 根据二次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由抛物线可看出，故开口向下，故错误，此选项不符合题意； B、当时，y随x的增大而增大，故正确，此选项符合题意； C、对称轴是直线，故错误，此选项不符合题意； D、当时有最大值是5，故错误，此选项不符合题意． 故选：B． 7. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，一元二次方程的根的情况由判别式决定：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根． 通过计算判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选C． 8. 两个相邻奇数的积是143，求这两个奇数，设较小的奇数为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程；根据相邻奇数相差2，设较小奇数为，则较大奇数为，根据积为143列方程． 【详解】解：∵较小奇数为x，且相邻奇数差为2， ∴较大奇数为， ∴方程为， 故选：D． 9. 如图，是二次函数与一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可以直接回答，使得的自变量的取值范围就是二次函数落在直线的图象上方的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象在抛物线的下方， 由图象可知，当时，直线在抛物线的下方， ∴当时，， 故选：B． 10. 如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，与交于点，连接，那么点的坐标为（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，由旋转的性质找准旋转角，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 由正方形和旋转的性质得，，然后证明，得，再利用含角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是边长为2的正方形，正方形绕点顺时针旋转得到正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵将边长为的正方形绕点顺时针旋转， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 解：点关于原点对称的点的坐标是(， 故答案为：． 12. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律是解决问题关键；根据二次函数图像平移规律，“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，得； 再向下平移1个单位，得； 故答案为． 13. 如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质．根据将绕点O按逆时针方向旋转后得到，可得，进一步计算即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称． 【详解】解：设另一个交点的横坐标为 ， ∵抛物线对称轴是直线 ，与x轴的一个交点为 ，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为 ． 故答案为： ． 15. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值、一元二次方程的根“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根可得，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ， 故答案为：9． 16. 如图，已知二次函数（）与轴的一个交点为，其对称轴为直线，下列四个结论：①，②；③；④直线与该二次函数一定有交点．其中正确的结论有_______（写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图像与系数的关系，可借助数形结合思想进行分析解答；由抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据抛物线与轴的交点即可判断②；由时，即可判断③；利用抛物线的对称性可知抛物线过，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，交轴的正半轴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①是正确的； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故②是正确的； ∵当时，， ∴，故③是错误的； ∵二次函数（）与轴的一个交点为，其对称轴为直线， ∴与轴的另一个交点为， ∵直线（）经过点， ∴直线与该二次函数一定有交点，故④是正确的； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：x2﹣6x﹣7=0． 【答案】x1=7，x2=﹣1． 【解析】 【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解． 【详解】原方程可化为：（x﹣7）（x+1）=0， x﹣7=0或x+1=0； 解得：x1=7，x2=﹣1． 18. 如图，在中，，将绕点O逆时针旋转得到，求线段的长． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和旋转的性质．根据勾股定理和旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴． 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点O对称的； （2）若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标 ． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形，平行四边形的判定，写出平面直角坐标系中点的坐标； （1）根据中心对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解． （2）结合平行四边形的判定方法画出图形，再写出点D的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 20. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某档案馆开展“抗战胜利80周年图片展”．该档案馆8月份的参观人数为10万人，10月份的参观人数增加到万人．求参观人数的月平均增长率． 【答案】参观人数的月平均增长率为． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握关于增长率的公式是解答此题的关键．根据公式：（其中表示增长前的量，表示增长后的量，表示月平均增长率，表示月份数），列方程求解即可． 【详解】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：或（舍去） 答：参观人数的月平均增长率为． 21. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （2）列表，描点，连线即可； （3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：列表： X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 【小问3详解】 解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 22. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容． （1）根据根的判别式得出关于的不等式，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出，，结合即可求解． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 即的取值范围是； 【小问2详解】 根据根与系数的关系得：，， 该方程有两个实数根，，且， ， 解得，满足题意， 故的值为． 23. 匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 高度 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 （1）当时， ，这个值表示的实际意义是 ； （2）求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； （3）匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 【答案】（1），匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； （2）； （3） 解：由（）得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能达到． 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数——投球问题，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （）根据表格可以得出答案； （）把，代入，用待定系数法求出函数解析式； （）结合（）根据函数的性质求出最大值与比较即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴这个值表示的实际意义是匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； 故答案为：，匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； 【小问2详解】 解：把，代入， 得， ∴； ∴； 【小问3详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点B． （1） ； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）若点M是直线上一动点（点M不与A、B重合），过点M作线段（点N在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）或或或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点B坐标代入即可得解； （2）先求出面积，可得面积，进而可得，据此求解即可； （3）当点N落在抛物线上时，则为临界值，求出t的值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得： ，解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴抛物线解析式为， 令，得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，即， 解得或4， 此时点P的坐标为或； 当时，即， 整理得， 解得， 此时点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 把点，代入得： ，解得： ∴直线解析式为， 设，则， 当点N落在抛物线上时，则， ∴， ∴当时，则， 解得t或， ∵线段与抛物线有交点， ∴或， 即点M的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 25. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）下列四边形一定是勾股四边形的有 ；（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形 （2）如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连接、、，，请判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由； （3）如图，在四边形中，为等边三角形，，，，求的长． 【答案】（1）①③ （2） 由旋转得：， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 即四边形是勾股四边形； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股四边形的定义、旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理及其逆定理，解题的关键是能理解勾股四边形的定义． （1）直接利用勾股四边形的定义得出答案； （2）证明是等边三角形，是直角，进而可证明四边形是勾股四边形； （3）将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到，证明为直角三角形，得出，即，代入和的长度即可解答． 【小问1详解】 解：长方形和正方形的四个角都是直角，相邻两边的平方和等于对角线的平方， 长方形和正方形是勾股四边形； 故答案为：①③； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到， ，，， 是等边三角形， ， 为直角三角形， ， 即， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $